Урок-презентация "Арккосинус.Решение уравнения cost=a". Характеристика движения под углом к горизонту: формулы, решение задачи с лучником

Тип урока : изучение нового материала.

Цели урока :

• дидактические: сформировать у учащихся понятие арккосинуса; вывести общую формулу решения уравнения cos t = a; выработать алгоритм решения данного уравнения;
• развивающие: развитие познавательного интереса, логического мышления, интеллектуальных способностей; формирование математической речи;
• воспитательные: формировать эстетические навыки при оформлении записей в тетради и самостоятельность мышления у учащихся.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация «Арккосинус. Решение уравнения cos t =a» (Приложение 1) .

Ход урока

I. Организационный момент

Объявить тему и цели урока, познакомить учащихся с ходом проведения урока (слайд 1 ).

II. Актуализация опорных знаний

Повторить способ решения уравнения вида cos t = a, где а – действительное число, с помощью числовой окружности.

Решить уравнения: 1) cos t = ; 2) cos t = 1 (слайд 2 ).

Используем геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости.

1) cos t = (слайд 3 );

.

2) cos t = 1 (слайд 4 );

III. Изучение нового материала

Ввести проблемную ситуацию: любое ли тригонометрическое уравнение вида

cos t = a можно решить с помощью числовой окружности?

1) Предложить учащимся решить уравнение cos t = (слайд 5 ).

С помощью числовой окружности получим (слайд 6 ):

где t 2 = – t 1 .

Когда впервые возникла ситуация с решение уравнений такого типа, ученым-математикам пришлось придумать способ её описания на математическом языке. В рассмотрение был введен новый символ arccos а (слайд 7 ).

Читается: арккосинус а; «arcus» в переводе с латинского значит «дуга» (сравните со словом «арка»). С помощью этого символа числа t 1 и t 2 записываются следующим образом: t 1 = arccos , t 2 = – arccos .

Теперь с помощью этого символа корни уравнения cos t = можно записать так: (слайд 8 ).

Предложить учащимся обобщить полученные знания, ответив на вопрос: «Что же означает arccos ?» (слайд 9 ).

Вывод: это число (длина дуги), косинус которого равен и которое принадлежит первой четверти числовой окружности.

2) Решить уравнение cos t = – (слайд 10 ).

С помощью числовой окружности и символа arccos а получим (слайд 11 ):

.

Предложить учащимся обобщить полученные знания, ответив на вопрос: «Что же означает arccos () ?» (слайд 12 ).

Вывод: это число (длина дуги), косинус которого равен и которое принадлежит второй четверти числовой окружности.

3) Сформулировать определение арккосинуса в общем виде (слайд 13 ):

Если │а │≤ 1, то

4) Рассмотреть примеры на вычисление арккосинуса.

Пример 1. Вычислите arccos (слайд 14 ).

Пусть

Значит, поскольку и Итак, arccos =

Пример 2. Вычислите arccos (слайд 15 ).

Пример 3. Вычислите arccos 0 (слайд 16 ).

Пример 4. Вычислите arccos 1 (слайд 17 ).

5) Сделать общий вывод о решении уравнения cos t = a (слайд 18 ).

Если │a │≤ 1, то уравнение cost = a имеет решения: .

6) Рассмотреть частные случи.

Выделим формулы для решения следующих уравнений: cos t = 0, cos t =1 , cos t = –1 (слайд 19 ).

7) Доказать теорему и рассмотреть её применение на практике.

Теорема.

Для любого а [-1;1] выполняется равенство arccos a + arccos (-a) = (слайд 20 ).

Применение теоремы (слайд 21 ).

На практике используется: arccos (-a) = - arccos a , где 0 ≤ а ≤ 1.

arccos = - arccos = -

IV. Обобщение изученного материала

Составим алгоритм решения простейшего тригонометрического уравнения вида cos t = a:

• составить общую формулу;
• вычислить значение arccos a;
• подставить найденное значение в общую формулу.

Пример 1. Решить уравнение cos t = (слайд 22 – 24 ).

Пример 2. Решить уравнение cos t = (слайд 25 – 27 ).

Пример 3. Решить уравнение cos t = (слайд 28 ).

Пример 4. Решить уравнение cos t = - 1,2 (слайд 29 ).

V. Подведение итогов урока (слайд 30 )

Итак, сегодня на уроке мы ввели понятие арккосинуса; вывели общую формулу решения уравнения cos t = a и выработали алгоритм решения данного уравнения.

VI. Домашнее задание

Изучить теоретический материал.

Практическая часть (даётся задание в соответствии с используемым учебным пособием).

