Интегральное преобразование фурье его свойства. Простыми словами о преобразовании фурье

1. Линейность. Преобразование Фурье относится к числу линейных интегральных операций, т.е. спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов.

a n s n (t) ? a n S n (щ)

2. Свойства четности

Преобразования определяются косинусными (четными, действительными) и синусными (нечетными, мнимыми) частями разложения и подобием прямого и обратного преобразований.

• 3. Изменение аргумента функции (сжатие или расширение сигнала) приводит к обратному изменению аргумента ее фурье-образа и обратно пропорциональному изменению его модуля.
• 4. Теорема запаздывания. Запаздывание (сдвиг, смещение) сигнала по аргументу функции на интервал t o приводит к изменению фазочастотной функции спектра (фазового угла всех гармоник) на величину -щt o без изменения модуля (амплитудной функции) спектра.

5. Преобразование производной (дифференцирование сигнала):

s(t) = d/dt = d/dt =Y(щ) dщ= = jщ Y(щ) exp(jщt) dщ jщ Y(щ).

Таким образом, дифференцирование сигнала отображается в спектральной области простым умножением спектра сигнала на оператор дифференцирования сигнала в частотной области jщ, что эквивалентно дифференцированию каждой гармоники спектра. Умножение на jщ приводит к обогащению спектра производной сигнала высокочастотными составляющими (по сравнению с исходным сигналом) и уничтожает составляющие с нулевой частотой.

6. Преобразование интеграла сигнала в частотной области при известном спектре сигнала может быть получено из следующих простых соображений. Если имеет место s(t) = d/dt jщY(щ) = S(щ), то должна выполняться и обратная операция: y(t) =s(t) dt Y(щ) = S(щ)/jщ. Отсюда следует:

s(t)dt ? (1/j щ)S(щ).

Оператор интегрирования в частотной области (1/j щ) при щ >1 ослабляет в амплитудном спектре высокие частоты и при щ <1 усиливает низкие. Фазовый спектр сигнала смещается на -90 0 для положительных частот и на 90 0 для отрицательных.

7. Преобразование свертки сигналов y(t) = s(t) * h(t):

Y(щ) =y(t) exp(-jщt) dt =s(ф) h(t- ф) exp(-jщt) dфdt

Y(щ) =s(ф) d ф h(t- ф) exp(-jщt) dt.

По теореме запаздывания:

h(t- ф) exp(-jщt) dt = H(щ) exp(-jщt).

Y(щ) =H(щ) s(ф) exp(-jщ ф) dф= H(щ)·S(щ).

s(t) * h(t)?S(щ)H(щ).

Таким образом, свертка функций в координатной форме отображается в частотном представлении произведением фурье-образов этих функций.

8. Преобразование произведения сигналов y(t) = s(t)·h(t):

Y(?) =s(t) h(t) exp(-j?t) dt =s(t) [(1/2?)H(?") exp(j?"t) d?"] dt = (1/2?)s(t)H(?") exp(-j(?-?")t) d?"dt = (1/2?)H(?") d?"s(t) exp(-j(?-?")t) dt = (1/2?)H(?") S(?-?") d?" = (1/2?) H(?) * S(?).

Произведение функций в координатной форме отображается в частотном представлении сверткой фурье-образов этих функций.

9. Умножение сигнала на гармоническую функцию заполняет сигнал гармонической частотой и формирует радиоимпульс.

10. Спектры мощности. Если функция s(t) имеет фурье-образ S(?), то спектральная плотность мощности данной функции определяется выражениями:

w(t) = s(t) s*(t) = |s(t)| 2 |S(?)| 2 = S(?) S*(?) = W(?).

Спектр мощности - вещественная неотрицательная четная функция, которую очень часто называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектра сигнала, не содержит фазовой информации о частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности. математический метод преобразование фурье

11. Равенство Парсеваля. Полная энергия спектра сигнала:

E s =W(f)df=|S(f)| 2 df.

Так как координатное и частотное представление по существу только разные математические отображения одного и того же сигнала, то равной должна быть и энергия сигнала в двух представлениях, откуда следует равенство Парсеваля:

|s(t)| 2 dt =|S(f)| 2 df,

т.е. энергия сигнала равна интегралу модуля его частотного спектра - сумме энергий всех частотных составляющих сигнала.

Как следует из теории ряда Фурье, он применим при обращении с периодическими функциями и с функциями с ограниченным интервалом изменения независимых переменных (поскольку этот интервал может быть расширен на всю ось путем периодического продолжения функции). Однако периодические функции сравнительно редки на практике. Эта ситуация требует создания более общего математического аппарата для обращения с непериодическими функциями, а именно интеграла Фурье и на его основе, преобразования Фурье.

Рассмотрим непериодическую функцию f(t) как предел периодической с периодом T=2l при l®?.

Периодическая функция с периодом 2l может быть представлена в виде разложения в ряд Фурье (воспользуемся комплексной его формой)

где выражения для коэффициентов имеют вид:

Введем следующее обозначение для частот:

Запишем разложение в ряд Фурье в виде одной формулы, подставив в (1), выражение для коэффициентов (2) и для частоты (3) :

Спектр периодической функции с периодом 2l дискретный

Обозначим минимальное расстояние между точками спектра, равное основной частоте колебаний за, т.е.

