Пусть на отрезке функция у=f(x) задана таблично, т.е. (x i , y i), (i=0,1,..,n), где y i =f(x i). Так заданную функцию называют «сеточной ».

Постановка задачи : найти алгебраический многочлен (полином ):

степени не выше n такой, чтобы

L n (x i)=y i , при i= 0,1,..,n, (5.6)

т.е. имеющий в заданных узлах x i , (i =0,1,..,n ) те же значения, что и сеточная функция у =f(x) .

Сам многочлен L n (x) называется интерполяционным полиномом , а задача – полиномиальной интерполяцией .

Найти многочлен L n (x) – это значит найти его коэффициенты a 0 , a 1 ,…,a n . Для этого имеется n+ 1 условие (5.6), которые записываются в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных a i , (i =0, 1,…,n ):

где x i и y i (i =0,1,…,n ) – табличные значения аргумента и функции.

Из курса алгебры известно, что определитель этой системы, называемый определителем Вандермонда:

отличен от нуля и, следовательно, система (5.7) имеет единственное решение .

Определив коэффициенты a 0 , a 1 ,…,a n , решая систему (5.7), получаем так называемый интерполяционный полином Лагранжа для функции f(x) :

(5.8)

который можно записать в виде:

Доказывается , что по заданным n +1 значениям функции можно построить единственный интерполяционный многочлен Лагранжа (5.8).

На практике широко используются интерполяционные многочлены Лагранжа первой (n= 1) и второй (n= 2) степени.

При n= 1 информация об интерполируемой функции у=f(x) задается в двух точках: (x 0 , y 0 ) и (x 1 , y 1 ), и многочлен Лагранжа имеет вид

Для n= 2 многочлен Лагранжа строится по трехточечной таблице

Решение: Подставляем исходные данные в формулу (5.8). Степень полученного многочлена Лагранжа не выше третьей, так как функция задается четырьмя значениями:

Пользуясь интерполяционным полиномом Лагранжа, можно найти значение функции в любой промежуточной точке, например при х =4:

= 43

Интерполяционные полиномы Лагранжа используются в методе конечных элементов, широко применяемом при решении задач строительства.

Известны и другие формулы интерполяции, например, интерполяционная формула Ньютона , применяемая при интерполяции в случае равноотстоящих узлов или интерполяционный полином Эрмита .

Сплайн-интерполяция . При использовании большого числа узлов интерполяции используют специальный прием – кусочно-полиномиальную интерполяцию , когда функция интерполируется полиномом степени т между любыми соседними узлами сетки.

Среднеквадратичное приближение функций

Постановка задачи

Среднеквадратичное приближение функций – это другой подход к получению аналитических выражений для аппроксимирующих функций. Особенностью таких задач является тот факт, что исходные данные для построения тех или иных закономерностей имеют заведомо приближенный характер .

Эти данные получены в результате какого-либо эксперимента или в результате какого-либо вычислительного процесса. Соответственно эти данные содержат погрешности эксперимента (погрешности измерительной аппаратуры и условий, случайные ошибки и пр.) или погрешности округления.

Допустим, исследуется какое либо явление или процесс. В общем виде объект исследования можно представить кибернетической системой («черный ящик»), приведенной на рисунке.

Переменная х – это независимая, управляемая переменная (входной параметр).

Переменная Y – это реакция (отклик) объекта исследования на воздействие входного параметра. Это зависимая переменная.

Предположим, что при обработке результатов этого эксперимента обнаружена некая функциональная зависимость у=f(x) между независимой переменной х и зависимой переменной у. Эта зависимость представлена в виде табл. 5.1 значений x i , y i (i =1,2,…,n ), полученных в ходе эксперимента.

Таблица 5.1

Если аналитическое выражение функции у=f(x) неизвестно или весьма сложно, то возникает задача найти функцию y= j(х), значения которой при x=x i , возможно мало отличалось бы от опытных данных y i , (i =1,..,n ). Таким образом, исследуемая зависимость аппроксимируется функцией y= j(х) на отрезке [x 1 ,x n ]:

f(x) @ j(х) . (5.9)

Аппроксимирующая функция y= j(х) называется эмпирической формулой (ЭФ) или уравнением регрессии (УР) .

