Отрицательные числа (Вольфсон Г.И.). Положительные и отрицательные числа, определение, примеры

Главная

Про природу

Урок

математики

в 6 классе.

Древнегреческий ученый Пифагор говорил: «Числа правят миром».

Мы с вами живем в этом мире чисел, а в школьные годы учимся работать с разными числами.

Актуализация знаний

№ 1

Андрей простудился, и вечером его температура с 36,6 º повысилась на 2,3º. Но утром ему стало легче, и температура снизилась на 1,8º. Какой была температура у Андрея:

А)вечером? Б) утром?

Актуализация знаний

№ 2

Что изображено на рисунке?
Как называется точка О?
Как называется отрезок ОА?
Что показывает стрелка?

Продолжите предложения

Координатный луч – это …
Начало отсчета обозначают - …
Положительное направление- …
Единичным отрезком называют - …
Координаты точек А, К, Р соответственно равны -…
С помощью координатного луча можно …

Актуализация знаний

Распределить информацию в три колонки

Меньше нуля

Равно нулю

Больше нуля

1. Убытки компании составили 1000 000 руб., а через несколько лет компания получила прибыль 500 000 руб.

2. Летом средняя температура воздуха 25 ºС тепла, а зимой – 20 ºС мороза.

3. Уровень моря.

4. Долина смерти находится на 86 м ниже уровня моря и здесь было зафиксировано 57 ºС тепла.

5. Шкала термометра состоит из двух частей – красной и синей.

6. По мере восхождения на гору Эльбрус, высота которой 5 642 м над уровнем моря, температура может опуститься до 30 ºС ниже нуля.

7. Долгое время одни числа называли «долг», «недостача», а другие «имущество».

8. Нулевая отметка на шкале градусника.

Положительные

отрицательные

числа

Формируемые результаты

Предметные: сформировать представление об отрицательных числах, ввести понятие отрицательного числа, положительного числа, чисел с разными знаками.

Личностные : формировать интерес к изучению темы и желание применять приобретенные знания и умения.

Метапредметные: формировать первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки, о средстве моделирования явлений и процессов.

При изложении нового материала,

вам необходимо заполнить таблицу

Теоретический материал

Понимаю/не понимаю (+ / -)

1. Числа, больше нуля, называют положительными.

Вопрос к учителю

2. Числа, меньше нуля, называют отрицательными.

3. Числа со знаком « + » называют положительными.

4. Числа со знаком « - » называют отрицательными.

5. Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

Окружающий мир настолько сложен и разнообразен. Натуральных и дробных чисел бывает недостаточно, чтобы измерить некоторые величины, описать многие события.

Ребята, какое время года сейчас?

Чем отличается погода летом и зимой?

А как вы узнали, что на улице холодно?

С помощью какого прибора?

Давайте рассмотрим термометр.

Что изображено на термометре?

Как расположены числа?

Историческая справка

Понятие об отрицательных числах возникло в практике очень давно, причем при решении таких заданий, где из меньшего числа приходилось вычитать большее число. Египтяне, вавилоняне, а также древние греки не знали отрицательных чисел и для производства вычислений математики того времени пользовались счетной доской. А так как знаков «плюс» и «минус» не существовало, то они на этой доске положительные числа отмечали красными счетными палочками, а отрицательные – синими. И отрицательные числа долгое время назывались словами, которые означали долг, недостача, а положительные трактовались как имущество.

Древнегреческий ученый Диофант вообще не признавал отрицательных чисел, и если при решении у него получался отрицательный корень, то он отбрасывал его как недоступный.

Историческая справка

Совершенно по-другому относились к отрицательным числам древнеиндийские математики: они признавали существование отрицательных чисел, но относились к ним с некоторым недоверием, считая их своеобразными, не совсем реальными.

Не одобряли их долго и европейцы, потому что истолкование имущество – долг вызывало недоумение и сомнение. Действительно, можно складывать и вычитать имущество – долг, а как умножать и делить? Это было непонятно и нереально.

Всеобщее признание отрицательные числа получили в первой половине XIX века. Была создана теория, по которой мы сейчас и изучаем отрицательные числа.

Координатная прямая

Проведём прямую. Отметим на ней точку 0 (ноль) и примем эту точку за начало отсчёта.

Укажем стрелкой направление движения по прямой вправо от начала координат. В этом направлении от точки 0 будем откладывать положительные числа.

Отложив единичный отрезок влево от начала отсчёта получим отрицательные числа: -1; -2; и т.д.

Координатная прямая

Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

Прямая, на которой отмечено:

Начало отсчёта (точка 0);

Единичный отрезок;

Стрелкой указано положительное направление;

называется координатной прямой или числовой осью.

З А П О М Н И!

Числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными числами. Соответствующие им точки числовой (координатной) оси симметричны относительны начала отсчёта.

Каждое число имеет единственное противоположное ему число. Только число 0 не имеет противоположного, но можно сказать, что оно противоположно самому себе..

Запись «-a» означает число, противоположное «a» . Помните, что под буквой может скрываться как положительное число, так и отрицательное число.

5 - число противоположное числу 5.

Записываем в виде выражения:

З А П О М Н И!

Если одно число положительное, а другое отрицательное, то о таких числах говорят,

что они имеют разные знаки.

Если оба числа положительны или оба числа отрицательны, то они имеют одинаковые знаки.

