Общие свойства пространства и времени:

1. Пространство и время объективны и реальны, т.е. не зависят от сознания и воли людей.

2. Пространство и время являются универсальными, всеобщими формами бытия материи. Нет явлений, событий предметов, которые бы существовали вне пространства или вне времени.

Основные свойства пространства :

1. Однородность – все точки пространства обладают одинаковыми свойствами, нет выделенных точек пространства, параллельный перенос не изменяет вид законов природы.

2. Изотропность – все направления в пространстве обладают одинаковыми свойствами, нет выделенных направлений, и поворот на любой угол сохраняет неизменными законы природы.

3. Непрерывность – между двумя различными точками в пространстве, как близко бы они не находились, всегда есть третья.

4. Евклидовость описывается геометрией Евклида. Признаком евклидовости пространства является возможность построения в нём Декартовых прямоугольных координат. Но согласно ОТО Эйнштейна, при наличии в пространстве тяготеющих масс пространство искривляется, становится неевклидовым.

5. Трехмерность – каждая точка пространства однозначно определяется набором трёх действительных чисел координат. Это положение вытекает из связи структуры пространства с законом тяготения. (П. Эренфест в 1917 г. исследовал вопрос, почему мы способны воспринять только пространство трёх измерений. Он доказал, что «закон обратных квадратов», по которому действуют друг на друга точечные гравитационные массы или электрические заряды, обусловлен трёхмерностью пространства. В пространстве n измерений точечные частицы взаимодействовали бы по закону обратной степени (n–1). Поэтому для n=3 справедлив закон обратных квадратов, т.к. 3–1=2. Он показал, что соответствуя закону обратных кубов, планеты двигались бы по спиралям и быстро упали бы на Солнце. В атомах при числе измерений, большем трёх, также не существовало бы устойчивых орбит, т.е. не было бы химических процессов в жизни.

Основные свойства времени :

1. Однородность - любые явления, происходящие в одних и тех же условиях, но в разные моменты времени, протекают совершенно одинаково, по одним и тем же законам.

2. Непрерывность – это когда между двумя моментами времени, как бы близко они ни располагались, всегда можно выделить третий.

3. Однонаправленность или необратимость – это свойство времени, которое можно рассматривать как следствие второго начала термодинамики или закона возрастания энтропии. Все изменения в мире происходят от прошлого к будущему.

Указанные свойства пространства и времени связаны с главными законами физики – законами сохранения. Если свойства системы не меняются от преобразования переменных, то ей соответствует определённый закон сохранения. Это одно из существенных выражений симметрии в мире. Согласно Э. Нётер теореме, каждому преобразованию симметрии, характеризуемому одним непрерывно изменяющимся параметром, соответствует величина, которая сохраняется для системы, обладающей этой симметрией.

Из симметрии физических законов относительно:

1) сдвига замкнутой системы в пространстве (однородность пространства) следует закон сохранения импульса;

2) поворота замкнутой системы в пространстве (изотропность пространства) следует закон сохранения момента импульса;

3) изменения начала отсчёта времени (однородность времени) следует закон сохранения энергии.

Вопросы для повторения и самоконтроля

1. Каковы были представления о пространстве и времени в доньютоновский период?

2. Как трактовал И. Ньютон пространство и время?

3. Какие представления о пространстве и времени стали определяющими в теории относительности А. Эйнштейна?

4. Какие основные свойства пространства вам известны?

5. Какие основные свойства времени вам известны?

6. Сформулируйте теорему Э. Нетер?

Введение

Всякое равенство вида

называется интегралом движения. Для замкнутой системы с n степенями свободы всего существует независимых интегралов движения. Если считать в уравнениях движения новыми переменными, не зависящими от , то полный набор уравнений движения запишется в виде , (1)

причем для замкнутой системы время здесь войдет только в виде явно выписанных дифференциалов. Поэтому исключая из этих уравнений dt , мы получим

уравнений, не содержащих времени. Их интегрирование приведет к интегралам движения.

1. Асимптотическая аддитивность интегралов движения. Формулировка теоремы Нётер.