Литература

1. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть 1. Учебник.

2. А.Г. Мордкович и др. Алгебра и начала анализа, 10-11. Часть 2. Задачник.

3. А.Г. Мордкович, И.М. Смирнова. Математика-10 (для гуманитарных классов).

4. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. Алгебра и начала анализа-10.Часть 1. Учебник (профильный уровень ).

Когда рассматривают движение тел в свободном пространстве, будь то перемещения планет в космосе или объектов в земной атмосфере, то определяющими траекторию силами являются гравитационные. В данной статье рассматривается один из видов такого перемещения - движение под углом к горизонту. Формулы, необходимые для решения соответствующих задач, также приводятся.

О каком типе движения пойдет речь?

Движение под углом к горизонту (формулы приведены далее в статье) - это перемещение объектов в гравитационном поле нашей планеты, в процессе которого действует всего одна-единственная сила - сила тяжести. В действительности же присутствует еще сопротивление воздуха, но им принято пренебрегать.

В процессе движения под углом к горизонту тело начинает движение либо с поверхности земли, либо с некоторой высоты h. В начальный момент времени оно обладает скоростью v, направленной под некоторым углом к горизонту. Пролетев по некоторой траектории, тело падает на землю.

Отмеченную траекторию принято считать параболической, однако это не совсем верно. Дело в том, что в результате действия силы тяжести объект движется по эллиптической траектории (из-за падения на землю тело описывает лишь часть эллипса). В ряде случаев часть реальной эллиптической траектории можно представить в виде параболы с высокой точностью, что и делается с целью упростить математические выкладки при расчетах.

Особенности движения под углом к горизонту

Поскольку в процессе такого перемещения объектов действует всего одна сила тяжести, которая на протяжении всего пути является постоянной величиной (направлена всегда вниз и имеет постоянное абсолютное значение), то этот тип движения обладает следующими свойствами:

• Зная начальную скорость, угол к горизонту и значение высоты, с которой стартует тело, можно однозначно рассчитать всю его траекторию полета.
• Увеличение начальной скорости при неизменном угле к горизонту приводит к возрастанию дальности полета.
• Если тело начинает полет с нулевой высоты, тогда угол его падения будет точно равен углу вылета.
• Горизонтальное и вертикальное перемещения тела в процессе движения являются независимыми, поэтому их можно анализировать отдельно друг от друга.

Примеры рассматриваемого типа движения

Полет мяча при ударе его футболистом или движение снаряда в воздухе после того, как им выстрелили из какого-либо орудия (пушка, миномет, танк) - это наиболее яркие примеры движения под углом к горизонту. Также таковым является полет камня, брошенного рукой с любой высоты, или прыжки того же камня, когда он отталкивается от воды.

В отличие от приведенных примеров, взлет, полет и посадка самолета не относятся к рассматриваемому движению, поскольку в этом случае действуют дополнительные силы, помимо силы тяжести (тяга, подъемная сила крыла).

Физика движения под углом к горизонту: формулы

Как было сказано выше, когда тело начинает свой полет, то можно составить два независимых уравнения его движения вдоль горизонта и перпендикулярно ему. Сначала запишем, какие силы действуют на тело в направлении x и y:

Здесь m - масса тела, g - ускорение, которое всем телам сообщает наша планета вблизи ее поверхности. Знак минус указывает, что сила тяжести F y действует против направления оси y.

Теперь запишем компоненты начальной скорости на каждую ось:

v x = v*cos(θ);

v y = v*sin(θ).

Здесь θ - угол к горизонту. Поскольку действующая сила приводит к изменению скорости согласно второму закону Ньютона, то можно записать:

v y = v*sin(θ) - g*t.

Здесь t - момент времени после начала полета.

Интегрируя по времени оба выражения, получаем конечные формулы движения под углом к горизонту:

x = v x *t+x 0 = v*cos(θ)*t + x 0 ;

y = v y *t+y 0 = v*sin(θ)*t - g*t 2 /2 + y 0 .

В полученных выражениях появились две константы: x 0 и y 0 . Они описывают начальные координаты объекта. Когда математически решают задачу движения по параболической траектории, то x 0 полагают равной нулю (начало отсчета). Что касается y 0 , то здесь ситуация немного сложнее: если тело стартует с поверхности земли, то y 0 тоже равно нулю; если тело начинает движение с высоты h, то y 0 равно этой высоте. Таким образом, под углом к горизонту с высоты примут вид:

x = v*cos(θ)*t.

y = v*sin(θ)*t - g*t 2 /2 + h .

