Целое уравнение и его корни самостоятельная. Решение целых и дробно рациональных уравнений

Тема: « Целое уравнение и его корни»
Цели урока:

образовательные: систематизация и обобщение, расширение и углубление знаний учащихся по решению целых уравнений с одной переменной выше второй степени;

развивающие : развитие личности учащегося через самостоятельную творческую работу, развитие инициативы учащихся; обеспечение устойчивого мотивационного интереса к изучаемой теме; развитие умения обобщать, правильно отбирать способы решения уравнения;

воспитательные: развитие интереса к изучению математики, подготовка учащихся к применению знаний в нестандартной ситуации; воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов

Задачи урока:

образовательные: закрепить умения и навыки решать уравнения высших степеней с использованием разных приемов, в нестандартных ситуациях

развивающие : развить умения в применении знаний в конкретной ситуации; в проблемной ситуации; умение логически мылить, умение обобщать, конкретизировать, правильно излагать мысли;.

воспитательные: воспитать интерес к предмету через содержание учебного материала; умение работать в коллективе; взаимопомощь культуру общения, умение применять преемственность в изучении отдельных тем; воспитать настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в нестандартной ситуации

Оборудование : проектор, презентация, карточки с заданиями.

Ожидаемый результат : Каждый ученик должен знать способы решения целых уравнении с одной переменной выше второй степени и уметь применить для решения уравнений.

Ход урока.

I. Орг. момент. Здравствуйте, ребята. Нам предстоит поработать над очень важной темой: “Решение квадратных уравнений”. Вы уже достаточно знаете и умеете по этой теме, поэтому наша с вами задача: обобщить и сложить в систему все те знания и умения, которыми вы владеете.

Девиз нашего урока: «Чем больше я знаю, тем больше умею.»

Эпигаф урока:

Кто ничего не замечает,

Тот ничего не изучает.

Кто ничего не изучает,

Тот вечно хнычет и скучает.

(поэт Р.Сеф).

Сегодня каждый из вас имеет возможность получить оценку за урок по результатам работы на различных его этапах. Для этого у вас на партах лежат карты результативности , в которые вы будете фиксировать свой успех в баллах. Желаю всем удачи.

Карта результативности.

II . Приступим к работе. Для того чтобы включиться в работу и сконцентрироваться, предлагаю вам небольшую устную разминку . Но вопросы будут не только по теме урока, проверяем ваше внимание и умение переключаться. За каждый правильный ответ в колонку “Разминка” вы по моему указанию ставите 1 балл.

1. Какое название имеет уравнение второй степени?

2. От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

3 Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D больше 0?

4. Очень плохая оценка знаний?

5. Что значит решить уравнение?

6. Как называется квадратное уравнение, у которого первый коэффициент - 1?

7. Сколько раз в году встает солнце?

8. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант меньше 0?

9. Есть у любого слова, у растения и может быть у уравнения?

Попрошу открыть тетради, записать число и тему сегодняшнего урока.

“ Целое уравнение и его корни ”.

Уравнения с давних времен волновали умы человечества. По этому поводу у английского поэта средних веков Чосера есть прекрасные строки,

Посредством уравнений, теорем

Я уйму всяких разрешил проблем.

Квадратные уравнения тоже не исключение. Они очень важны и для математики и для других наук.

Теперь давайте проверим, насколько хорошо вы умеете определять виды квадратных уравнений. Вашему вниманию предлагается тест, в котором записаны пять уравнений. Напротив каждой колонки вы ставите плюс, если оно принадлежит к данному виду.

Тест “Виды квадратных уравнений”

Критерий оценивания :

Нет ошибок - 5 б.

1 - 2 ош. - 4б.

3 - 4 ош. - 3б.

5 - 6 ош. - 2б.

Более 6 ош. - 0 б.

Ребята выполняют работу, а затем меняются листочками и по ключу проверяют ответы, оценивая работу товарища. Результат записывается в колонку “Оценочный балл”, а затем в “Карту результативности”.