и введем это обозначение в (4):

В таких обозначениях ряд Фурье напоминает интегральную сумму для функции.

Переходя к пределу при T=2l®? к непериодической функции, получим, что частотный интервал становится бесконечно малым (обозначим его за dw), а спектр становится непрерывным. С математической точки зрения это соответствует замене суммирования по дискретному набору интегрированием по соответствующей переменной в бесконечных пределах.

Это выражение и есть интегральная формула Фурье.

2.2 Формулы преобразования Фурье.

Интеграл Фурье удобно представить в виде суперпозиции двух формул:

Функция F(w), сопоставляемая по первой формуле функции f(t), называется ее преобразованием Фурье . В свою очередь, вторая формула, позволяющая найти исходную функцию по ее образу, называется обратным преобразованием Фурье . Обратим внимание на симметрию формул для прямого и обратного преобразования Фурье с точность до постоянного множителя 1/2pи знака в показателе экспоненты.

Символически прямое и обратное преобразование Фурье будем обозначать как f(t)~F(w).

Проводя аналогию с тригонометрическим рядом Фурье, можно прийти к выводу, что образ Фурье (6) является аналогом коэффициента Фурье (см.(2)), а обратное преобразование Фурье (7) является аналогом разложения функции в тригонометрический ряд Фурье (см.(1)).

Отметим, что множитель вместо обратного преобразования можно отнести к прямому преобразованию Фурье или сделать симметричные множители для прямого и обратного преобразований. Главное, чтобы оба преобразования вместе составляли интегральную формулу Фурье (5), т.е. произведение постоянных множителей при прямом и обратном преобразовании должно быть равно..

Отметим, что для прикладных целей более удобной оказывается не угловая частота w, а частотаn, связанная с первой соотношениемw=2pn. и измеряемая в герцах (Гц). В терминах этой частоты формулы преобразования Фурье будут иметь вид:

Сформулируем без доказательства достаточные условия существования преобразования Фурье.

• 1) f(t) - ограничена при t?(-?,?);
• 2) f(t) - абсолютно интегрируема на t?(-?,?);
• 3) Число точек разрыва, максимума и минимума функции f(t) конечно.

Другим достаточным условием является требование квадратичной интегрируемости функции на свей действительной оси, что физически соответствует требованию конечной мощности сигнала.

Таким образом, с помощью преобразования Фурье мы имеем два способа представления сигнала: временное f(t) и частотное F(w).

• 2.3 Свойства преобразования Фурье.
• 1. Линейность.

Если f(t)~F(w),g(t)~G(w),

то аf(t)+bg(t) ~aF(w)+bG(w).

Доказательство основано на линейных свойствах интегралов.

• 2. Четность.
• 2.1 Если f(t) действительная четная функция и f(t)~F(w), то F(w) также действительная четная функция.

Доказательство:

Используя определение (6), а также формулу Эйлера получим

• -четная функция.
• 2.2 Если f(t) -нечетная действительная функция, то F(w)- нечетная мнимая функция.

2.3 Если f(t) произвольная действительная функция, F(w) имеет четную действительную часть и нечетную мнимую часть.

Доказательство:

Cвойства четности 2 можно суммировать в формуле:

3. Подобие

Если f(t)~F(w), то f(at)~.

• 4. Смещение.
• 4.1 Если f(t)~F(w), то f(t-a)~.

Т.е. запаздыванию во времени соответствует умножение на комплексную экспоненту в области частот.

4.2 Если f(t)~F(w), то~.

Т.е. смещение по частоте соответствует умножению на комплексную экспоненту во временной области.

• 5. Если f(t)~F(w), то
• 5.1 f’(t)~iwF(w),~

если f(t) имеет n непрерывных производных.

Доказательство:

если F(w) имеет n непрерывных производных.

Доказательство:

• 2.4 Важнейшие примеры нахождения преобразования Фурье .

где - прямоугольный импульс

При этом мы учли, что - интеграл Пуассона.

Нахождение последнего интеграла можно пояснить следующим образом. Контур интегрирования С есть прямая в комплексной плоскости (t,w), параллельная действительной оси (w-постоянное число). Интеграл от скалярной функции по замкнутому контуру равен нулю. Образуем замкнутый контур, состоящий из прямой С и действительной оси t, замыкающихся на бесконечности. Т.к. на бесконечности подинтегральная функциястремится к нулю, то интегралы по замыкающим кривым равны нулю. Значит интеграл по прямой С равен интегралу, взятому по действительной действительной оси, проходимой в положительном направлении.

2 .5 Принцип неопределенности для частотно-временного представления сигнала.

На примере прямоугольного импульса покажем справедливость принципа неопределенности, состоящего в том, что невозможно одновременно локализовать импульс во времени и усилить его избирательность по частоте.

Согласно 5), ширина прямоугольного импульса во временной области DT равна 2Т. За ширину образа Фурье прямоугольного импульса примем расстояние между соседними нулями центрального горба в частотной области. Первые нули функции имеем при.

Таким образом получаем

Таким образом, чем более импульс локализован во времени, тем сильнее размазан его спектр. Обратно, чтобы сократить спектр, мы вынуждены растягивать импульс во времени. Этот принцип справедлив при любой форме импульса и носит универсальный характер.

2.6 Свертка и ее свойства.