Эмпирические формулы не претендует на роль законов природы, а являются лишь гипотезами, более или менее адекватно описывающими опытные данные. Однако значение их весьма велико. В истории науки известны случаи, когда полученная удачная эмпирическая формула приводила к большим научным открытиям.

Эмпирическая формула является адекватной , если ее можно использовать для описания исследуемого объекта с достаточной для практики точностью.

Для чего же нужна эта зависимость?

Если приближение (5.9) найдено, то возможно:

Сделать прогноз о поведении исследуемого объекта вне отрезка (экстраполяция );

Выбрать оптимальное направление развития исследуемого процесса.

Уравнение регрессии может иметь различный вид и различный уровень сложности в зависимости от особенностей исследуемого объекта и необходимой точности представления.

Геометрически задачапостроения уравнения регрессии состоит в проведении кривой L : y= j(х) «возможно ближе » примыкающей к системе экспериментальных точек M i (x i , y i), i= 1,2,..,n , заданной табл. 5.1 (рис.5.2).

Построение уравнения регрессии (эмпирической функции) состоит из 2 этапов:

1. выбора общего вида уравнения регрессии,

2. определения его параметров .

Удачный выбор уравнения регрессии во многом зависит от опыта экспериментатора, исследующего какой-либо процесс или явление.

Часто в качестве уравнения регрессии выбирают полином (многочлен):

Вторая задача, нахождение параметров уравнения регрессии решается регулярными методами, например, методом наименьших квадратов (МНК), который широко используется при изучении какой-либо закономерности на основе наблюдений или экспериментов.

Разработка этого метода связана с именами известных математиков прошлого – К.Гаусса и А.Лежандра.

Метод наименьших квадратов

Допустим, что результаты эксперимента представлены в виде табл. 5.1. И уравнение регрессии записывается в виде (5.11), т.е. зависит от (m +1) параметра

Эти параметры и определяют расположение графика уравнения регрессии относительно экспериментальных точек M i (x i , y i), i= 1,2,..,n (рис.5.2).

Однако эти параметры определяются не однозначно. Требуется подобрать параметры так, чтобы график уравнения регрессии был расположен «как можно ближе » к системе этих экспериментальных точек.

Введем понятие отклонения значения уравнения регрессии (5.11) от табличного значения y i для x i : , i= 1,2,..,n.

Рассмотрим сумму квадратов отклонений, которая зависит от(m +1) параметра

Согласно МНК наилучшими коэффициентами a i (i =0,1,..,m ) являются те, которые минимизирует сумму квадратов отклонений, т.е. функцию .

Используя необходимые условия экстремума функции нескольких переменных, получим так называемую нормальную систему для определения неизвестных коэффициентов :

Для аппроксимирующей функции (5.11) система (5.14) является системой линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных .

Возможны случаи:

1. Если , то существует бесконечно много многочленов (5.11), минимизирующих функцию (5.13).

2. Если m=n –1, то существует только один многочлен (5.11), минимизирующий функцию (5.13).

Чем меньше m , тем проще эмпирическая формула, но это не всегда лучше. Необходимо помнить, что полученная эмпирическая формула должна быть адекватной изучаемому объекту.

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ

При исследовании явлений природы с помощью математического аппарата используются различные функции.

Функции могут задаваться различными способами. Простейший из них – задание аналитического выражения, которое дает возможность по любым допустимым значениям аргумента вычислить значение функции. На практике такие случаи бывают весьма редко.

Часто функции определяются бесконечными рядами. Вычисление значений функции с помощью бесконечного ряда – довольно громоздкая операция, требующая сходимости и достаточного количества членов ряда.

Функция может быть представлена неопределенным интегралом или дифференциальным уравнением.

Во всех случаях, когда значения функции либо невозможно точно вычислить, либо вычисление слишком громоздко, прибегают к составлению таблиц функции, если эта функция встречается в различных задачах. Таким образом, мы приходим к табличному заданию функции, то есть такому, когда функция
определяется таблицей своих значений при заданных значениях аргументов , i=1,2,…n:

Табличные значения функции и аргумента называют узлами таблицы .