Среди всех интегралов движения особое значение имеют аддитивные или асимптотически аддитивные интегралы движения, для которых существует специальное название – законы сохранения. Если рассмотреть две системы, находящиеся очень далеко друг от друга, то физически очевидно, что процессы в одной системе совсем никак не должны влиять на движение другой. Поскольку, с другой стороны ничто не мешает нам рассматривать две такие системы как две части, I и II , единой общей системы, то мы приходим к условию асимптотической аддитивности, который заключается в следующем: если некоторая система ( I + II) разделяется на две подсистемы таким образом, что минимум расстояния между материальными точками разных подсистем

, то ее функция Лагранжа распадается на сумму функций Лагранжа обеих подсистем: . (2)

Законы сохранения имеют глубокое происхождение, связанное с инвариантностью описания механической системы относительно некоторой группы преобразований времени и координат. Существует теорема Нётер, утверждающая, что для системы дифференциальных уравнений, которые могут быть получены как уравнения Эйлера из некоторого вариационного принципа, из инвариантности вариационного функционала относительно однопараметрической непрерывной группы преобразований следует существование одного закона сохранения. Если группа содержит l параметров, то из инвариантности функционала будет следовать существование l законов сохранения.

Наличие входящих в требуемую теоремой Нётер группу преобразований симметрии зависит от природы физической системы. Для рассматриваемых замкнутых систем действие должно быть инвариантным относительно семипараметрической группы преобразований – зависящего от одного сдвига по времени, зависящих от трех параметров пространственных сдвигов и зависящих от трех параметров вращения пространства. В соответствии с этим у всякой замкнутой системы должны существовать 7 сохраняющихся величин, отвечающих указанным преобразованиям. Если система такова, что она допускает еще и другие преобразования симметрии, то сохраняющихся величин может оказаться больше.

2. Доказательство теоремы Нётер

Точно сформулируем и докажем теорему Нётер.

Рассмотрим некоторую систему, описываемую функцией Лагранжа

. (3)

Форма уравнений Лагранжа-Эйлера, получаемых из вариационного принципа с такой функцией Лагранжа, инвариантна относительно преобразований вида

, а также и относительно более общих преобразований (4)

включающих замену независимой переменной. Однако конкретный вид для нового выражения для действия, как функционала новых координат, зависящих от нового времени, может претерпеть при таком изменении любые изменения.

Теорема Нётер интересуется только тем случаем, когда таких изменений не происходит.

обобщенных координат и времени.

Используя (4), получим:

(5)

Пусть преобразования

такие, что (6)

т.е. образующих однопараметрическую группу. Рассмотрим бесконечно малое преобразование, отвечающее параметру

. (7)

Собственно вариации обобщенных координат, происходящие при рассматриваемом преобразовании, – это разность значений

новых координат в некоторый момент нового времени и значений старых координат в соответствующий момент старого времени, т.е. . (8)

Наряду с ними удобно ввести в рассмотрение вариации формы

(9)

зависимости координат от времени, которые отличны от нуля, даже если наше преобразование затрагивает только время, а не координаты.

Для любой функции справедливо соотношение:

.

Тогда между двумя введенными видами вариаций есть соотношение, которое можно получить следующим образом: вычтем из (8) уравнение (9), получим:

,

примем во внимание, что

,

тогда имеем:

(10)

Вариации без звездочек, относящиеся к одному значению аргумента, перестановочны с дифференцированием по времени

,

в то время, как для вариаций со звездочками это, вообще говоря, неверно.

В той или иной мере представление о симметрии есть у каждого человека. Этим свойством обладают самые разные предметы, играющие важную роль в повседневной жизни. Многим творениям человеческих рук симметричная форма придается как из эстетических, так и практических соображений. Возможно, наиболее симметричным продуктом деятельности человека является мяч, который выглядит всегда одинаково, как бы его не поворачивали. Симметрия широко распространена в природе – гексагональная форма снежинок, различные геометрические формы кристаллов, приближенно зеркальная симметрия человеческого тела и т.д.