Пример решения задачи

Решим интересную задачу на Условие ее следующее: лучник, находясь на башне высотой 15 метров, запускает стрелу со скоростью 20 м/с под углом 0 o к поверхности земли. Следует определить, на какое расстояние от башни улетит стрела.

Искомое расстояние будет равно изменению координаты x, то есть:

x = v*cos(θ)*t = v*t.

Косинус нулевого угла равен единице, поэтому он был опущен. Итак, чтобы получить ответ, необходимо найти время полета стрелы t. Для этого обратимся ко второму уравнению (вдоль оси y). Согласно условию задачи, оно имеет вид:

y = v*sin(θ)*t - g*t 2 /2+ h = h - g*t 2 /2, поскольку sin(0) = 0.

Когда стрела упадет на землю, ее координата y станет равной 0, поэтому получаем уравнение:

Это равенство называется чистым уравнением второго порядка. Оно решается с помощью переноса свободного члена в другую часть равенства, используя при этом квадратный корень, то есть:

Остается подставить эту формулу в уравнение для x и получить желаемый ответ:

x = v*√(2*h/g) = 20*√(2*15/9,81) = 34,97 ≈ 35 метров.

Таким образом, стрела улетит всего на 35 метров. Дальность ее полета лучник может увеличить, если направит стрелу под углом θ к горизонту, не равным нулю.

В продолжение предыдущей темы, в которой рассматривались примеры решения тригонометрических функций, этот видеоурок знакомит учащихся с арккосинусом и решением уравнения cos t = a.

Рассматривается пример решения уравнения cos t =1/4 . Используя числовую окружность, находим точки с координатой х = 1/4, на графике отметим эти точки как M(t 1) и N(t 2).

На графике видно, что t 1 - это длина АМ, а t 2 - это длина AN. По-другому можно сказать, что t 1 = arccos 1/4; t 2 = - arccos 1/4. Решение уравнения t = ± arccos ¼ + 2πk.

Таким образом, arccos 1/4- это число (длина АМ), косинус которого равен 1/4. Это число принадлежит отрезку от 0 до π/2, т.е. первой четверти окружности.

Далее рассматривается решение уравнения cos t = - 1/4. По аналогии с предыдущим примером, t = ± arccos (-1/4 + 2πk. Можно сказать, чтоarccos (-1/4 - это число (длина дуги АМ), косинус которого равен - ¼ и это число принадлежит II четвертиокружности, т.е. отрезкуот π/2 до π.

Исходя из двух примеров, дается определение арккосинусу: если модуль а меньше или равен 1, то arccos а это такое число из отрезка от 0 до π, косинус которого равен а. Тогда выражение cos t = a при модуле а меньше или равно 1 может иметь вид t = ± arccos a + 2πk. Далее указаны значения t при cos t = 0; cos t = 1; cos t = - 1.

Автор приводит пример 1. Найти решение выражения arcсos. Укажем, что данное значение arcсos равно t , следовательно, cos t равен этому значению, где t принадлежит отрезку от 0 до π. Пользуясь таблицей значений, найдем, что cos t соответствует значение t =π/6. Найдем соответствующее значение косинуса, где π/6 принадлежит отрезку от 0 до π.

Разберем пример 2. Вычислить arcсos отрицательного числа. Допустим, что arcсos этого числа равен, следовательно, cos t равен этому числу, где t принадлежит отрезку от 0 до π. По таблице значений увидим, какое значение соответствует cos t, это t = 5π/6. Т.е. cos 5π/6 это минус корень из трех, деленный на два, где 5π/6 принадлежит отрезку от 0 до π.

Далее автор рассматривает теорему: для любого а, принадлежащего отрезку от минус одного до одного, действительно равенство arccos a + arccos (-a) =π.При доказательстве для определенности считаем, что а > 0, тогда - а < 0. На окружности отметим arccos a, это длина АК, и arccos (- a), это длина TС. АК = ТС, т.к. они симметричны относительно вертикального диаметра окружности ТК. Следовательно, arccos a + arccos (- а) = АК + АТ = ТС + АТ =π. Из написанного равенства можно сделать вывод, что arccos (- а) = π- arccos a, где 0 ≤ а ≤ 1.

Когда а > 0, arccos a принадлежит I четверти окружности (отмечено на рисунке), а когда а < 0, arccos a принадлежит II четверти.

Рассмотрим еще один пример. Решить выражение, где cos t равен отрицательному числу. Запишем, чему в данном случае равно t.Тогда найдем величину арккосинуса, это 3π/4. Подставим найденное значение arcсos в значение t и получим, что t = ± 3π/4+ 2πk.