Первичное закрепление

нового материала

Какие из чисел

7; 23; -89; ⅜; - 4⅔; -5,4; 9⅞; 0; 10; -14;

А) являются положительными;

Б) являются отрицательными;

В) не являются ни положительными, ни отрицательными;

Г) натуральными числами;

Запишите с помощью знаков «+» и «-» информацию Гидрометцентра:

а) 18º тепла; в) 12º ниже нуля;

б) 7º мороза; г) 16º выше нуля.

а) + 18 ; б) – 7 ; в) – 12 ; г) + 16 или 16

Запишите шесть отрицательных дробей со знаменателем 5.

№ 1

Повторение

В парке растет 150 кленов, дубов больше на 2/15 количества кленов, березы составляют 23/34 количества дубов, а липы – 20/87 общего количества кленов, дубов и берез.

Сколько всего указанных деревьев растет в парке?

№ 2

Повторение

Итог урока

С какими числами сегодня познакомились?
С помощью какого символа обозначают отрицательные числа? Положительные числа?
Каким числом является нуль?
О каких двух числах говорят, что они имеют разные знаки? Одинаковые знаки?

Домашнее задание

вопросы 1 – 3,

Положительные и отрицательные числа
Координатная прямая
Проведём прямую. Отметим на ней точку 0 (ноль) и примем эту точку за начало отсчёта.

Укажем стрелкой направление движения по прямой вправо от начала координат. В этом направлении от точки 0 будем откладывать положительные числа.

То есть положительными называют уже известные нам числа, кроме нуля.

Иногда положительные числа записывают со знаком «+». Например, «+8».

Для краткости записи знак «+» перед положительным числом обычно опускают и вместо «+8» пишут просто 8.

Поэтому «+3» и «3» - это одно и тоже число, только по разному обозначенное.

Выберем какой-либо отрезок, длину которого примем за единицу и отложим его несколько раз вправо от точки 0. В конце первого отрезка записывается число 1, в конце второго - число 2 и т.д.

Отложив единичный отрезок влево от начала отсчёта получим отрицательные числа: -1; -2; и т.д.

Отрицательные числа используют для обозначения различных величин, таких как: температура (ниже нуля), расход - то есть отрицательный доход, глубина - отрицательная высота и другие.

Как видно из рисунка, отрицательные числа - это уже известные нам числа, только со знаком «минус»: -8; -5,25 и т.д.

Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

Числовую ось обычно располагают горизонтально или вертикально.

Если координатная прямая расположена вертикально, то направление вверх от начала отсчёта обычно считают положительным, а вниз от начала отсчёта - отрицательным.

Стрелкой указывают положительное направление.

Прямая, на которой отмечено:
. начало отсчёта (точка 0);
. единичный отрезок;
. стрелкой указано положительное направление;
называется координатной прямой или числовой осью.

Противоположные числа на координатной прямой
Отметим на координатной прямой две точки A и B, которые расположены на одинаковом расстоянии от точки 0 справа и слева соответственно.

В таком случае длины отрезков OA и OB одинаковы.

Значит, координаты точек A и B отличаются только знаком.

Также говорят, что точки A и B симметричны относительно начала координат.
Координата точки A положительная «+2», координата точки B имеет знак минус «-2».
A (+2), B (-2).

Числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными числами. Соответствующие им точки числовой (координатной) оси симметричны относительны начала отсчёта.

Каждое число имеет единственное противоположное ему число . Только число 0 не имеет противоположного, но можно сказать, что оно противоположно самому себе.

Запись «-a» означает число, противоположное «a». Помните, что под буквой может скрываться как положительное число, так и отрицательное число.

Пример:
-3 - число противоположное числу 3.

Записываем в виде выражения:
-3 = -(+3)

Пример:
-(-6) - число противоположное отрицательному числу -6. Значит, -(-6) это положительное число 6.

Записываем в виде выражения:
-(-6) = 6

Сложение отрицательных чисел
Сложение положительных и отрицательных чисел можно разобрать с помощью числовой оси.

Сложение небольших по модулю чисел удобно выполнять на координатной прямой, мысленно представляя себе как точка, обозначающая число передвигается по числовой оси.

Возьмём какое-нибудь число, например, 3. Обозначим его на числовой оси точкой A.

Прибавим к числу положительное число 2. Это будет означать, что точку A надо переместить на два единичных отрезка в положительном направлении, то есть вправо . В результате мы получим точку B с координатой 5.
3 + (+ 2) = 5

Для того чтобы к положительному числу, например, к 3 прибавить отрицательное число (- 5), точку A надо переместить на 5 единиц длины в отрицательном направлении, то есть влево .

В этом случае координата точки B равна - 2.

Итак, порядок сложения рациональных чисел с помощью числовой оси будет следующим:
. отметить на координатной прямой точку A с координатой равной первому слагаемому;
. передвинуть её на расстояние, равное модулю второго слагаемого в направлении, которое соответствует знаку перед вторым числом (плюс - передвигаем вправо, минус - влево);
. полученная на оси точка B будет иметь координату, которая будет равна сумме данных чисел.

Пример.
- 2 + (- 6) =

Двигаясь от точки - 2 влево (так как перед 6 стоит знак минус), получим - 8.
- 2 + (- 6) = - 8

Сложение чисел с одинаковыми знаками
Складывать рациональные числа можно проще, если использовать понятие модуля.

