Что такое взаимное расположение графиков линейных функций. Урок "взаимное расположение графиков линейных функций"
>>Математика: Взаимное расположение графиков линейных функций
Взаимное расположение графиков
линейных функций
Вернемся еще раз к графикам линейных функций у = 2х- - 4 и у = 2х + 6, представленным на рисунке 51. Мы уже отмечали (в § 30), что эти две прямые параллельны прямой у = 2х, а значит, параллельны друг другу. Признаком параллельности служит равенство угловых коэффициентов (k = 2 для всех трех прямых: и для у = 2х, и для у = 2х - 4, и для у = 2х + 6). Если же угловые коэффициенты различны, как, например, у линейных функций у = 2х и у - Зх + 1, то прямые, служащие их графиками, не параллельны, и тем более не совпадают. Следовательно, указанные прямые пересекаются. Вообще, справедлива следующая теорема.
Пример 1.
Р е ш е н и е. а) Для линейной функции у = 2х - 3 имеем:
Прямая I 1 , служащая графиком линейной функции у - 2х - 3, проведена на рисунке 53 через точки (0; - 3) и (2; 1).
Для линейной функции имеем:
Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиНа уроке испрользуются разные методы обучения:
Частично-поисковый;
Проверка по образцу;
Частично-исследовательский;
Частично-проблемный.
Поэтому я думаю многие могут взять мой материал за основу для своего урока.
Просмотр содержимого документа
«Конспект открытого урока алгебра 7 класс по теме "Взаимное расположение графиков линейных функций"»
ПЛАН – КОНСПЕКТ УРОКА
| ФИО (полностью) | Асташова Тамара Александровна |
|
| Место работы | МБОУ Поповская ООШ |
|
| Должность | у читель математики |
|
| Предмет | алгебра |
|
| Класс | ||
| Тема и номер урока в теме | Взаимное расположение графиков линейных функций, урок № 1 |
|
| Базовый учебник | Учебник : А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. Алгебра -7 (в 2 частях). М.: Мнемозина, 2013 г. |
|
| ТИП УРОКА: | урок изучения нового материала. |
|
| ЦЕЛЬ: | Рассмотреть различные случаи взаимного расположения графиков линейных функций. |
|
| ЗАДАЧИ: Обучающие: | Создать условия для: Раскрытия геометрического смысла коэффициентов k и m линейной функции; Формирования умений по внешнему виду формул линейных функций устанавливать взаимное расположение их графиков; |
|
| Развивающие: | Создать условия для: Самостоятельного добывания знаний, осмысленного отношения к своей деятельности; Развития мыслительной деятельности обучающихся, умения сравнивать, обобщать и делать выводы; |
|
| Воспитательные: | Создать условия для: Развития грамотной математической речи, умения работать в парах, умения анализировать и делать выводы. |
|
| МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ: | Частично-поисковый; Проверка по образцу; Частично-исследовательский; Частично-проблемный. |
|
| ФОРМА ОРГАНИЗАЦИИ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ: | Фронтальный опрос; Работа в парах; Индивидуальная работа; |
СТРУКТУРА УРОКА:
Организационный момент (1 мин).
Актуализация опорных знаний (6 мин)
Формулировка темы. Постановка учебных задач (1 мин)
Изучение нового материала (15 мин)
Физкультминутка (2 мин)
Первичное закрепление (10 мин)
Рефлексия (2 мин)
Домашнее задание (1 мин)
Итог урока (2 мин)
Необходимое техническое оборудование : ноутбук, мультимедийный проектор, компьютеры для учащихся
Структура и ход урока :
| Этап урока | Название используемых ЭОР | Деятельность учителя | Деятельность ученика | ||
| Орг. момент Цель: Обеспечить рабочую обстановку на уроке. | Приветствует учеников, сообщает девиз урока. Девизом к нашему уроку я хочу предложить такие слова «Каждое дело творчески, иначе зачем?» | Отчет дежурного | |||
| Актуализация знаний. Цель: Организовать познавательную деятельность учащихся. | Экспресс- опрос : 1. Какую функцию называют линейной? 2. Что является графиком линейной функции? 3. Какое уравнение имеет линейная функция, график которой проходит через начало координат? 4. От чего зависит угол между прямой и положительным направлением оси ОХ? 5. Что является графиком уравнения х=а и y= в? | Ответы на вопросы. | |||
| Распределите данные функции по группам. Оценивает работу учащихся | выполнение самостоятельной работы | ||||
| Введение в тему. Постановка учебных задач. Цель: Обеспечить целеполагание | Слайд №4 и №5 | Задаёт вопрос из курса геометрии: «Прямые на плоскости могут иметь сколько общих точек?» Формулирует тему урока. | Отвечают на вопрос. Записывают тему | ||
