Сглаживание методом скользящей средней. Сглаживание с помощью скользящей средней

Аналитическое выравнивание уровней динамического ряда не дает хороших результатов при прогнозировании, если уровни ряда имеют резкие периодические колебания. В этих случаях для определения тенденции развития явления используется сглаживание динамического ряда методом скользящих средних.

Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые подвержены колебаниям в меньшей степени. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.

Методы сглаживания можно условно разделить на два класса, опирающиеся на различные подходы:

Аналитический подход;

Алгоритмический подход.

Аналитический подход основан на допущении, что исследователь может задать общий вид функции, описывающей регулярную, неслучайную составляющую.

При использовании алгоритмического подхода отказываются от ограничения, свойственного аналитическому. Процедуры этого класса не предполагают описание динамики неслучайной составляющей с помощью единой функции, они предполагают описание динамики неслучайной составляющей с помощью единой функции, они предоставляют исследователю лишь алгоритм расчета неслучайной составляющей в любой данный момент времени . Методы сглаживания временных рядов с помощью скользящих средних относятся к этому подходу.

Иногда скользящие средние применяют как предварительный этап перед моделированием тренда с помощью процедур, относящихся к аналитическому подходу.

Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса и поэтому служат важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.

Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующего алгоритма.

1. Определяют длину интервала сглаживания g, включающего в себя g последовательных уровней ряда (g

2. Разбивают весь период наблюдений на участки, при этом интервал сглаживания как бы скользит по ряду с шагом, равным 1.

3. Рассчитывают арифметические средние из уровней ряда, образующих каждый участок.

4. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующее среднее значение

При этом удобно брать длину интервала сглаживания g в виде нечетного числа g=2p+1, т.к. в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала.

Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения, называются активным участком сглаживания.

При нечетном значении g все уровни активного участка могут быть представлены в виде:

а скользящая средняя определяется по формуле

,

где − фактические значение -го уровня;

− значение скользящей средней в момент ;

− длина интервала сглаживания.

Процедура сглаживания приводит к полному устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной периоду колебаний.

Для устранения сезонных колебаний желательно использовать четырех- и двенадцатичленную скользящую среднюю.

При четном числе уровней принято первое и последнее наблюдение на активном участке брать с половинными весами:

Тогда для сглаживания колебаний при работе с временными рядами квартальной или месячной динамики можно использовать следующие скользящие средние:

,

.

Рассмотрим применение скользящей средней по данным общей площади жилых помещений, приходящихся в среднем на 1 жителя по Хабаровскому краю (таблица 2.1.1).

Поскольку период сглаживания не обосновать, расчеты начинают с 3-членной скользящей средней. Первый сглаженный уровень получим для 1993 г.:

.

Последовательно сдвигая на один год начало периода скольжения, находим сглаженные уровни для последующих лет.

Для 1994 г. скользящая средняя составит

,

для 1995 г. , и т.д.

Так как скользящая средняя относится к середине интервала, за который она рассчитана, то динамический ряд сглаженных уровней сокращается на уровень при нечетном периоде скольжения и на уровней при четном периоде скольжения. Поэтому в нашем примере сглаженный ряд стал короче на два члена для трехчленной средней и на четыре – для пятичленной (таблица 2.1.1).

При расчете по четным скользящим средним (в нашем примере 4-членная скользящая средняя) вычисления производятся следующим образом:

Для 1994 г. ;

1995 г. ;

1996 г. .

Таблица 2.1.1 – Результаты сглаживания по методу скользящих средних

Как видно из таблицы 2.1.1, трехчленная скользящая средняя демонстрирует выравненный динамический ряд с однонаправленной тенденцией движения уровней. Сглаживание по трехчленной скользящей средней дало более сглаженный ряд, так как для трехчленной скользящей средней оказалась меньше сумма квадратов отклонений фактических данных () от сглаженных () ( = 0,179) (таблица 2.1.1). Иными словами, трехчленная скользящая средняя лучше всего представляет закономерность движения уровней динамического ряда.