Дать общее определение понятию «симметрия» довольно сложно. Очень часто симметрию связывают с красотой. «Симметричное означает нечто, обладающее хорошим соотношением пропорций, а симметрия – тот вид согласованности отдельных частей, который объединяет их в целое. Красота тесно связана с симметрией», – писал Г. Вейль. В «Кратком Оксфордском словаре» симметрия определяется как «…красота, обусловленная пропорциональностью частей тела или любого целого, равновесием, подобием, гармонией, согласованностью».

Рисунок 5 – Примеры симметрии в природе

Симметрия занимает важное место в естественных науках, приводя к многочисленным упрощениям картины мира и установлению сходства между различными ее областями.

Симметрия (в физике) – свойство физических величин оставаться неизменными (инвариантными) при определенных преобразованиях. Эти преобразования называются операциями симметрии .

К операциям симметрии относятся, например, операция отражения в зеркале, сдвиг, поворот. Сдвиговой симметрией обладают кристаллы, для которых характерно регулярное расположение частиц с периодической повторяемостью в трех измерениях. Осевой симметрией обладают правильные геометрические фигуры. Так, поворот квадрата на 90° относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости, совмещает квадрат с самим собой.

Симметрии делятся на пространственно-временные (внешние) и внутренние, описывающие свойства элементарных частиц.

Пространство и время однородны, т.е. обладают сдвиговой симметрией: параллельный перенос системы координат и сдвиг начала отсчета времени не изменяют законов природы. Изотропность пространства означает, что оно обладает осевой симметрией: поворот осей координат на произвольный угол не изменяет законов природы.

В современной физике обнаруживается определенная иерархия симметрий. Приведенные выше симметрии имеют место при любых взаимодействиях. Существуют симметрии, выполняющиеся только при сильных и электромагнитных взаимодействиях, при слабых взаимодействиях эти симметрии нарушаются. К таким симметриям относятся, например, зеркальная симметрия, операция зарядового сопряжения, изотопическая инвариантность и т.д., эти симметрии называются внутренними. Зеркальная симметрия (инверсия пространства, заключающаяся в замене координат x,y,z на -x,-y,-z ) означает, что отражение в зеркале не меняет физических законов. Замена всех частиц на античастицы называется операцией зарядового сопряжения, такая операция симметрии также не изменяет протекающих в природе процессов сильного и электромагнитного взаимодействий. Изотопическая инвариантность связана со сходством протона и нейтрона (они отличаются только наличием у протона электрического заряда, что не сказывается на ядерных процессах).

В 1918 г. Амали Эмми Нетер доказала фундаментальную теорему, согласно которой существование любой конкретной симметрии – в пространстве-времени, степенях свободы элементарных частиц и физических полей – приводит к соответствующему закону сохранения, причем из этой теоремы следует и конкретная структура сохраняющейся величины. Из инвариантности относительно сдвига во времени следует закон сохранения энергии; из симметрии относительно пространственных сдвигов следует закон сохранения импульса; из инвариантности относительно пространственного вращения следует закон сохранения момента импульса. Физические законы не изменяются при преобразованиях Лоренца, связывающих значения координат и времени в различных инерциальных системах отсчета (принцип относительности). Из принципа относительности следует закон сохранения скорости движения центра масс изолированной системы.

Существование внутренних симметрий также связано с определенными законами сохранения. Зеркальная симметрия приводит к сохранению особого квантового числа – четности, которое следует приписать каждой частице. Сохранение четности означает инвариантность природы по отношению к замене правого левым и наоборот; как уже отмечалось, пространственная четность в слабых взаимодействиях не сохраняется. Сложное преобразование, заключающееся в одновременной инверсии пространства и замене частиц на античастицы называется комбинированной инверсией. Закон сохранения комбинированной четности выполняется при любых взаимодействиях. Изотопическая инвариантность приводит к сохранению изотопического спина при сильных взаимодействиях (слабые взаимодействия протекают, как правило, с изменением изотопического спина). Существуют законы сохранения электрического, барионного и лептонного зарядов, выражающие особую симметрию волновой функции, и т.д. Согласно современным представлениям, электрический заряд при всех превращениях элементарных частиц должен сохраняться всегда. Барионный и лептонный заряды, возможно, не сохраняются строго, хотя экспериментальные нарушения закона сохранения этих зарядов пока не обнаружены. Несоблюдение одного из законов сохранения означает нарушение в данном взаимодействии соответствующего вида симметрии.

