Как построить чертеж в стереометрической задаче. IV

При построении аксонометрических проекций пользоваться коэффициентами искажения неудобно. Поэтому обычно строят рекомендованные ГОСТ 2.317-69 (СТ СЭВ 1979-79) стандартные прямоугольные изометрию и диметрию, принимая соответствующие масштабы увеличения в 1,22 раза для изометрии и в 1,06 раза для диметрии. Введение этих масштабов позволяет строить аксонометрические проекции без сокращения размеров, откладываемых по аксонометрическим осям. Для диметрической проекции размеры по оси у 0 сокращают вдвое.

А. Построение аксонометрических проекций геометрических фигур, ограниченных отрезками прямых и отсеками плоскостей.

При параллельном проецировании на плоскость прямые проецируются в прямые (см. § 6, 1а), следовательно, Для построения аксонометрического изображения прямой а достаточно определить аксонометрические проекции двух принадлежащих ей точек, которые однозначно определяют прямую а 0 - аксонометрическую проекцию прямой а.

Построение аксонометрических проекций многогранников, в частном случае многоугольников, сводится к определению аксонометрических проекций их вершин, которые затем соединяют между собой отрезками прямых линий.

На рис. 311,6 показано построение стандартной изометрической проекции шестигранной пирамиды, ортогональные проекции которой заданы на рис. 311, а. Построение выполняем в следующей последовательности: проводим прямые х, у, z, которые принимаем за оси натуральной системы координат; за начало координат принимаем точку О (O", О"). Затем проводим аксонометрические оси х 0 , у 0 , z 0 . Измерив на ортогональном чертеже натуральные координаты вершин основания пирамиды (точки 1, 2, 3, 4, 5, 6) и ее вершины (точка S), строим их аксонометрические проекции (точки 1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , 5 0 , 6 0 , S 0). Чтобы получить изометрическую проекцию пирамиды, соединяем полученные точки отрезками прямых линий в той же последовательности, в какой они соединены на ортогональных проекциях.

Б. Построение аксонометрических проекций геометрических фигур, ограниченных кривыми линиями и поверхностями.

В общем случае аксонометрической проекцией кривой линии (или поверхности) будет также кривая линия (поверхность).

Пример построения стандартной изометрии произвольной пространственной кривой l показан на рис. 312. Построение аксонометрических

проекций точек, принадлежащих кривой l, осуществляется в последовательности, указанной ниже.

1. Относим данную линию к некоторой натуральной системе координат Oxyz.

2. Отмечаем на кривой l точки 1, 2, 3, ... и определяем их ортогональные координаты (рис. 312,а).

3. По координатам точек 1, 2, 3, ... строим их вторичные проекции 1 1 0 , 2 1 0 , З 1 0 , ... (рис. 312,6).

4. Через вторичные проекции точек проводим прямые, параллельные аксонометрической оси z 0 , и откладываем на них отрезки, равные значению соответствующих аппликат точек (1, 2, 3, ...); находим точки 1 0 , 2 0 , 3 0 , ...

5. Соединив найденные аксонометрические проекции точек 1 0 , 2 0 , 3 0 , ... плавной линией, получим аксонометрическую проекцию кривой l 0 .

В практике построения аксонометрических проекций машиностроительных деталей часто приходится строить аксонометрические проекции окружностей. В большинстве случаев плоскости окружностей бывают параллельны какой-либо из координатных плоскостей. Рассмотрим возможные варианты построения окружности в изометрической и диметрической проекциях.

Чтобы иметь более наглядное представление о расположении и величине осей эллипсов, в которые проецируются окружности, последние вписаны в грани куба. На рис. 313,а показана проекция куба в изометрии, а на рис. 313,6 - в диметрии. Окружность, вписанная в грань куба, касается его ребер в их середине. Так как касание является инвариантом параллельного проецирования, то в аксонометрических проекциях точки касания эллипсов, в которые преобразуются окружности, будут нахо диться так же в серединах ребер куба. Кроме.этих четырех точек можно указать еще четыре точки, принадлежащие концам большого и малого диаметров эллипса. В прямоугольных изометрических и диметрических проекциях направления больших осей эллипсов перпендикулярны свободным аксонометрическим осям, а малые оси эллипсов совпадают по направлению со свободными аксонометрическими осями.

Для прямоугольной (практической) изометрии величина большого диаметра эллипса равна l,22d окружности, малого диаметра - .0,71d (см. рис. 313,а). В прямоугольной диметрии большой диаметр эллипса равен l,06d, малый диаметр для эллипсов, расположенных в гранях куба, параллельных координатным плоскостям Оху и Oyz, равен 0,35d. Для эллипса, принадлежащего греши куба, параллельной плоскости Oxz, малый диаметр решен 0,95d (см. рис. 313,6).