Ключ к тесту :

Молодцы. С видами квадратных уравнений мы разобрались. Кстати, а вы знаете, когда появились первые квадратные уравнения?

Очень давно. Их решали в Вавилоне около 2000 лет до нашей эры. Итальянский ученый Леонард Фибоначчи изложил формулы квадратного уравнения. И лишь в 17 веке, благодаря Ньютону, Декарту и другим ученым эти формулы приняли современный вид.

II. Переходим к теории

Что называется уравнением? (Равенство, содержащее неизвестную, значение которой нужно найти, называется уравнением с одной переменной)

Что называется корнем уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.)

Что значит решить уравнение? (Найти все его корни или доказать, что корней нет.)

Я вам предлагаю решить несколько уравнений устно (презентация).

А) x 2 = 0 е) x 3 - 25x = 0

Б) 3x - 6 = 0 ж) x(x - 1)(x + 2) = 0

В) x 2 - 9 = 0 з) x 4 - x 2 = 0

Г) x 2 = 1/36 и) x 2 - 0,01 = 0,03

Д) x 2 = - 25 к) 19 - c 2 = 10

Скажите, что объединяет эти уравнения? (одна переменная, целые уравнения)

Что называется целым уравнением с одной переменной? (Уравнения, в которых левая и правая часть являются целыми выражениями)

Сколько корней может иметь целое уравнение с одной переменной 2-ой, 3-ой, 4-ой,п-ой степени (не более 2, 3, 4, п)

Какие способы решения целых уравнений выше второй степени вы знаете. *Метод разложения на множители. Способ группировки. Введение новой переменной.

IV .Переходим к решению уравнений.

Решите уравнения

1. 9 x³-27x²=0

2. х 4 -6х 2 +5 = 0 (как называют это уравнение- биквадратное)

3. (х²-10)²- 3(х²-10)-4=0

4. х 3 -3х 2 -3х+9=0

V . Самостоятельная работа.

Задания для разно уровневой самостоятельной работы. (1 группа

1. Решить уравнение

а)-3(х+5)=5(х-1)-2

б) х 3 -49х=0

Задания для разно уровневой самостоятельной работы. (2 группа

1.Решить уравнение х 4 -11х 2 +18=0

2.Решить уравнение х 3 +2х 2 -4х-8=0

После выполнения взаимопроверка Учащиеся анализируют свою работу, выражают вслух свои затруднения и обсуждают правильность решения. Учащиеся ставят оценки самостоятельной работе.

VI . Рефлексия.

Цель Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых. По карте результативности выставить оценки. Подведение итогов.

Что вы сегодня делали?

Какую цель вы ставили перед собой?

Вы достигли цели?

VII. . Домашнее задание

Цель Обеспечение понимания детьми содержания и способов выполнения домашнего задания

Целыми уравнениями называются уравнения, у которых правая и левая части являются целыми выражениями. Например, следующие уравнения будут являться целыми:

1. 2*(x 2 + 1)*(x - 1) = 6*x - (x + 7);

2. (x 4 - 1)/4 - (x 2 + 1)/2 = 3*x 2

Выполним над этими уравнениями равносильные преобразования: раскроем скобки, приведем подобные слагаемые. Получим:

1. 2*x 3 - 2*x 2 + 2*x - 2 = 6x - x - 7

2*x 3 - 2*x 2 + 2*x - 2 - 6*x + x + 7 = 0

2*x 3 - 2*x 2 - 3*x + 5 = 0.

2. x 4 - 1 - 2*(x 2 + 1) = 12*x 2

x 4 - 1 - 2*x 2 - 2 = 12*x 2

x 4 - 1 - 2*x 2 - 2 - 12*x 2 = 0

x 4 - 14*x 2 - 3 = 0.

В результате получили уравнения вида P(x) = 0, где P(x) - многочлен в стандартном виде. Степень этого многочлена будет также являться степенью уравнения.