Пускай нам нужно сложить числа, которые имеют одинаковые знаки.
Для этого, отбрасываем знаки чисел и берём модули этих чисел. Сложим модули и перед суммой поставим знак, который был общим у данных чисел.

Пример.

Пример сложения отрицательных чисел.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5

Чтобы сложить числа одного знака надо сложить их модули и поставить перед суммой знак, который был перед слагаемыми.

Сложение чисел с разными знаками
Если числа имеют разные знаки, то действуем несколько по-иному, чем при сложении чисел с одинаковыми знаками.
. Отбрасываем знаки перед числами, то есть берём их модули.
. Из большего модуля вычитаем меньший.
. Перед разностью ставим тот знак, который был у числа с бóльшим модулем.

Пример сложения отрицательного и положительного числа.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5

Пример сложения смешанных чисел.

Чтобы сложить числа разного знака надо:
. из бóльшего модуля вычесть меньший модуль;
. перед полученной разностью поставить знак числа, имеющего больший модуль.

Вычитание отрицательных чисел
Как известно вычитание - это действие, противоположное сложению.
Если a и b - положительные числа, то вычесть из числа a число b, значит найти такое число c, которое при сложении с числом b даёт число a.
a - b = с или с + b = a

Определение вычитания сохраняется для всех рациональных чисел. То есть вычитание положительных и отрицательных чисел можно заменить сложением.

Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.

Или по другому можно сказать, что вычитание числа b - это тоже самое сложение, но с числом противоположным числу b.
a - b = a + (- b)

Пример.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2

Пример.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2

Стоит запомнить выражения ниже.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Правила вычитания отрицательных чисел
Как видно из примеров выше вычитание числа b - это сложение с числом противоположным числу b.
Это правило сохраняется не только при вычитании из бóльшего числа меньшего, но и позволяет из меньшего числа вычесть большее число, то есть всегда можно найти разность двух чисел.

Разность может быть положительным числом, отрицательным числом или числом ноль.

Примеры вычитания отрицательных и положительных чисел.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Удобно запомнить правило знаков, которое позволяет уменьшить количество скобок.
Знак «плюс» не изменяет знака числа, поэтому, если перед скобкой стоит плюс, то знак в скобках не меняется.
+ (+ a) = + a

+ (- a) = - a

Знак «минус» перед скобками меняет знак числа в скобках на противоположный.
- (+ a) = - a

- (- a) = + a

Из равенств видно, что если перед и внутри скобок стоят одинаковые знаки, то получаем «+», а если знаки разные, то получаем «-».
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0

Правило знаков сохраняется и в том случае, если в скобках не одно число, а алгебраическая сумма чисел.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n

Обратите внимание, если в скобках стоит несколько чисел и перед скобками стоит знак «минус», то должны меняться знаки перед всемичислами в этих скобках.

Чтобы запомнить правило знаков можно составить таблицу определения знаков числа.
Правило знаков для чисел

Или выучить простое правило.

Минус на минус даёт плюс,
Плюс на минус даёт минус.

Умножение отрицательных чисел
Используя понятие модуля числа, сформулируем правила умножения положительных и отрицательных чисел.

Умножение чисел с одинаковыми знаками
Первый случай, который может вам встретиться - это умножение чисел с одинаковыми знаками.
Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками надо:
. перемножить модули чисел;
. перед полученным произведением поставить знак «+» (при записи ответа знак «плюс» перед первым числом слева можно опускать).

Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6

Умножение чисел с разными знаками
Второй возможный случай - это умножение чисел с разными знаками.
Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо:
. перемножить модули чисел;
. перед полученным произведением поставить знак «-».
Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4

Правила знаков для умножения
Запомнить правило знаков для умножения очень просто. Данное правило совпадает с правилом раскрытия скобок.

Минус на минус даёт плюс,
Плюс на минус даёт минус.

В «длинных» примерах, в которых есть только действие умножение, знак произведения можно определять по количеству отрицательных множителей.

При чётном числе отрицательных множителей результат будет положительным, а при нечётном количестве - отрицательным.
Пример.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =

В примере пять отрицательных множителей. Значит, знак результата будет «минус».
Теперь вычислим произведение модулей, не обращая внимание на знаки.
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728

Конечный результат умножения исходных чисел будет:
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728

Умножение на ноль и единицу
Если среди множителей есть число ноль или положительная единица, то умножение выполняется по известным правилам.
. 0 . a = 0
. a . 0 = 0
. a . 1 = a
Примеры:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
Особую роль при умножении рациональных чисел играет отрицательная единица (- 1).

При умножении на (- 1) число меняется на противоположное.

В буквенном выражении это свойство можно записать:
a . (- 1) = (- 1) . a = - a

При совместном выполнении сложения, вычитания и умножения рациональных чисел сохраняется порядок действий, установленный для положительных чисел и нуля.

Пример умножения отрицательных и положительных чисел.

Деление отрицательных чисел
Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление - это действие, обратное умножению.

Если a и b положительные числа, то разделить число a на число b, значит найти такое число с, которое при умножении на b даёт число a.

Данное определение деления действует для любых рациональных чисел, если делители отличны от нуля.