Свертка-основная процедура при фильтрации сигнала.

Назовем функцию h(t) сверткой непериодических функций f(t) и h(t), если она определяется как следующий интеграл:

Символически будем обозначать этот факт как.

Операция свертки обладает следующими свойствами.

• 1. Коммутативность.

Доказательство коммутативности можно получить путем замены переменной t-t=t’

• 2. Ассоциативность

Доказательство:

• 3. Дистрибутивность

Доказательство этого свойства непосредственно следует из линейных свойств интегралов.

Для обработки сигналов наиболее важным в методе Фурье (после формул преобразования Фурье) являются теоремы о свертке. Будем использовать частоту nвместоw, т.к. теоремы о свертке в этом представлении будут иметь взаимообратимый характер.

2.7 Теоремы о свертке

Первая теорема о свертке .

Преобразование Фурье прямого произведения функций равно свертке преобразований

Доказательство:

Пусть, тогда. Используя определение обратного преобразования Фурье и меняя порядок интегрирования, получим:

В терминах угловой частоты wэта теорема имеет менее универсальный вид

Вторая теорема о свертке.

Преобразование Фурье свертки функций равно прямому произведению преобразований.

Доказательство:

Для примера рассмотрим свертку прямоугольного импульса

По условию f(t)=0 приt<-T и приt>T. Аналогично, f(t-t)=0 при

t-t<-T и при t-t>T, т.е. приt>t+T и приt

при -2T

Объединяя оба случая, получим выражение для свертки:

Таким образом, сверткой прямоугольного импульса самого с собой будет треугольный импульс (иногда эту функцию называют L-функцией).

Пользуясь теоремой о свертке, можно легко получить преобразование Фурье L-функции

На практике физическим ситуациям соответствуют функции, равные нулю при t<0. Это приводит к тому, что бесконечные пределы заменяются конечными.

Найти свертку функций f(t) и g(t)

т.к. f(t)=0 приt<0 и g(t-t)=0 при t-t<0,т.е. приt>t.

Введем понятие взаимной корреляции двух функций f(t) и g(t).

где t- временной сдвиг, непрерывно изменяющийся в промежутке (-?,?).

Важным понятием является корреляция функции с самой собой, которая носит название автокорреляции.

• 2.8 Мощность и энергия сигнала.

Перейдем к рассмотрению понятия мощности и энергии сигнала. Важность этих понятий объясняется тем, что любая передача информации есть фактически передача энергии.

Рассмотрим произвольный комплексный сигнал f(t).

Мгновенная мощность сигнала p(t) определяется равенством

Полная энергия равна интегралу от мгновенной мощности по всему промежутку существования сигнала:

Мощность сигнала может быть рассмотрена также как функция частоты. При этом мгновенную частотную мощность обозначают как.

Полная энергия сигнала вычисляется по формуле

Полная энергия сигнала не должна зависеть от выбранного представления. Значения полной энергии, посчитанные из временного и частотного представления, должны совпадать. Поэтому, приравнивая правые части, получаем равенство:

Это равенство составляет содержание теоремы Парсеваля для непериодических сигналов. Строгое доказательство этой теоремы будет дано при изучении темы “Обобщенные функции”.

Аналогично, выражая энергию взаимодействия двух различных сигналов f(t) и g(t) во временном и частотном представлении, получим:

Выясним математический смысл теоремы Парсеваля.

С математической точки зрения интеграл есть скалярное произведение функций f(t) и g(t), обозначаемое как (f,g). Величинаназывается нормой функции f(t) и обозначается как. Поэтому из теоремы Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения относительно преобразования Фурье,т.е.

Мгновенная мощность сигнала, рассматриваемая как функция частоты,т.е. , имеет и другое общепризнанное название - спектр мощности. Спектр мощности является основным математическим инструментом спектрального анализа, позволяющего выяснить частотный состав сигнала. Кроме спектра мощности сигнала на практике используется амплитудный и фазовый спектры, определяемые, соответственно как:

• 2.9 Теорема Винера -Хинчина.

Плотность спектра мощности сигнала f(t) равна Фурье-образу автокорреляционной функции

Плотность кросс-спектрасигналов f(t) и g(t) равна Фурье- образу корреляционной функции.

Оба утверждения можно объединить в одно: Спектральная плотность равна преобразованию Фурье корреляционной функции.

Доказательство будет дано позже после введения понятия обобщенной функции.

Преобразование Фурье – это семейство математических методов, основанных на разложении исходной непрерывной функции от времени на совокупность базисных гармонических функций (в качестве которых выступают синусоидальные функции) различной частоты, амплитуды и фазы. Из определения видно, что основная идея преобразования заключается в том, что любую функцию можно представить в виде бесконечной суммы синусоид, каждая из которых будет характеризоваться своей амплитудой, частотой и начальной фазой.

Преобразование Фурье является основоположником спектрального анализа. Спектральный анализ – это способ обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала. В зависимости от того, каким образом представлен сигнал, используют разные преобразования Фурье. Различают несколько видов преобразования Фурье:

– Непрерывное преобразование Фурье (в англоязычной литературе Continue Time Fourier Transform – CTFT или, сокращенно, FT );

– Дискретное преобразование Фурье (в англоязычной литературе Discrete Fourier Transform – DFT );

– Быстрое преобразование Фурье (в англоязычной литературе Fast Fourier transform – FFT ).

