Вывод формулы расстояния от точки до прямой. Простейшие задачи с прямой на плоскости

Рассмотрим применение разобранных методов для нахождения расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости при решении примера.

Найдите расстояние от точки до прямой:

Сначала решим задачу первым способом.

В условии задачи нам дано общее уравнение прямой a вида:

Найдем общее уравнение прямой b, которая проходит через заданную точку перпендикулярно прямой:

Так как прямая b перпендикулярна прямой a, то направляющий вектор прямой b есть нормальный вектор заданной прямой:

то есть, направляющий вектор прямой b имеет координаты. Теперь мы можем записать каноническое уравнение прямой b на плоскости, так как знаем координаты точки М 1 , через которую проходит прямая b, и координаты направляющего вектора прямой b:

От полученного канонического уравнения прямой b перейдем к общему уравнению прямой:

Теперь найдем координаты точки пересечения прямых a и b (обозначим ее H 1), решив систему уравнений, составленную из общих уравнений прямых a и b (при необходимости обращайтесь к статье решение систем линейных уравнений):

Таким образом, точка H 1 имеет координаты.

Осталось вычислить искомое расстояние от точки М 1 до прямой a как расстояние между точками и:

Второй способ решения задачи.

Получим нормальное уравнение заданной прямой. Для этого вычислим значение нормирующего множителя и умножим на него обе части исходного общего уравнения прямой:

(об этом мы говорили в разделе приведение общего уравнения прямой к нормальному виду).

Нормирующий множитель равен

тогда нормальное уравнение прямой имеет вид:

Теперь берем выражение, стоящее в левой части полученного нормального уравнения прямой, и вычисляем его значение при:

Искомое расстояние от заданной точки до заданной прямой:

равно абсолютной величине полученного значения, то есть, пяти ().

расстояние от точки до прямой:

Очевидно, достоинством метода нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости, основанного на использовании нормального уравнения прямой, является сравнительно меньший объем вычислительной работы. В свою очередь первый способ нахождения расстояния от точки до прямой интуитивно понятен и отличается последовательностью и логичностью.

На плоскости зафиксирована прямоугольная система координат Oxy, задана точка и прямая:

Найдите расстояние от заданной точки до заданной прямой.

Первый способ.

Можно от заданного уравнения прямой с угловым коэффициентом перейти к общему уравнению этой прямой и действовать так же, как в разобранном выше примере.

Но можно поступить и иначе.

Мы знаем, что произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно 1 (смотрите статью перпендикулярные прямые, перпендикулярность прямых). Поэтому угловой коэффициент прямой, которая перпендикулярна заданной прямой:

равен 2. Тогда уравнение прямой, перпендикулярной заданной прямой и проходящей через точку, имеет вид:

Теперь найдем координаты точки H 1 - точки пересечения прямых:

Таким образом, искомое расстояние от точки до прямой:

равно расстоянию между точками и:

Второй способ.

Перейдем от заданного уравнения прямой с угловым коэффициентом к нормальному уравнению этой прямой:

нормирующий множитель равен:

следовательно, нормальное уравнение заданной прямой имеет вид:

Теперь вычисляем требуемое расстояния от точки до прямой:

Вычислите расстояние от точки до прямой:

и до прямой:

Получим нормальное уравнение прямой:

Теперь вычислим расстояние от точки до прямой:

Нормирующий множитель для уравнения прямой вида:

равен 1. Тогда нормальное уравнение этой прямой имеет вид:

Теперь мы можем вычислить расстояние от точки до прямой:

оно равно.

Ответ: и 5.

В заключении отдельно рассмотрим, как находится расстояние от заданной точки плоскости до координатных прямых Ox и Oy.

В прямоугольной системе координат Oxy координатную прямую Oy задает неполное общее уравнение прямой x=0, а координатную прямую Ox - уравнение y=0. Эти уравнения являются нормальными уравнениями прямых Oy и Ox, следовательно, расстояние от точки до этих прямых вычисляются по формулам:

соответственно.

Рисунок 5

На плоскости введена прямоугольная система координат Oxy. Найдите расстояния от точки до координатных прямых.

Расстояние от заданной точки М 1 до координатной прямой Ox (она задается уравнением y=0) равно модулю ординаты точки М 1 , то есть, .

Расстояние от заданной точки М 1 до координатной прямой Oy (ей соответствует уравнение x=0) равно абсолютной величине абсциссы точки М 1: .

Ответ: расстояние от точки М 1 до прямой Ox равно 6, а расстояние от заданной точки до координатной прямой Oy равно.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. В начертательной геометрии она определяется графическим путем по приведенному ниже алгоритму.

