Площадь квад. Примеры решения задач на тему «Площадь квадрата»

Кто-то из нас математику в школе просто прогуливал, кто-то проболел, а кто-то подзабыл за давностью школьных лет, но так или иначе, рано или поздно возникает вопрос: «Как найти площадь квадрата?»

Самая основная формула того, как найти площадь квадрата:

• S — площадь квадрата,
• а — сторона квадрата.

Так как у квадрата все стороны равны, то площадь квадрата — это сторона в квадрате. Например, нам известно, что длина стороны квадрата — 4 см. Тогда по формуле S=a 2 получится: S=4 2 =16 (см 2).

Ещё один способ нахождения площади квадрата — по периметру. Периметр квадрата (Р) равен сумме всех сторон квадрата, а так как у квадрата все стороны равны, то имеет следующую формулу:

• Р — периметр квадрата,
• а — сторона квадрата.

Таким образом, если нам известен периметр квадрата, мы можем вычислить его площадь по следующей формуле:

Разделив периметр на 4, мы получим длину одной стороны квадрата, после чего по первой формуле легко вычислить площадь.

Также можно найти площадь квадрата, если известна длина его диагонали. Особенности квадрата, как геометрической фигуры таковы, что его диагонали (отрезок, проведённые между несмежными вершинами квадрата) делят квадрат на два прямоугольных и равнобедренных треугольника. Прямоугольный треугольник — это такой треугольник, в составе которого есть прямой угол, а нам известно, что у квадрата все углы прямые. Равнобедренный треугольник — это такой треугольник, у которого две стороны равны. Диагонали квадрата являются одновременно и биссектрисами его углов. Биссектриса — это луч, которая делит угол пополам.

По теореме Пифагора известно, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

с 2 = b 2 + a 2

Но так как у нас катеты равны, то формула будет иметь следующий вид:

с 2 = а 2 + а 2 = 2а 2

В нашем случае гипотенуза — это диагональ квадрата (с = d), а катеты — сторона (b,е = a). Имеем:

Из вышеприведённой формулы можно вывести формулу нахождения катета (стороны квадрата):

Подставляем данное значение в первую формулу:

Сокращаем значения корня и второй степени и получаем формулу:

Например, если диагональ равна 8 см., то площадь квадрата равна:

S=8 2 /2 = 32 (см.).

Ещё одна формула нахождения площади квадрата — по радиусу вписанной (r) и описанной (R) окружности.

Вписанная окружность — это окружность, которая касается середины каждой стороны квадрата и имеет радиус, равный половине середины стороны:

Описанная окружность – это такая окружность, которая касается вершины каждого угла квадрата:

Таким образом, для нахождения площади квадрата при помощи радиуса вписанной окружности получаем следующую формулу:

S=(2r) 2 =2 2 *r 2 =4r 2

Например, если радиус вписанной окружности 3 см., то

S=4*3 2 =4*9=36 (см.).

Для нахождения площади квадрата при помощи радиуса описанной окружности получаем такую формулу:

S=d 2 /2=2R 2 /2=(2 2 *R 2)/2=2R 2

Таким образом, если радиус описанной окружности равен 4, то по формуле:

S=2*4 2 =2*16=32 (см).

Вот все способы того, как найти площадь квадрата, формулы вы также имели возможность вывести сами. Успешных Вам решений!

Что необходимо знать о квадрате?

Прежде чем приступать к проведению вычислений, необходимо знать некоторые важные сведения об этой фигуре, среди которых:

• все стороны квадрата равны;
• все углы квадрата прямые;
• площадь квадрата – это способ исчисления того, как много места занимает фигура в двухмерном пространстве;
• двухмерное пространство – это лист бумаги или экран компьютера, где нарисован квадрат;
• периметр не является индикатором наполненности фигуры, однако позволяет работать с его сторонами;
• периметр – это сумма всех сторон квадрата;
• подсчитывая периметр, мы оперируем одномерным пространством, что означает фиксацию результата в метрах, а не метрах квадратных (площадь).