| Ознакомление с новым материалом. Цель: Создать условия для ознакомления учащихся с новым материалом | Взаимное расположение графиков линейных функций. Слайд с № 6 по №12 | И так я вам предлагаю провести исследование графиков линейных функций и сделать выводы о поведении графиков в зависимости от их коэффициентов. Работу делаем самостоятельно, но в парах по вариантам. Вместе с учащимися сделать выводы: Если даны две линейные функции у=к1 +m1 и у=к2+ m2,то графики функций параллельны, если к1=к2. Графики функций пересекаются, если к1 и к2 различны. Графики функций пересекаются в одной точке, если к1 и к2 различны, а m1= m2; | Выполняют самостоятельную. Отвечают на вопрос учителя, делают выводы, после корректировки учителем этих выводов учащиеся записывают их в тетради. | ||
| Здоровье-сберегающая пауза. | Слайд №13 | После такой работы нужно потянуться и распрямить свой позвоночник. Мы засиделись. Нужно расправить свои плечи и потянуться. Встанем. Выпрямимся. Начинаем нашу разминку. Ось ординат. Раз. Два. Потянулись. Ось абсцисс. Раз. Два. Помахали. Прямая у = kx + m. Раз. Два. Потянуться. Три. Четыре. Потянуться. k – положительное. Наклон вправо. Потянулись. k – отрицательное. Наклон влево. Потянулись. И ещё раз. Закроем глаза, проделаем круговые движения глазами влево, вправо, откроем глаза и быстро поморгаем. | Выполняют упражнения | ||
| Первичное осмысление изученного. Цель: Создать условия для первичного осмысления полученных знаний. | Взаимное расположение графиков линейных функций, №14 по №16. | Выполняем задание 3 из практики. Учитель демонстрирует задания: Выполняем № 10.1 стр.27. Учитель демонстрирует задание. Возникает проблема???? пример в Сформулируйте как располагаются графики по вашему мнению. Самостоятельно №10.2 | Устно выполняют задание Фронтальный опрос. Ученики формулируют вывод Записывают в тетрадях решение №10.1 . Учащиеся выполняют самостоятельно задание 10.2 из задачника. Учащиеся записывают решение задания в тетради. | ||
| Итоги урока | Задает вопросы: 1.В каком случае графики линейных функций пересекаются? 2.В каком случае графики линейных функций параллельны? 3.В каком случае графики линейных функций пересекаются в одной точке? 4.В каком случае графики линейных функций совпадают? Учитель оценивает работу учащихся на уроке. | Отвечают на вопросы | |||
| Домашнее задание. Цель: Дать инструкцию по выполнению домашнего задания. | 1 уровень - № 10.4,№10.5 2 уровень - № 10.3; №10.6-№10.8 Творческое задание: для интересующихся математикой: «Линейная зависимость в пословицах и поговорках». | Записывают дом задание в дневник |
Приложение №1:
| Вариант 1 | Вариант 2 |
||||||||||||||||||
| В одной системе координат постройте графики функций, определите закономерность расположения графиков и сходство в записи формул: |
|||||||||||||||||||
| Задание №1 | Задание №1 |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
| Задание №2 | Задание №2 |
||||||||||||||||||
|
|
Приложение №2:
| Линейные функции | Алгебраическое | Геометрический вывод |
| к 1 =к 2 , m 1 ≠ m 2 | ||
| к 1 ≠ к 2 , m 1 ≠ m 2 | ||
| к 1 ≠ к 2 , m 1 =m 2 | ||
| к 1 =к 2 , m 1 =m 2 | ||
| Линейные функции | Алгебраическое |
На данном уроке мы вспомним все, что изучили о линейных функциях и рассмотрим различные варианты расположения их графиков, вспомним свойства параметров и рассмотрим их влияние на график функции.
Тема: Линейная функция
Урок: Взаимное расположение графиков линейных функций
Напомним, что линейной называется функция вида:
x - независимая переменная, аргумент;
у - зависимая переменная, функция;
k и m - некоторые числа, параметры, одновременно они не могут быть равны нулю.
Графиком линейной функции является прямая линия.
Важно понимать смысл параметров k и m и на что они влияют.
Рассмотрим пример:
Построим графики данных функций. У каждой из них . У первой , у второй , у третьей . Напомним, что параметры k и m определяются из стандартного вида линейного уравнения , параметр - это ордината точки пересечения прямой с осью у. Кроме того, отметим, что коэффициент отвечает за угол наклона прямой к положительному направлению оси х, кроме того, если он положительный, то функция будет возрастать, а если отрицательный - убывать. Коэффициент называется угловым коэффициентом.