Алгоритм

1. Прямую переводят в положение, в котором она будет параллельна какой-либо плоскости проекции. Для этого применяют методы преобразования ортогональных проекций.
2. Из точки проводят перпендикуляр к прямой. В основе данного построения лежит теорема о проецировании прямого угла.
3. Длина перпендикуляра определяется путем преобразования его проекций или с использованием способа прямоугольного треугольника.

На следующем рисунке представлен комплексный чертеж точки M и прямой b, заданной отрезком CD. Требуется найти расстояние между ними.

Согласно нашему алгоритму, первое, что необходимо сделать, это перевести прямую в положение, параллельное плоскости проекции. При этом важно понимать, что после проведенных преобразований фактическое расстояние между точкой и прямой не должно измениться. Именно поэтому здесь удобно использовать метод замены плоскостей , который не предполагает перемещение фигур в пространстве.

Результаты первого этапа построений показаны ниже. На рисунке видно, как параллельно b введена дополнительная фронтальная плоскость П 4 . В новой системе (П 1 , П 4) точки C"" 1 , D"" 1 , M"" 1 находятся на том же удалении от оси X 1 , что и C"", D"", M"" от оси X.

Выполняя вторую часть алгоритма, из M"" 1 опускаем перпендикуляр M"" 1 N"" 1 на прямую b"" 1 , поскольку прямой угол MND между b и MN проецируется на плоскость П 4 в натуральную величину. По линии связи определяем положение точки N" и проводим проекцию M"N" отрезка MN.

На заключительном этапе нужно определить величину отрезка MN по его проекциям M"N" и M"" 1 N"" 1 . Для этого строим прямоугольный треугольник M"" 1 N"" 1 N 0 , у которого катет N"" 1 N 0 равен разности (Y M 1 – Y N 1) удаления точек M" и N" от оси X 1 . Длина гипотенузы M"" 1 N 0 треугольника M"" 1 N"" 1 N 0 соответствует искомому расстоянию от M до b.

Второй способ решения

• Параллельно CD вводим новую фронтальную плоскость П 4 . Она пересекает П 1 по оси X 1 , причем X 1 ∥C"D". В соответствии с методом замены плоскостей определяем проекции точек C"" 1 , D"" 1 и M"" 1 , как это изображено на рисунке.
• Перпендикулярно C"" 1 D"" 1 строим дополнительную горизонтальную плоскость П 5 , на которую прямая b проецируется в точку C" 2 = b" 2 .
• Величина расстояния между точкой M и прямой b определяется длиной отрезка M" 2 C" 2 , обозначенного красным цветом.

Похожие задачи:

Формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости

Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(M x , M y) до прямой можно найти, используя следующую формулу

Примеры задач на вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости

Пример 1.

Найти расстояние между прямой 3x + 4y - 6 = 0 и точкой M(-1, 3).

Решение. Подставим в формулу коэффициенты прямой и координаты точки

Ответ: расстояние от точки до прямой равно 0.6.

уравнение плоскости проходящей через точки перпендикулярно векторуОбщее уравнение плоскости

Ненулевой вектор , перпендикулярный заданной плоскости, называетсянормальным вектором (или, короче, нормалью ) для этой плоскости.

Пусть в координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы:

а) точка ;

б) ненулевой вектор (рис.4.8,а).

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно векторуКонец доказательства.

Рассмотрим теперь различные типы уравнений прямой на плоскости.

1) Общее уравнение плоскости P .

Из вывода уравнения следует, что одновременно A , B и C не равны 0 (объясните почему).

Точка принадлежит плоскостиP только в том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. В зависимости от коэффициентов A , B , C и D плоскость P занимает то или иное положение:

‑ плоскость проходит через начало системы координат, ‑ плоскость не проходит через начало системы координат,

‑ плоскость параллельна оси X ,

X ,

‑ плоскость параллельна оси Y ,

‑ плоскость не параллельна оси Y ,

‑ плоскость параллельна оси Z ,

‑ плоскость не параллельна оси Z .

Докажите эти утверждения самостоятельно.

Уравнение (6) легко выводится из уравнения (5). Действительно, пусть точка лежит на плоскости P . Тогда ее координаты удовлетворяют уравнениюВычитая из уравнения (5) уравнение (7) и группируя слагаемые, получим уравнение (6). Рассмотрим теперь два вектора с координатами соответственно. Из формулы (6) следует, что их скалярное произведение равно нулю. Следовательно, вектор перпендикулярен вектору Начало и конец последнего вектора находятся соответственно в точках которые принадлежат плоскости P . Следовательно, вектор перпендикулярен плоскости P . Расстояние от точкидо плоскости P , общее уравнение которой определяется по формулеДоказательство этой формулы полностью аналогично доказательству формулы расстояния между точкой и прямой (см. рис. 2).
Рис. 2. К выводу формулы расстояния между плоскостью и прямой.