Чтобы исключить арифметические подсчеты при определении длин отрезков, умноженных на величину масштаба искажения, следует пользоваться пропорциональным масштабом. Для его построения достаточно провести две взаимно перпендикулярные прямые а и b (рис. 314) и на одной из них от точки пересечения К отложить [КО], равный 100 единицам, а на другой - отрезки , [КII], , , , [КVI], соответственно равные 35, 50, 71, 95, 106, 122 единицам измерения. Точки I, II, ...VI соединяем с точкой О. Если теперь от точки О на прямой ОК отложить [ОВ] заданной длины l и из конца В отрезка [ОВ] восставить перпендикуляр к [ОК], то он пересечет прямые (0I), (ОII), (ОIII), (OIV), (OV), (OVI) в точках 1, 2, 3, 4, 5, 6. Полученные отрезки [В1], [В2], [ВЗ], [В4], [В5], [В6] будут равны соответственно 0,35l, 0,5l, 0,71l, 0,95l, 1,06l, 1,22l.

Если плоскость окружности занимает произвольное положение по отношению к координатным плоскостям, то построение аксонометрической проекции окруж;ности осуществляется так же, как это делается при построении аксонометрической проекции кривой (см. с. 215 п. Б, рис. 312). Построение аксонометрических проекций поверхностей, ограничивающих геометрические фигуры, можно осуществить двумя способами:

1. Способ сечений. Этот способ заключается в следующем:

1) поверхность геометрической фигуры, аксонометрическую проекцию которой требуется построить, рассекаем плоскостями γ 1 , γ 2 ,γ 3 ,..., γ n (Рис- 315);

2) определяем линии пересечения заданной фигуры Ф плоскостями γ j (l 1 , l 2 , l 3 , ..., l n);

3) строим аксонометрические проекции линий l 1 , l 2 , l 3 , ..., l n → l 0 1 , l 0 2 , l 0 3 , ..., l 0 n ; для упрощения определения, линий l j и построения их аксонометрических проекций секущие плоскости следует принимать параллельными какой-либо плоскости проекции;

4) кривая d 0 , огибающая линии l 0 1 , l 0 2 , l 0 3 , ..., l 0 n , является очерковой линией - линией видимого контура фигуры Ф 0 .

2.Способ вписывания сферических поверхностей. Целесообразность применения этого способа основывается на том, что в прямо-

угольной аксонометрии поверхность сферы проецируется на картинную плоскость в виде круга. Этот способ следует использовать в тех случаях, когда фигура ограничена поверхностью вращения. Так как в любую поверхность вращения могут быть вписаны сферические поверхности, то аксонометрическую проекцию поверхности вращения можно рассматривать как огибающую этих сфер.

Сущность способа покажем на конкретном примере. Пусть требуется построить аксонометрическую проекцию (прямоугольную изометрию) кольца (рис. 316,а). Построения выполняем в следующей последовательности:

1) строим эллипс с 0 - аксонометрическую проекцию окружности с (ACBD);

2) из произвольных точек эллипса с 0 , О 0 1 ,О 0 2 , О 0 3 , ..., О 0 n , (∀ О 0 j ; О 0 j ∈ с 0) проводим окружности b j радиусом r - аксонометрические проекции вписанных сферических поверхностей β;

3) огибающие d 0 и d 0 2 окружностей b j являются видимым очерком аксонометрической проекции кольца (рис. 316,6)

Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур.

Стереометрия изучает фигуры в пространстве (не все точки фигуры лежат в одной плоскости).

Основными геометрическими фигурами в пространстве являются: точка , прямая и плоскость . Плоскость состоит из точек, неограниченно продолжена во все стороны, не имеет толщины, идеально ровная и гладкая. В пространстве имеется бесконечно много плоскостей, и на каждой из них выполняются свойства планиметрии. Так, например, признаки равенства и подобия треугольников, изученные в планиметрии, справедливы и для треугольников, лежащих в разных плоскостях.

Рассмотрим подробное решение нескольких стереометрических задач.

Задача 1.

Параллельные плоскости α и β пересекают стороны угла АВС в точках А 1 , С 1 , А 2 , С 2 соответственно.
Найти ВС 1 , если А 1 В: А 1 А 1 = 1: 3, ВС 2 = 12.

Решение.

Рассмотрим рис. 1.

1) Так как А 1 В: А 1 А 2 = 1: 3, то А 1 В = х, А 1 А 2 = 3х.

2) Плоскость (АВС) пересекает плоскость α по прямой А 1 С 1 , а плоскость β – по прямой А 2 С 2 . Так как плоскости α и β параллельны, то параллельны и прямые А 1 С 1 и А 2 С 2 .

3) Рассмотрим угол АВС. По теореме Фалеса выполняется:

ВА 1 /ВА 2 = ВС 1 /ВС 2 .

Кроме того, ВА 2 = ВА 1 + А 1 А 2 , а значит, учитывая пункт 1

ВА 2 = ВА 1 + А 1 А 2 = х + 3х = 4х.

Тогда х/(4х) = ВС₁/12, то есть ВС 1 = 3.

Ответ: 3.

Задача 2 .

В ромбе АВСD угол А равен 60°, сторона ромба равна 4. Прямая АЕ перпендикулярна плоскости ромба. Расстояние от точки Е до прямой DC равно 4. Найти квадрат расстояния от точки А до плоскости ЕDC.

Решение.

1) Проведем АН перпендикулярно DC (рис. 2) , тогда ЕН перпендикулярно DC по теореме о трех перпендикулярах. Значит ЕН – расстояние от точки Е до прямой DC, то есть ЕН = 4.

