Представление зависимостей между величинами. Open Library - открытая библиотека учебной информации
Тема: «Моделирование зависимостей между величинами»
Цели урока:
1. Познакомиться с понятиями:
«величины»,
«математическая модель»,
«табличная модель»,
«графическая модель»
Развивающие:
Создать условия для развития умения выделять главное, сравнивать, анализировать, обобщать.
Воспитательные:
Воспитывать внимательность, стремление довести дело до намеченного результата;
Установление взаимных контактов и обмен опытом между учащимися и преподавателем.
Оборудование: компьютер учителя с мультимедийным проектором.
План урока
Организационный момент (2 мин) Постановка целей урока. Объяснение нового материала. (17 мин) Закрепление нового материала (5 мин) Решение заданий из демоверсии ЕГЭ 2010г (15 мин) Подведение итогов (3 мин) Задание на дом (3 мин)
Ход урока
Сообщить учащимся тему урока. (слайд 1) Постановка цели урока(слайд 2)
Цели урока:
1. Познакомиться с понятиями:
«величины»,
« зависимости между величинами»,
«математическая модель»,
«табличная модель»,
«графическая модель»
Рассмотреть на примерах зависимости между величинами.
2. Совершенствовать навыки решения заданий из КИМов ЕГЭ.
Объяснение нового материала. (17 мин)(слайд 3)
Применение математического моделирования постоянно требует учета зависимостей одних величин от других.
1. Время падения тела на землю зависит от первоначальной высоты;
2. Давление газа в баллоне зависит от его температуры;
3. Частота заболеваний жителей бронхиальной астмой зависит от качества городского воздуха
(слайд 4)
Всякое исследование нужно начинать с выделения количественных характеристик исследуемого объекта. Такие характеристики называются величинами. Со всякой величиной связаны три основных свойства: имя, значения, тип.
Имя величины может быть полным (давление газа), а может быть символическим (Р). Для определенных величин используются стандартные имена: время – T, скорость – V, сила – F…
(слайд 5)
Если значение величины не меняется, то она называется постоянной величиной или константой
(π =3,14159…).
Величина, меняющая свое значение, называется переменной.
(слайд 6)
Тип определяет множество значений, которые может принимать величина. Основные типы величин: числовой, символьный, логический. Так как мы будем говорить лишь о количественных характеристиках, то и рассматриваться будут только величины числового типа.
(Слайд 7)
Вернемся к примерам и обозначим переменные величины, зависимости между которыми нас интересуют.
В примере 1:
Т (сек) – время падения; Н (м) – высота падения. Ускорения свободного падения g (м/сек2) – константа.
В примере 2: Р(н/м2) – давление газа; t° C - температура газа.
В примере 3:
Загрязненность воздуха характеризуется концентрацией примесей С(мг/куб. м). Уровень заболеваемости характеризуется числом хронических больных астмой на 1000 жителей данного города – Р(бол/тыс.)
(Слайд 8)
Рассмотрим Методы представления зависимостей
Математическая модель Табличная модель Графическая модель
(Слайд 9)
Математическая модель
Это совокупность количественных характеристик некоторого объекта(процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.
Для первого примера математическая модель представляется в виде формулы:
455 " style="width:341.25pt">
(Слайд 11)
Графическая модель
и нарисуем график
 |
(Слайд 12)
Информационные модели, которые описывают развитие систем во времени, имеют специальное название: динамические модели.
В физике динамические информационные модели описывают движение тел; в биологии – развитие организмов и популяций животных; в химии – протекание химических реакций и т. д
(слайд 13)
Решение задачи: (1 ученик у доски, остальные в тетрадях)
Построить математическую, табличную и графическую модели задачи:
Тело движется по закону x (t)=5 t2+2 t-5,
где x – перемещение в метрах, t – время в секундах. Найти скорость тела в момент времени t=2.
Построить таблицу, отражающую зависимость скорости тела от времени движения тела с интервалом в 3 секунды.
Закрепление изученного материала.Ответьте на Вопросы:
1. Какие вам известны формы представления зависимостей между величинами? (ответ 1 ученика )
2. Обоснуйте преимущества и недостатки каждой из трёх форм представления
зависимостей. (ответ 1 ученика )
Решение заданий из демоверсии ЕГЭ 2010г (15 мин)
Повторение 10-ой, 2-ой, 8-ой и 16-ой систем счисления.
Решение задания из демоверсии ЕГЭ (1 )
1. Как представлено число 26310 в восьмеричной системе счисления?
Решение:
Как записывается число 5678 в двоичной системе счисления?
(1 ученик у доски, остальные в тетрадях )
Решение:
Как записывается число А8716 в восьмеричной системе счисления?