Степень уравнения

Степенью произвольного уравнения будет называться степень многочлена, полученного из уравнения путем проведения равносильных преобразований. Уравнения первой степени всегда будут приводимы к виду a*x + b = 0, где х - некоторая переменная, а и b - некоторые числа, причем а не должно равняться нулю.

Из этого уравнения получаем выражение для х.

Это число (-b/a) называется корнем уравнения. Уравнение первой степени будет иметь один корень. Корнем уравнения P(x) =0 называют любое значение переменной х, такое, что многочлен P(x) обращается в нуль.

Уравнения второй степени всегда можно привести к виду a*x 2 + b*x + x = 0, где х - некоторая независимая переменная, а а, b, c - произвольные числа, причем а не равняется нулю. Корни уравнения находятся по формуле x = (-b ± √D)/(2*a), где D = b 2 - 4*a*c.

Выражение D (b 2 - 4*a*c) называется дискриминантом. В зависимости от того, какое значение имеет дискриминант, квадратное уравнение будет иметь два или один корень либо не иметь корней.

Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня: (x = (-b ± √D)/(2*a)). Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень: (x = (-b/(2*a)). Если дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет корней.

Уравнения третей степени можно привести к виду a*x 3 + b*x 2 + c*x + d = 0. Уравнение четвертой степени можно привести к виду a*x 4 + b*x 3 + c*x 2 + d*x + e = 0.

Любое уравнение n-ой степени имеет не более n корней. Формулы для корней уравнений третьей и четвертой степени известны, но они очень сложны. Для уравнений больших степеней формул корней не существует.

Рассмотрим уравнение.
31x 3 – 10x = (x – 5) 2 + 6x 2
И левая и правая части уравнения являются целыми выражениями.
Напомним, что подобные уравнения называются целыми уравнениями.
Вернёмся к нашему изначальному уравнению и раскроем скобки, используя формулу квадрата разности.
Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные члены.
Выражения «минус десять икс» и «плюс десять икс» взаимно уничтожаются.
После приведения подобных членов получаем уравнение, в левой части которого стоит многочлен стандартного вида (в общем виде будем называть его «Пэ от икс»), а в правой части - нуль.
Чтобы определить степень целого уравнения, необходимо привести его к виду пэ от икс равно нулю, то есть к уравнению, в левой части которого стоит многочлен стандартного вида, а в правой - нуль.
После этого необходимо определить степень многочлена пэ от икс. Это и будет степенью уравнения.
Рассмотрим пример. Попробуем определить степень данного уравнения.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы.
Далее перенесём все члены уравнения в левую часть и приведём подобные члены.
Итак, мы получили уравнение, в левой части которого многочлен стандартного вида второй степени, а в правой нуль. Это значит, что степень данного уравнения – вторая.
От степени уравнения зависит сколько корней оно имеет.
Можно доказать, что уравнение первой степени имеет один корень, уравнение второй степени имеет не более двух корней, уравнение третьей степени – не более трёх корней и так далее.
Степень уравнения также подсказывает нам, каким образом можно это уравнение решить.
Например, уравнение первой степени мы приводим к виду а икс плюс бэ равно цэ, где а не равно нулю.
Уравнение второй степени мы приводим к равносильному уравнению, в левой части которого квадратный трёхчлен, а в правой - нуль. Такое уравнение решается с помощью формулы корней квадратного уравнения или теоремы Виета.
Для решения уравнений более высоких степеней универсального способа нет, но есть основные методы, которые мы рассмотрим на примерах.
Решим уравнение третьей степени икс в третьей степени минус восемь икс во второй степени минус икс плюс восемь равно нулю.
Чтобы решить данное уравнение разложим его левую часть на множители способом группировки и воспользовавшись формулой разности квадратов.
Далее необходимо вспомнить, что произведение равно нули, когда один из множителей равен нулю. На основании этого делаем вывод, что либо икс минус 8 равно нулю, либо икс минус 1 равно нулю, либо икс плюс один равно нулю. Следовательно, корнями уравнения будут числа минус один, один и восемь.
Иногда для решения уравнений степени выше второй удобно использовать введение новой переменной.
Рассмотрим подобный пример.
Если раскрыть скобки, перенести все члены уравнения в левую часть, привести подобные члены и представить левую часть уравнения в виде многочлена стандартного вида, то ни один из известных нам способов не поможет решить это уравнение. В таком случае стоит обратить внимание на то, что в обеих скобках есть одинаковые выражения.
Именно это выражение мы и обозначим новой переменной игрик.
Тогда наше уравнение сведётся к уравнению с переменной игрек..
Далее просто раскроем скобки и перенесём все члены уравнения в левую часть.
Приведём подобные члены и получим уже знакомое нам квадратное уравнение.
Нетрудно найти корни этого уравнения. Игрик один равен шести, игрик два равен минус шестнадцати.
Теперь вернёмся к изначальному уравнению, выполнив обратную замену.
Изначально за игрик мы принимали выражение два икс в квадрате минус икс. А так как у нас два значения переменной игрек, мы получаем два уравнения. В каждом уравнении переносим все члены в левую часть, решаем получившиеся два квадратных уравнения. Корнями первого уравнения являются числа минус одна целая пять десятых и два, а второе уравнение корней не имеет, так как его дискриминант меньше нуля.
Итак, решением данного уравнения четвёртой степени являются числа минус одна целая пять десятых и два.
Особое место в классификации целых уравнений имеет уравнение вида а икс в четвёртой степени плюс бэ икс во второй степени плюс цэ равно нулю. Уравнения такого вида называют биквадратными уравнениями.
Решать подобные уравнения можно с помощью замены переменной.
Рассмотрим на примере.
В данном уравнении обозначим икс квадрат через игрик. При этом стоит обратить внимание, что переменная игрик не может принимать отрицательные значения.
Получим квадратное уравнение, корнями которого являются числа одна двадцать пятая и один.
Выполним обратную замену.
Корни первого уравнения: одна пятая и минус одна пятая, а корни второго: один и минус один.
Таким образом, мы нашли четыре корня исходного биквадратного уравнения.