Поэтому, например, разделить число (- 15) на число 5 - значит, найти такое число, которое при умножении на число 5 даёт число (- 15). Таким числом будет (- 3), так как
(- 3) . 5 = - 15

значит

(- 15) : 5 = - 3

Примеры деления рациональных чисел.
1. 10: 5 = 2, так как 2 . 5 = 10
2. (- 4) : (- 2) = 2, так как 2 . (- 2) = - 4
3. (- 18) : 3 = - 6, так как (- 6) . 3 = - 18
4. 12: (- 4) = - 3, так как (- 3) . (- 4) = 12

Из примеров видно, что частное двух чисел с одинаковыми знаками - число положительное (примеры 1, 2), а частное двух чисел с разными знаками - число отрицательное (примеры 3,4).

Правила деления отрицательных чисел
Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.
Итак, чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, надо:

. перед результатом поставить знак «+».
Примеры деления чисел с одинаковыми знаками:
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2

Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо:
. модуль делимого разделить на модуль делителя;
. перед результатом поставить знак «-».
Примеры деления чисел с разными знаками:
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
Для определения знака частного можно также пользоваться следующей таблицей.
Правило знаков при делении

При вычислении «длинных» выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления дроби

Можно обратить внимание, что в числителе 2 знака «минус», которые при умножении дадут «плюс». Также в знаменателе три знака «минус», которые при умножении дадут «минус». Поэтому в конце результат получится со знаком «минус».

Сокращение дроби (дальнейшие действия с модулями чисел) выполняется также, как и раньше:

Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю.
0: a = 0, a ≠ 0
Делить на ноль НЕЛЬЗЯ!

Все известные ранее правила деления на единицу действуют и на множество рациональных чисел.
. а: 1 = a
. а: (- 1) = - a
. а: a = 1
, где а - любое рациональное число.

Зависимости между результатами умножения и деления, известные для положительных чисел, сохраняются и для всех рациональных чисел (кроме числа нуль):
. если a . b = с; a = с: b; b = с: a;
. если a: b = с; a = с. b; b = a: c
Данные зависимости используются для нахождения неизвестного множителя, делимого и делителя (при решении уравнений), а также для проверки результатов умножения и деления.

Пример нахождения неизвестного.
x . (- 5) = 10

x = 10: (- 5)

x = - 2

Знак «минус» в дробях
Разделим число (- 5) на 6 и число 5 на (- 6).

Напоминаем, что черта в записи обыкновенной дроби - это тот же знак деления, и запишем частное каждого из этих действий в виде отрицательной дроби.

Таким образом знак "минус" в дроби может находиться:
. перед дробью;
. в числителе;
. в знаменателе.

При записи отрицательных дробей знак «минус» можно ставить перед дробью, переносить его из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель.

Это часто используется при выполнении действий с дробями, облегчая вычисления.

Пример. Обратите внимание, что после вынесения знака «минуса» перед скобкой мы из большего модуля вычитаем меньший по правилам сложения чисел с разными знаками.

Используя описанное свойство переноса знака в дроби, можно действовать, не выясняя, модуль какого из данных дробных чисел больше.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель: закрепить умения и навыки в действиях с положительными и отрицательными числами.

Задачи:

Повторить понятия положительных и отрицательных чисел; закрепить навыки выполнения действий с положительными и отрицательными числами.
Способствовать воспитанию интереса к предмету через нетрадиционную форму проведения урока.
Развивать логическую смекалку, творческое мышление.

Тип урока: урок повторения и закрепления знаний учащихся с использованием ИТ.

Формы организации учебной деятельности: коллективная, индивидуальная.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация PowerPoint, набор индивидуальных карточек (приложение 1 , приложение 2 ), аудиофайлы с музыкой.

Ход урока

I. Организационный момент.

Я рада видеть каждого из вас
И пусть весна прохладой в окна дышит
Нам будет здесь уютно, ведь наш класс
Друг друга любит, чувствует и слышит.

– Сегодня в нашей школе открыт научно-исследовательский институт. На месте кабинетов организованны лаборатории, а все учащиеся школы его научные сотрудники. В кабинете математики открыта лаборатория № 1. Заведующей лабораторией назначили меня. И сегодня мы с вами повторим, обобщим и систематизируем знания, полученные вами на предыдущих занятиях.

– Для работы мне понадобятся помощники – старшие научные сотрудники – которые будут помогать мне в течение урока. Это Рината и Ирина.

– А теперь в ваших журналах наблюдения – рабочих тетрадях – запишем число, классная работа, тема исследования: «Положительные и отрицательные числа».

II. Устная работа.

– В нашу лабораторию поступило сообщение. Прочитайте его.

«В архиве нашего института произошел сбой системы. Потерялись многие сведения. Чтобы их восстановить, нужны специалисты в области положительных и отрицательных чисел. Помогите»

– Мы с вами уже изучили положительные и отрицательные числа, много действий умеем с ними делать. Мы в какой-то мере являемся специалистами в этой области, как вы думаете? {Да}

– Поможем? {Да}

– Раз мы будем помогать восстанавливать утраченные сведения, то мы должны пройти испытания: все ли готовы совершить эту важную миссию.

– Ответим на несколько вопросов.

Скажите пожалуйста какое перед нами число? {Число – 32}
Как называется это число? {Это число отрицательное}
А где расположено это число на координатной прямой? {Это число на координатной прямой расположено слева от нуля}
А какие числа называются отрицательными? {Отрицательными числами называются числа, которые расположены на координатной прямой слева от нуля}
Мы говорим о координатной прямой. А какая прямая называется координатной? {Координатной прямой называется прямая, на которой есть начало отсчета, единичный отрезок и направление}
Назовите два целых соседних с данным числа. {– 31 и – 33}
А какое число будет противоположно данному? {Число 32}
А какие числа называются противоположными? {Противоположными называются числа, которые отличаются друг от друга только знаками}
Чему равен модуль данного числа? {Модуль данного числа равен 32}
А что называется модулем числа? {Модулем числа называется расстояние от начала отсчета до точки на координатной прямой}

– Ну что ж с заданием все справились. Значит, можем продолжить восстанавливать потерянные сведения.