Действительно, расстояние d между прямой и плоскостью равно

где ‑ точка лежащая на плоскости. Отсюда, как и в лекции № 11, получается выше приведенная формула. Две плоскости параллельны, если параллельны их нормальные вектора. Отсюда получаем условие параллельности двух плоскостей‑ коэффициенты общих уравнений плоскостей . Две плоскости перпендикулярны, если перпендикулярны их нормальные вектора, отсюда получаем условие перпендикулярности двух плоскостей, если известны их общие уравнения

Угол f между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами (см. рис. 3) и может, поэтому, быть вычислен по формуле
Определение угла между плоскостями.

(11)

Расстояние от точки до плоскости и способы его нахождения

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость. Существует, по крайней мере, два способа найти расстояние от точки до плоскости:геометрический и алгебраический .

При геометрическом способе нужно сначала понять, как расположен перпендикуляр из точки на плоскость: может он лежит в какой –то удобной плоскости, является высотой в какой-нибудь удобном (или не очень) треугольнике, а может этот перпендикуляр вообще является высотой в какой-нибудь пирамиде.

После этого первого и самого сложного этапа задача распадается на несколько конкретных планиметрических задач (быть может, в разных плоскостях).

При алгебраическом способе для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно ввести систему координат, найти координаты точки и уравнение плоскости, и после этого применить формулу расстояния от точки до плоскости.

Умение находить расстояние между разными геометрическими объектами важно, когда выполняются расчеты площади поверхности фигур и их объемов. В данной статье рассмотрим вопрос о том, как находить от точки до прямой расстояние в пространстве и на плоскости.

Математическое описание прямой

Чтобы понять, как находить расстояние от точки до прямой, следует разобраться с вопросом математического задания этих геометрических объектов.

С точкой все просто, она описывается набором координат, число которых соответствует мерности пространства. Например, на плоскости это две координаты, в трехмерном пространстве - три.

Что касается одномерного объекта - прямой, то для ее описания применяют несколько видов уравнений. Рассмотрим только два из них.

Первый вид называется векторным уравнением. Ниже приведены выражения для прямых в трехмерном и двумерном пространстве:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α × (a; b; c);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

В этих выражениях координаты с нулевыми индексами описывают точку, через которую проходит заданная прямая, набор координат (a; b; c) и (a; b) - это так называемые направляющие вектора для соответствующей прямой, α - это параметр, который может принимать любое действительное значение.

Векторное уравнение удобно в том плане, что оно явно содержит вектор направления прямой, координаты которого можно использовать при решении задач параллельности или перпендикулярности разных геометрических объектов, например двух прямых.

Второй вид уравнения, который мы рассмотрим для прямой, называется общим. В пространстве этот вид задается общими уравнениями двух плоскостей. На плоскости же он имеет следующую форму:

A × x + B × y + C = 0

Когда выполняют построение графика, то его часто записывают зависимостью от икса/игрека, то есть:

y = -A / B × x +(-C / B)

Здесь свободный член -C / B соответствует координате пересечения прямой с осью y, а коэффициент -A / B связан с углом наклона прямой к оси x.

Понятие о расстоянии между прямой и точкой

Разобравшись с уравнениями, можно непосредственно переходить к ответу на вопрос о том, как находить от точки до прямой расстояние. В 7 классе школы начинают рассматривать этот вопрос с определения соответствующей величины.

Расстоянием между прямой и точкой называется длина перпендикулярного этой прямой отрезка, который опущен из рассматриваемой точки. Ниже на рисунке изображена прямая r и точка A. Синим цветом показан перпендикулярный прямой r отрезок. Его длина является искомым расстоянием.

Здесь изображен двумерный случай, тем не менее данное определение расстояния справедливо и для трехмерной задачи.

Необходимые формулы

В зависимости от того, в каком виде записано уравнение прямой и в каком пространстве решается задача, можно привести две основные формулы, дающие ответ на вопрос о том, как найти расстояние между прямой и точкой.

Обозначим известную точку символом P 2 . Если уравнение прямой задано в векторном виде, то для d расстояния между рассматриваемыми объектами справедлива формула:

d = || / |v¯|

То есть для определения d следует вычислить модуль векторного произведения направляющего для прямой вектора v¯ и вектора P 1 P 2 ¯, начало которого лежит в произвольной точке P 1 на прямой, а конец находится в точке P 2 , затем поделить этот модуль на длину v¯. Эта формула является универсальной для плоского и трехмерного пространства.