2) Проведем АК – высоту треугольника АЕН – и докажем, что АК – расстояние от точки А до плоскости (ЕDC):

DC перпендикулярно АН и DC перпендикулярно ЕН, значит, DC перпендикулярно плоскости (АЕН) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. АК содержится в плоскости (АЕН), значит АК перпендикулярно DC. Кроме того, АК перпендикулярна ЕН по построению. Так как прямая АК перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ЕDC (ЕН и DC), то АК перпендикулярно плоскости (ЕDC), значит, АК – расстояние от точки А до плоскости (EDC).

3) Рассмотрим треугольник ADH: АD = 4, угол ADH = 60° (накрест лежащий с углом ВАD),
тогда АН = АD · sin ADH. Имеем, что АН = 4 · √3/2 = 2√3.

4) Рассмотрим треугольник ЕАН – прямоугольный (угол ЕАН = 90°). По теореме Пифагора

ЕН 2 = ЕА 2 + АН 2 ;

ЕА 2 = 16 – 12 = 4;

Для площади треугольника ЕАН можно использовать формулы

S EAH = (EA · AH)/2 или S EAH = (AК · ЕH)/2, тогда

EA · AH = AК · ЕH или АК = (EA · AH)/ЕН.

Имеем: АК = (2 · 2√3)/4 = √3, поэтому АК 2 = 3.

Ответ: 3.

Задача 3.

В треугольнике АВС угол В – прямой, ВС = 2. Проекцией этого треугольника на некоторую плоскость является треугольник ВDC, АD = √2, угол между плоскостями АВC и ВСD равен 45°. Найти угол (в градусах) между прямой АС и плоскостью (ВDC).

Решение.

1) По теореме о трех перпендикулярах ВD перпендикулярно ВС, тогда угол между плоскостями (АВС) и (ВDC) – есть угол АВD равный 45° (рис. 3) .

2) АС – наклонная, АD – перпендикуляр к плоскости (BCD), CD – проекция АС на плоскость (ВСD), значит угол АСD равен углу между прямой АС и плоскостью (ВDC), то есть угол АСD – искомый.

3) Рассмотрим треугольник АВD – прямоугольный (угол АВD = 90°):

АВ = АD/sin ABD;

AB = √2/(√2/2) = 2.

4) Рассмотрим треугольник АВС – прямоугольный (угол АВС = 90°). По теореме Пифагора

АС 2 = АВ 2 + ВС 2 ;

АС 2 = 4 + 4 = 8;

5) Рассмотрим треугольник АСD – прямоугольный (угол ADC = 90°):

так как АD = 1/2 АС, то угол АСD = 30°.

Ответ: 30°.

Задача 4.

АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. Найти угол (в градусах) между АВ 1 и ВD 1 .

Решение.

Рассмотрим рис. 4.

1) Прямая АВ 1 содержится в плоскости (АА 1 В 1), прямая ВD 1 пересекает плоскость (АА 1 В 1) в точке В, но В не принадлежит АВ 1 , значит прямые АВ 1 и ВD 1 скрещивающиеся (по признаку скрещивающихся прямых) (рис. 4) .

2) Введем прямоугольную систему координат с началом отсчета в точке В и единичным отрезком, равным по длине ребру куба.

3) Определим координаты точек B, D 1 , A, B 1 в заданной системе координат:

B 1 (0; 0; 1), тогда вектор BD 1 {1; 1; 1}, а вектор АВ 1 – {-1; 0; 1}.

4) Найдем скалярное произведение векторов ВD 1 и АВ 1:

ВD 1 и АВ 1 = 1 · (-1) + 1 · 0 + 1 · 1 = 0.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, то они взаимно перпендикулярны, значит, угол между АВ 1 и ВD 1 равен 90°.

Ответ: 90°.

Задача 5.

Длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равна 8. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найти значение выражения √3 · V, где V – объем пирамиды.

Решение.

Так как по условию четырехугольная пирамида правильная, то в ее основании лежит квадрат ABCD (рис. 5) .

1) Высота пирамиды РО проецируется в центр основания (точку О – точку пересечения диагоналей квадрата АВСD).

2) Угол между прямой РС и плоскостью (АВС) равен плоскому углу РСО и равен 60°.

3) Рассмотрим треугольник РОС – прямоугольный (угол РОС = 90°):

РО = РС · sin PCO;

OC = PC · cos PCO;

PO = 8 · √3/2 = 4√3;

OC = 8 · 1/2 = 4.

4) Рассмотрим квадрат ABCD:

АС = 2 · ОС = 2 · 4 = 8, тогда S ABCD = d 2 /2, где d – диагональ квадрата, то есть S ABCD = 64/2 = 32.

5) V = 1/3 S осн · h;

V = 1/3 · 32 · 4√3 = 128√3/3.

6) √3 · V = √3 · 128√3/3 = 128.

Ответ: 128.

Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи по стереометрии?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

• Научить применять полученные знания на практике, по образцу, алгоритму, с подсказкой.
• Закрепить умения построения сечений, используя аксиомы стереометрии.
• Развивать пространственное мышление учащихся.