Как найти площадь квадрата?

Вычисление площади данной фигуры можно просто и легко объяснить на примере:

• предположим, что сторона квадрата равна 8 метрам;
• для подсчета площади любого прямоугольника нужно умножить значение одной его стороны на другую (8 х 8 = 64);
• поскольку мы умножаем метры на метры, то в результате получаем квадратные метры (м2).

Как найти периметр квадрата?

Зная, что все стороны данного прямоугольника равны, необходимо сделать следующие манипуляции, чтобы вычислить его периметр:

• сложите все четыре стороны квадрата (8 + 8 + 8 + 8 = 32);
• полученное значение будет периметром квадрата, зафиксированным в метрах.

Все формулы и исчисления, приведенные в рамках данной статьи, применимы для любого прямоугольника. Важно помнить, что когда речь идет о других прямоугольниках, которые не являются правильными, значение сторон будет разным, например 4 и 8 метров. Это означает, что для нахождения площади такого прямоугольника необходимо будет умножать разные по значению стороны фигуры, а не одинаковые.

Необходимо помнить и то, что площадь измеряется в квадратных, а периметр в простых метрах. Если периметр нарисовать в виде одной длинной линии, то его значение не изменится, что говорит о том, что исчисления проводятся в одномерном пространстве.

Площадь измеряется в двухмерном пространстве, о чем говорят квадратные метры, которые мы получаем, умножив метры на метры. Площадь является индикатором наполненности геометрической фигуры, и говорит нам о том, сколько воображаемого покрытия необходимо для того чтобы заполнить квадрат или другой прямоугольник.

Простые объяснения видео урока позволят быстро вычислить площадь и периметр не только квадрата, но и любого прямоугольника. Данные знания школьного курса будут полезны во время ремонта дома или на садовом участке.

Квадрат – это геометрическая фигура, имеющая четыре стороны одинаковой длины, которые расположены под углом 90 градусов по отношению друг ко другу. Другими словами – это разновидность правильного прямоугольника. В некоторых случаях квадрат называют одним из вариантов ромба.

Диагональ квадрата – это отрезок, пересекающий центральную точку квадрата и соединяющий его противоположные углы. На одном квадрате размещаются 2 диагонали одинаковой длины.

Расчет площади квадрата с учетом длины диагонали

• Длина диагонали квадрата участвует в формуле расчета площади квадрата. Обозначим длину диагонали d, а площадь квадрата S, тогда S = d^2/2.
• Длину диагонали квадрата можно рассчитать при помощи теоремы Пифагора. Учитывая тот факт, что диагональ квадрата – это гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника, имеем следующую формулу расчета длины гипотенузы: a^2 + a^2 = d^2, где a – длина одной стороны равнобедренного треугольника или квадрата. Тогда d = a√2.
• Например, если принять длину диагонали квадрата равной 4 см, то его площадь будет равна: S = 4^2/2 = 8 кв. см.
• Если квадрат вписан в окружность, и известна длина диаметра окружности, то стоит уточнить, что длина диаметра круга и длина диагонали квадрата равны между собой. Поэтому, в этом случае снова выходим на расчет площади квадрата через его диагональ.

Расчет площади квадрата с учетом длины стороны квадрата

• Из рассмотренной выше теоремы Пифагора следует, что при подстановке выражения d = a√2 в формулу подсчета площади квадрата S = d^2/2 мы выходим на возможность расчета площади квадрата через длину его стороны: S = (a√2)^2/2, тогда S = a^2.
• Вычислим длину стороны квадрата, исходя из рассчитанной нами ранее площади, равной 16 см. A = √S = √8 = 2,83 см.

Расчет площади квадрата с учетом длины периметра квадрата

• Если нам известна длина периметра квадрата, и требуется рассчитать площадь фигуры, тогда нужно уточнить, что представляет собой периметр квадрата. Периметр – это значение, полученное путем суммирования всех длин сторон геометрической фигуры.
• Обозначим периметр P, тогда P = 4a. Тогда длина стороны квадрата будет равна a = P/4. Это выражение подставляем в формулу расчета площади квадрата S = a^2 и получаем S = (P/4)^2, то есть S = P^2/16.
• Например, если периметр квадрата равен 20, тогда S = 20^2/16 = 25 кв. см.