Законы сохранения представляют собой мощное орудие исследования. Часто бывает, что точное решение уравнений движения оказывается очень сложным или действующие силы неизвестными. Поскольку законы сохранения не зависят от характера действующих сил, то с их помощью можно получить ряд важных сведений о поведении механических систем даже в тех случаях, когда силы оказываются неизвестными. С помощью законов сохранения были открыты ряд элементарных частиц. Так, для того, чтобы в процессе β-распада выполнялись законы сохранения энергии и момента импульса, В. Паули предположил (1932) существование неизвестной к тому времени частицы

Как сказано выше, обычно выделяют внешние и внутренние симметрии. Внутренние симметрии – это геометрические и калибровочные симметрии самой материи, отражающие инвариантность (независимость) свойств элементарных частиц и их взаимодействий относительно определенных преобразований. Большинство из них ярко проявляются лишь в микромире, присутствуя на макро- и мегауровне в скрытом виде. Внешние симметрии – это симметрии пространственно-временного континуума, одинаково ярко проявляющиеся на всех уровнях организации материи.

Выделяют следующие симметрии пространства-времени :

1. Однородность пространства . Это – сдвиговая симметрия пространства. Она заключается в эквивалентности, равенстве всех точек пространства, то естьотсутствии в пространстве каких-либо выделенных точек . Параллельный перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве не приводит к изменению ее свойств, то есть физические законы инвариантны относительно сдвигов в пространстве .

2. Изотропность пространства . Это – поворотная симметрия пространства. Она заключается в равенстве всех направлений в пространстве, то есть вотсутствии в пространстве выделенных направлений . Поворот системы как целого в пространстве не приводит к изменению ее свойств, то естьфизические законы инвариантны относительно поворотов в пространстве.

3. Однородность времени . Сдвиговая симметрия времени отражает равенство всех точек времени, то естьотсутствие выделенных точек начала отсчета времени . Перенос системы как целого во времени не приводит к изменению ее свойств, то естьфизические законы не меняются с течением времени .

Что касается изотропности времени , то вопрос о наличии этой симметрии долгое время оставался открытым и во многом остается дискуссионным до сих пор. Так, в классической механике время симметрично: идеальные механические процессы полностью обратимы, и “поворот во времени” не приводит к изменению законов механики. В ОТО, где время, наряду с пространством, рассматривается как одна из геометрических координат, также постулируется эквивалентность его прямого и обратного течения. Подавляющее большинство элементарных процессов, протекающих в результате сильного, электромагнитного и слабого взаимодействий, также симметричны по отношению к этому преобразованию (за исключением распадов K0L-мeзонов). Но в то же время, развитие термодинамики (см. тему 2.5) показало, что в макроскопических процессах, связанных с превращением энергии, происходит ее необратимое рассеивание. Таким образом, все реальные процессы, происходящие на уровнемакро- и мегаскопических материальных систем не инвариантны по отношению к направлению времени. Его изменение на противоположное привело бы к изменению законов термодинамики: необратимое рассеивание энергии сменилось бы ее самопроизвольной концентрацией. Следовательно, для этих процессов времяанизотропно , не обладает симметрией поворота.

Связь законов сохранения с симметрией (теорема Нетер)

Развитие математических методов описания симметрии, в частности аналитической механики Лагранжа и Гамильтона, показало, что как законы классической механики Ньютона, так и уравнения электродинамики Максвелла могут быть выведены математическим путем из соображений симметрии. Методы аналитической механики можно распространить и на квантовую механику, где классические теории теряют свою применимость.

Важнейший результат в этой области теоретической физики связан с именем выдающейся женщины-математика Амалии (Эмми) Нетер (1882–1935). В 1918 г. Нетер была доказана теорема, позднее названная ее именем, из которой следует, что если некоторая система инвариантна (неизменна) относительно некоторого преобразования, то для нее существует определенная сохраняющаяся величина . Иными словами, существование любой конкретной симметрии приводит к соответствующему закону сохранения .