Ход урока.

I. Организационная часть.

II. Разбор домашнего задания.

Домашнее задание было по трём уровням сложности

Задача 1 и 2 - первый уровень

Задача 3 и 4 – второй уровень

Задача 5 и 6 – третий уровень

Задача 1. АВСА 1 С 1 – треугольная призма, точка F – середина ребра АВ , точка О лежит на продолжении ребра ВС так, что С расположена между В и О . Постройте сечение призмы плоскостью В 1 FO .

Задача 2. Точка О – середина ребра DD 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Постройте точки пересечения прямых A 1 O и C 1 O с плоскостью основания ABCD и вычислите расстояние между ними, если длина ребра куба 2 см.

Задача 3. Дана треугольная пирамида SABC Точки Р и R лежат на ребрах SA и ВС , точка F лежит на продолжении ребра АС так, что точка С лежит между точками А и F . Постройте сечение пирамиды плоскостью PRF

Задача 4. SABCD - четырехугольная пирамида. Точка Р лежит в грани SCD , а точка F на продолжении ребра DC так, что точка D лежит между F и С . PFB .

Задача 5. DABC - правильный тетраэдр, длина ребра которого равна 4 см. Точка О - середина ребра DB . Точка F лежит на продолжении ребра ВС так, что С - середина отрезка BF , точка Т лежит на продолжении ребра АС так, что С - середина отрезка AT . Постройте сечение тетраэдра плоскостью FTO и вычислите его периметр.

Задача 6. DABC - треугольная пирамида Точка F лежит на ребре DB , точка Т лежит на продолжении ребра АВ так, что точка А расположена между точками Т и В , а точка R лежит на продолжении ребра CD так, что точка С лежит между точками D и R . Постройте сечение пирамиды плоскостью TFR.

Каждой группе предлагаются задачи в зависимости от уровня сложности. Учащиеся выполняют данные задания, а затем коллективное обсуждение хода решения.

Условие: являются ли закрашенные фигуры сечениями изображённых многогранников плоскостью PQR ? В тех случаях, когда сечение показано неправильно, найдите правильное решение.

На рисунках изображены правильные параллелепипеды.

Задание первого уровня:

Задание второго уровня :

Задание третьего уровня :

Каждой группе даётся основное задание и дополнительное. В дополнительном задании на рисунках изображены треугольные призмы (1 и 2 уровень) и треугольная пирамида (3 уровень).

Работа оценивается учителем с последующей отметкой в журнал.

Задание первого уровня:

• В треугольной пирамиде DABC точка О - точка пересечения медиан грани DBC . Точка F лежит на прямой АВ так, что В лежит между точками А и F , а точка Е лежит на прямой АС так, что точка С лежит между А и Е . Постройте сечение пирамиды плоскостью OEF .

• PQR

Задание второго уровня:

• АВСА 1 В 1 С 1 - треугольная призма. Точка О лежит на ребре A 1 C 1 ,. Точка F лежит на продолжении ребра АС так, что С лежит между А и F . Точка К лежит на продолжении ребра АВ так, что В расположена между А и К . Постройте сечение призмы плоскостью OKF .

• Дополнительное задание: являются ли закрашенные фигуры сечениями изображённых многогранников плоскостью PQR ? В тех случаях, когда сечение показано неправильно, найдите правильное решение.

Задание третьего уровня:

• Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA l B 1 C 1 D 1 - квадрат, длина стороны которого равна 2 см. Точка О - середина бокового ребра DD 1 а точки К и F лежат на продолжении ребер ВС и АВ соответственно так, что ВС = 2СК , AB = 2FA . Вычислите площадь сечения параллелепипеда плоскостью OFК , если DD 1 = 4 см.

• Дополнительное задание: являются ли закрашенные фигуры сечениями изображённых многогранников плоскостью PQR ? В тех случаях, когда сечение показано неправильно, найдите правильное решение.

Учащиеся выбирают соответствующий уровень сложности.

Задание для первого уровня сложности:

Задание для второго уровня сложности:

Задание для третьего уровня сложности:

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Ðассматриваются особенности построения изображений фигур, в первую очередь плоских, задачи на построение на изображениях.

При изучении вопроса об изображении фигур в стереометрии основное внимание сосредоточим наизображении плоских фигур. И это понятно, поскольку глядя на реальный физический объект (дом, игральный кубик, книгу и др.), мы видим поверхность, во многих случаях состоящую из плоских частей (рис. 201 – 203). На рисунках и технических чертежах прежде всего пытаются изобразить поверхность объекта, а наш жизненный опыт дает возможность за деталями поверхности увидеть предмет в целом.

Поскольку основная геометрическая фигура - это треугольник, выясним, какая фигура может быть изображением треугольника. А затем мы сможем обсудить вопрос об изображении других многоугольников,известныхизпланиметрии.Крометого,речьбудетидти и об изображении простейших пространственных фигур.

За геометрическую основу изображения возьмем параллельное проектирование. Прежде всего нужно уточнить содержание понятия «изображение», ведь понимать под изображением фигуры непосредственно ее параллельную проекцию - достаточно

неудобно. Фигуру больших размеров просто невозможно спроектировать на лист бумаги - для того, чтобы изображение поместилось, параллельную проекцию фигуры нужно пропорционально уменьшить (или увеличить в других ситуациях).