Разберем решение неравенства cos t. Для решения нам необходимо на числовой окружности найти точки, в которых х равен значению косинуса. Это точки со значениями π/4 и - π/4. Как видно на рисунке, длина дуги MN это - π/4≤ t ≤π/4. Значит ответом неравенства будет - π/4 + 2πk≤ t ≤ π/4+ 2πk.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Арккосинус. Решение уравнения cost = a

Рассмотрим решение уравнения cost = .

Учитывая, что cos t - это абсцисса точки М(t) (эм от тэ) числовой окружности, найдем на числовой окружности точки с абсциссой

На числовой окружности отметим точки М(t 1), N(t 2) - точки пересечения прямой х= с этой окружностью.

t 1 - это длина дуги АМ, t 2 - это длина дуги АN, t 2 = - t 1.

Когда математики впервые встретились с подобной ситуацией, они ввели новый символ arccos

arccos (арккосинус одной четвертой).

Тогда t 1 = arccos; t 2 = - arccos

И тогда корни уравнения cost = можно записать двумя формулами:

t = arccos + 2πk, t = - arccos + 2πk или t = arccos + 2πk.

Что значит arccos ?

Это число

(длина дуги АМ), косинус которого равен одной четвертой и это число принадлежит первой четверти, то есть отрезку .

Теперь рассмотрим уравнение

cost = - . Аналогично решению предыдущего уравнения, запишем

t = arccos) + 2πk.

Как понимать arccos(-)? Это число

(длина дуги АМ), косинус которого равен минус одной четвертой и это число принадлежит второй четверти, то есть отрезку [; ].

Дадим определение арккосинусу:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть | а | 1(модуль а меньше либо равно единице). Арккосинусом а называется такое число из отрезка , косинус которого равен а.(рис.1)

ПРИМЕР 1. Вычислить arсcos.(арккосинус корень из трех на два)

Решение. Пусть arсcos = t. Тогда cost = и t [ ; ](тэ принадлежит отрезку от нуля до пи). Вспомним значению cos соответствует

(Показать таблицу значений) Значит, t = (пи на шесть), так как cos = и . Значит, arсcos = .

arcos - это длина дуги, но длина дуги окружности это - t в определении cost

(Условно можно сказать что арккосинус это «значение угла», на который ушла точка от М от точки А, если вспомните то мы число t вводили как часть длины окружности, радиуса равного 1(одному), и тогда 2π- вся окружность равна 360°, π- половина окружности =180°, ==60°)

ПРИМЕР 2. Вычислить arсcos(- (арккосинус минус корень из трех на два).

Решение. Пусть arсcos(-) = t. Тогда cost = и t [ ; ](тэ принадлежит отрезку от нуля до пи). Значит, t = (пять пи на шесть), так как cos = - и [; ]. Итак, arсcos) = .

Докажем ТЕОРЕМУ. Для любого а [; ](а из отрезка от минус единицы до единицы) выполняется равенство arccosа+ arccos(-а) = π(сумма арккосинуса а и арккосинуса минус а равна пи).

Доказательство. Для определенности будем считать, что а 0, тогда - а 0. На числовой окружности отметим arcos а (это длина дуги АК) и

arccos(-а) (это длина дуги АТ) (смотри рис. 2)

Из доказанной теоремы следует: arcos (-а) = π - arcos а (арккосинус минус а равен разности пи и арккосинуса а), где 0 а 1(где а больше либо равно нулю и меньше либо равно единице).

Когда а > 0, считают, что arcosа принадлежит первой четверти числовой окружности.

Когда а < 0 считают, что arcosа принадлежит второй четверти числовой окружности.

ПРИМЕР 3. Решить уравнение cost = - .

Решение. Составим формулу решений: t = arccos(-)+ 2πk.

Вычислим значения арккосинуса: arccos(-) = π - arсcos = π - = .

(Согласно соотношению arccos(-) = π - arсcos arсcos , то подставив данное значение в формулу, получим, что arccos(-) =) .

Подставим найденное значение в формулу решений t = arccos(-)+ 2πk и получим значение t: t = + 2πk.

ПРИМЕР 4.Решить неравенство cost .

Решение. Мы знаем, что cost - это абсцисса точки М(t) на числовой окружности. Это значит, что нужно найти такие точки М(t) на числовой окружности, которые удовлетворяют неравенству х.

Прямая х = пересекает числовую окружность в двух точках М и N.

Неравенству х соответствуют точки открытой дуги МN. Точке М соответствует, а точке N -

- (минус пи на четыре).

Значит, ядром аналитической записи дуги МN является неравенство

T , а сама аналитическая запись дуги МN имеет вид