Разность двух соседних значений аргумента называется шагом таблицы
. Если эта разность изменяется, то таблица называется таблицей с переменным шагом, если разность неизменна, то это таблица с постоянным шагом. Стараются строить таблицы с постоянным шагом. Шаг, вообще говоря, не может быть очень малым, иначе сильно возрастает объем таблицы.

Обычно таблица располагается так, что аргумент (например, время) возрастает.

При решении задач естествознания, как правило, приходится иметь дело со случаями, когда нужны значения функции не только для табличных значений аргумента (узлов). Так, например, часто требуется знать координаты Солнца относительно Земли, но почти всегда не в 0 h Всемирного времени, как дается в Астрономическом ежегоднике, а в определенные промежуточные моменты.

Поэтому имеет большое практическое значение следующая задача: дана табличная функция; необходимо найти способ приближенного определения значений функции для произвольных значений аргумента, не совпадающих с узлами таблицы.

Если значение аргумента задано внутри области табличных значений аргумента, то указанную задачу называют задачей интерполяции ; если же значение аргумента задано вне табличной области, то говорят об экстраполяции .

Интерполирование по табличной функции сводится к приближению табличной функции другой, легко вычисляемой функцией. Выражение для этой легко вычисляемой функции используется для интерполяции: заданное значение аргумента подставляется в нее и производятся вычисления.

Построение приближения табличной функции представляет неопределенную задачу и требует дополнительных соглашений.

Во-первых, надо условиться относительно класса функций, используемых для приближения. Очевидно, желательна возможность легкого вычисления функции по заданному значению аргумента. Этому условию удовлетворяют алгебраические полиномы , которые чаще всего и используются для приближения.

Если табличная функция периодическая и приближение нужно в области, охватывающей весь период, то используют тригонометрические полиномы . Когда периодическую функцию нужно приблизить только на небольшой части периода, то обычно используют алгебраические полиномы.

Во-вторых, надо потребовать, чтобы приближение было возможно лучшим. Что значит «лучшим»? На практике употребляют различные критерии наилучшего приближения. Мы примем такой: приближающий полином, который должен точно представлять узлы таблицы. То есть интерполяционный полином должен на графике пройти через все точки (узлы) табличной функции. По этой причине интерполяция с указанным условием называется точечной интерполяцией .

Если какая-либо величина изменяется пропорционально времени, то разность значений через равные промежутки времени постоянна. В этом случае, можно применить простейшее линейное интерполирование.

Если за 24 часа величина Х изменяется равномерно на , то ее значение для момента t часов, прошедших после момента t 0 равно

.

Но такого практически никогда не бывает, разность соседних значений в таблице изменяется, и иногда сложным образом. Можно допустить линейное интерполирование, если не требуется большой точности. Но если надо получить значение табличной функции с той же точностью, что и в узлах, то, согласно принятым соглашениям, надо строить интерполяционный полином.

Интерполяционный полином Лагранжа

Предположим, имеется таблица из двух столбцов
,
,
. Требуется найти полином низшей степени, который принимает значениядля каждого аргумента:
, то есть совпадающий со значениями табличной функции в узлах. Приближенно будем считать, что для любого значения аргументаt
,
. Подобное приближенное равенство называют интерполяционной формулой. Итак, надо найти интерполяционную формулу, а затем оценить ее погрешность.

Найдем, прежде всего, полином (многочлен), который принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех других. Очевидно несложная функция

,

где штрих у знака произведения означает
, является требуемым полиномом степениn-1.

Заметим, что через n точек однозначно можно провести полином степени не выше n-1, например, через 2 точки можно однозначно провести прямую (кривую 1-го порядка), через 3 точки – параболу (кривую 2-го порядка) и т.д.

Легко проверить, что
равен 1, если
; и 0, когда
. Домножим
на, полученный полином
принимает значениев j-й узловой точке и равен нулю во всех других узлах. Поэтому сумма таких полиномов будет принимать значениядля аргумента:

,

Отметим: j – порядковый номер промежуточного полинома
в сумме, строящей полином Лагранжа;i – номер любого узла таблицы.

В общем случае

Это и есть искомый полином степени n-1, проходящий через все n узлов таблицы
:
,
.

Впервые интерполяционный полином Лагранжа был опубликован в 1795 году.