Экстраполяция - это метод научного исследования, который основан на распространении прошлых и настоящих тенденций, закономерностей, связей на будущее развитие объекта прогнозирования. К методам экстраполяции относятся метод скользящей средней, метод экспоненциального сглаживания, метод наименьших квадратов.

Метод скользящих средних является одним из широко известных методов сглаживания временных рядов. Применяя этот метод, можно элиминировать случайные колебания и получить значения, соответствующие влиянию главных факторов.

Сглаживание с помощью скользящих средних основано на том, что в средних величинах взаимно погашаются случайные отклонения. Это происходит вследствие замены первоначальных уровней временного ряда средней арифметической величиной внутри выбранного интервала времени. Полученное значение относится к середине выбранного интервала времени (периода).

Затем период сдвигается на одно наблюдение, и расчет средней повторяется. При этом периоды определения средней берутся все время одинаковыми. Таким образом, в каждом рассматриваемом случае средняя центрирована, т.е. отнесена к серединной точке интервала сглаживания и представляет собой уровень для этой точки.

При сглаживании временного ряда скользящими средними в расчетах участвуют все уровни ряда. Чем шире интервал сглаживания, тем более плавным получается тренд. Сглаженный ряд короче первоначального на (n–1) наблюдений, где n – величина интервала сглаживания.

При больших значениях n колеблемость сглаженного ряда значительно снижается. Одновременно заметно сокращается количество наблюдений, что создает трудности.

Выбор интервала сглаживания зависит от целей исследования. При этом следует руководствоваться тем, в какой период времени происходит действие, а следовательно, и устранение влияния случайных факторов.

Данный метод используется при краткосрочном прогнозировании. Его рабочая формула:

Пример применения метода скользящей средней для разработки прогноза

Задача . Имеются данные, характеризующие уровень безработицы в регионе, %

• Постройте прогноз уровня безработицы в регионе на ноябрь, декабрь, январь месяцы, используя методы: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, наименьших квадратов.
• Рассчитайте ошибки полученных прогнозов при использовании каждого метода.
• Сравните полученные результаты, сделайте выводы.

Решение методом скользящей средней

Для расчета прогнозного значения методом скользящей средней необходимо:

1. Определить величину интервала сглаживания, например равную 3 (n = 3).

2. Рассчитать скользящую среднюю для первых трех периодов
m фев = (Уянв + Уфев + У март)/ 3 = (2,99+2,66+2,63)/3 = 2,76
Полученное значение заносим в таблицу в средину взятого периода.
Далее рассчитываем m для следующих трех периодов февраль, март, апрель.
m март = (Уфев + Умарт + Уапр)/ 3 = (2,66+2,63+2,56)/3 = 2,62
Далее по аналогии рассчитываем m для каждых трех рядом стоящих периодов и результаты заносим в таблицу.

3. Рассчитав скользящую среднюю для всех периодов, строим прогноз на ноябрь по формуле:

где t + 1 – прогнозный период; t – период, предшествующий прогнозному периоду (год, месяц и т.д.); Уt+1 – прогнозируемый показатель; mt-1 – скользящая средняя за два периода до прогнозного; n – число уровней, входящих в интервал сглаживания; Уt – фактическое значение исследуемого явления за предшествующий период; Уt-1 – фактическое значение исследуемого явления за два периода, предшествующих прогнозному.

У ноябрь = 1,57 + 1/3 (1,42 – 1,56) = 1,57 – 0,05 = 1,52
Определяем скользящую среднюю m для октября.
m = (1,56+1,42+1,52) /3 = 1,5
Строим прогноз на декабрь.
У декабрь = 1,5 + 1/3 (1,52 – 1,42) = 1,53
Определяем скользящую среднюю m для ноября.
m = (1,42+1,52+1,53) /3 = 1,49
Строим прогноз на январь.
У январь = 1,49 + 1/3 (1,53 – 1,52) = 1,49
Заносим полученный результат в таблицу.