Таблица для второй функции;
Таблица для третьей функции;
Очевидно, что все построенные прямые параллельны, потому что их угловые коэффициенты одинаковы. Функции отличаются только значением m.
Сделаем вывод. Пусть заданы две произвольные линейные функции:
и 
Если но то заданные прямые параллельны.
Если и то заданные прямые совпадают.
Изучение взаимного расположения графиков линейных функций и свойств их параметров является основой для изучения систем линейных уравнений. Мы должны запомнить, что если прямые параллельны, то система не будет иметь решений, а если прямые совпадают - то система будет иметь бесчисленное множество решений.
Рассмотрим задачи.
Пример 2 - определить знаки параметров k и m по заданному графику функции:
Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k также плюс.
Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k минус.
Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k плюс.
Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k также минус.
Рассмотрим случай, когда угловые коэффициенты не равны. Рассмотрим пример:
Пример 3 - найти графически точку пересечения прямых:
Обе функции имеют график - прямую линию.
Угловой коэффициент первой функции , второй функции , , значит прямые не параллельны и не совпадают, значит имеют точку пересечения, при чем единственную.
Составим таблицы для построения графиков:
Таблица для второй функции;
Очевидно, что прямые пересекаются в точке (2; 1)
Проверим результат, подставив полученные координаты в каждую функцию.
УРОК в 7 классе по теме «Взаимное расположение графиков линейной функции».
Форма урока – деловая игра. Класс разбивается на 6 команд. В соревновании участвуют только 1, 2, 3, 4, и 5 команды (исследовательские лаборатории), 6 – я команда – «(не) вольные слушатели», состоит из учащихся, которые по каким – либо причинам отсутствовали на предварительных уроках и не могут в полном объеме владеть базовым материалом по данной теме.
Обучающие цели:
1. Закрепить навыки и умения учащихся по построению графиков линейных функций;
выяснить зависимость положения графиков линейной функции от значений k и b ;
научить определять по значениям k и b положение графиков на координатной плоскости;
по графику научить определять заданную функцию;
по формуле линейной функции научить определять соответствующий ей график.
Воспитательные цели:
Воспитывать умение работать коллективно;
эстетика в выполнении чертежей;
умение говорить и правильно высказать свои мысли с использованием математических терминов.
Ход урока:
Оргмомент . Ставлю цели и задачи. Объясняю форму урока .
Сформулируйте определение линейной функции.
Повторение пройденного материала.
( Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида , где х – независимая переменная, k и b – некоторые числа . )
1 з а д а н и е: Определить, какие функции являются линейными: у = 3x,
y = x (6 – x ), y = 2, y = x (9 – x ) + x 2 , y = +9, у = . Если будут неверные ответы, задать вопросы командам, которые ошиблись:
Что является графиком линейной функции?
( Графиком линейной функции является прямая линия . )
Как построить график линейной функции?
( Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки в координатной плоскости и провести через них прямую.)
Почему для построения графика линейной функции достаточно только двух точек?
(Из начальных геометрических сведений мы знаем, что через две точки плоскости можно провести прямую линию и причем только одну.)
Что значит утверждение: «точка принадлежит графику функции»?
( Данное утверждение означает, что абсцисса этой точки равна аргументу, а ордината – соответствующему значению функции.)
2 з а д а н и е: Используя данный слайд задать следующие вопросы:
3 з а д а н и е: Опишите устно, что собой представляет график функции, заданной формулой: у = 25х, у = -70 , у = - 0,01х, у = 0
4 з а д а н и е: 1.Из квадрата со стороной 10 см вырезали прямоугольник со сторонами 8 см и x см. Обозначив площадь оставшейся части квадрата буквой у, выразите зависимость у от x формулой . ( y = 100 – 8x)
( y = 67 – 8x
x = 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 ).
2.У мальчика было 67 р. Он купил x марок по 8 рублей за штуку, после чего у него осталось у рублей. Задайте формулой зависимость у от х. Укажите область определения функции.
( y = 67 – 8x
x = 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7).
5 задание: Какие две пословицы переведены на математический язык? (Чем дальше в лес, тем больше дров. Кашу маслом не испортишь)
3. Практическая работа и исследовательская работа: (Задания командам)
I группа .
у= х, у= х-1, у= х+2
б) Ответить на вопросы: 1). Графики функций представляют собой… 2). Что общего в формулах этих функций? 3). В каких координатных четвертях проходят графики? 4). Каково значение коэффициента по знаку? 5). Опишите, каков угол наклона графиков функций к оси Ох. 6). Чему равна ордината точки пересечения графиков с осью Оу?