Непрерывное преобразование Фурье

Преобразование Фурье является математическим инструментом, применяемым в различных научных областях. В некоторых случаях его можно использовать как средство решения сложных уравнений, описывающих динамические процессы, которые возникают под воздействием электрической, тепловой или световой энергии. В других случаях оно позволяет выделять регулярные составляющие в сложном колебательном сигнале, благодаря чему можно правильно интерпретировать экспериментальные наблюдения в астрономии, медицине и химии. Непрерывное преобразование фактически является обобщением рядов Фурье при условии, что период разлагаемой функции устремить к бесконечности. Таким образом, классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной.

Существует несколько видов записи непрерывного преобразования Фурье, отличающихся друг от друга значением коэффициента перед интегралом (две формы записи):

или

где и - Фурье-образ функцииили частотный спектр функции ;

- круговая частота.

Следует отметить, что разные виды записи встречаются в различных областях науки и техники. Нормировочный коэффициент необходим для корректного масштабирования сигнала из частотной области во временную. Нормировочный коэффициент уменьшает амплитуду сигнала на выходе обратного преобразования для того чтобы она совпадала с амплитудой исходного сигнала. В математической литературе прямое и обратное преобразование Фурье умножаются на множитель , в то время как в физике чаще всего при прямом преобразовании множитель не ставят, а при обратном ставят множитель . Если последовательно рассчитать прямое преобразование Фурье некоторого сигнала, а после взять обратное преобразование Фурье, то результат обратного преобразования должен полностью совпадать с исходным сигналом.

Если функция нечетная на интервале (−∞, +∞), то преобразование Фурье может быть представлено через синус-функцию:

Если функция четная на интервале (−∞, +∞), то преобразование Фурье может быть представлено через косинус-функцию:

Таким образом, непрерывное преобразование Фурье позволяет представить непериодическую функцию в виде интеграла функции, представляющей в каждой своей точке коэффициент ряда Фурье для непериодической функции.

Преобразование Фурье является обратимым, то есть если по функции был рассчитан ее Фурье-образ , то по Фурье-образу можно однозначно восстановить исходную функцию . Под обратным преобразованием Фурье понимают интеграл вида (две формы записи):

или

где - Фурье-образ функцииили частотный спектр функции ;

- круговая частота.

Если функция нечетная на интервале (−∞, +∞), то обратное преобразование Фурье может быть представлено через синус-функцию:

Если функция четная на интервале (−∞, +∞), то обратное преобразование Фурье может быть представлено через косинус-функцию:

В качестве примера, рассмотрим следующую функцию . График исследуемой экспоненциальной функции представлен ниже.

Поскольку функция является четной функцией, то непрерывное преобразование Фурье будет определяться следующим образом:

В результате получили зависимость изменения исследуемой экспоненциальной функции на частотном интервале (см. ниже).

Непрерывное преобразование Фурье используют, как правило, в теории при рассмотрении сигналов, которые изменяются в соответствии с заданными функциями, но на практике обычно имеют дело с результатами измерений, которые представляют собой дискретные данные. Результаты измерений фиксируются через равные промежутки времени с определённой частотой дискретизации, например, 16000 Гц или 22000 Гц. Однако в общем случае дискретные отсчёты могут идти неравномерно, но это усложняет математический аппарат анализа, поэтому на практике обычно не применяется.

Существует важная теорема Котельникова (в иностранной литературе встречается название «теорема Найквиста-Шеннона», «теорема отсчетов»), которая гласит, что аналоговый периодический сигнал, имеющий конечный (ограниченный по ширине) спектр (0…fmax), может быть однозначно восстановлен без искажений и потерь по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой, большей или равной удвоенной верхней частоте спектра - частота дискретизации (fдискр >= 2*fmax). Другими словами, при частоте дискретизации 1000 Гц из аналогового периодического сигнала можно восстановить сигнал с частотой до 500 Гц. Следует отметить, что дискретизация функции по времени приводит к периодизации ее спектра, а дискретизация спектра по частоте приводит к периодизации функции.

Это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов.

Прямое дискретное преобразование Фурье ставит в соответствие временной функции , которая определена N-точками измерений на заданном временном интервале, другую функцию , которая определена на частотном интервале. Следует отметить, что функция на временном интервале задается с помощью N-отсчетов, а функция на частотном интервале задается с помощью K-кратного спектра.

k ˗ индекс частоты.

Частота k-го сигнала определяется по выражению

где T - период времени, в течение которого брались входные данные.

Прямое дискретное преобразование может быть переписано через вещественную и мнимую составляющие. Вещественная составляющая представляет собой массив, содержащий значения косинусоидальных составляющих, а мнимая составляющая представляет собой массив, содержащий значения синусоидальных составляющих.

Из последних выражений видно, что преобразование раскладывает сигнал на синусоидальные составляющие (которые называются гармониками) с частотами от одного колебания за период до N колебаний за период.