Рассчитываем среднюю относительную ошибку по формуле:

ε = 9,01/8 = 1,13% точность прогноза высокая.

Далее решим данную задачу методами экспоненциального сглаживания и наименьших квадратов . Сделаем выводы.

Средние линии – это графические построения на графике, которые строятся на основе средних значений цены за определенный промежуток времени. Moving Average встроен в торговую платформу МТ4, с его помощью можно осуществлять сглаживание скользящих средних, именно об этом мы и поговорим в этой статье.

Сглаживание скользящих средних

Moving Average позволяет осуществлять сглаживание скользящих средних. В чем преимущества этой функции? Дело в том, что при построении простой экспоненциальной средней (SMA) используются цены, обладающие одинаковой важностью, в то время как экспоненциальные скользящие средние больше полагаются на последние котировки. Последние строятся по определенной формуле, где большую роль играют последние события на рынке, а не те изменения, которые происходили ранее.

Разновидности средних линий

Всего Moving Average предлагает построение четырех линий, которые строятся по определенному принципу.

• Simple – простая скользящая средняя. Это самая простая линия, которая строится по формуле, где все цены обладают равнозначными значениями. 2. Exponential – экспоненциальная скользящая средняя, которая строится по формуле, в которой главную роль играет последний бар. Она подходит для ведения краткосрочной торговли.
• Smoothed – сглаженная скользящая средняя. Данная скользящая используется для долгосрочной торговли. Для того чтобы она изменила свое направление, необходим существенный скачок.
• Linear Weighted – взвешенная скользящая средняя, при построении которой большее значение уделяется более новым изменениям на рынке.

Что лучше: простая скользящая средняя или сглаженная

Увеличив период скользящей средней, в расчете будет принимать участие больше значений стоимости. Чем больше период, тем менее чувствительная скользящая средняя и наоборот. Но что же лучше: простая скользящая средняя или сглаженная?

Для примера возьмем значение периода 15. Для построения линий будут учитываться значения баров от 1 до 15, как только появится 16 бар, в расчетах будут принимать участие бары в диапазоне 2-16. При этом, при построении обычной скользящей средней цены будут обладать одинаковым значениям, в то время как в сглаженной все будет зависеть от последнего бара.

У каждой скользящей свои плюсы и минусы, которые обязательно стоит учитывать при выборе наиболее подходящего для торговли вида. Выбор скользящей средней напрямую зависит от используемой валютной пары, тайм-фрейма и торговой стратегии. У всех скользящих линий есть один общий недостаток, который заключается в небольшом запаздывании.

Применение скользящих средних

Самый простой способ использования данного инструмента заключается в построении двух скользящих средних с разными периодами. Линия с небольшим периодом будет более подвижной. В момент, когда на рынке происходит смена господствующего тренда, быстрая скользящая линия пересекает медленную, что, в свою очередь, является сигналом для создания ордера.

На представленной ниже картинке вы можете увидеть, как описанная выше ситуация выглядит на валютном графике.

§ 2.1. Основные показатели динамики экономических явлений

Для количественной оценки динамики явлений применяются статистические показатели: абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста, причем они могут разделяться на цепные, базисные и средние.

В основе расчета этих показателей динамики лежит сравнение уровней временного ряда. Если сравнение осуществляется с одним и тем же уровнем, принятым за базу сравнения, то эти показатели называются базисными. Если сравнение осуществляется при переменной базе, и каждый последующий уровень сравнивается с предыдущим, то вычисленные таким образом показатели называются цепными.

Абсолютный прирост равен разности двух сравниваемых уровней.

Темп роста Т характеризует отношение двух сравниваемых уровней ряда, выраженное в процентах.

Темп прироста К характеризует абсолютный прирост в относительных величинах. Определенный в % темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения. В таблице 2.1. приведены выражения для вычисления базисных и цепных приростов, темпов роста, темпов прироста. При этом использованы следующие обозначения:

Таблица 2.1.

Основные показатели динамики

Для получения обобщающих показателей динамики развития определяются средние величины: средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста.