Изображением пространственной фигуры называется фигура, подобная параллельной проекции данной фигуры на некоторую плоскость.

Данное определение требует дополнения. Понятно, что изображение должно содержать как можно больше информации о фигуре. Вряд ли параллельная проекция куба на рис. 204, а) достаточно полно отображает особенности этой фигуры. Поэтому

на изображении многогранников изображают их вершины и рёбра, видимые и невидимые.Какужеотмечалось,невидимыелинии изображают штриховыми линиями. Таким образом, изображение куба на рис. 204, б)

даёт более полную информацию о кубе. На изображении пространственной фи-

гуры выделяют также изображения ее важных элементов (например, диагоналей, сечений и т. п.).

Отметим, что в определении не фиксируется ни плоскость проекций, ни направление проектирования. Это и понятно, поскольку удобную для рассмотрения позицию можно выбирать произвольно.

Теперь ответим на вопрос: какая фигура может быть изображением треугольника? Случай, когда треугольниклежитвпроектирующейплоскос-

ти, не будем рассматривать. В этом случае он проектируется на отрезок (рис. 205).

Поскольку параллельной проекцией треугольника является треугольник (кроме отмеченного выше случая), то и изображением треугольника должен быть тре-

угольник. В то же время возникает вопрос: «А какой треугольник можно считать изображением данного треугольника?» Как известно, при параллельном проекти-

ровании изменяются длины отрезков, меры углов. Понятно, что параллельной проекцией равнобедренного треугольника является, вообще говоря, разносторонний треугольник, проекцией тупоугольного треугольника может быть остроугольный и т. д.

Проведение простых экспериментов с картонными моделями треугольников при получении их тени от Солнца или от удаленной лампы показывает, что форма параллельных проекций треугольника может быть различной. Более того, можно убедиться в том, что за счет соответствующего размещения модели можно получить в качестве проекции треугольник заданной формы. Таким образом, рассматривая различные тени одного треугольника, можно прийти к следующему выводу.

Изображением данного треугольника может быть произвольный треугольник.

Математическое обоснование этого факта будет сделано позже. Пользуясь им, можно сделать определенные выводы относительно изображения некоторых четы-

рехугольников. Из свойств параллельного проектиро-

вания вытекает, что изображением параллелограмма является произвольный

параллелограмм. Действительно, параллелограмм диагональю разбивается на два равных треугольника (рис. 206, а). Изоб-

ражением треугольника ABD может быть произвольный треугольникA 1 B 1 D 1 . Достро-

ив треугольник A 1 B 1 D 1 до параллелограм-

ма (рис. 206, б), который однозначно определяется этим треугольником, получим следующий вывод.

Изображениямданногопараллелограммаможетбыть произвольный параллелограмм.

Относительнотрапецийподобныйвыводобихизображенияхсделать нельзя, поскольку при параллельном проектировании должно сохраняться отношение длин параллельных оснований. Если, например, одно из оснований вдвое меньше второго, то и на изображении это соотношение должно сохраняться. Хотя, конечно, изображением трапеции должна быть трапеция (но не произвольная!).

Что касается изображения других многоугольников, то можно выбрать три их точки, не лежащие на одной прямой (например, три вершины). Эти точки определяют треугольник, который может изображаться произвольным треугольником. Далее, пользуясь свойствами параллельного проектирования (они являются и свойствами изображений), можно в некоторых случаях строить изображение всего многоугольника.

Научившись изображать некоторые плоские фигуры, размещенные в пространстве, можем приступить к изображению простейших пространственных фигур.

Изображения прямоугольного параллелепипеда, куба ничем не отличаются от изображений произвольного параллелепипеда, так как изображениями квадратов и прямоугольников могут быть произвольные параллелограммы. Чаще всего куб изображают так, как это сделано на рис. 207, а). На рис. 207, б)–г) также даны изображения куба. Однако, в отличие от рис. 207, а), по этим изображениям трудно составить представление о свойствах куба. На рис. 207, б), в) изображения простые и правильные, то есть выполнены по законам параллельного проектирования. Однако они не являются наглядными. Сказанное не означает, что в некоторых случаях нам не понадобится каждое из приведенных изображений.

Рассмотрим подробнее построение изображения параллелепипеда. В §7 параллелепипед рассматривался как многогранник, гранями которого служат шесть параллелограммов. В §8 рассматривался подход к построению фигур из отрезков. Воспользуемся

им. В данной плоскости α построим параллелограммАВСD и через все его вершины проведем параллельные прямые, пересекающие плоскость α (рис. 208). На этих прямых по одну сторону от плоскости α отложим отрезкиАА 1 ,ВВ 1 ,СС 1 ,DD 1 одинаковой длины. Нетрудно доказать, что точкиА 1 ,В 1 ,С 1 ,D 1 лежат в одной плоскости и являются вершинами параллелограммаА 1 B 1 C 1 D 1 . Действи-

тельно, поскольку АA 1 D 1 D ,АВСD иВB 1 C 1 C - параллелограммы, тоА 1 D 1 ||AD ,AD ||ВС, ВС ||В 1 C 1 и, согласно признаку параллельности прямых (теорема 2 §8),А 1 D 1 ||В 1 C 1 . Это, в частности, дает нам возможность утверждать, что точкиА 1 ,В 1 ,С 1 ,D 1 лежат в одной плоскости.