Дискретное преобразование Фурье имеет особенность, так как дискретная последовательность может быть получена суммой функций с различным составом гармонического сигнала. Другими словами, дискретная последовательность раскладывается на гармонические переменные – неоднозначно. Поэтому при разложении дискретной функции с помощью дискретного преобразования Фурье во второй половине спектра возникают высокочастотные составляющие, которых не было в оригинальном сигнале. Данный высокочастотный спектр является зеркальным отображением первой части спектра (в части частоты, фазы и амплитуды). Обычно вторая половина спектра не рассматривается, а амплитуды сигнала первой части спектра - удваиваются.

Следует отметить, что разложение непрерывной функции не приводит к появлению зеркального эффекта, так как непрерывная функция однозначно раскладывается на гармонические переменные.

Амплитуда постоянной составляющей является средним значением функции за выбранный промежуток времени и определяется следующим образом:

Амплитуды и фазы частотных составляющих сигнала определяются по следующим соотношениям:

Полученные значения амплитуды и фазы называют полярным представлением (polar notation). Результирующий вектор сигнала будет определяться следующим образом:

Рассмотрим алгоритм преобразования дискретно заданной функции на заданном интервале (на заданном периоде) с количеством исходных точек

Д искретное преобразование Фурье

В результате преобразования получаем вещественное и мнимое значение функции , которая определена на частотном диапазоне.

Обратное дискретное преобразование Фурье ставит в соответствие частотной функции , которая определена K-кратным спектром на частотном интервале, другую функцию , которая определена на временном интервале.

N ˗ количество значений сигнала, измеренных за период, а также кратность частотного спектра;

k ˗ индекс частоты.

Как уже было сказано, дискретное преобразование Фурье N-точкам дискретного сигнала ставит в соответствие N-комплексных спектральных отсчетов сигнала . Для вычисления одного спектрального отсчета требуется N операций комплексного умножения и сложения. Таким образом, вычислительная сложность алгоритма дискретного преобразования Фурье является квадратичной, другими словами требуется операций комплексного умножения и сложения.

Преобразование Фурье - преобразование, сопоставляющее функции некой вещественной переменной. Данная операция выполняется каждый раз, когда мы воспринимаем различные звуки. Ухо производит автоматическое «вычисление», выполнить которое наше сознание способно только после изучения соответствующего раздела высшей математики. Орган слуха у человека строит преобразование, в результате которого звук (колебательное движение условных частиц в упругой среде, которые распространяются в волновом виде в твердой, жидкой или газообразной среде) предоставляется в виде спектра последовательно идущих значений уровня громкости тонов разной высоты. После этого мозг превращает данную информацию в привычный всем звук.

Математическое преобразование Фурье

Преобразование звуковых волн или других колебательных процессов (от светового излучения и океанского прилива и до циклов звездной или солнечной активности) можно проводить и с помощью математических методов. Так, пользуясь данными приемами, можно разложить функции, представив колебательные процессы набором синусоидальных составляющих, то есть волнообразных кривых, которые переходят от минимума к максимуму, затем снова к минимуму, подобно морской волне. Преобразование Фурье - преобразование, функция которого описывает фазу или амплитуду каждой синусоиды, отвечающей определенной частоте. Фаза представляет собой начальную точку кривой, а амплитуда - ее высоту.

Преобразование Фурье (примеры приведены на фото) является весьма мощным инструментарием, который применяется в разнообразных областях науки. В отдельных случаях он используется в качестве средства решения довольно сложных уравнений, которые описывают динамические процессы, возникающие под воздействием световой, тепловой или электрической энергии. В иных случаях он позволяет определять регулярные составляющие в сложных колебательных сигналах, благодаря этому можно верно интерпретировать различные экспериментальные наблюдения в химии, медицине и астрономии.

Историческая справка

Первым человеком, применившим данный метод, стал французский математик Жан Батист Фурье. Преобразование, названное впоследствии его именем, изначально использовалось для описания механизма теплопроводности. Фурье всю свою сознательную жизнь занимался изучением свойств тепла. Он внес огромный вклад в математическую теорию определения корней алгебраических уравнений. Фурье являлся профессором анализа в Политехнической школе, секретарем Института египтологии, состоял на императорской службе, на которой отличился во время строительства дороги на Турин (под его руководством было осушено более 80 тысяч квадратных километров малярийных болот). Однако вся эта активная деятельность не помешала ученому заниматься математическим анализом. В 1802 году им было выведено уравнение, которое описывает распространение тепла в твердых телах. В 1807 году ученый открыл метод решения данного уравнения, которое и получило название "преобразование Фурье".

Анализ теплопроводности

Ученый применил математический метод для описания механизма теплопроводности. Удобным примером, в котором не возникает трудностей с вычислением, является распространение тепловой энергии по железному кольцу, погруженному одной частью в огонь. Для проведения опытов Фурье накалял докрасна часть этого кольца и закапывал его в мелкий песок. После этого проводил замеры температуры на противоположной его части. Первоначально распределение тепла является нерегулярным: часть кольца - холодная, а другая - горячая, между данными зонами можно наблюдать резкий градиент температуры. Однако в процессе распространения тепла по всей поверхности металла она становится более равномерной. Так, вскоре данный процесс приобретает вид синусоиды. Сначала график плавно нарастает и так же плавно убывает, точно по законам изменения функции косинуса или синуса. Волна постепенно выравнивается и в результате температура становится одинаковой на всей поверхности кольца.