Подчеркнем: если дано n узловых точек, то соответствующий полином степени n-1, проходящий через эти точки, однозначно (в пределах ошибок округления) определен, независимо от способа построения и системы обозначений. Если используются разные узловые точки, то, конечно, полиномы могут быть различными, но одинаковые узловые точки должны приводить к одинаковым полиномам (в пределах ошибок округления).

Потребовав, чтобы полином принимал значения для каждого аргумента, мы построили полином Лагранжа. Если потребовать, чтобы полином принимал не только значения табличной функции в узлах, но и первая производная от полинома была равна первой производной табличной функции в узлах, то мы построим полином Эрмита.

Пример . Дана таблица

n=2. Согласно
;

Согласно
;
.

. Подставляя числа

.

Это интерполяционный полином 1-го порядка – прямая.

Для t = 2, L = 4.5.

Пример . Дана таблица

Построить интерполяционный полином Лагранжа и найти значение L (2).

n=3. Согласно ;

Согласно

.

Это интерполяционный полином 2-го порядка – парабола.

Для t = 2, L = 7.33.

На этом рисунке показан график полинома Лагранжа, построенного по 5-ти узлам – полином 4-го порядка.

На этом рисунке показан график полинома Лагранжа, построенного по 8-ти узлам – полином 7-го порядка.

Из рисунков видно, что значения табличной функции между узлами полиномом Лагранжа представляются неудовлетворительно. Кроме того, полином Лагранжа неудобен для практического использования. На практике обычно известна требуемая точность результата, а множество используемых узлов можно выбирать.

4.3 Интерполяция функции многочленами Лагранжа

Рассмотрим другой подход к приближению функции многочленами. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке и известны значения этой функции в некоторой системе узлов x i Î , i = 0, 1, … , n. Например, эти значения получены в эксперименте при наблюдении некоторой величины в определенных точках или в определенные моменты времени x 0 , x 1 , … , x n . Обозначим эти значения следующим образом: y i = f(x i), i = 0, 1, … , n. Требуется найти такой многочлен P(x) степени m,

P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a m x m , (4.5)

который бы в узлах x i , i = 0, 1, … , n принимал те же значения, что и исходная функция y = f(x), т. е.

P(x i) = y i , i = 0, 1, … , n. (4.6)

Многочлен (4.5), удовлетворяющий условию (4.6), называется интерполяционным многочленом.

Другими словами, ставится задача построения функции y = P(x), график которой проходит через заданные точки (x i , y i), i = 0, 1, … , n (рис. 4.1).

Объединяя (4.5) и (4.6), получим:

a 0 + a 1 x i + a 2 x + … + a m x = y i ,i = 0, 1, … , n. (4.7)

В искомом многочлене P(x) неизвестными являются m +1 коэффициент a 0 , a 1 , a 2 , …, a m . Поэтому систему (4.7) можно рассматривать как систему из n +1 уравнений с m +1 неизвестными. Известно, что для существования единственного решения такой системы необходимо, чтобы выполнялось условие: m = n. Таким образом, систему (4.7) можно переписать в развернутом виде:

a 0 + a 1 x 0 + a 2 x + … + a n x = y 0

a 0 + a 1 x 1 + a 2 x + … + a n x = y 1

a 0 + a 1 x 2 + a 2 x + … + a n x = y 2 (4.8)

a 0 + a 1 x n + a 2 x + … + a n x = y n

Вопрос о существовании и единственности интерполяционного многочлена решает следующая теорема:

Теорема 4.1. Существует единственный интерполяционный многочлен степени n, удовлетворяющий условиям (4.6).

Имеются различные формы записи интерполяционного многочлена. Широко распространенной формой записи является многочлен Лагранжа

L n (x) = = . (4.9)

В частности, для линейной и квадратичной интерполяции по Лагранжу получим следующие интерполяционные многочлены:

L 1 (x) = y 0+ y 1,

L 2 (x) = y 0 +y 1 + y 2 .

Пример 4.3.

Построим интерполяционный многочлен Лагранжа по следующим данным:

Степень многочлена Лагранжа для n +1 узла равна n. Для нашего примера многочлен Лагранжа имеет третью степень. В соответствии с (4.9)

L 3 (x) = 1+3 + 2 + 5 = 1 + x – x 2 + x 3 .