Видеоурок «Целое уравнение и его корни» дает представление о целом уравнении, видах таких уравнений, приведении уравнения к стандартному виду, решении подобных уравнений. Задача данного видеоурока - облегчить усвоение материала по данной теме, формировать умения решать задания, в которых используются целые уравнения, способствовать запоминанию учебного материала.

Оформление наглядного материала в виде урока дает возможность заменить учителя в части подачи стандартного блока нового материала, освободить учителя для углубления индивидуальной работы. Видеоматериал помогает сконцентрировать внимание учащихся на освоении нового материала, помогает глубже его понять и лучше запомнить.

Видеоурок начинается с представления темы урока. На экране отображается определение целого уравнения, содержащего одну переменную, как уравнения, обе части которого представляют собой целые выражения. Ниже приведены примеры таких уравнений: (х 5 -2) 2 +х 3 =х 10 -3(х-2), х 3 (х 3 -36)=2(х+8)-2. Далее рассматривается преобразование уравнений, при котором все его слагаемые переносятся из правой части в левую, раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые. После этого уравнение принимает вид, в котором левая его часть представляет собой многочлен, а правой части - 0. Отмечается, что в ходе преобразований получается уравнение, равносильное данному. К тому же уравнение, к которому приведено исходное, в общем виде можно записать: Р(х)=0, где Р(х) - многочлен стандартного вида.

Рассмотренные примеры подводят к общему выводу о том, что любое целое уравнение, содержащее одну переменную, может быть приведено к виду Р(х)=0, где Р(х) - многочлен, степень которого является степенью данного уравнения. То есть степень некоторого произвольного целого уравнения может быть определена после приведения его к равносильному уравнению вида Р(х)=0 и равна степени многочлена Р(х).