Автор данного метода предположил, что начальное нерегулярное распределение вполне можно разложить на ряд элементарных синусоид. Каждая из них будет иметь свою фазу (первоначальное положение) и свой температурный максимум. При этом каждая такая компонента изменяется от минимума к максимуму и обратно на полном обороте вокруг кольца целое число раз. Составляющая, имеющая один период, была названа основной гармоникой, а значение с двумя и более периодами - второй и так далее. Так, математическая функция, которая описывает температурный максимум, фазу или позицию называет преобразованием Фурье от функции распределения. Ученый свел единую составляющую, которая трудно поддается математическому описанию, к удобному в обращении инструменту - рядам косинуса и синуса, в сумме дающим исходное распределение.

Суть анализа

Применяя данный анализ к преобразованию распространения тепла по твердому предмету, имеющему кольцевую форму, математик рассудил, что повышение периодов синусоидальной компоненты приведет к ее быстрому затуханию. Это хорошо прослеживается на основной и второй гармониках. В последней температура дважды достигает максимального и минимального значений на одном проходе, а в первой - только один раз. Получается, что расстояние, преодолеваемое теплом во второй гармонике, будет вдвое меньше, чем в основной. Кроме того, градиент во второй также будет вдвое круче, чем у первой. Следовательно, поскольку более интенсивный тепловой поток проходит расстояние вдове меньшее, то данная гармоника будет затухать в четыре раза быстрее, чем основная, как функция времени. В последующих данный процесс будет проходить еще быстрее. Математик считал, что данный метод позволяет рассчитать процесс первоначального распределения температуры во времени.

Вызов современникам

Алгоритм преобразования Фурье стал вызовом теоретическим основам математики того времени. В начале девятнадцатого века большинство выдающихся ученых, в том числе и Лагранж, Лаплас, Пуассон, Лежандр и Био, не приняли его утверждение о том, что начальное распределение температуры раскладывается на составляющие в виде основной гармоники и более высокочастотные. Однако академия наук не могла проигнорировать результаты, полученные математиком, и удостоила его премии за теорию законов теплопроводности, а также проведение сравнения ее с физическими экспериментами. В подходе Фурье главное возражение вызывал тот факт, что разрывная функция представлена суммой нескольких синусоидальных функций, которые являются непрерывными. Ведь они описывают разрывающиеся прямые и кривые линии. Современники ученого никогда не сталкивались с подобной ситуацией, когда разрывные функции описывались комбинацией непрерывных, таких как квадратичная, линейная, синусоида либо экспонента. В том случае, если математик был прав в своих утверждениях, то сумма бесконечного ряда тригонометрической функции должна сводиться к точной ступенчатой. В то время подобное утверждение казалось абсурдным. Однако, несмотря на сомнения, некоторые исследователи (например Клод Навье, Софи Жермен) расширили сферу исследований и вывели их за пределы анализа распределения тепловой энергии. А математики тем временем продолжали мучиться вопросом о том, может ли сумма нескольких синусоидальных функций сводиться к точному представлению разрывной.

200-летняя история

Данная теория развивалась на протяжении двух столетий, на сегодняшний день она окончательно сформировалась. С ее помощью пространственные или временные функции разбиваются на синусоидальные составляющие, которые имеют свою частоту, фазу и амплитуду. Данное преобразование получается двумя разными математическими методами. Первый из них применяется в том случае, когда исходная функция является непрерывной, а второй - в том случае, когда она представлена множеством дискретных отдельных изменений. Если выражение получено из значений, которые определены дискретными интервалами, то его можно разбить на несколько синусоидальных выражений с дискретными частотами - от наиболее низкой и далее вдвое, втрое и так далее выше основной. Такую сумму принято называть рядом Фурье. Если начальное выражение задано значением для каждого действительного числа, то его можно разложить на несколько синусоидальных всех возможных частот. Его принято называть интегралом Фурье, а решение подразумевает под собой интегральные преобразования функции. Независимо от способа получения преобразования, для каждой частоты следует указывать два числа: амплитуду и частоту. Данные значения выражаются в виде единого Теория выражений комплексных переменных совместно с преобразованием Фурье позволила проводить вычисления при конструировании различных электрических цепей, анализ механических колебаний, изучение механизма распространения волн и другое.

Преобразование Фурье сегодня

В наши дни изучение данного процесса в основном сводится к нахождению эффективных методов перехода от функции к ее преобразованному виду и обратно. Такое решение называется прямое и обратное преобразование Фурье. Что это значит? Для того чтобы и произвести прямое преобразование Фурье, можно воспользоваться математическими методами, а можно и аналитическими. Несмотря на то что при их использовании на практике возникают определенные трудности, большинство интегралов уже найдены и внесены в математические справочники. С помощью численных методов можно рассчитывать выражения, форма которых основывается на экспериментальных данных, либо функции, интегралы которых в таблицах отсутствуют и их сложно представить в аналитической форме.

До появления вычислительной техники расчеты таких преобразований были весьма утомительными, они требовали ручного выполнения большого количества арифметических операций, которые зависели от числа точек, описывающих волновую функцию. Для облегчения расчетов сегодня существуют специальные программы, позволившие реализовать новые Так, в 1965 году Джеймс Кули и Джон Тьюки создали программное обеспечение, получившее известность как «быстрое преобразование Фурье». Оно позволяет экономить время проведения расчетов за счет уменьшения числа умножений при анализе кривой. Метод «быстрое преобразование Фурье» основан на делении кривой на большое число равномерных выборочных значений. Соответственно количество умножений снижается вдвое при таком же снижении количества точек.