Аналогично имеем, что А 1 B 1 ||D 1 C 1 , то есть четырехугольникА 1 B 1 C 1 D 1 является параллелограммом.

Совокупность всех точек отрезков, соединяющих точки параллелограммов ABCD иА 1 B 1 C 1 D 1 , образуют фигуру, являющуюсяпараллелепипедом (рис. 209). Понятно, что при построении параллелепипедов можно обойтись параллельными отрезками, соединяющими соответствующие точки параллелограммов. Изображение выполнено, как и на рис. 208, только с учетом того, что параллелепипед «заполнен» точками, и некоторые линии невидимы для наблюдателя. Как и в черчении, их изображают штриховой линией. Обозначают параллелепипед по его вершинам:

ABCDА1 B 1 C 1 D 1 .

Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общего ребра, -противоположными. Две вершины, не принадлежащие к одной грани, называютсяпротивоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называетсядиагональю параллеле-

Изображение пирамид, в частности тетраэдров, было рассмотрено в §8 в связи с их построением из отрезков.

! Рассмотрение изображений плоских и пространствен-

ных фигур позволяет сформулировать требования к изображениям:

1) изображение должно быть правильным, то есть удовлетворять определенным правилам;

2) изображение должно быть наглядным;

3) изображение должно быть простым для выполнения.

Правильность изображения обеспечивается соблюдением правил построения параллельных проекций. Наглядность и простота обеспечиваются выбором направления проектирования, то есть «угла зрения» на фигуру и расположением плоскости проекции. Так, изображения тетраэдра SABC на рис. 210, а), б) нельзя считать удачными. В первом случае использовано параллельное проектирование на плоскость граниАВС, а во втором - направление проектирования определяется прямойАВ. В обоих этих случаях потеряна объемность фигуры. Как правило, используют третье изображение (рис. 210, в). Оно является плоским четырехугольникомABCS, в котором проведены диагоналиАС иSB . Невидимое реброАС изображено штриховой линией.

Важным средством обеспечения наглядности изображения является изображение элементов фигуры (медиан, биссектрис, средних линий, диагоналей и т. п.), а также простейших сечений.

Построение изображений различных фигур является неотъемлемой составляющей решения задач стереометрии.

Часто при решении задач необходимо выполнить определенные построения на изображении (провести медиану, указать центр вписанной окружности, построить сечение и т. п.). Эти построения обычно выполняются по свойствам параллельного проектирования.

Пример 1. На произвольном изображении прямоугольного равнобедренного треугольникаАВС (С = 90°) построить изображение: 1) центраО описанной окружности; 2) вписанного квадрата, две стороны которого лежат на катетах

треугольника, а одна из вершин - на гипотенузе ВА .

 Пусть изображением прямоугольного равнобедренного треугольникаАВС (рис.211,а)являетсятреугольникА 1 В 1 С 1 (рис.211,б).

1) Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности является серединой гипотенузы. Поэтому его изображение является серединой изображения гипотенузы.

Построение. Разделим отрезокА 1 В 1 пополам, точка деленияО 1 и является искомой (рис. 211, в).

2)ЕслиизсерединыО гипотенузыАВ провестиперпендикуляры к катетам (см. рис. 211, а), то получим квадрат, удовлетворяющий условию задания. Проведенные перпендикуляры параллельны катетам. Именно этим воспользуемся для построения искомого изображения.

Построение. Из точкиО 1 проводим отрезкиО 1 Е 1 иО 1 F 1 , параллельныеС 1 В 1 иС 1 А 1 соответственно (рис. 211, г). ЧетырехугольникС 1 Е 1 О 1 F 1 является искомым.

Пример 2. На изображении куба построить его сечение плоскостью, проходящей через середины трех параллельных рёбер.

 На рис. 212 середины реберАА 1 ,ВВ 1 ,СС 1 ,DD 1 кубаАBCDA 1 B 1 С 1 D 1 обозначены соответственно черезА 2 ,В 2 , С 2 , D 2 . Изображения этих точек лежат на серединах изоб-ражений соответствующих отрезков (почему?). Пусть секущая плоскость проходитчерез точкиА 2 ,В 2 ,D 2 . Поскольку все грани куба - квадраты, то отрезокА 2 В 2 , проходящий через середины противоположных

Тогда прямая ВЕ задает нужное направление проекти-

сторон квадрата АА 1 В 1 В , равен стороне квадратаАВ (или ребру куба) и параллелен этой стороне.

