Распадающиеся уравнения. Распадающиеся и вырожденные поверхности второго порядка Распадающиеся уравнения

«Решение уравнений высших степеней» - Что значит решить уравнение? Задания первого этапа. РАЗМИНКА (проверка д/з). Решение уравнений высших степеней. Какие виды уравнений записаны на доске? Физкультминутка. II этап Самостоятельная работа вариант 1 вариант 2. Что называется корнем уравнения? Схема решения линейного уравнения квадратного уравнения биквадратного уравнения.

«Методы решения уравнений и неравенств» - Древний Египет. Кубические уравнения. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Идея однородности. Графический способ решения уравнений, содержащих модуль. Неравенства с модулем. Решение уравнений относительно коэффициентов. Исходное неравенство не содержит ни одного решения. Сумма квадрата.

«Уравнения и неравенства» - Подстановка. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций. При каком значении а число корней уравнения. "Графический способ. Заключается в следующем: строят в одной системе координат графики двух функций. Решения уравнений и неравенств". Найти наименьшее натуральное решение неравенства.

«Дробные уравнения» - Решить получившееся уравнение. Квадратное уравнение имеет 2 корня, если…… Исключить корни, не входящие в допустимые значения дробей уравнения. … Твое письмо. Высокая душа». Алгоритм решения дробных рациональных уравнений. И помни – в человеке что главное? Дробные рациональные уравнения. Сколько корней имеет данное уравнение? 4. Как называется данное уравнение?

«Решение логарифмических уравнений» - Если в уравнении содержатся логарифмы с разными основаниями, то прежде всего следует свести все логарифмы к одному основанию, используя формулы перехода. Вычислите значения выражения. Определение: Обобщить материал по свойствам логарифмов, логарифмической функции; рассмотреть основные методы решения логарифмических уравнений; развивать навыки устной работы.

«Методы решения логарифмических уравнений» - Найдите. Решение логарифмических уравнений. Что называется логарифмом. Систематизировать знания учащихся. Творческая работа. Найдите ошибку. Система уравнений. Решение логарифмических уравнений различными методами. I вариант II вариант. Заданная функция. Метод введения новой переменной. Сравните. Методы решения логарифмических уравнений.

Всего в теме 49 презентаций

Сегодня мы продолжим с вами работать над темой: целые уравнения

Нам предстоит закрепить навыки решения уравнений, имеющих степень выше второй; узнать о трех основных классах целых уравнений, овладеть способами их решения

На обратной стороне доски двое учащихся уже подготовили решение №273 и готовы ответить на вопросы учеников

Ребята, я предлагаю немного вспомнить те теоретические сведения, которые мы с вами узнали на предыдущем уроке. Прошу вас ответить на вопросы

Какое уравнение с одной переменной называется целым? Приведите примеры

Как найти степень целого уравнения?

К какому виду можно привести уравнение первой степени

Что будет являться решением такого уравнения

К какому виду можно привести уравнение второй степени?

Как решить такое уравнение?

Сколько оно будет иметь корней?

К какому виду можно свести уравнение третьей степени?

Уравнение четвертой степени?

Сколько они могут иметь корней?

Сегодня ребята мы больше узнаем о целых уравнениях: изучим способы решения 3 основных классов уравнений:

1)Биквадратные уравнения

Это уравнения вида
, где х- переменная, а,в,с-некоторые числа и а≠0.

2)Распадающиеся уравнения, которые сводятся к виду А(х)*В(х)=0, где А(х) и В(х) – многочлены относительно Х.

Распадающиеся уравнения вы уже частично решали на предыдущем уроке.

3)Уравнения, решаемое при помощи замены переменной.

ИНСТРУКТАЖ

Сейчас каждая группа получит карточки, в которых подробно описан метод решения, вам необходимо совместно разобрать эти уравнения и выполнить задания по данной теме. В своей группе сверить ответы с ответами товарищей, найти ошибки и прийти к единому ответу.

После того, как каждая группа проработает свои уравнения, надо будет объяснить их другим группам у доски. Подумайте, кого вы делегируете от группы.

РАБОТА В ГРУППАХ

Учитель во время групповой работы наблюдает, как ребята рассуждают, сложились ли команды, появились ли лидеры у ребят.

При необходимости оказывает помощь. Если какая-то группа справилась с заданием раньше других, то у учителя есть в запасе еще уравнения из этой карточки повышенной сложности.

ЗАЩИТА КАРТОЧКИ

Учитель предлагает определиться, если ребята еще этого не сделали, кто будет защищать карточку у доски.

Учитель может во время работы лидеров корректировать их речь, если они допускают ошибки.

Итак, ребята,вы прослушали друг друга, на доске записаны уравнения для самостоятельного решения. Принимайтесь за дело

УР. Iгр.