(1 ученик у доски, остальные в тетрадях )
Решение:
Задание А1 из демоверсии 2010г. (1 ученик у доски, остальные в тетрадях )
Дано: а=9D16, b=2378 . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству
Решение:
Подведение итогов (3 мин) Задание на дом (3 мин) §36, вопросы. Пример.
Дано: а= 3328, b= D416. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству a >>Информатика: Представление зависимостей между величинами
Представление зависимостей между величинами
Решение задач планирования и управления постоянно требует учета зависимостей одних факторов от других. Примеры зависимостей
: 1) время падения тела на землю зависит от первоначальной высоты; 2) давление зависит от температуры газа в баллоне; Математическая модель
- это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики. Хорошо известны математические модели для первых двух примеров из перечисленных выше. Они отражают физические законы и представляются в виде формул:
В более сложных задачах математические модели представляются в виде уравнений или систем уравнений. В этом случае для извлечения функциональной зависимости величин нужно уметь решать эти уравнения. В конце данной главы будет рассмотрен пример математической модели, которая выражается системой неравенств. Рассмотрим примеры двух других способов представления зависимостей между величинами: табличного и графического. Представьте себе, что мы решили проверить закон свободного падения тела экспериментальным путем. Эксперимент организовали следующим образом; бросаем стальной шарик с балкона 2-го этажа, 3-го этажа (и так далее) десятиэтажного дома, замеряя высоту начального положения шарика и время падения. По результатам эксперимента мы составили таблицу и нарисовали график. Если каждую пару значений Н и t из данной таблицы подставить в приведенную выше формулу зависимости высоты от времени, то она превратится в равенство (с точностью до погрешности измерений). Значит, модель работает хорошо. (Однако если сбрасывать не стальной шарик, а большой легкий мяч, то данная модель будет меньше соответствовать формуле, а если надувной шарик, то совсем не будет соответствовать - как вы думаете, почему?) В этом примере мы рассмотрели три способа отображения зависимости величин: функциональный (формула), табличный и графический. Однако математической моделью процесса падения тела на землю можно назвать только формулу. Почему? Потому что формула универсальна. Она позволяет определить время падения тела с любой высоты, а не только для того экспериментального набора значений Н, который отображен на рис. 2.11. Кроме того, таблица и диаграмма
(график) констатируют факты, а математическая модель позволяет прогнозировать, предсказывать путем расчетов. Точно так же тремя способами можно отобразить зависимость давления от температуры. Оба примера связаны с известными физическими законами - законами природы. Знания физических законов позволяют производить точные расчеты, они лежит в основе современной техники.
Коротко о главном
Величина - некоторая количественная характеристика объекта. Зависимости между величинами могут быть представлены в виде математической модели, в табличной и графической формах. Зависимость, представленная в виде формулы, является математической моделью. Вопросы и задания
1. а) Какие вам известны формы представления зависимостей между величинами?
б) Что такое математическая модель?
в) Может ли математическая модель включать в себя только константы?
2. Приведите пример известной вам функциональной зависимости (формулы) между характеристиками некоторой системы.
3. Обоснуйте преимущества и недостатки каждой из трех форм представления зависимостей.
Семакин И.Г., Хеннер Е.К., Информатика и ИКТ, 11
Отослано читателями из интернет-сайтов
Регрессионного анализа
Обработка результатов эксперимента методом
При изучении процессов функционирования сложных систем приходится иметь дело с целым рядом одновременно действующих случайных величин. Для уяснения механизма явлений, причинно-следственных связей между элементами системы и т.д., по полученным наблюдениям мы пытаемся установить взаимоотношения этих величин. В математическом анализе зависимость, например, между двумя величинами выражается понятием функции где каждому значению одной переменной соответствует только одно значение другой. Такая зависимость носит название функциональной
. Гораздо сложнее обстоит дело с понятием зависимости случайных величин. Как правило, между случайными величинами (случайными факторами), определяющими процесс функционирования сложных систем, обычно существует такая связь, при которой с изменением одной величины меняется распределение другой. Такая связь называется стохастической
, или вероятностной
. При этом величину изменения случайного фактора Y
, соответствующую изменению величины Х
, можно разбить на два компонента. Первый связан с зависимостью Y
от X
, а второй с влиянием "собственных" случайных составляющих величин Y
и X
. Если первый компонент отсутствует, то случайные величины Y
и X
являются независимыми. Если отсутствует второй компонент, то Y
и X
зависят функционально. При наличии обоих компонент соотношение между ними определяет силу или тесноту связи между случайными величинами Y
и X