Эта теорема справедлива для любых симметрий – в пространстве-времени, степенях свободы элементарных частиц и физических полей, – то есть она носит универсальный характер . Теорема Нетер стала важнейшим инструментом теоретической физики, утвердившим особуюмеждисциплинарную роль принципов симметрии при построении физической теории .

Непрерывные симметрии приводят к существованию законов сохранения, проявляющихся на всех уровнях организации материи. Так, согласно теореме Нетер, из однородности (сдвиговой симметрии) пространства следуетзакон сохранения импульса (количества движения), из изотропности (поворотной симметрии) пространства –закон сохранения момента импульса (момента количества движения), из однородности времени следуетзакон сохранения энергии . Из калибровочной симметрии динамики заряженных частиц в электромагнитных полях следуетзакон сохранения электрического заряда.

Что касается дискретных симметрий, то в классической механике они не приводят к каким-либо законам сохранения. Однако в квантовой механике, в которой состояние системы описывается волновой функцией, или для волновых полей (например, электромагнитного поля), где справедлив принцип суперпозиции, из существования дискретных симметрий также следуют законы сохранения некоторых специфических величин, не имеющих аналогов в классической механике. Так, зеркальная симметрия, или пространственная инверсия (Р ), приводит к закону сохранения пространственной четности; симметрия замены всех частиц на античастицы, или зарядовое сопряжение (С ) – к закону сохранения зарядовой четности и т. д.

Теорема Нетер дает наиболее простой и универсальный метод получения законов сохранения. Особенно важное значение имеет теорема Нетер в квантовой теории поля, где законы сохранения, вытекающие из существования определенной группы симметрии, являются часто основным источником информации о свойствах изучаемых объектов.

Немецкий математик.

Она была приглашена Давидом Гильбертом для чтения лекций и проведения научной работы в Гёттингенском университете.

«Эмми Нётер имела мало общего и легендарной «математичкой» Софьей Ковалевской , очаровавшей даже Вейерштрасса своим умом и молодым обаянием. Она была совсем лишена женственности как во внешности, так и в своих манерах. Даже сегодня первое, что вспоминают знавшие её мужчины, - это: «У неё был громкий и неприятный голос», «Она выглядела, как энергичная и очень близорукая прачка», «Её одежда всегда была мешковатой».
Все они с восторгом цитируют деликатное замечание , что «грации не стояли у её колыбели».
Однако Эмми Нётер суждено было оказать гораздо более важное влияние на математику, чем очаровательной Софье .
Даже в то время она уже обладала солидными знаниями некоторых предметов, необходимых Гильберту и Клейну для их работы в теории относительности. Оба они решили, что она должна остаться в Гёттингене. Однако несмотря на то, что Гёттинген был первым университетом в Германии, присудившим докторскую степень женщине, получить хабилитацию (Термин происходит от латинского «habilis» - способный, пригодный и означает получения права войти в состав преподавателей университета - Прим. И.Л. Викентьева) для неё было нелёгким делом.
В голосовании о приёме хабилитации должен был принимать участие весь философский факультет, включавший, помимо представителей естественных наук и математики, также философов, филологов и историков. Особое противодействие исходило от нематематической части факультета.
Их формальное возражение сводилось к следующему: «Как можно допустить, чтобы женщина стала приват-доцентом? Став таковым, она сможет затем стать профессором и членом университетского сената. Разве можно допустить, чтобы женщина входила в сенат?» Неформальное возражение было таким: «Что подумают наши солдаты, когда, вернувшись в университет, они увидят, что им придётся учиться, сидя у ног женщины?»
Гильберту эти рассуждений напоминали те, которые он слышал, когда пытался пробить перед этими же членами факультета диссертацию Громмера. «Если студенты без диплома гимназии будут всегда писать такие же диссертации, как Громмер, - сказал он тогда, - то нужно будет издать закон, запрещающий устраивать выпускные экзамены». Теперь с той же прямотой он ответил на их формальные возражения против доцентуры Эмми Нётер: «Meine Herren, я не вижу, почему пол кандидата должен быть причиной против присуждения ему звания приват-доцента. В конце концов, ведь сенат - не бани».
Когда, несмотря на такое возражение, ему всё же не удалось добиться присуждения хабилитации Эмми Нётер , он по-своему решил проблему сохранения ее в Гёттингене.
Лекции будут объявлены под именем профессора Гильберта , а читать их будет госпожа Нётер. Война продолжалась».