Вывод Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками линейных функций, одинаковы, то прямые параллельны
II группа а) В одной координатной плоскости построить графики функций у=х-4,
у=-2х-4, у=-4
2) Что общего в формулах этих функций? 3) В каких координатных четвертях расположены графики? 4) Каково значение коэффициента по знаку? 5) Опишите, каков угол наклона графиков функций к оси Ох. 6) Чему равна ордината точки пересечения графиков с осью Оу?
Вывод о взаимном расположении графиков функций: Если угловые коэффициенты прямых- различны, а число в одинаковое. то прямые пересекаются в точке (о; в ).
III группа а) В одной координатной плоскости построить графики функций у=6х-3,
у=-3х+6
б) Ответить на вопросы: 1) Графики функций представляют собой…
2) В каких координатных четвертях расположены графики? 3) Каково значение коэффициента по знаку? 4) Опишите, каков угол наклона графиков функций к оси Ох. 5) Чему равна ордината точки пересечения графиков с осью Оу? 6) Если графики пересекаются, то определите координаты точки пересечения
Вывод о взаимном расположении графиков функций: Если угловые коэффициенты прямых различны, и число в различное, то прямые пересекаются.
I V группа а) Построить график функций: ; ; .
k
Вывод
: Если
k > 0 и b > 0, то график функции находится в I, II, III четверти. Если
k > 0 и b < 0, то в I, III, IV четверти. Если k > 0 и b = 0, то в I, III четверти.
Если k>0, то угол наклона прямой к оси ОХ острый. Если b>0,то график пересекает ось Оу выше оси Ох; b<0,то график пересекает ось Оу ниже оси Ох;b=0,то график проходит через начало координат (прямая пропорциональность)
V группа а) В одной координатной плоскости построить графики функций: ; ;
б) Ответьте на вопросы: 1) Графики функций представляют собой… 2) В какой точке пересекаются графики функций? 3) Каково значение коэффициента по знаку? 4) Какой угол наклона каждого графика к оси Ох? 5) Каково соотношение между значениями коэффициента k и величинами углов наклона графиков к оси Ох?
Вывод:
Если k < 0 и b > 0,то график функции находится в I, II, IV четверти.
Если k < 0 и b < 0,то в II, III, IV четверти. Если k < 0 и b = 0, то в II, IV четверти. Если k<0, то угол наклона прямой к оси ОХ тупой. Если b>0 график пересекает ось Оу выше оси Ох; b<0 график пересекает ось Оу ниже оси Ох; b=0 график проходит через начало координат (прямая пропорциональность
VI группа а) В одной координатной плоскости построить графики функций:
у=5; у=-3; у=0
б) Ответьте на вопросы: 1) Графики функций представляют собой… 2) В какой точке пересекаются графики функций? 3) Каково значение коэффициента по знаку? 4) Какой угол наклона каждого графика к оси Ох? 5) Каково соотношение между значениями коэффициента k и величинами углов наклона графиков к оси Ох?
Вывод : Если k=0, то прямая параллельна оси Ох.
b>0 график пересекает ось Оу выше оси Ох;
b<0 график пересекает ось Оу ниже оси Ох;
b=0 график совпадает с осью ОХ
После выполнения заданий (графики строят на листах А4, на которых заготовлена координатная сетка) каждая команда 1 - 6 отчитывается по результатам выполненной работы (Задание «б» карточек)
Общие итоги работ:
Если коэффициенты у функций одинаковые, то графики функций – параллельны.
Если коэффициенты различны, то графики функций – пересекаются.
Ордината точки пересечения графика функции с осью Оу равна b .
Если коэффициент k > 0, то графики расположены в I и III координатных четвертях, углы наклона графиков функции к оси Ох – острые.
Если коэффициент k < 0, то графики расположены во II и IV координатных четвертях, а углы наклона графиков функции к оси Ох – тупые.
Чем больше значение k , тем больше угол наклона графика функции к оси Ох.
4.Линейная функция в пословицах
5.Закрепление нового материала.
Устная работа по учебнику № 1082, 1083, 1084
6.Индивидуальная работа. Тестирование ( Цели: проверить, как учащиеся усвоили новую тему) Каждый получает карточку
Приложение 1
7.Стихотворение о линейной функции.
Функция линейная
Совсем не здоровенная,
... и все...
И больше ничего.