Читайте статью, чтобы знать, как находить площадь квадрата разными способами.

Квадрат — это равносторонний прямоугольник. У данного правильного и плоского четырехугольника равенство во всех сторонах, углах и диагоналях. Из-за того что существует такое равенство, формула для вычисления площади и других характеристик, немного видоизменяется по сравнению с иными математическими фигурами. Но это не делает задачи слишком сложными. Давайте разберем все формулы и решения задач в этой статье.

Площадь S прямого и квадратного угольников вычисляется по формуле: a умножить на b . Но так как у квадрата полное равенство сторон, то его площадь будет равна: S=(a) во второй степени . Как узнать величину стороны квадрата, зная его площадь?

• Если известна площадь квадратного угольника, то сторону находим путем исчисления площади из-под квадратного корня.
• К примеру, площадь угольника равна 49, то чему равняется сторона?
• 49=(а) во второй степени . Решение: а=корень из 49=7. Ответ: 7 .

Если нужно найти сторону квадратного угольника, площадь которого состоит слишком длинного числа, тогда воспользуйтесь калькулятором. Наберите сначала число площади, а потом нажмите знак корня на клавиатуре калькулятора. Получившееся число и будет ответом.

В этом примере будем использовать теорему Пифагора. У квадрата все стороны равны, а диагональ d мы будем рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а . Теперь находим диагональ квадрата, если известна его площадь:

• Чтобы не расписывать всю теорему Пифагора будем решать по второму варианту: d=a√2, где а — это сторона квадрата.
• Итак, нам известна площадь квадрата, например, она равна 64. Значит одна сторона а=√64=8.
• Получается d=8√2 . Корень из 2 не получается целым числом, поэтому в ответе можно написать именно так: d=8√2 . Но, если хочется вычислить значение, тогда воспользуйтесь калькулятором: √2= 1,41421356237 и умножьте на 8, получается 11, 3137084 .

Важно: Обычно в математике не оставляют в ответе цифры с большим количеством чисел после запятой. Нужно округлять или оставить с корнем. Поэтому ответ на нахождение диагонали, если площадь равна 64 будет таким: d=8√2 .

Формула нахождения площади квадрата через диагональ простая:

Теперь напишем решение по нахождению площади квадрата через диагональ:

• Диагональ d=8.
• 8 в квадрате равняется 64.
• 64 разделить на 2 равно 32.
• Площадь квадрата равна 32.

Совет: У этой задачи есть еще одно решение через теорему Пифагора, но оно более сложное. Поэтому используйте решение, которое мы рассмотрели.

Периметр квадратного угольника P — это сумма всех сторон. Чтобы найти его площадь, зная его периметр, нужно сначала вычислить сторону квадратного угольника. Решение:

• Допустим периметр равен 24. Делим 24 на 4 стороны, получается 6 — это одна сторона.
• Теперь используем формулу нахождения площади, зная чему равна сторона квадратного угольника: S=а в квадрате, S=6 в квадрате=36 .
• Ответ: 36

Как видите, зная периметр квадрата, просто найти его площадь.

Радиус R — это половина диагонали квадрата, вписанного в окружность. Теперь можем найти диагональ по формуле: d=2*R . Далее находим площадь квадрата вписанного в окружность с заданным радиусом:

• Диагональ равна 2 умножить на радиус. Например радиус равен 5, тогда диагональ равна 2*5=10 .
• Выше было описано, как находить площадь квадрата, если известна диагональ: S=диагональ в квадрате разделить на 2. S=10*10 и разделить на 2=50.
• Ответ — 50 .

Эта задача немного сложнее, но тоже легко решаемая, если знать все формулы.