Если задача рассматривается на плоскости в системе координат xy и уравнение прямой задано в общем виде, тогда следующая формула найти расстояние от прямой до точки позволяет так:

Прямая: A × x + B × y + C = 0;

Точка: P 2 (x 2 ; y 2 ; z 2);

Расстояние: d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 + B 2)

Приведенная формула является достаточно простой, однако ее использование ограничено отмеченными выше условиями.

Координаты проекции точки на прямую и расстояние

Ответить на вопрос о том, как находить расстояние от точки до прямой, можно также другим способом, не предполагающим запоминание приведенных формул. Этот способ заключается в определении точки на прямой, которая является проекцией исходной точки.

Предположим, что имеется точка M и прямая r. Проекция на r точки M соответствует некоторой точке M 1 . Расстояние от M до r равно длине вектора MM 1 ¯.

Как найти координаты M 1 ? Очень просто. Достаточно вспомнить, что вектор прямой v¯ будет перпендикулярен MM 1 ¯, то есть их скалярное произведение должно быть равным нулю. Добавляя к этому условию тот факт, что координаты M 1 должны удовлетворять уравнению прямой r, мы получаем систему простых линейных уравнений. В результате ее решения получаются координаты проекции точки M на r.

Описанная в этом пункте методика нахождения расстояния от прямой до точки может использоваться для плоскости и для пространства, однако ее применение предполагает знание векторного уравнения для прямой.

Задача на плоскости

Теперь пришло время показать, как использовать представленный математический аппарат для решения реальных задач. Предположим, что на плоскости задана точка M(-4; 5). Необходимо расстояние найти от точки М до прямой, которая описывается уравнением общего вида:

3 × (-4) + 6 = -6 ≠ 5

То есть M не лежит на прямой.

Поскольку уравнение прямой задано не в общем виде, приведем его к таковому, чтобы иметь возможность воспользоваться соответствующей формулой, имеем:

y = 3 × x + 6 =>

3 × x - y + 6 = 0

Теперь можно подставлять известные числа в формулу для d:

d = |A × x 2 + B × y 2 + C| / √(A 2 +B 2) =

= |3 × (-4) -1 × 5+6| / √(3 2 +(-1) 2) = 11 / √10 ≈ 3,48

Задача в пространстве

Теперь рассмотрим случай в пространстве. Пусть прямая описывается следующим уравнением:

(x; y; z) = (1; -1 ; 0) + α × (3; -2; 1)

Чему равно расстояние от нее до точки M(0; 2; -3)?

Так же, как и в предыдущем случае, проверим принадлежность M заданной прямой. Для этого подставим координаты в уравнение и перепишем его в явном виде:

x = 0 = 1 + 3 × α => α = -1/3;

y = 2 = -1 -2 × α => α = -3/2;

Поскольку получены разные параметры α, то M не лежит на этой прямой. Рассчитаем теперь расстояние от нее до прямой.

Чтобы воспользоваться формулой для d, возьмем произвольную точку на прямой, например P(1; -1; 0), тогда:

Вычислим векторное произведение между PM¯ и прямой v¯. Получаем:

= [(-1; 3; -3) * (3; -2; 1)] = (-3; -8; -7)

Теперь подставляем модули найденного вектора и вектора v¯ в формулу для d, получаем:

d = √(9 + 64 + 49) / √(9 + 4 + 1) ≈ 2,95

Этот ответ можно было получить, воспользовавшись описанной выше методикой, предполагающей решение системы линейных уравнений. В этой и предыдущей задачах вычисленные значения расстояния от прямой до точки представлены в единицах соответствующей системы координат.

Угол между прямыми на плоскости.

Определение.

Вывод формулы расстояния от точки до прямой

Вариант 1

Пусть на плоскости дана прямая l : ax + by + c = 0 и точка M 1 (x 1 ;y 1 ), не принадлежащая этой прямой. Найдем расстояние от точки до прямой. Под расстоянием ρ от точки M 1 до прямой l понимают длину отрезка M 0 M 1 ⏊l .

Для определения расстояния удобно использовать единичный вектор, коллинеарный нормальному вектору прямой.

Пояснение : поскольку точка M 0 лежит в на прямой l , то ее координаты должны удовлетворять уравнению данной прямой, т.е. ax 0 + by 0 + c = 0Вариант 2

Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как .

Доказательство. Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1: (1) Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений: Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду: A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0, то, решая, получим : Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим: . Теорема доказана.