Аналогично D 2 C 2 ||DС иD 2 C 2 =DС . Поскольку иАВ ||DС , то, в соответствии с транзитивностью отношения параллельности,А 2 В 2 ||D 2 C 2 . Через параллельные прямыеА 2 В 2 ,D 2 C 2 проходит единственная плоскость. В этой плоскости лежат точкиА 2 ,В 2 ,D 2 , поэтому данная плоскость является искомой секущей. Секущая плоскость пересекает грани куба по равным отрезкамА 2 В 2 ,В 2 С 2 ,С 2 D 2 иD 2 A 2 . Следовательно, четырехугольникА 2 В 2 С 2 D 2 , являющийся искомым сечением, имеет форму ромба. Нетрудно заметить, что диагоналиВ 2 D 2 иА 2 С 2 этого ромба равны между собой. То есть четырехугольникА 2 В 2 С 2 D 2 - квадрат. Мы не только построили сечение, но и установили его форму.

Рассмотрим обоснование приведенных выше выво- дов относительно изображения основных плоскихфигур.

Теорема 1 (об изображении треугольника).

Любой треугольник может быть изображением данного треугольника.

 Пусть дан треугольникАВС. Возьмем произвольный треугольникKМN. Он может быть изображениям треугольникаАВС , если существуют плоскость проекций и направление проектирования такие, что параллельная проекция треугольникаАВС подобна треугольникуKМN.

Выберем плоскость проекций α так, чтобы она пересекала плоскость треугольника АВС по прямойАС (рис. 213). Нам нужно выбрать направление проектирования так, чтобы проекцией треугольникаАВС на плоскость α был треугольник, подобный треугольникуKМN. Для этого построим в плоскости α треугольникСАЕ, подобный треугольникуKМN с коэффициентом подо-

бия MK AC

рования. Поскольку треугольник САЕ является параллельной проекцией треугольникаАВС, а треугольникиСАЕ иKМN - подобны, то треугольникKМN является изображением треугольни-

ка АВС.

! Эта теорема открывает широкие возможности для выбора изображений данного треугольника, хотя, конечно, не стоит использовать изображения со свойствами, которыми не обладает оригинал. Например, нецелесообразно изображать произвольный треугольник в виде прямоугольного.

Переходя к изображениям других многоугольников, заметим, что для них, как правило, теоремы, аналогичные теореме 1, не имеют места, хотя отдельные их свойства сохраняются при изображении. Прежде всего речь будет идти о параллельности сторон (почему?). В связи с этим приведем еще одну важную теорему.

Теорема 2 (об изображении параллелограмма).

Любой параллелограмм может быть изображением данного параллелограмма.

Доказать эту теорему можно, разбив параллелограммы диагоналями на треугольники и воспользовавшись теоремой 1 (см.

рис. 206, а, б)

Мы уже встречались с ситуациями, когда планиметрические факты имеют аналоги в пространстве. И такие случаи будут встречаться и дальше. Самой простой пространственной фигуре - тетраэдру - соответствует на плоскости треугольник. По теореме 1, любой треугольник может быть изображением данного треугольника. С другой стороны, тетраэдр проектируется в четырехугольник, который после проведения в нем диагоналей становится изображением тетраэдра. Возникает вопрос: может ли произвольный четырехугольник быть изображением данного тетраэдра? Утвердительный ответ на него дает теорема немецких математиков Польке К. (1810–1877) и Шварца Г. (1843–1921). Исходя из нее, можно строить изображение многогранников. Для этого нужно выбрать четыре вершины, не лежащие в одной плоскости. Они являются вершинами некоторого тетраэдра. Потом задать произвольным образом изображение этих точек. А уже тогда достраивать изображение всей фигуры, пользуясь свойствами проектирования.

Пример 3. Построить изображение правильного шестиугольника.

 РассмотримправильныйшестиугольникАВСDЕF (рис.214,а). Он обладает свойствами, которые должны сохраняться в его изображениях. Стороны шестиугольника попарно параллельны (АВ ||ЕD, ВС ||ЕF, СD ||АF ). Он имеет центр симметрииО , а отрезки, соединяющие точкуО с вершинами шестиугольника, равны между собой и равняются его стороне. Теперь нетрудно заметить, что достаточно построить изображение параллелограмма (даже ромба)АВСО, чтобы потом достроить к нему изображение всего шестиугольника.

Пусть параллелограмм А 1 В 1 С 1 О 1 является изображением параллелограммаАВСО (это может быть произвольный параллелограмм!). ПродливА 1 О 1 иС 1 О 1 за точкуО 1 так, чтобыО 1 D 1 = А 1 O 1 ,О 1 F 1 =С 1 O 1 , построим параллелограммF 1 О 1 D 1 E 1 (рис. 214, б). По существу, построен параллелограмм, центрально-симметричный параллелограммуА 1 В 1 С 1 О 1 относительно его вершиныО 1 . Соединив точкиА 1 иF 1 , С 1 иD 1 , получим изображение правильного шестиугольника (рис. 214, в).

 Контрольные вопросы

1. Какая из фигур на рис. 215, а)–г) не является изображением квадрата?

2. Какая из фигур на рис. 216, а)–г) не является изображением куба?

3. На каком из рис. 217, а)–г) изображение куба не является правильным?

4. На каком из рис. 218, а)–г) изображение тетраэдра не является правильным?

5. Являетсялипараллельнаяпроекцияфигурыееизображением?

6. Можно ли прямоугольный треугольник считать изображением равнобедренного треугольника?