Применение преобразования Фурье

Данный процесс используется в различных областях науки: в физике, обработке сигналов, комбинаторике, теории вероятности, криптографии, статистике, океанологии, оптике, акустике, геометрии и других. Богатые возможности его применения основаны на ряде полезных особенностей, которые получили название "свойства преобразования Фурье". Рассмотрим их.

1. Преобразование функции является линейным оператором и с соответствующей нормализацией является унитарным. Данное свойство известно как теорема Парсеваля, или в общем случае теорема Планшереля, или дуализм Понтрягина.

2. Преобразование является обратимым. Причем обратный результат имеет практически аналогичную форму, как и при прямом решении.

3. Синусоидальные базовые выражения являются собственными дифференцированными функциями. Это означает, что такое представление изменяет с постоянным коэффициентом в обычные алгебраические.

4. Согласно теореме «свертки», данный процесс превращает сложную операцию в элементарное умножение.

5. Дискретное преобразование Фурье может быть быстро рассчитано на компьютере с использованием «быстрого» метода.

Разновидности преобразования Фурье

1. Наиболее часто данный термин используется для обозначения непрерывного преобразования, предоставляющего любое квадратично интегрируемое выражение в виде суммы комплексных показательных выражений с конкретными угловыми частотами и амплитудами. Данный вид имеет несколько различных форм, которые могут отличаться постоянными коэффициентами. Непрерывный метод включает в себя таблицу преобразований, которую можно найти в математических справочниках. Обобщенным случаем является дробное преобразование, посредством которого данный процесс можно возвести в необходимую вещественную степень.

2. Непрерывный способ является обобщением ранней методики рядов Фурье, определенных для различных периодических функций или выражений, которые существуют в ограниченной области и представляют их как ряды синусоид.

3. Дискретное преобразование Фурье. Этот метод используется в компьютерной технике для проведения научных расчетов и для цифровой обработки сигналов. Для проведения данного вида расчетов требуется иметь функции, определяющие на дискретном множестве отдельные точки, периодические или ограниченные области вместо непрерывных интегралов Фурье. Преобразование сигнала в таком случае представлено как сумма синусоид. При этом использование «быстрого» метода позволяет применять дискретные решения для любых практических задач.

4. Оконное преобразование Фурье является обобщенным видом классического метода. В отличие от стандартного решения, когда используется который взят в полном диапазоне существования данной переменной, здесь особый интерес представляет всего лишь локальное распределение частоты при условии сохранения изначальной переменной (время).

5. Двумерное преобразование Фурье. Данный метод используется для работы с двумерными массивами данных. В таком случае сначала преобразование производится в одном направлении, а затем - в другом.

Заключение

Сегодня метод Фурье прочно закрепился в различных областях науки. Например, в 1962 году была открыта форма двойной ДНК-спирали с использованием анализа Фурье в сочетании с Последние фокусировались на кристаллах волокон ДНК, в результате изображение, которое получалось при дифракции излучения, фиксировались на пленке. Данная картинка дала информацию о значении амплитуды при использовании преобразования Фурье к данной кристаллической структуре. Данные о фазе получили путем сопоставления дифракционной карты ДНК с картами, которые получены при анализе подобных химических структур. В результате биологи восстановили кристаллическую структуру - исходную функцию.

Преобразования Фурье играют огромную роль в изучении космического пространства, физики полупроводниковых материалов и плазмы, микроволновой акустике, океанографии, радиолокации, сейсмологии и медицинских обследованиях.

О преобразовании Фурье, его смысле, свойствах и применении написано много книг, поэтому здесь будут описаны только самые важные его характеристики. Эта статья - своего рода теоретическая выжимка, и для её понимания следует уже обладать базовыми знаниями в этой области. Она не является учебником по преобразованию Фурье (уже существуют такие учебники, написанные профессионалами своего дела). Скорее, эта статья поможет освежить в памяти уже полученные знания в этой области, а также поможет вспомнить полезные формулы, которые у многих людей быстро улетучиваются из головы (к этой группе отношусь и я:)).

Перед началом изложения хочу выразить благодарность Олегу Красноярову за присланное письмо, в котором были кратко рассмотрены альтернативные алгоритмы БПФ, менее известные, чем широко использующийся вариант. Практически полностью это письмо легло в основу подраздела .

Преобразование Фурье

Итак, преобразование Фурье бывает двух видов: дискретное и непрерывное. Непрерывное используется математиками в аналитических исследованиях, дискретное применяется во всех остальных случаях.

Непрерывное преобразование Фурье - преобразование, которое применяется к функции h(t) , заданной на интервале . В результате получается функция H(f) :

также существует обратное преобразование, которое позволяет по образу H(f) восстановить исходную функцию h(t) :

Очевидно, что образ H(f) является комплексной функцией вещественного аргумента, но также и h(t) может принимать не только вещественные, но и комплексные значения.

Применение преобразования Фурье является столь обширной темой, что этот вопрос не будет подниматься в этой статье. Можно только перечислить несколько областей: анализ сигналов, фильтрация, ускоренное вычисление корелляции и свертки, использование в алгоритмах быстрого умножения чисел, и во многих других случаях оно также находит свое применение.