Описание динамики ряда с помощью среднего прироста соответствует его представлению в виде прямой, проведенной через две крайние точки. В этом случае, чтобы получить прогноз на один шаг вперед, достаточно к последнему наблюдению добавить значение среднего абсолютного прироста.

(2.1.),

где y n - фактическое значение в последней n - ой точке ряда;

Прогнозная оценка значения уровня в точке n+1;

Значение среднего прироста, рассчитанное для временного ряда .

Очевидно, что такой подход к получению прогнозного значения корректен, если характер развития близок к линейному. На такой равномерный характер развития могут указывать примерно одинаковые значения цепных абсолютных приростов.

Применение среднего темпа роста (и среднего темпа прироста) для описания динамики ряда соответствует его представлению в виде показательной или экспоненциальной кривой, проведенной через две крайние точки. Поэтому использование этого показателя в качестве обобщающего целесообразно для тех процессов, изменение динамики которых происходит примерно с постоянным темпом роста. В этом случае прогнозное значение на i шагов вперед может быть получено по формуле:

(2.2.),

где - прогнозная оценка значения уровня в точке n+i ;

Фактическое значение в последней n-ой точке ряда;

Средний темп роста, рассчитанный для ряда (не в % выражении).

К недостаткам среднего прироста и среднего темпа роста следует отнести то, что они учитывают лишь конечный и начальный уровни ряда, исключают влияния промежуточных уровней. Тем не менее, эти показатели имеют весьма широкую область применения, что объясняется чрезвычайной простотой их вычисления. Они могут быть использованы как приближенные, простейшие способы прогнозирования, предшествующие более глубокому количественному и качественному анализу.

§ 2.2. Сглаживание временных рядов с помощью скользящей средней

Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является сглаживание временного ряда. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые подвержены колебаниям в меньшей степени. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития. Иногда сглаживание применяют как предварительный этап перед использованием других методов выделения тенденции (например, рассматриваемых в третьей главе).

Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса, и поэтому, являются важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.

Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующей последовательности шагов:

1. Определяют длину интервала сглаживания g , включающего в себя g последовательных уровней ряда (g взаимопогашаются колебания, и тенденция развития носит более плавный , сглаженный характер. Чем сильнее колебания, тем шире должен быть интервал сглаживания.

2. Разбивают весь период наблюдений на участки, при этом интервал сглаживания как бы скользит по ряду с шагом, равным 1.

3. Рассчитывают арифметические средние из уровней ряда, образующих каждый участок.

4. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующие средние значения.

При этом удобно брать длину интервала сглаживания g в виде нечетного числа: g=2p+1, т.к. в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала.

Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения, называются активным участком сглаживания.

При нечетном значении g все уровни активного участка могут быть представлены в виде:

а скользящая средняя определена по формуле:

(2.3.),

где - фактическое значение i-го уровня;

Значение скользящей средней в момент t ;

2p+1- длина интервала сглаживания.

Процедура сглаживания приводит к полному устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной циклу, периоду колебаний.

Для устранения сезонных колебаний желательно было бы использовать четырех- и двенадцатичленную скользящие средние, но при этом не будет выполняться условие нечетности длины интервала сглаживания. Поэтому при четном числе уровней принято первое и последнее наблюдение на активном участке брать с половинными весами:

(2.4.)

Тогда для сглаживания сезонных колебаний при работе с временными рядами квартальной или месячной динамики можно использовать следующие скользящие средние:

(2.5.)

(2.6.)

При использовании скользящей средней с длиной активного участка g=2p+1 первые и последние p уровней ряда сгладить нельзя, их значения теряются. Очевидно, что потеря значений последних точек является существенным недостатком, т.к. для исследователя последние "свежие" данные обладают наибольшей информационной ценностью. Рассмотрим один из приемов, позволяющих восстановить потерянные значения временного ряда. Для этого необходимо:

1) Вычислить средний прирост на последнем активном участке

,

где g - длина активного участка;

Значение последнего уровня на активном участке;

Значение первого уровня на активном участке;

Средний абсолютный прирост.