Далее рассматривается уравнение первой степени - такое уравнение, которое приводится к виду ах+b=0 с одной переменной х, числами а и b, при этом а≠0. Корень данного уравнения находится по формулех=-b/a. Отмечается, что такое уравнение имеет один корень.

Также предлагается рассмотреть решение уравнения второй степени, которое приводится к виду ах 2 +bx+c=0, содержащее переменную х, некоторые числа а, b, c, при этом а≠0. Известен способ нахождения корней данного уравнения путем вычисления дискриминанта. На экране отображается формула нахождения дискриминанта для уравнения второй степени: D=b 2 -4ac. В зависимости от значения дискриминанта, может быть два корня уравнения - D>0, один - для D=0, или корни отсутствуют D<0. Напоминается формула для нахождения корней уравнения второй степени при положительном или нулевом дискриминанте: х=(-b+-√D)/2a.

Ученикам представляются также уравнения третьей и четвертой степени, которые приводятся к видам ах 3 +bx 2 +cх+d=0 и ах 4 +bx 3 +cх 2 +dх+e=0. В каждом из этих уравнений имеется одна переменная х, коэффициент при старшей степени a≠0, остальные коэффициенты - некоторые числа. Уточняется, что уравнение третьей степени не может иметь более трех корней, а уравнение четвертой степени имеет не более четырех корней. В качестве дополнительной информации ученикам сообщается, что формулы для нахождения корней уравнений третьей и четвертой степени существуют, но они громоздкие и неудобные в применении, а для уравнений пятой степени и выше формул для нахождения корней не существует. Однако решить такие уравнения иногда удается при помощи специальных приемов, которые позволяют упростить выражение и найти корни.

На примере демонстрируется один из способов, как можно найти корни уравнения, не применяя сложных формул нахождения корней.Описывается, каким образом решение некоторых уравнений можно найти с помощью разложения многочлена на множители. Уравнение х 3 -27x 2 -х+27=0 раскладывается на множители, выведя за скобки общий множитель (х-27). В результате преобразований получим произведение (х-27)(х-1)(х+1)=0 Полученное уравнение сводится к нахождению решений трех уравнений х-27, х-1, х+1. Из этих уравнений легко найти корни х 1 =27, х 2 =1, х 3 =-1.

Далее рассматривается еще один способ решения уравнений высокой степени - способ введения новой переменной. Применение способа описывается на примере решения уравнения (х 2 +х-1)(х 2 +х-4)=-2. Сначала все члены уравнения переносятся в левую часть, раскрываются скобки. После данный преобразований получается многочлен стандартного вида 4 степени. Однако, подметив особенность данного уравнения - то, что в исходном уравнении есть одинаковые части х 2 +х, вводим новую переменную для обозначения этого выражения: х 2 +х=у. после подстановки новой переменной в уравнение, получим уравнение вида (у-1)(у-4)=-2. После приведения уравнения к стандартному виду получается обычное квадратное уравнение, корнями которого будут у 1 =2, у 2 =3. Значение корней у подставим в выражение для определения значения искомых х. Нахождение корней уравнения сводится к решению двух уравнений х 2 +х=2 и х 2 +х=3. В результате вычислений будут найдены корни данных уравнений будут х 1 =1, х 2 =-2, х 3 ≈1,3, х 4 ≈-2,3. Отмечается, что данным способом нередко решают уравнения четвертой степени вида ax 4 +bx 2 +c=0, в которых х является переменной, a, b, c - некоторыми числами, где а≠0. На экране дается определение биквадратного уравнения как уравнения четвертой степени вида ax 4 +bx 2 +c=0са≠0.

Для закрепления полученных знаний о решении уравнений способом введения новых переменных предлагается рассмотреть решение биквадратного уравнения 16х 4 -8х 2 +1=0. Вводится новая переменная у=х 2 . После ее введения образуется квадратное уравнение, имеющее один корень у=0,25. После подстановки значение новой переменной в выражение для ее определения можно найти корни уравнения х 1 =0,5 и х 2 =-0,5.