. Существуют различные показатели, которые характеризуют те или иные стороны стохастической связи. Так, линейную зависимость между случайными величинами X
и Y
определяет коэффициент корреляции. где – математические ожидания случайных величин X и Y
. – средние квадратические отклонения случайных величин X
и Y
. Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (или убывать) по линейному закону. Если случайные величины X
и Y
связаны строгой линейной функциональной зависимостью, например, y=b 0 +b 1 x 1
, то коэффициент корреляции будет равен ; причем знак соответствует знаку коэффициента b 1
.Если величины X
и Y
связаны произвольной стохастической зависимостью, то коэффициент корреляции будет изменяться в пределах Следует подчеркнуть, что для независимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю. Однако коэффициент корреляции как показатель зависимости между случайными величинами обладает серьезными недостатками. Во-первых, из равенства r
= 0 не следует независимость случайных величин X
и Y
(за исключением случайных величин, подчиненных нормальному закону распределения, для которых r
= 0 означает одновременно и отсутствие всякой зависимости). Во- вторых, крайние значения также не очень полезны, так как соответствуют не всякой функциональной зависимости, а только строго линейной. Полное описание зависимости Y
от X
, и притом выраженное в точных функциональных соотношениях, можно получить, зная условную функцию распределения . Следует отметить, что при этом одна из наблюдаемых переменных величин считается неслучайной. Фиксируя одновременно значения двух случайных величин X
и Y
, мы при сопоставлении их значений можем отнести все ошибки лишь к величине Y
. Таким образом, ошибка наблюдения будет складываться из собственной случайной ошибки величины Y
и из ошибки сопоставления, возникающей из-за того, что с величиной Y
сопоставляется не совсем то значение X
, которое имело место на самом деле. Однако отыскание условной функции распределения, как правило, оказывается весьма сложной задачей. Наиболее просто исследовать зависимость между Х
и Y
при нормальном распределении Y
, так как оно полностью определяется математическим ожиданием и дисперсией. В этом случае для описания зависимости Y
от X
не нужно строить условную функцию распределения, а достаточно лишь указать, как при изменении параметра X
изменяются математическое ожидание и дисперсия величины Y
. Таким образом, мы приходим к необходимости отыскания только двух функций: Зависимость условной дисперсии D
от параметра Х
носит название сходастической
зависимости. Она характеризует изменение точности методики наблюдений при изменении параметра и используется достаточно редко. Зависимость условного математического ожидания M
от X
носит название регрессии
, она дает истинную зависимость величин Х
и У
, лишенную всех случайных наслоений. Поэтому идеальной целью всяких исследований зависимых величин является отыскание уравнения регрессии, а дисперсия используется лишь для оценки точности полученного результата. Две величины называются прямо пропорциональными
, если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Соответственно, при уменьшении одной из них в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз. Зависимость между такими величинами — прямая пропорциональная зависимость. Примеры прямой пропорциональной зависимости: 1) при постоянной скорости пройденный путь прямо пропорционально зависит от времени; 2) периметр квадрата и его сторона — прямо пропорциональные величины; 3) стоимость товара, купленного по одной цене, прямо пропорционально зависит от его количества. Чтобы отличить прямую пропорциональную зависимость от обратной можно использовать пословицу: «Чем дальше в лес, тем больше дров». Задачи на прямо пропорциональные величины удобно решать с помощью пропорции. 1) Для изготовления 10 деталей нужно 3,5 кг металла. Сколько металла пойдет на изготовление 12 таких деталей? (Рассуждаем так: 1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему. 2. Чем больше
деталей, тем больше
металла нужно для их изготовления. Значит, это прямо пропорциональная зависимость. Пусть х кг металла нужно для изготовления 12 деталей. Составляем пропорцию (в направлении от начала стрелки к ее концу): 12:10=х:3,5
Чтобы найти , надо произведение крайних членов разделить на известный средний член: Значит, потребуется 4,2 кг металла. Ответ: 4,2 кг.
2) За 15 метров ткани заплатили 1680 рублей. Сколько стоят 12 метров такой ткани? (1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему. 2. Чем меньше ткани покупают, тем меньше за нее надо заплатить. Значит, это прямо пропорциональная зависимость. 3. Поэтому вторая стрелка одинаково направлена с первой). Пусть х рублей стоят 12 метров ткани. Составляем пропорцию (от начала стрелки к ее концу): 15:12=1680:х
Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член пропорции: Значит, 12 метров стоят 1344 рубля. Ответ: 1344 рубля.
Это примеры зависимостей, представленных в функции пильной форме. Первую зависимость называют корневой (время пропорционально квадратному корню от высоты), вторую - линейной (давление прямо пропорционально температуре).
"
Рис. 2.11. Табличное и графическое представление зависимости времени падения тела от высоты
(3.2)