Но это только кажется,
Что все легко и вяжется,
Ведь главные у функции-
Есть два таких числа…
Чтоб мы не заблудились
В координатной плоскости
Они как два гаишника
Движением рулят.
КА смело нам укажет,
Что за приключения
Нам с вами предстоят.
Ведь от ее характера и от ее одежды
Зависит – толи в горку,
иль с горки нам бежать.
А БЭ за нас волнуется,
БЭ просто нам подскажет
Как правильно и верно
Дорогу перейти.
И судя по строительству
Графиков линейных
Сказать мы можем смело
Что числа те важны.
И если вдруг окажемся
В координатной плоскости
Преграды этой функции
Мы сможем одолеть.
8. Рефлексия
Еще раз давайте повторим.
Что вы узнали нового?
Чему научились?
Что показалось особенно трудным?
Выполнить задания «Найди ошибку»
9.Итоги урока .
Учитель объявляет итоги работы, которую выполняли команды.
Итоги тестирования.
10.Домашнее задание :
1)п.39, № 1090,1093
2)Линейная функция в пословицах
3)Выяснить, при каком условии графики линейных функций, перпендикулярны
Приложение 1.
Вариант 1.
1. Дана функция . Какой из приведенных ниже графиков является графиком этой функции?
у у
1
0 х х
0
а) б)
у у
1 1
х х
-1,5 0 -2 0
в) г)
у
2. Дан график функции . 0 х
а)
б)
в) -1
г)
§ 1 Взаимное расположение графиков линейных функций
Из курса геометрии мы знаем, что 2 прямые на плоскости могут совпадать, т.е. иметь бесконечно много общих точек; пересекаться, т.е. иметь одну общую точку или не пересекаться, т. е. не иметь ни одной общей точки. Такие прямые называются параллельными.
Линейная функция задаётся равенством вида у = kх + m. Коэффициент k называют угловым коэффициентом. Он «отвечает» за угол наклона прямой относительно положительного направления оси х. Если k > 0, то угол наклона острый (как на рисунке 1), если k < 0, то угол наклона тупой (как на рисунке 2).
А теперь посмотрим на рисунок 3. На нём изображены 2 прямые, заданные уравнениями у = k1 + m1 и у = k2 + m2. Предположим, что k1 = k2. Это означает, что углы наклона прямой одинаковы. Это соответственные углы, а значит данные нам прямые параллельны по признаку параллельных прямых.
Таким образом, если 2 линейные функции имеют одинаковый угловой коэффициент, то их графики будут параллельны. Если же угловые коэффициенты не равны, то графики будут пересекаться.
Например, даны линейные функции, заданные формулами у = 2х - 1 и у = 2х + 3. Как будут располагаться на плоскости их графики по отношению друг к другу? Так как угловой коэффициент первой функции k1 = 2 и угловой коэффициент второй функции k2 = 2, то графики будут параллельны.
Или другая пара: у = х - 3 и у = 2х + 3. У первой функции коэффициент k1 = 1, а у второй функции коэффициент k2 = 2. Это неравные коэффициенты, поэтому графики этих функций будут пересекаться. А в каком же случае прямые будут совпадать?
Для ответа надо сначала ответить на другой вопрос: а за что «отвечает» коэффициент m? Давайте посмотрим на рисунок, на котором изображены графики трёх функций:
у = х, у = х + 3 и у = х - 2.
У всех трёх функций угловой коэффициент k= 1, т. е. графики параллельны. Но обратите внимание: график функции у = х проходит через начало координат, здесь m = 0. График функции у = х + 3 получен сдвигом графика у = х на 3 единицы вверх, как показывает коэффициент m = 3.
График функции у = х - 2 получен сдвигом графика у = х на 2 единицы вниз, как показывает коэффициент m = -2. Иначе говоря, коэффициент m отвечает за параллельный перенос графика у = kх относительно начала координат на m единиц вдоль оси у.
Теперь можно ответить на поставленный вопрос. 2 прямые будут совпадать, если у них одинаковые угловые коэффициенты и коэффициент m1равен коэффициенту m2.
§ 2 Краткие итоги по теме урока
Графики линейных функций по отношению друг к другу на плоскости могут быть параллельны, если угловые коэффициенты k1 и k2 равны, а коэффициенты m1 и m2 различны. Могут пересекаться в случае, когда угловые коэффициенты k1 и k2 не равны. А также могут совпадать, если угловые коэффициенты k1 и k2 равны и коэффициенты m1 и m2 так же равны. График функции у = kх проходит через начало координат, т. к. коэффициент m = 0, а график функции у = kх + m проходит через точку (0; m).
Список использованной литературы:
- Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
- Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
- Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
- Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
- Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010