IIгр.

IIIгр.

Решать нужно те уравнения, которых у вас нет.

№276(б,г), 278(б,г), 283(а)

Итак ребята, сегодня мы с вами изучали решение новых уравнений в группах. Как вы думаете, наша работа удалась?

Достигли ли мы цели?

А что вам мешало в работе?

Учитель оценивает самых активных ребят.

СПАСИБО ЗА УРОК!!!

В ближайшее время целесообразно провести самостоятельную работу, содержащую уравнения, разобранные на данном уроке.

Осталось рассмотреть множества, заданные уравнениями (35.21), (35.23), (35.30), (35.31), (35.32), (47.7), (47.22) и (35.20)

Определение 47.16. Поверхность второго порядка называется распадающейся, если она состоит из двух поверхностей первого порядка.

В качестве примера рассмотрим поверхность, заданную уравнением

Левую часть равенства (35.21) можно разложить на множители

(47.36)

Таким образом, точка лежит на поверхности, заданной уравнением (35.21) тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют одному из следующих уравнений или . А это – уравнения двух плоскостей, которые согласно параграфу 36 (см.п.36.2, 10-ая строка таблицы), проходят через ось аппликат OZ. Следовательно, уравнение (35.21) задаёт распадающуюся поверхность, а точнее – две пересекающихся плоскости.

Задача: Доказать, что если поверхность одновременно является и цилиндрической, и конической, а также состоит более, чем из одной прямой линии, то она распадается, т.е. содержит в себе некоторую плоскость.

Рассмотрим теперь уравнение (35.30)

Его можно разложить на два линейных уравнения и . Таким образом, если точка лежит на поверхности, заданную уравнением (35.30), то её координаты должны удовлетворять одному из следующих уравнений: и . А это, согласно параграфу 36 (см. п.36.2 6-я строка таблицы), является уравнением плоскостей, параллельных плоскости . Таким образом, уравнение (35.30) задаёт две параллельные плоскости и тоже является распадающейся поверхностью.

Отметим, что всякую пару плоскостей и можно задать следующим уравнением второго порядка . Уравнения же (35.21) и (35.30) – это канонические уравнения двух плоскостей, то есть их уравнения в специально подобранной системе координат, где они (эти уравнения) имеют наиболее простой вид.

Уравнение же (35.31)

вообще эквивалентно одному линейному уравнению у = 0 и представляет собой одну плоскость (согласно параграфу 36 п.36.2, 12-ая строка таблица, это уравнение задаёт плоскость ).

Отметим, что всякая плоскость можно задать и следующим уравнением второго порядка .

По аналогии с уравнением (35.30) (при ) иногда говорят, что равенство (35.20) задаёт две слившиеся параллельные плоскости.

Переходим теперь к вырожденным случаям.

1.Уравнение (35.20)

Заметим, что точка M(x, y, z) принадлежит множеству, заданному уравнением (35.20), тогда и только тогда, когда её первые две координаты х=у=0 (а её третья координаты z может быть какой угодно). А это означает, что уравнение (35.20) задаёт одну прямую линию – ось аппликат OZ.

Отметим, что уравнение всякое прямой линии (см. параграф 40, п.40.1, а также параграф 37, система (37.3)) можно задать следующим уравнением второго порядка . Равенство же (35.20) является каноническим уравнением второго порядка для прямой линии, т.е. её уравнением второго порядка в специально подобранной системе координат, где оно (это уравнение) имеет наиболее простой.

2. Уравнение (47.7)

Уравнению (47.7) может удовлетворять лишь одна тройка чисел x=y=z=0. Таким образом, равенство (47.7) в пространстве задаёт лишь одну точку О (0; 0; 0) – начало координат; координаты никакой другой точки пространства равенству (47.7) удовлетворять не могут. Отметим также, что множество, состоящие из одной точки можно задать следующим уравнением второго порядка:

3. Уравнение (35.23)

А этому уравнению вообще не могут удовлетворять координаты никакой точки пространства, т.е. оно определяет пустое множество . По аналогии с уравнением (33.4)

(см. п. 47.5, определением 47.8), его ещё называют мнимым эллиптическим цилиндром.

4.Уравнение (35.32)

Этому уравнению также не могут удовлетворять координаты никакой точки пространства, поэтому и оно определяет пустое множество. По аналогии со сходным уравнением (35.30), эту «поверхность» ещё называют мнимыми параллельными плоскостями.

5. Уравнение (47.22)

И этому уравнению не могут удовлетворять координаты никакой точки пространства, и, следовательно, и оно определяет пустое множество . По аналогии с равенством с равенством (47.17) (см. п. 47.2), это множество ещё называют мнимым эллипсоидом.

Все случаи рассмотрены.