2) Получить P сглаженных значений в конце временного ряда путем последовательного прибавления среднего абсолютного прироста к последнему сглаженному значению.

Аналогичную процедуру можно реализовать для оценивания первых уровней временного ряда.

Метод простой скользящей средней применим, если графическое изображение динамического ряда напоминает прямую. Когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы, и для исследователя желательно сохранить мелкие волны, применение простой скользящей средней нецелесообразно.

Если для процесса характерно нелинейное развитие, то простая скользящая средняя может привести к существенным искажениям. В этих случаях более надежным является использование взвешенной скользящей средней.

При сглаживании по взвешенной скользящей средней на каждом участке выравнивание осуществляется по полиномам невысоких порядков. Чаще всего используются полиномы 2-го и 3-его порядка. Так как при простой скользящей средней выравнивание на каждом активном участке производится по прямой (полиному первого порядка), то метод простой скользящей средней может рассматриваться как частный случай метода взвешенной скользящей средней. Простая скользящая средняя учитывает все уровни ряда, входящие в активный участок сглаживания, с равными весами, а взвешенная средняя приписывает каждому уровню вес, зависящий от удаления данного уровня до уровня, стоящего в середине активного участка.

Выравнивание с помощью взвешенной скользящей средней осуществляется следующим образом.

Для каждого активного участка подбирается полином вида

,

параметры которого оцениваются по методу наименьших квадратов. При этом начало отсчета переносится в середину активного участка. Например, для длины интервала сглаживания g=5, индексы уровней активного участка будут следующими i : -2, -1, 0, 1, 2.

Тогда сглаженным значением для уровня, стоящего в середине активного участка, будет значение параметра a 0 подобранного полинома.

Нет необходимости каждый раз заново вычислять весовые коэффициенты при уровнях ряда, входящих в активный участок сглаживания, т.к. они будут одинаковыми для каждого активного участка. Причем при сглаживании по полиному к-ой нечетной степени весовые коэффициенты будут такими же, как при сглаживании по полиному (к-1) степени. В таблице 2.2. представлены весовые коэффициенты при сглаживании по полиному 2-го или 3-го порядка (в зависимости от длины интервала сглаживания).

Так как веса симметричны относительно центрального уровня, то в таблице использована символическая запись: приведены веса для половины уровней активного участка; выделен вес, относящийся к уровню, стоящему в центре участка сглаживания. Для оставшихся уровней веса не приводятся, т. к. они могут быть симметрично отражены.

Например, проиллюстрируем использование таблицы для сглаживания по параболе 2-го порядка по 5-членной взвешенной скользящей средней. Тогда центральное значение на каждом активном участке , будет оцениваться по формуле:

Отметим важные свойства приведенных весов:

1) Они симметричны относительно центрального уровня.

2) Сумма весов с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице.

3) Наличие как положительных, так и отрицательных весов, позволяет сглаженной кривой сохранять различные изгибы кривой тренда.

Существуют приемы, позволяющие с помощью дополнительных вычислений получить сглаженные значения для Р начальных и конечных уровней ряда при длине интервала сглаживания g=2p+1.

.
Скользящее среднее относится к классу индикаторов, следующих за трендом, оно помогает определить начало новой тенденции и ее завершение, по его углу наклона можно определить силу (скорость движения), оно же в качестве основы (или сглаживающего фактора) применяется в большом количестве других технических индикаторов. Иногда называют линией тренда.

Формула простой скользящей средней:

Где Pi - Цены на рынке (обычно берутся цены Close, но иногда используют Open, High, Low, Median Price, Typical Price).

N - основной параметр - длина сглаживания или период (количество цен входящих в расчет скользящего). Иногда этот параметр называют порядком скользящего среднего .

Пример скольязщего среднего :
с параметром 5.