III. Задания на сравнение чисел и выполнение действий с модулями чисел.

– Выполним следующее задание: Расставьте синие числа в порядке возрастания, а красные – в порядке убывания.

2,3		0,1	5
- 7		- 8	- 3,5
	- 4,2	1,4

– А теперь проверим, что у вас получилось. {Синие: - 8; - 7; - 4,2; - 3,5; ; ; Красные: ; 5; ; 2,3; 1,4; 0,1}

– Молодцы. С этим заданием вы справились.

– Теперь возьмите желтые листы. На них вы видите схему, по которой нужно найти значение выражения. I вариант выполняет первое задание, II вариант выполняет второе задание. А так как мы все сотрудники одной лаборатории, то и ответ вы найдете вместе.

– Проверим ваши ответы. {Ответ: 28}

IV. Историческая справка.

– Сейчас сядьте поудобнее, можно немножко расслабится, подготовится к следующим серьезным заданиям и прослушать небольшую историческую справку.

Всеобщее признание отрицательные числа получили в первой половине XIX века. Была создана теория, по которой мы сейчас и изучаем отрицательные числа.

– Скажите, пожалуйста, а эти определения отрицательных и положительных чисел как имущество и долг сейчас в нашем современном мире просматриваются? Как вы думаете? {Ответы учащихся}

– Ну вот, мы восстановили еще немного информации об отрицательных числах.

V. Практические задания.

– Все научно-исследовательские институты решают задачи, которые потом применяются на практике. Сейчас мы тоже решим несколько задач, в которых увидим, где применяются отрицательные числа.

Задача 1. Птица клест-еловик несет яйца и высиживает птенцов зимой. Даже при температуре воздуха – 35°С в гнезде температура не ниже 14°С. На сколько температура в гнезде выше температуры воздуха?

Чтобы определить на сколько температура в гнезде больше, чем температура воздуха, нужно от 14 отнять – 35.

1) 14 – (- 35) = 14 + 35 = 49°С – температура в гнезде больше.

Ответ: на 49°С.

Задача 2. Шмели выдерживают температуру до – 7,8°С, пчелы – выше этой на 1,4°С. Какую температуру выдерживают пчелы?

Чтобы найти на какую температуру выдерживают пчелы, нужно к числу – 7,8 прибавить число 1,4.

1) – 7,8 + 1,4 = - (7,8 – 1,4) = - 6,4 °С выдерживают пчелы.

Ответ: - 6,4°С.

– Молодцы. С этим заданием вы тоже справились.

VI. Релаксация.

– Как и у каждого учреждения у нас перерыв.

– Сядьте посвободнее, закройте глаза, расслабьтесь. На улице весна. Ярче светит солнышко. Звенит капель. Побежали ручейки и стали появляться проталины. На проталинах робко выглядывает и тянется к солнышку зеленая трава. С юга потянулись стаи птиц. Лучик солнца скользит по вашим лицам. От этого вам тепло и уютно, вы чувствуете себя отдохнувшими и полными свежих сил и энергии.

– А теперь откройте глаза. Перерыв окончен.

VII. Тестовая работа.

– Пока вы отдыхали, я узнала, что руководство НИИ решило провести тестирование научных сотрудников.

– Перед вами лежат бланки с тестами. Подпишите их. В этом тестовом задании вам нужно выбрать правильный вариант ответа и обвести его кружочком.

– Все готовы? Тогда начинаем.

– Время закончилось. Я попрошу старших научных сотрудников собрать бланки с тестами.

VIII. Итог урока.

– Вот и закончился рабочий день в нашем научно-исследовательском институте. Мы помогли восстановить потерянные сведения о положительных и отрицательных числах.

– Придете вы сегодня домой, к своим родителям и что вы скажете? Продолжите, пожалуйста, фразу: «Сегодня на уроке математики я …»

– А я сегодня, когда приду домой скажу своим родственникам, что сегодня на уроке математики я еще раз убедилась какие у меня замечательные, дружные, умные ученики.

– А сегодня у нас урок закончился. Спасибо. До свидания.

Урок - Математика 6 класс

Тема: Положительные и отрицательные числа. Число 0.

Цели урока:

Образовательная: Познакомить учащихся с отрицательными числами, «открыть» множество отрицательных чисел. Применение отрицательных чисел.,сформировать понятия отрицательного и положительного числа.

Развивающая: развивать память, речь, наблюдательность подмечать закономерность обобщать проводить суждения по аналогии умения работать с учебником, развитие логического мышления.

Воспитательная: воспитание дисциплины, аккуратности, настойчивости, ответственного отношения к учебе.

Тип урока: изучение нового материала.

Формы работы: индивидуальная, групповая

Ход урока.

1. Орг. момент.

2. Мотивация урока.

Раз, два, три, четыре, пять,

Шесть, семь, восемь, девять, десять.