Свойства непрерывного преобразования Фурье

В таблице ниже описана связь свойств прообраза h и образа H .

Следующая таблица показывает, как меняется образ при изменении прообраза. Пусть запись обозначает, что H(f) является образом h(t) . Тогда имеют место следующие отношения:

Следующий набор свойств относится к операциям свертки и корелляции. Свертка функций g и h определяется, как . Корелляция функций g и h определяется, как . В таком случае имеют место следующие отношения:

Дискретное преобразование Фурье

С непрерывным преобразованием Фурье удобно работать в теории, но на практике мы обычно имеем дело с дискретными данными. Очень часто у нас дано не аналитическое выражение преобразуемой функции, а лишь набор её значений на некоторой сетке (обычно на равномерной). В таком случае приходится делать допущение, что за пределами этой сетки функция равна нулю, и аппроксимировать интеграл интегральной суммой:

В случае равномерной сетки эта формула упрощается. Также на равномерной сетке обычно избавляются от шага, чтобы получить безразмерную формулу:

Обратное преобразование в таком случае будет иметь вид

При внимательном рассмотрении можно заметить, что индекс при H n принимает N+1 значение, в то время как при h k - только N значений. Таким образом, как будто бы получается, что функция H содержит в себе больше информации, чем h . На самом деле это не так, поскольку значения H -N/2 и H N/2 совпадают.

Определенное таким образом, дискретное преобразование Фурье сохраняет практически все свойства непрерывного (разумеется, с учетом перехода к дискретному множеству).

Быстрое преобразование Фурье

Сколько операций требуется на проведение дискретного преобразования Фурье? Посчитав по определению (N раз суммировать N слагаемых), получаем величину порядка N 2 . Тем не менее, можно обойтись существенно меньшим числом операций.

Наиболее популярным из алгоритмов ускоренного вычисления ДПФ является т.н. метод Cooley-Tukey, позволяющий вычислить ДПФ для числа отсчетов N = 2 k за время порядка Nlog 2 N (отсюда и название - быстрое преобразование Фурье, БПФ). Этот способ чем-то неуловимо напоминает быструю сортировку. В ходе работы алгоритма также проводится рекурсивное разбиение массива чисел на два подмассива и сведение вычисления ДПФ от целого массива к вычислению ДПФ от подмассивов в отдельности.

Изобретение БПФ привело к потрясающему всплеску популярности преобразования Фурье. Целый ряд важных задач раньше решался за время порядка N 2 , но после проведения преобразования Фурье над исходными данными (за время порядка Nlog 2 N ) решается практически мгновенно. Преобразование Фурье лежит в основе цифровых корелляторов и методов свертки, активно используется при спектральном анализе (практически в чистом виде), применяется при работе с длинными числами.

Широко распространено ошибочное мнение о том, что метод Cooley-Tukey - единственный существующий метод выполнения БПФ, а само БПФ существует только для случая N = 2 k . На самом деле это не так - существуют алгоритмы БПФ для любого числа отсчетов. В одномерном случае, рассмотренном в этой статье, метод Винограда позволяет решить задачу для простого числа отсчетов N . Этот же алгоритм может быть легко обобщен на случай, когда N является степенью произвольного простого числа (а не только двойки), а также на случай, когда число N является произведением степеней простых чисел - т.е. N является произвольным числом, чье разложение на простые множители нам известно.

В двумерном случае можно использовать метод Нуссбаумера. Существуют и другие алгоритмы, как для одномерного, так и для двумерного случаев, но рассмотрение этих вопросов выходит за рамки статьи (мне рекомендовали следующий источник - Блейхут, "Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов").

Как уже говорилось выше, существуют алгоритмы БПФ для произвольного числа отсчетов, но наиболее широкое распространение получил только алгоритм для случая N = 2 k , что является существенным ограничением. Почему же это произошло?

Причина этого в том, что алгоритм, построенный по методу Cooley-Tukey, обладает рядом очень хороших технологических свойств. Структура алгоритма и его базовые операции не зависят от числа отсчетов (меняется только число прогонов базовой операции "бабочка"). Алгоритм легко распараллеливается с использованием базовой операции и конвееризуется, а также легко каскадируется (коэфициенты БПФ для 2N отсчетов могут быть легко получены преобразованием коэфициентов двух БПФ по N отсчетов, полученных "прореживанием" через один исходных 2N отсчетов). Алгоритм прост и компактен, не требует дополнительной оперативной памяти и допускает обработку данных "на месте". Существует целый ряд оптимизированных именно для этого алгоритма DSP-процессоров (это одновременно и причина, и следствие).

Всё это и обусловило популярность в инженерно/программистской среде именно этого алгоритма, и, соответственно, выбора именно 2 k отсчетов при использовании БПФ. Правда, попутно это привело к незаслуженному забвению широкими массами альтернативных алгоритмов, некоторые из которых (что следует отметить) требуют меньше вещественных операций на один отсчет, чем алгоритм Cooley-Tukey. Например, мне доводилось читать описание алгоритма, который по этому показателю на 20-40% (в зависимости от числа отсчетов) превосходил алгоритм Cooley-Tukey.

© Сергей Бочканов, Олег Краснояров