Описание:
Простое является обычным арифметическим средним от цен за определенный период. представляет собой некий показатель цены равновесия (равновесие спроса и предложения на рынке) за определенный период, чем короче скользящее среднее, тем за меньший период берется равновесие. Усредняя цены, оно всегда следует с определенным лагом за главной тенденцией рынка, фильтруя мелкие колебания. Чем меньше параметр (говорят, что короче), тем оно быстрее определяет новую тенденцию, но и одновременно делает больше ложных колебаний, и наоборот чем больше параметр (говорят длинное , тем медленнее определяется новый тренд, но поступает меньше ложных колебаний.

Использование:
Применение скользящих средних достаточно простое. Скользящие средние не спрогнозируют изменения в тренде, а лишь просигналят об уже появившемся тренде. Так как скользящие средние являются следующими за индикаторамито их лучше использовать в периоды тренда, а когда на рынке не присутствует, они становятся абсолютно неэффективными. Поэтому до использования этих индикаторов необходимо провести отдельный анализ свойств конкретной валютной пары. В простейшем виде мы знаем несколько путей использования скользящего среднего.

Существует 7 основных методов скользящего среднего :

1. Определение стороны торговли с помощью скользящей средней. Если она направлена вверх, то вы делаете только покупки, если вниз - то только продажи. При этом точки входа и выхода из рынка определяются на основе других методов скользящих средних (в том числе и на основе более быстрой скользящей).
2. Разворот снизу вверх при положительном наклоне самого ценового рассматривается как сигнал на покупку, разворот сверху вниз при отрицательном наклоне самого ценового рассматривается как сигнал на продажу.
3. Метод скользящего среднего , основанный на пересечение ценой своего скользящего сверху вниз (при отрицательном наклоне обоих) рассматривается как сигнал на продажу, пересечение ценой своего скользящего среднего снизу вверх (при положительном наклоне обоих) рассматривается как сигнал на покупку.
4. Пересечение длинного коротким снизу вверх рассматривается как сигнал к покупке и наоборот.
5. Скользящие средние с круглыми периодами (50, 100, 200) иногда рассматриваются как скользящие уровни и сопротивления.
6. Исходя из того, какие скользящие направлены вверх, а какие вниз определяют какой восходящий а какой нисходящий (краткосрочный, среднесрочный, долгосрочный).
7. Моменты наибольшего расхождения двух средних с разными параметрами понимают как сигнал к возможному изменению тренда.

Недостатки метода скользящего среднего:

1. При использовании метода для торговли по запаздывание на входе и на выходе из как правило очень значительно, поэтому в большинстве случаев теряется большая часть движения.
2. В и особенно в боковом в виде пилы, дает очень много ложных сигналов и ведет к убыткам. При этом трейдер, торгующий на основе простой скользящей не может пропустить эти сигналы, поскольку каждый из них является потенциальным сигналом входа в тренд.
3. При входе в расчет цены, отличающееся от уровня цен на рынке сильно меняется. При выходе этой цены из расчета скользящего сильное изменение происходит вторично. Этот эффект А.Элдер называл "плохая собака лает дважды".
4. Один из наиболее серьезных недостатков метода скользящей средней , заключается в том что она придает одинаковые веса как более новым ценам, так и более старым ценам, хотя логичнее было бы предположить, что новые цены важнее, так как отражают более близкую к текущему моменту рыночную ситуацию.

Примечание 1: На рынке в состоянии лучше использовать более короткую скользящую, на рынке в лучше использовать более длинную скользящую, как подающую меньше ложных сигналов.

Примечание 2: имеет достаточно много более эффективных современных вариаций: экспоненциальная скользящая средняя, взвешенная скользящая средняя, существует также ряд адаптивных скользящих средних AMA, KAMA, Jurik MA и т.д.

Предупреждение о рисках: мы не рекомендуем использовать никакие индикаторы на реальных счетах без предварительного тестирования их работы на демонстрационном счете или тестирования в качестве торговой стратеги. Любой, даже самый лучший индикатор, применяемый неправильно, дает множества ложных сигналов и как следствие, может принести значительные убытки в процессе торговли.