Пример 4.4.

Рассмотрим пример использования интерполяционного многочлена Лагранжа для вычисления значения заданной функции в промежуточной точке. Эта задача возникает, например, когда заданы табличные значения функции с крупным шагом, а требуется составить таблицу значений с маленьким шагом.

Для функции y = sinx известны следующие данные.

Вычислим y(0.25).

Найдем многочлен Лагранжа третьей степени:

L 3 (x) = 0 + +

+ 1.

При x = 0.25 получим y(0.25) = sin 0.25 » 0.249.

Погрешность интерполяции. Пусть интерполяционный многочлен Лагранжа построен для известной функции f(x). Необходимо выяснить, насколько этот многочлен близок к функции в точках отрезка , отличных от узлов. Погрешность интерполяции равна |f(x) – P n (x)|. Оценку погрешности можно получить на основании следующей теоремы.

Теорема 4.2. Пусть функция f(x) дифференцируема n +1 раз на отрезке , содержащем узлы интерполяции x i Î , i = 0, 1, … , n. Тогда для погрешности интерполяции в точке x Î справедлива оценка:

|f(x) – L n (x)|£ |w n+ 1 (x)|, (4.10)

M n+ 1 = |f (n+1) (x)|,

w n+ 1 (x) = (x – x 0)(x – x 1)…. (x – x n).

Для максимальной погрешности интерполяции на всем отрезке справедлива оценка:

|f(x) – L n (x)| £ |w n (x)| (4.11)

Пример 4.5.

Оценим погрешность приближения функции f(x) = в точке x = 116 и на всем отрезке , где a = 100, b = 144, с помощью интерполяционного много члена Лагранжа L 2 (x) второй степени, построенного с узлами x 0 = 100, x 2 = 144.

Найдем первую, вторую и третью производные функции f(x):

f "(x)= x – 1/2 , f "(x)= – x –3/2 , f"""(x)= x –5/2 .

M 3 = | f"""(x)| = 100 –5/2 = 10 –5 .

В соответствии с (4.9) получим оценку погрешности в точке x = 116.

Пусть на отрезке в некоторой последовательностиузловзадана функциясвоими значениями, где. Задача алгебраического интерполирования состоит в построении многочленастепени, удовлетворяющего условию интерполирования:.

Известно, что существует единственный полином степени не выше , принимающий в исходных точках заданные значения. Коэффициентыполиномаможно определить из системы уравнений:

Определитель этой системы есть определитель Вандермонда, и, следовательно, система имеет единственное решение.

Пример. Построить интерполяционный многочлен , совпадающий с функциейв точках.

Решение. Пусть , поэтому имеем

Поэтому при.

Многочлен Лагранжа

Будем искать многочлен в виде линейной комбинации множеств степени :.

При этом потребуем, чтобы каждый многочлен во всех узлах интерполяции, за исключением одного, где он равен 1. Легко проверить, что этим условиям отвечает многочлен вида

.

Действительно, . Причислитель выражения равен 0. По аналогии получим:

,

Подставив эти формулы в исходный многочлен, получим:

Эта формула называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа , совпадающий с функциейв точках

.

Решение. Составим таблицу

Подставляя эти значения в формулу Лагранжа, получим:

Если функция непрерывно дифференцируема до-го порядка включительно, то остаточный член интерполяционного многочлена в форме Лагранжа имеет вид

где – внутренняя точка минимального отрезка, содержащего узлы интерполированияи точку.

Многочлен Ньютона с конечными разностями

Рассмотрим случай равноотстоящих узлов интерполяции, т. е. – называется шагом.

Введем понятие конечных разностей. Пусть известны значения функции в узлах . Составим разности значений функции:

Эти разности называются разностями первого порядка.

Можно составить разности второго порядка:

Аналогично составляются разности k-го порядка:

Выразим конечные разности непосредственно через значение функции:

Таким образом, для любого k можно записать:

Запишем эту формулу для значений разности в узле :

Используя конечные разности, можно определить

Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в виде

График многочлена должен проходить через заданные узлы, то есть . Используем эти условия для нахождения коэффициентов многочлена:

Найдем отсюда коэффициенты :

Таким образом, для любого -го коэффициента формула примет вид

.