7. Верно ли, что изображением средней линии треугольника является средняя линия его изображения?

8. Может ли параллелограмм быть изображением трапеции?

9. Может ли треугольник быть изображением тетраэдра?

10. Можно ли тетраэдр изобразить так, чтобы ровно одна его грань была невидимой?

11. Какое наименьшее количество рёбер куба может быть видимыми при изображении? А наибольшее?

12. Какой фигурой является изображение: а) отрезка; б) треугольника; в) трапеции; г) параллелограмма; д) п -угольника?

Графические упражнения

1. Установите, каким граням тетраэдра ABCD, изображенного на рис. 219, принадлежат точкиР ,K, М ?

2. Какие пары из точек X ,Y, Z, Т, указанных на изображении тетраэдра на рис. 220, не лежат в одной грани?

3. Какой фигурой является сечение куба плоскостью, проходящей через точки М, N ,Р , указанные на рис. 221, а)–г)?

174°. Дано изображение равнобедренного треугольника в виде разностороннего треугольника. На этом изображении постройте изображение:

1) биссектрисы угла при вершине;

2) перпендикуляра к основанию, проведенного через середину боковой стороны; 3) ромба, две смежные стороны которого совпадают с боко-

выми сторонами треугольника.

175. Наизображенииравнобедренногопрямоугольноготреугольника постройте изображение квадрата, лежащего в плоскости треугольника, если стороной квадрата является:

1°) катет данного треугольника; 2) гипотенуза данного треугольника.

176. На произвольном изображении равностороннего треугольникаАВС постройте изображение:

1°) точки пересечения высот треугольника; 2°) «описанного» прямоугольника, одна из сторон которого

совпадает с некоторой стороной треугольника, а другая содержит противоположную вершину; 3) биссектрисы внешнего угла треугольника.

177. Дано изображение треугольника и двух его высот. Постройте изображение центра окружности, описанной около этого треугольника.

178. На изображении прямоугольного треугольника, один из острых углов которого равен 60°, постройте изображение: 1) биссектрисы этого угла; 2) высоты, проведенной к гипотенузе;

3) центра вписанной окружности.

179°. Постройте изображение ромба и его высоты, проведенной из вершины угла, величина которого составляет 120°.

180. Постройте изображение квадрата, имея изображение точки пересечения его диагоналей и двух:

1°) соседних вершин; 2*) противоположных вершин. 181. На произвольном изображении равнобокой трапеции, боковая сторона которой равна меньшему основанию, постройте

изображение:

1°) оси симметрии трапеции; 2) вписанного прямоугольника, две вершины которого ле-

жат на большем основании и одна из сторон совпадает с меньшим основанием; 3) центра окружности, касающейся боковых сторон и мень-

шего основания трапеции.

182. Дано изображение равнобокой трапеции, углы при основании которой равны 45°. Постройте изображение:

1) центра окружности, описанной около трапеции;

2*) центра окружности, касающейся меньшего основания и боковых сторон.

183. Дано изображение окружности и одного из его диаметров. Постройте изображение радиусов окружности, перпендикулярных этому диаметру.

184. Дано изображение кубаАВСDА 1 В 1 С 1 D 1 .

1°) Постройте линию пересечения плоскостей DА 1 С 1 иВ 1 D 1 D. 2) Найдите длину отрезка этой линии, содержащегося в кубе, если ребро куба равноа.

3) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через центры трех попарно смежных его граней.

185. Дано изображение тетраэдраАВСD, точкиK ,М иР - серединыDС, АD иВD , соответственно.

1°) Постройте линию пересечения плоскостей АСР иВМK. 2) Найдите длину отрезка этой линии, содержащегося в тетраэдре, если длины всех его рёбер равныа.

3) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки пересечения медиан трех его граней.

186. Постройте сечение тетраэдраSABC плоскостью, проходящей через:

1°) середины рёбер SA, SC иBC ;

2) точку M наAS (AM :AS = 1:2), точкуN наSC (CN :NS = 1:2)

и точку P наBC (CP :PB = 1:2);

3) середины рёбер AS, AB и центр граниSBC ; 4*) центры гранейASB, ABC иBSC.

187. Постройте сечение кубаАВСDА 1 В 1 С 1 D 1 плоскостью, проходящей через:

1) ребро CD и центр граниAA 1 B 1 B ;

2) диагональ A 1 D и центр граниВСС 1 В 1 ;

3*) середины рёбер AD ,CD и точкуВ ;

4*) центры граней CDD 1 C 1 , СВВ 1 С 1 и точкуА .

Упражнения для повторения

188. Две параллельные прямые пересечены третьей прямой. Один из восьми образовавшихся углов равен 50°. Чему равняется каждый из остальных углов?

189. Дан кубАВСDА 1 В 1 С 1 D 1 .

1) Укажите все рёбра, параллельные ребру AA 1 .

2) Докажите, что ребро DC параллельно пересечению плоскостейABC 1 иA 1 B 1 D .

4) Пусть а - произвольный отрезок в грани куба. Постройте отрезок, параллельный отрезкуа , в несмежной грани куба.

Любой параллелограммможет быть изображением данного параллелограмма.