Видеоурок«Целое уравнение и его корни» подробно и наглядно представляет учащимся материал по данной теме, поэтому может быть использован учителем не только на уроке в школе, но также при дистанционном обучении, рекомендуется для самостоятельного освоения темы.

В данном уроке мы продолжаем углубляться в тему «Уравнение с одной переменной». Напомним, что для того, чтобы решить абсолютно любое уравнение, необходимо найти все подходящие значения аргументов, которые делают уравнение верным равенством. Подходящее значение или значение неизвестных или корни уравнения – всё это синонимы, и необходимо их найти или же доказать, что корней в уравнении нет.

Правда теперь стоит поговорить о том, что такое «целое уравнение » и какое количество корней у него. Поэтому необходимо рассмотреть следующие два примера.

Квадрат разности «х» куб и «х» в пятой степени равняется «х» в шестой степени минус два, умноженное на разность «х» и одного.

Во втором уравнении «х» в четвёртой степени минус один, делённое на четыре, минус «х» в квадрате плюс один, делённое на два, равняется три «х» квадрат.

Если посмотреть внимательно, то обе части этих уравнений самостоятельно являются целыми выражениями. Это и есть целое уравнение. Теперь стоит дать чёткое определение целому уравнению с одной переменной (это такое уравнение, где обе части являются целыми выражениями ).

Что если мы упростим примеры? В первом уравнении для начала раскроем скобки, а после этого перенесём все члены в левую часть и приведём подобные слагаемые. Все сделанные преобразования позволяют найти значение: «х» в пятой степени минус два «х» в кубе плюс два «х» минус один равняется нулю. Во втором уравнении повторяем проделанные операции по преобразованию. Однако изначально избавляемся от знаменателя, умножая уравнение на четыре. В итоге мы получаем, что «х» в четвёртой степени минус четырнадцать «х» в квадрате минус три равняется нулю. Мы сделали ряд трансформаций в первом и втором уравнениях, но они не изменили значения, а лишь привели к равносильным уравнениям.

Напомним, что равносильные уравнения также называют эквивалентными. Эквивалентность создаёт дополнительные свойства уравнения: симметрия (когда первое уравнение равносильно второму, то значит и второе равносильно первому) и транзитивность (если у нас есть три уравнения, где первое равносильно второму, а второе равносильно третьему, то это значит, что первое равносильно третьему в том числе). Удобность равносильности уравнений заключается в том, что над ними можно производить ряд упрощений, которые помогают сделать решение более простым.

В итоге мы видим уравнение следующего вида: «Р» от «х» равно нулю, где «Р» от «х» является многочленом стандартного вида. Абсолютно любое целое уравнение заменятся с помощью равносильного, где одна часть выступает многочленом стандартного вида, а вторая – нулем. Уравнение может иметь формат записи, где «Р» от «х» выступают многочленом стандартного вида. В данном виде степенью уравнения выступает степень многочлена. Если же взять произвольное целое уравнение, то его степенью выступает степень равносильного уравнения, которое имеет вид «Р» от «х» равно нуль. Здесь «Р» от «х» является многочленом стандартного вида. То есть мы получаем, что первое уравнение - уравнение пятой степени, а второе – уравнение четвёртой степени.

Если говорить об элементарном примере, где уравнение имеет одну переменную первой степени, то оно имеет следующий формат: сумма «ах» и «b» равняется нулю. Неизвестной переменной выступает «х», а «а» и «b» являются некоторыми числами. Более того, «а» не может равняться нулю, потому что является коэффициентом при переменной «х» и в ином случае переменная исчезает. Когда сделаем необходимые преобразования, то видим, чему равняется «х» (минус «b», поделённое на «а»). Это и выступает корнем уравнения или его значением (также говорят, что корень удовлетворяет данному уравнению). Может возникнуть вопрос: зачем вообще узнавать, сколько корней у уравнения? Ответ прост: так мы будем понимать, сколько решений оно имеет. Например, преимуществом уравнения первой степени в том, что оно имеет только одно решение (корень).