Подставляя эти формулы в выражение многочлена Ньютона, получим его следующий вид:

Полученную формулу можно записать в другом виде. Для этого введем переменную .

В этом случае

С учетом этих соотношений формулу многочлена Ньютона можно записать в виде

Полученное выражение может аппроксимировать данную функцию на всем отрезке изменения аргумента. Однако более целесообразно (с точки зрения повышения точности расчетов и уменьшения числа слагаемых в полученой формуле) ограничиться случаем, то есть использовать эту формулу для всех. Для других случаев вместопринять, еслипри. В этом случае интерполяционный многочлен можно записать в виде

Полученная формула называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполяции вперед. Эту интерполяционную формулу обычно используют для вычисления значений функции в точках левой половины рассматриваемого отрезка. Это объясняется следующим: разности вычисляются через значения функции, причем. Из-за этого при больших значенияхмы не можем вычислить высших порядков.

Для правой половины рассматриваемого отрезка разности лучше вычислять справа налево. В этом случае , то есть, и интерполяционный многочлен Ньютона можно получить в виде:

Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом назад.

Пример. Используя интерполяционный полином Ньютона, вычислить , где функциязадана таблицей

Решение. Составляем таблицу конечных разностей.

Для вычисления положим в интерполяционном многочлене Ньютона впередтогдаи

Пример. Задана таблица. Найти .

При вычислении положим

.

При вычислении положим

.

Оценим погрешности формул Ньютона вперед и назад:

Формулы приближенного дифференцирования основаны на первой интерполяционной формуле Ньютона. Интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид

Производя перемножение биномов, получим

так как , то

Аналогично можно вычислять производные функции любого порядка.

В некоторых случаях требуется находить производные функций в основных табличных точках. Так как табличное значение можно считать за начальное, то положив, имеем

Для производной многочлена Ньютона первого порядка погрешность может быть вычислена по формуле ,

где – число конечных разностей в многочлене Ньютона.

Пример. Найти функции, заданной таблично.

Решение.

Вычисляя погрешность, получим:

.

Действительно, .

Таким образом, результаты совпадают до четвертого знака.

Будем строить интерполяционный полином в виде

где – многочлены степени не выше п, обладающие следующим свойством:

Действительно, в этом случае полином (4.9) в каждом узле x j , j=0,1,…n , равен соответствующему значению функции y j , т.е. является интерполяционным.

Построим такие многочлены. Поскольку при x=x 0 ,x 1 ,…x i -1 ,x i +1 ,…x n , можно следующим образом разложить на множители

где с – постоянная. Из условия получим, что

Интерполяционный полином (4.1), записанный в форме

называют интерполяционным полиномом Лагранжа.

Приближенное значение функции в точке x * , вычисленное с помощью полинома Лагранжа, будет иметь остаточную погрешность (4.8). Если значения функции y i в узлах интерполирования x i заданы приближенно с одинаковой абсолютной погрешностью , то вместо точного значения будет вычислено приближенное значение , причем

где – вычислительная абсолютная погрешность интерполяционного полинома Лагранжа. Окончательно имеем следующую оценку полной погрешности приближенного значения .

В частности, полиномы Лагранжа первой и второй степени будут иметь вид

а их полные погрешности в точке x *

Существуют другие формы записи того же интерполяционного полинома (4.1), например, рассматриваемая далее интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями и ее варианты. При точных вычислениях значения Рn(х *) , получаемые по различным интерполяционным формулам, построенным по одним и тем же узлам, совпадают. Наличие же вычислительной погрешности приводит к различию получаемых по этим формулам значений. Запись многочлена в форме Лагранжа приводит, как правило, к меньшей вычислительной погрешности .

Использование формул для оценки погрешностей, возникающих при интерполировании, зависит от постановки задачи. Например, если известно количество узлов, а функция задана с достаточно большим количеством верных знаков, то можно поставить задачу вычисления f(x *) с максимально возможной точностью. Если, наоборот, количество верных знаков небольшое, а количество узлов велико, то можно поставить задачу вычисления f(x *) с точностью, которую допускает табличное значение функции, причем для решения этой задачи может потребоваться как разрежение, так и уплотнение таблицы.