Возникнув в глубокой древности из практических потребностей счёта и простейших измерений, математика развивалась в связи с усложнением хозяйственной деятельности и социальных отношений, денежными расчётами, задачами измерений расстояний, времени, площадей и требованиями, которые предъявляли к ней другие науки.

Сегодня мы с вами познакомимся с новыми числами.

3. Актуализация опорных знаний.

Ребята! Сегодня на уроке мы работаем по следующим правилам в течение урока мы заполним таблицу « Знаю - Хочу знать - Узнал.» Или сокращенно «ЗХУ»

(Перед каждым ребенком на столе заготовка таблицы.)

ХОЧУ ЗНАТЬ

Примерная таблица, которая может получиться после предложений учащихся.

ХОЧУ ЗНАТЬ

4. Изучение нового материала.

Ребята, какое время года сейчас? Чем отличается погода летом и зимой? А как вы узнали, что на улице холодно? С помощью какого прибора? Давайте рассмотрим термометр. Что изображено на термометре? Как расположены числа?

Положительные и отрицательные числа используются не только в математике, но и в географии. К ХХ веку почти вся Земля была исследована. Куда же перенесли свои исследования ученые и путешественники? (дно Мирового океана)

Что обнаружили ученые? Каков рельеф дна? Похожи ли рельефы поверхности Земли и дна Мирового океана?

Если нужно измерить высоту горы или глубину океана, от какой точки надо начинать отсчет? (от уровня воды океана)

Если представить это в виде вертикальной шкалы, то нулевая точка это и есть уровень воды океана.

В каком направлении будут измеряться высоты гор?

Какими числами? (положительными)

Какую самую большую положительную величину на Земле вы знаете? (вершина Джомолунгма +8848 м)

В каком направлении будут измеряться глубины океана?

Историческая справка.

– Сейчас сядьте поудобнее, можно немножко расслабиться, подготовиться к следующим серьезным заданиям и прослушать небольшую историческую справку.

5. Закрепление нового материала.

Задание №1

Мы выполним тест «Верно, неверно» с сигнальными карточками. Если верно поднимаем карточку +, если неверно -.

Подводим итоги, раздавая жетоны за верные ответы.

Верно ли, что речь идет об отрицательных числах:

Сегодня мороз 10 0 С.

Глубина Черного моря 5500 метров.

Рост Пети Иванова 130 сантиметров.

Компания «Восток» должна банку 2000000 рублей.

Мама купила 1,5 килограмма конфет.

Маша потратила 40 тенге на покупку ручки

ОТВЕТЫ:

Задание №2

Положительные и отрицательные числа и история.

Знакомые из истории фразы:

«Пифагор жил в VI веке до нашей эры»;

«Русь находилась под игом монголо-татар в течении XIII -XV веков нашей эры»;

«Олимпиада в Сочи состоялась в 2014 году»;

Эти даты отмечены на шкале времени:

. 2014

XIII – XV вв.

РОЖДЕСТВО ХРИСТОВО

ДО НАШЕЙ ЭРЫ

VI в. до н.э.

Ответьте на вопросы:

а) Каким математическим знаком можно

заменить слова: «до нашей эры», «нашей эры»?

б) Каким числом можно заменить год

«Рождества Христова»?

Запишите используя знаки числа встретившиеся в тексте

а) Кто жил раньше: Пифагор или Архимед,

если Архимед жил в 287-212 гг. до нашей эры?

б) Сколько лет жил Архимед?

Римский император Август жил с 63 года

до нашей эры по 14 год нашей эры.

В каком возрасте умер император?

Линия времени

В древности года в разных странах считали по- разному. Например, в Древнем Египте каждый раз, когда начинал править новый царь, счет лет начинал править новый царь, счет лет начинался заново, римляне первым годом считали год основания своего города. Такой счет прошедших лет был неудобен для определения важных исторических событий. Возникла необходимость во всех странах начать вести счет времени от данного события. В это время христианская религия, вера в Иисуса Христа распространилась во многих странах. Один из верующих предложил вести счет лет от рождения Иисуса. Время, исчисляемое от Рождества Христова стали называть наша эра. Продолжается наша эра две тысячи лет. Время, исчисляемое до Рождества Христова - до нашей эры.

А теперь ребята, что вам интересно, и что вы хотите узнать по данной теме. Заполните в группах вторую графу таблицы. Работаем в парах

Учитель записывает варианты учащихся в таблицу

Примерная таблица.

ХОЧУ ЗНАТЬ

1. Знаем, что такое положительные числа

2. Знаем, как записываются положительные числа

3. Знаем, как выполнять действия с положительными числами

4. Знаем, как изображаются положительные числа на координатном луче

Чтобы найти ответы на свои вопросы выполним следующие задания.

2. Практическая работа.№1 По модели градусника покажите температуру и запишите ее с помощью отрицательных и положительных чисел.

5 0 С выше нуля

6 0 С ниже нуля

3 0 С ниже нуля

10 0 С тепла

4 0 С мороза

Запись в тетради: 5 0 С, -6 0 С, 0 0 С, -3 0 С, 10 0 С, -4 0 С. (фронтальная проверка)

Физкультминутка

У каждого из вас есть карточка с числом

По команде поднимаются только те, у кого в руках положительные числа и встают в ряд,а затем рядом по парно отрицательные числа слева от положительного числа, число которое осталось без пары встает по середине между парой чисел.

12; 66; 15; 7; 19; 0

Какое число осталось бес пары?