До того, как мы перейдём к более сложным примерам, необходимо вспомнить, какие операции можно осуществить по преобразованию уравнений. Среди них:

• Раскрытие скобок в любой части уравнения;
• Приведение подобных в любой части уравнения;
• Перенос любого члена в другую часть, предварительно изменив его знак на противоположный;
• Прибавление одинакового выражения к обеим частям уравнения;
• Вычитание одинакового выражения у обеих частей уравнений;
• Умножение и деление на число, не являющееся нулем, обеих частей уравнения. Однако данное свойство может добавить новые корни или избавить от них.

Проведя ряд таких преобразований, мы получаем равносильное уравнение.

Теперь рассмотрим уравнение второй степени. Его можно привести к виду суммы «ах» в квадрате, «bx» и «с», равное нулю. Здесь мы видим переменную «х», а также некоторые числа (в особенности «а» не может быть равно нулю, ведь тогда уравнение второй степени превратиться в уравнение первой степени). Для того чтобы понять, какое число корней имеет уравнение, необходимо найти значение дискриминанта «D», формулой которого является разница «b» в квадрате и четырёх «ас». Когда мы нашли дискриминант, мы понимает, что уравнение может иметь два решения (если дискриминант больше нуля), может иметь один корень (если равен нулю) и не иметь корней (если меньше нуля). Уравнение второй степени не может иметь больше двух корней. В тех случаях, когда есть два решения, доступна формула корня, где «х» равно минус «b» плюс корень из дискриминанта, поделённое на два «а».

Уравнение второй степени или же квадратное уравнение имеет корень, которое обращает трёхчлен в значение нуля или так называемое тождество. Если говорить о коэффициентах, которые используют в квадратном уравнении, то каждый имеет определённое название: «а» выступает старшим коэффициентом, «b» - коэффициент при «х» или второй коэффициент, а «с» - свободный член уравнения. Есть примеры, когда старший коэффициент равен единице, в таком случае квадратное уравнение называется приведённым. Уравнение второй степени может быть полным и неполным. Неполное квадратное уравнение – такое, в котором второй коэффициент или свободный член равен нулю. Что является графиком уравнения второй степени? Совершенно верно, это парабола, которая симметрична относительно оси ординат, и может иметь значение функции от нуля до плюс бесконечности или же от нуля до минус бесконечности. Вспомним по графику, какое количество пересечений парабола может иметь, ведь именно от этого зависит количество корней или решений. Когда пересечение происходит в одной точке, то есть при вершине, то получаем один корень или, как говорят, два совпадающих корня. Когда же парабола встречается с осью абсцисс дважды, то значит у нас два корня или два решений. По ряду принципов можно определить направленность параболы. Положительность основного коэффициента говорит о направлении ветвей вверх. Схожесть старшего и второго коэффициентов говорит о том, что график расположен в левой полуплоскости относительно оси ординат. Различие этих коэффициентов говорит о том, что фигура находится в правой части.

Если говорить об уравнениях более высокой степени, то их также можно привести к основному виду. Например, уравнение третей степени выглядит как сумма произведения «а» и «х» в кубе, «b» и «х» в квадрате, «сх» и d, всё равное нулю. Кубическое уравнение также имеет график функций, который на декартовой системе представлен в виде кубической параболы. Что по поводу уравнения четвёртой степени: сумма произведения «а» и «х» в четвёртой степени, «b» и «х» в кубе, «с» и «х» в квадрате, «dх» и «е». Уравнение четвёртой степени выступает наивысшим, потому что только до четвёртой степени возможно решение в радикалах или при различных значениях коэффициентов. Во всех случаях «а» не может равняться нулю по тому, что уравнение станет более низкой степени. Отметим, что уравнение с n-ой степенью не может иметь более n-ого количества корней . Можно вывести формулы корней для уравнений третей и четвёртой степени, однако они будут очень сложны, и запомнить их будет невозможно для учащегося. Если говорить об уравнениях пятой степени и выше, то там даже формулы корней не выведены. Как тогда можно решить уравнения третей степени и выше?