На картинке видно, что радиус вписанной окружности равен половине стороны. Сторона находится по формуле обратной той, которая изображена на картинке: а=2*r . Потом уже находим площадь квадрата описанного около окружности с заданным радиусом по формуле S=а в квадрате . Решение:

• Допустим, радиус равен 7. Сторона квадрата а равна 2*7=14.
• S=14 в квадрате=196 .

Если понять суть решения подобных задач, то можно решать их быстро и просто. Давайте рассмотрим еще несколько примеров.

Примеры решения задач на тему «Площадь квадрата»

Чтобы закрепить пройденный материал и запомнить все формулы, необходимо решить несколько примеров задач на тему «Площадь квадрата». Начинаем с простой задачи и движемся к решению более сложных: Примеры решения сложных задач на тему «Площадь квадрата»

Теперь вы знаете, как пользоваться формулой площади квадрата, а значит, вам любая задача под силу. Успехов в дальнейшем обучении!

Видео: Вычисление площади квадрата

Квадратом именуется прямоугольник с равными сторонами. Это, вероятно, самая простая фигура в планиметрии. Вследствие высокой степени симметрии этой фигуры, дабы рассчитать площадь квадрата , довольно каждого одной его колляции. Это может быть сторона, диагональ, периметр, радиус описанной либо вписанной окружности.

Вам понадобится

• калькулятор либо компьютер

Инструкция

1. Дабы рассчитать площадь квадрата , если вестима длина его стороны, возведите сторону квадрата во вторую степень (в квадрат). Т.е. воспользуйтесь формулой:Пл = C?, либо Пл = С * С, где:Пл — площадь квадрата ,С – длина его стороны.Площадь квадрата будет измеряться в соответствующих длине стороны «квадратных» единицах измерения площади. Так, скажем, если сторона квадрата задана в мм, см, дюймах, дм, м, км, милях, то его площадь получится в мм?, см?, дюймах квадратных, дм?, м?, км?, милях квадратных, соответственно.Пускай, скажем, имеется квадрат со стороной длиной 10 см.Требуется определить его площадь .Решение:Возведите 10 в квадрат. Получится 100. Результат: 100 см?.

2. Дабы посчитать площадь квадрата , если задан его периметр, возведите периметр в квадрат и поделите на 16. То есть воспользуйтесь дальнейшей формулой:Пл = Пер? / 16 либо Пл = (Пер/4)?, где:Пл – площадь квадрата ,Пер – его периметр.Данная формула вытекает из предыдущей, если учесть, что все четыре стороны квадрата имеют равную длину.Пускай имеется квадрат с периметром 120 см.Требуется определить его площадь .Решение.Пл=(120/4)?=30?=900. Результат: 900 см?.

3. Дабы рассчитать площадь квадрата , зная радиус вписанной в него окружности, умножьте квадрат радиуса на 4. В виде формулу эту обоснованность дозволено записать в дальнейшем виде:Пл = 4р?, гдер – радиус вписанной окружности.Данная формула вытекает из того, что радиус вписанной в квадрат окружности равняется половине длины стороны квадрата (потому что диаметр такой окружности равен стороне квадрата ).Скажем, пускай имеется квадрат с радиусом вписанной в него окружности равным 2 см.Требуется рассчитать его площадь .Решение.Пл=4*2?=16. Результат: 16 см?.

4. Дабы рассчитать площадь квадрата , если задан радиус описанной вокруг него окружности, умножьте квадрат этого радиуса на два. В виде формулы это выглядит дальнейшим образом:Пл = 2Р?, гдеР – радиус описанной окружности.Эта обоснованность выводится из того факта, что радиус описанной окружности равняется половине диагонали квадрата .Скажем, пускай требуется рассчитать площадь квадрата с радиусом описанной окружности 10 см.Решение.Пл = 2*10?=200 (см?).

5. Для расчета площади квадрата при вестимой длине его диагонали поделите квадрат диагонали напополам. То есть:Пл = д?/2.Эта связанность вытекает из теоремы Пифагора.Пускай, скажем, надобно посчитать площадь квадрата с диагональю равной 12 см.Решение.Пл = 12?/2=144/2=72 (см?).