Практическая работа.№2

на нахождение положительных и отрицательных чисел

– Выполним следующее задание: обведите синим цветом отрицательные числа, а красным положительные числа.

– Молодцы. С этим заданием вы справились.

Практическая работа.№3

Работа с физической картой мира . Найдите высоты гор, глубины морей и запишите величины с помощью положительных и отрицательных чисел.

г. Эльбрус

г. Эверест

пик Победы

Каспийское море

Средиземное море

Запись в тетради: 6000м, 8000м, 7500м, -1000м, -5500м. (фронтальная проверка)

Рефлексия

Возвращаемся к таблице и заполняем третью графу, что вы узнали в течение урока. Работаем в парах

Учащиеся высказывают свои мнения. Учитель фиксирует в таблице ответы учащихся.

Примерная таблица, которая может получиться после высказываний учащихся.

ХОЧУ ЗНАТЬ

1. Знаем, что такое положительные числа

1. Что такое отрицательные числа.

1. Числа со знаком – называются отрицательные

2. Знаем, как записываются положительные числа

2. Как записываются отрицательные числа

2. Отрицательные числа записываются с помощью знака -.

3. Знаем, как выполнять действия с положительными числами

3. Как выполнять действия с отрицательными числами

4. Знаем, как изображаются положительные числа на координатном луче

4. Как изобразить отрицательные числа на координатном луче

4. Отрицательные числа изображаются на координатной прямой.

5. Где встречаются отрицательные числа

Отрицательные числа встречаются в географии.

6. Как возникли отрицательные числа

Учитель: Ребята! А на какие вопросы вы не нашли ответов?

Высказывания учащихся, коллективное обсуждение.

Положительные отрицательные.

Положительные - со знаком плюс Отрицательные- с минусом

вправо от нуля влево от нуля.

Северо – Казахстанская область

Айыртауский район

КГУ « Всеволодовская неполная средняя школа»

Открытый урок

математики

«Положительные

и отрицательные числа.

Координатная прямая.»

6 класс

Учитель

математики и физики

Брыкина Лариса Васильевна

Тип урока: урок формирования новых знаний

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая .

Цель урока:

Формирование понятия положительного и отрицательного чисел с навыком работы на координатной прямой.

Задачи:

- обучающие:

“открыть” множество отрицательных чисел, определить их место на координатной прямой, ввести обозначение отрицательных чисел, научить применять их при решении задач межпредметного характера, анализировать и систематизировать знания об изученных числах

- развивающие:

учить анализировать собственные умения, причины затруднений при выполнении задания, находить новые способы решения, развивать способности к оценке продуктивности собственной деятельности

- воспитательные:

развивать творческую активность учащихся, интерес к предмету.

Используемые педагогические технологии, методы и приёмы:

деятельностный метод, информационно-коммуникационные технологии, здоровьесберегающие технологии.

Необходимое техническое оборудование и дидактические средства: компьютер учителя, презентация по данной теме, модель термометра, сигнальные карточки, карточки для индивидуальной работы, математическое лото, оценочные листы.

Ход урока.

1. Организация учебного процесса .

– Здравствуйте дети! У нас сегодня праздник. К нам пришли гости. А с каким настроением мы их встречаем? (Сигнальные карточки)

2. Постановка темы и цели занятия.

Древнегреческий ученый Пифагор говорил: «Числа правят миром». Мы с вами живем в этом мире чисел, а в школьные годы учимся работать с разными числами. (Слайд 2)

Вот и сегодня мы начинаем изучать новые, пока неизвестные для вас числа.

А для того, чтобы сформулировать тему нашего урока мы ответим на несколько вопросов и попробуем определить, а что в ответах на эти вопросы общего? (Слайд 3)

1)Назовите героев русских сказок.

Разделите их на две группы. Как можно назвать героев каждой группы? (положительные и отрицательные). (Слайд 4)

Какая температура сегодня на улице? (-10) (Слайд 5)

Как называются такие числа? (отрицательные). Какая летом температура?

Какая тема урока?

Какие задачи урока мы должны решить при изучении этой темы? (Чему мы должны научиться?)

Уметь распознавать положительные и отрицательные числа и записывать их.

Уметь изображать положительные и отрицательные числа на координатной прямой.

(Слайд 6)

3. Актуализация новых знаний. (Слайды 7-12)

Фронтальная работа с использованием сигнальных карточек.

(За каждый правильный ответ – звезда.)

Какие числа вы уже знаете?

Натуральные числа.

Обыкновенные дроби.

Десятичные дроби.

Смешанные числа

2) Найти натуральные числа из перечисленных:

3) Найти натуральные числа из перечисленных:

4) Найти обыкновенные дроби среди данных чисел:

5) Найти обыкновенные дроби среди данных чисел:

6) С какими числами вы пока не сталкивались? (Слайд 13)

1) 15 ; 2879; 15970;

2) -120; -5; -21

3) 8 𝟑/𝟒 ;𝟎,𝟐; 𝟕/𝟗

Вот об этих числах сегодня и пойдет речь.

3. Изучение нового материала.

Где используется в жизни понятие положительного и отрицательного числа?

При измерении температуры воздуха. (Слайды 14, 15, 16)

Первая задача: узнавать положительные и отрицательные числа. Как будем узнавать их? Предлагайте свои способы.

Если перед числом стоит знак « - » , то это число отрицательное. А если перед числом стоит знак «+» или никакого знака нет, то это число положительное.