В данном случае необходимо использовать приёмы, которые помогут упростить решение. Первая подсказка – разложить многочлены на множители. Попробуем применить данный приём на практике, решая пример «х» куб минус восемь «х» квадрат минус «х» плюс восемь равно нулю. Когда сделаем необходимые преобразования (вынесем «х» квадрат за скобки, далее разность «х» и восемь вынести за скобки, напоследок разложим получившуюся формулу). В результате мы видим, что разность «х» и восемь равна нулю, разность «х» и один равна нулю и произведение «х» и один равна нулю. Так мы и доказали, что изначальное уравнение имеет три корня или три значения (восемь, один и минус один).

При решении уравнения выше второй степени, можно порой использовать приём введения новой переменны. Например, есть уравнение, где произведение «х» квадрат минус пять «х» плюс четыре и «х» квадрат минус пять «х» плюс шесть, оно равняется сто двадцати. В данном примере для того чтобы найти решение, необходимо всё перенести в левую часть и раскрыть скобки, сделав необходимые преобразования. Получаем «х» в четвёртой степени минус десять «х» в кубе плюс тридцать пять «х» в кубе минус пятьдесят «х» минус девяносто десть равно нулю. Даже если мы приведём подобные, то уравнение всё равно получится очень сложное, а решить его будет абсолютно невозможно. Поэтому посмотрим внимательнее на формулу и увидим, что разность «х» в квадрате и пять «х» повторяется в обеих скобках. Что если мы введём новую переменную «у» вместо данной части? Тогда мы получаем произведение суммы «у» и четыре и суммы «у» и шести, равное сто двадцати. Упростив, мы получаем квадратное уравнение с корнями минус шестнадцать и шесть. Теперь вместо «у» мы можем подставить разность «х» квадрат и пять «х». Уравнение «х» квадрат минус пять «х» равно минус шестнадцать не имеет корней, потому что дискриминант отрицательный. А второе квадратное уравнение имеет дискриминант выше нуля, поэтому получаем два корня: минус один и шесть.

Метод введения новой переменной позволяет легко решить уравнения четвёртой степени, которые имеют следующий вид: произведение «а» и «х» в четвёртой степени плюс произведение «b» и «х» во второй степени плюс «с» равняется нулю. В данном случае «а» не может равняться нулю. Это пример биквадратного уравнения, потому что уравнение является квадратным относительно «х» в квадрате. Применим теорию на практике, решив уравнение девять «х» в четвёртой степени минус десять «х» во второй степени плюс один равно нулю. Вместо «х» квадрат введём новую переменную «у», тогда выйдет квадратное уравнение с «у», где дискриминант выше нуля, поэтому получаем два корня: одна девятая и один. Теперь подставляем «х» в квадрате и получаем четыре значения корня «х»: минус одна третья, одна третья, минус один и один. Получается, что исходное биквадратное уравнение имеет четыре решения.

В результате урока нам удалось обобщить и создать систему по знаниям в теме “Уравнения”. Теперь учащиеся смогут логически решать сложные примеры, применяя новые приёмы, и анализирую процесс решения. Если осталось дополнительное время, то стоит провести небольшой опрос среди учащихся. Начните с того, чтобы вам дали определение, что такое уравнение с одной переменной. Далее попросите рассказать о процессе решения, и что такое корень, какое количество корней может иметь уравнение. Следующая важная часть знаний – равносильные или эквивалентные уравнения, поэтому необходимо, чтобы учащиеся разложили по полочкам характерные таким уравнениям свойства.