§4.3. Разделенные разности и их свойства.

Понятие разделенной разности является обобщенным понятием производной. Пусть в точках x 0 , x 1 ,…x n заданы значения функций f(x 0), f(x 1),…,f(x n) . Разделенные разности первого порядка определяются равенствами

разделенные разности второго порядка – равенствами,

а разделенные разности k -го порядка определяются следующей рекуррентной формулой:

Разделенные разности обычно помещаются в таблицу следующего вида:

Рассмотрим следующие свойства разделенных разностей.

1. Разделенные разности всех порядков являются линейными комбинациями значений f(x i) , т.е. имеет место следующая формула:

Докажем справедливость этой формулы индукцией по порядку разностей. Для разностей первого порядка

Формула (4.12) справедлива. Предположим теперь, что она справедлива для всех разностей порядка .

Тогда, согласно (4.11) и (4.12) для разностей порядка k=п+1 имеем

Слагаемые, содержащие f(x 0) и f(x n +1) , имеют требуемый вид. Рассмотрим слагаемые, содержащие f(x i) , i=1, 2, …,n . Таких слагаемых два - из первой и второй сумм:

т.е. формула (4.12) справедлива для разности порядка k=п+1 , доказательство закончено.

2. Разделенная разность есть симметрическая функция своих аргументов x 0 , x 1 ,…x n (т.е. не меняется при любой их перестановке):

Это свойство непосредственно следует из равенства (4.12).

3. Простую связь разделенной разности f и производной f (n) (x) дает следующая теорема.

Пусть узлы x 0 , x 1 ,…x n принадлежат отрезку и функция f(x) имеет на этом отрезке непрерывную производную порядка п . Тогда существует такая точка xÎ , что

Докажем сначала справедливость соотношения

Согласно (4.12) выражение в квадратных скобках есть

f .

Из сравнения (4.14) с выражением (4.7) для остаточного члена R n (x)=f(x)-L n (x) получим (4.13), теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает простое следствие. Для полинома п -ой степени

f(x) = a 0 x n +a 1 x n -1 +…a n

производная порядка п , очевидно, есть

и соотношение (4.13) дает для разделенной разности значение

Итак, у всякого многочлена степени п разделенные разности порядка п равны постоянной величине – коэффициенту при старшей степени многочлена. Разделенные разности высших порядков
(больше п ), очевидно, равны нулю. Однако этот вывод справедлив лишь в случае отсутствия вычислительной погрешности у разделенных разностей.

§4.4. Интерполяционный полином Ньютона с разделенными разностями

Запишем интерполяционный полином Лагранжа в следующем виде:

где L 0 (x) = f(x 0)=y 0 , а L k (x) – интерполяционный полином Лагранжа степени k , построенный по узлам x 0 , x 1 , …,x k . Тогда есть полином степени k , корнями которого являются точки x 0 , x 1 , …,x k -1 . Следовательно, его можно разложить на множители

где A k – постоянная.

В соответствии с (4.14) получим

Сравнивая (4.16) и (4.17) получим, что и (4.15) примет вид

который носит название интерполяционного полинома Ньютона с разделенными разностями.

Этот вид записи интерполяционного полинома более нагляден (добавлению одного узла соответствует появление одного слагаемого) и позволяет лучше проследить аналогию проводимых построений с основными построениями математического анализа.

Остаточная погрешность интерполяционного полинома Ньютона выражается формулой (4.8), но ее, с учетом (4.13), можно записать и в другой форме

т.е. остаточная погрешность может быть оценена модулем первого отброшенного слагаемого в полиноме N n (x *).

Вычислительная погрешность N n (x *) определится погрешностями разделенных разностей. Узлы интерполяции, лежащие ближе всего к интерполируемому значению x * , окажут большее влияние на интерполяционный полином, лежащие дальше – меньшее. Поэтому целесообразно, если это возможно, за x 0 и x 1 взять ближайшие к x * узлы интерполирования и произвести сначала линейную интерполяцию по этим узлам. Затем постепенно привлекать следующие узлы так, чтобы они возможно симметричнее располагались относительно x * , пока очередной член по модулю не будет меньше абсолютной погрешности входящей в него разделенной разности.