Где еще используют понятие положительного и отрицательного числа? (Слайд 16)

По телевизору показывают прогноз погоды.

Кокчетав
Петропавловск


Саумалколь
Караганда

О чем говорит запись: Петропавловск – 9, Алматы + 13?

9 градусов мороза, 13 градусов тепла.

С помощью какого прибора определяют температуру воздуха?

С помощью термометра.

Работа с макетом термометра

Отметьте на термометре - 20 градусов; - 10 градусов; - 5 градусов. Где они расположены?

Ниже 0. Отрицательные числа на термометре расположены ниже 0.

На термометре покажите, какая температура в Сочи - 15 градусов тепла, в Алматы - 20.

Что можно сказать про эти числа?

Положительные числа на термометре расположены выше 0.

К каким числам отнесем 0?

Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным. На термометре 0 является точкой отсчета.

Положительные и отрицательные числа (Слайд 18)

Где еще применяется понятие «Положительные и отрицательные числа» (Слайд 19)

Ребята, а в математике как изображаются числа?

На координатном луче.

А вы помните, как изображать числа на координатном луче? Кто сможет рассказать об этом? (Слайд 20)

Берем луч, идущий слева направо. Начало луча обозначим 0. От нуля откладываем единичные отрезки. Длина единичного отрезка может быть любой. Например, 1 клетка тетради, 1см. Как отметить число 1, 3, 7?

А как изобразить число – 1, -3, -7?

Дополним луч до прямой. Левее от 0 откладываем отрезки, равные единичному отрезку и отмечаем отрицательные числа, начиная от нуля. Чтобы отметить число - 1, отсчитываем от 0 влево один единичный отрезок, ставим точку В. Пишем - В(- 1).

Чем отличаются координатный луч и координатная прямая?

Луч имеет начало, но не имеет конца, а прямая не имеет ни начала, ни конца.

На координатной прямой можно отметить отрицательные числа.

Координатный луч имеет направление, а для координатной прямой надо выбрать направление. Отмечают стрелкой положительное направление.

Ребята, давайте попытаемся дать определение координатной прямой . Горизонтальная и вертикальная координатные прямые.

Прямая с выбранным началом отсчета, единичным отрезком и положительным направлением называется координатной прямой. (Слайд 20, 21)

4) Физминутка

Настало время восстановить тонус,с помощью физкультминутки мы не только проведем профилактику остеохондроза, но и разберемся где мы используем понятие положительных и отрицательных чисел в жизни. Появляется понятие, если оно положительное,то киваем головой «Да»,а если отрицательное-«Нет». Распрямили все спинки. Начали

Глубина реки

высота горы

школьная оценка -5

школьная оценка-2

Надеюсь, что по новой теме у нас будут только положительные оценки!

5. Закрепление пройденного материала.

1) Математическое лото (для слабых учащихся)

Установите соответствие.

5° мороза

доход 132 руб
расход 2351 руб
проигрыш 5 очков
выигрыш 10 очков

Для сильных учащихся.

Запишите с помощью положительных и отрицательных чисел:

Глубина озера -3м
высота горы -100 м
прибыль – 1000 т.
доход -2000 т.
убыток- 10000 т.
жара- 40 градусов,
мороз-30 градусов

Для слабых. Работа у доски и в тетради.

Определите координаты точек А. В, С, Д, Е

Работа с тестом. Для сильных.





	в) прибыль г) убыток
	б) прибыль

6. Работа с учебником.

№ 266 - у доски;

7. Рефлексия. Подведение итогов. Выставление оценок за урок.

– Что нового узнали на уроке?

– Что использовали для «открытия» нового знания?

– Какие трудности встретили?

– Проанализируйте свою работу на уроке. (Сигнальные карточки)

8. Домашнее задание Параграф 9 страница 55 № 267, 272, 277 (для сильных учащихся)

Придумать сказку о положительных и отрицательных числах. (по желанию)

Карточка №1 Вернигоровой Августины

Глубина озера -3м
высота горы -100 м
прибыль – 1000 т.
доход -2000 т.
убыток- 10000 т.
жара- 40 градусов,
мороз-30 градусов


А1. Какие из чисел положительные?
А2.Какую координату имеет точка С?
А3.Какая из данных точек имеет координату -2?
А4.Величины, про которые можно сказать, что они положительные	в) прибыль г) убыток
А5.Величины, про которые можно сказать, что они отрицательные	б) прибыль

Карточка №2 Старкова Даниила.

Запишите с помощью положительных и отрицательных чисел:

Глубина озера -3м
высота горы -100 м
прибыль – 1000 т.
доход -2000 т.
убыток- 10000 т.
жара- 40 градусов,
мороз-30 градусов

Тест. Отметь верный ответ знаком +


А1. Какие из чисел положительные?
А2.Какую координату имеет точка С?
А3.Какая из данных точек имеет координату -2?
А4.Величины, про которые можно сказать, что они положительные	в) прибыль г) убыток
А5.Величины, про которые можно сказать, что они отрицательные	б) прибыль

Глубина озера
высота горы 150 м
прибыль 1000 т.
выигрыш 20000 т.
Убыток 50000 т.
Жара 40 градусов
мороз-30 градусов

Глубина озера
высота горы 150 м
прибыль 1000 т.
выигрыш 20000 т.
Убыток 50000 т.
Жара 40 градусов
мороз-30 градусов

Разделы