Констанс Рид, Гильберт, М., «Наука», 1977 г., с. 187-188.

В 1918 году Эмми Нётер доказала фундаментальную теорему теоретической физики, связывающую законы сохранения с симметрией системы, получившую название «Нётер теорема».

«Теорема Э. Нётер утверждает, что всякому непрерывному преобразованию координат в инерциальной системе отсчёта, соответствует некоторая сохраняющаяся величина (инвариант ). Поскольку рассматриваемое преобразование тесно связано со своей симметрией пространства и времени (однородного пространства, изотропного пространства и однородности времени), то каждому свойству пространства и времени должен соответствовать в соответствии с классической механикой свой определённый закон сохранения.
С однородностью пространства, т.е. симметрией законов физики по отношению к пространственным сдвигам начала координат, связан закон сохранения импульса. С изотропностью пространства, т.е. с равноценностью всех пространственных направлений и, следовательно, с симметрией относительно поворота системы координат в пространстве, связан закон сохранения момента импульса.
Представление об однородности времени (симметрии по отношению к сдвигам времени) приводит к закону сохранения энергии. Это означает, что течение времени само по себе не может вызвать изменение энергии некоторой замкнутой системы.
Практическое значение теоремы Э. Нётер не ограничивается только тем, что она устанавливает связь классических законов сохранения с видами симметрии, имеющими геометрическую природу.
При наличие в физической системе симметрии другого рода, например, динамической (математической), данные симметрии прогнозируют частные законы сохранения, которые также обладают функцией запрета на локальные явления саморазвития».

Балакшин О.Б. , Гармония саморазвития в природе и обществе: подобие и аналогии, М., Издательство ЛКИ, 2008 г., с. 112.

Эмми Нётер смогла стать приват-доцентом в1919 году, а сверхштатным профессором - в 1922 году.

В 1933 году, когда к власти в Германии пришли фашисты, Эмми Нётер переехала в США.

Узнав о её смерти, Альберт Эйнштейн написал: «Большинство людей все свои силы расходуют в борьбе за свой хлеб насущный. Даже многие из тех, кого судьба или какое-либо особое дарование «избавили от необходимости вести эту борьбу, большую часть сил отдают умножению мирских благ и своего состояния.
За подобными усилиями, направленными к накоплению всяческих благ, весьма часто кроется иллюзия, будто в этом и состоит наиболее существенная и желанная цель, к которой надлежит стремиться.
К счастью, существует меньшинство, состоящее из тех, кто рано осознал, что самые прекрасные переживания и наибольшее удовлетворение человечество получает не извне, а что они связаны с развитием собственных чувств, мыслей и поступков каждого отдельного индивидуума.
Подлинные художники, исследователи и мыслители, всегда были людьми такого рода. Как бы незаметно ни проходила жизнь этих людей, плоды их усилий оказывались самым драгоценным вкладом в то наследство, которое поколение оставляет своим преемникам.
Несколько дней тому назад в возрасте пятидесяти трёх лет скончалась выдающийся математик профессор Эмми Нётер , когда-то связанная с Гёттингенским университетом, а в последние два года работавшая в колледже Брин Моур. По отзывам наиболее компетентных из ныне живущих математиков, фрейлейн Эмми Нётер входила в число самых значительных и самых творческих гениев математики, появившихся с тех пор, как женщины стали получать высшее образование.
В области алгебры, которой наиболее одарённые математики занимались на протяжении столетий, она открыла методы, оказавшие огромное влияние на развитие современного поколения молодых математиков. Чистая математика - это своего рода поэзия логики идей. Математики пытаются найти как можно более общее представление об операции, которое позволило бы просто, логично и единообразно охватить возможно более широкий круг формальных соотношений»

Альберт Эйнштейн, Памяти Эмми Нетер / Собрание научных трудов в 4-х томах, Том 4, 1967 г., «Наука», с.108.