Геометрия, 7─9, Л.С. Атанасян

Тема урока: Построение середины отрезка. Построение перпендикулярных прямых.

Цели: научить учащихся с помощью циркуля и линейки выполнять деление отрезка пополам; научить строить перпендикулярные прямые.

Оборудование: чертежные инструменты; интерактивная доска.

Учебная задача: научить делить отрезок пополам; научить строить перпендикулярные прямые.

I . Мотивационно-ориентировочная часть.

Организационный момент : проверка домашнего задания.

Актуализация знаний (тест) (выдаются распечатки теста)

1) Запишите определение окружности;

2) Диаметр окружности = это…

а) прямая, проходящая через центр окружности;

б)хорда, проходящая через центр окружности;

3) Центр окружности – это..

а)середина окружности;

б)точка, куда ставится ножка циркуля;

в)точка, равноудаленная от всех точек окружности;

4) Как называется отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности?

а)длина окружности;

б)радиус окружности;

в) половина диаметра окружности;

5) Какой треугольник называется равнобедренным? (записать определение)

6) Как называются стороны равнобедренного треугольника?

7) Перечислите свойства равнобедренного треугольника?

8) Какой треугольник называется равносторонним?

9) Что называют серединой отрезка?

10) С помощью циркуля и линейки постройте угол в 30 градусов.

Мотивация : Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Одна из труднейших задач на построение, которую уже тогда умели выполнять, - построение окружности, касающейся трех данных окружностей. Эта задача называется задачей Аполлона - по имени греческого геометра Аполлония из Перги (ок. 200 г. до н.э.)

Однако древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких задач относятся так называемые три знаменитые классические задачи древности: квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба.

Эти три задачи привлекали внимание выдающихся математиков на протяжении столетий, и лишь в середине ХIХ века была доказана их неразрешимость, т.е. невозможность указанных построений лишь с помощью циркуля и линейки. Эти результаты были получены средствами не геометрии, а алгебры, что еще раз подчеркнуло единство математики.

Сегодня мы познакомимся с двумя новыми задачами на построение.

Итак, запишем тему урока: «Построение середины отрезка. Построение перпендикулярных прямых». (слайд 1)

II . Содержательная часть.

Одной из двух задач на построение нашего сегодняшнего урока является задача на построение середины данного отрезка. (слайд 2)

Давайте её разрешим:

Дано: Построить: середину отрезка АВ.

Остроение

1) пусть АВ─данный отрезок;

2) построим две окружности с центрами А и В; Они пересекаются в точках P и Q.

3) проведем прямую PQ;

4) точка О пересечения этой прямой с отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ.

Докажем это: соединим точки А, В, P, Q отрезками. (по трем сторонам), поэтому . Следовательно, отрезок РО - биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т.е точка О-середина отрезка АВ. (слайд 3)

Итак, мы с вами разрешили первую задачу.

Давайте перейдем к задаче номер 2 нашей темы

Задача : дана прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.(слайд 4)

Ано: Построить: прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

Построение

1) дана прямая а и данная точка М принадлежит этой прямой;

2) на лучах прямой а, исходящих из точки М, отложим равные отрезки МА и МВ;

3) построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в двух точках: Р и Q.

4) проведем прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР.

Докажем, что прямая МР а: т.к медиана МР равнобедренного треугольника РАВ является также высотой, то МР а. (слайд 5)

Итак, мы с вами решили две задачи на построение, давайте закрепим это на решении следущей задачи..

Закрепление: (слайд 6)

Задача: Постройте прямоугольный треугольник по его катетам.

Ано: Построить: прямоуголный треугольник.

Построение

Учитель: Используя выше решенные задачи на построение, с чего мы можем начать?

Ученики: построить перпендикуляр к прямой

Учитель: правильно, только здесь мы будем строить перпендикуляр к лучу

Итак запишем:

1) чертим луч О ;

2) строим перпендикуляр к лучу О

3) точку пересечения лучей обозначим точкой А;

4) отложим от точки А катет равный b, и место пересечения b и луча О будет точка С.

5) отложим от точки А катет равный а вверх, поставим точку В.

6) соединим точки В и С, это гипотенуза;

7) треугольник АВС – искомый.

III . Рефлексивно─оценочная часть .

Учитель:В ходе урока мы решили две из основных задач на построение.

Чему мы научились?

Ученики: строить середину отрезка, строить перпендикулярные прямые.

Учитель: в ходе решения этих задач какие знания изученные ранее мы вспомнили и использовали?

Ученики:Мы вспомнили признаки равенства треугольников; использовали построения окружностей, отрезков, лучей.

Запишем задание на дом: № 154 и параграф 4 повторить пройденное и вновь изученное. Подготовиться к небольшой самостоятельной работе.(слайд 7)

1. Построение отрезка равного данному

Изобразим фигуры, данные в условии: луч ОС и отрезок АВ .

Построение:

Построим окружность радиуса АВ с центром в точке О .

Окружность пересечет луч ОС в некоторой точке D .

Отрезок ОD – искомый.

2. Построение угла равного данному

Построить:

Доказательство:

рассмотрим ΔАВС и ΔОDE.

1. АС=ОЕ, как радиусы одной окружности.

2. АВ=ОD, как радиусы одной окружности.

3. ВС=DE, как радиусы одной окружности.

ΔАВС = ΔОDЕ (по трем сторонам) А = О

Построение:

1. Построить произвольный луч.

2. Построить две равные окружности произвольного радиуса и окружность с центрами в начале луча и в вершине данного угла.

3. Найти и обозначить точки пересечения окружностей с лучом и со сторонами угла.

4. Построить окружность с центром в точке пересечения луча и окружности и радиусом, равным расстоянию между точками, построенными на сторонах угла.

5. Найти и обозначить точку пересечения окружностей.

6. Провести новый луч из начала луча через построенную точку пересечения окружностей.

7. Угол, образованный двумя построенными лучами, - искомый.

3. Построение биссектрисы угла

Дано:

Построить:

АВ - биссектриса

Доказательство:

Рассмотрим ∆АСВ и ∆ АDВ

1. АС=АD, как радиусы одной окружности.

2. СВ=DB, как радиусы одной окружности.

3. АВ – общая сторона.

∆АСВ = ∆ АDВ (по трем сторонам) луч АВ – биссектриса.

Построение:

1. Построить окружность произвольного радиусас центром в вершине угла.

2. Найти и обозначить точки пересечения окружности со сторонами угла.

3. Построить окружности с центрами в построенных точках и тем же радиусом.

4. Найти иобозначить точку пересечения окружностей.

5. Провести луч с началом в вершине угла через точку пересечения окружностей, - искомая биссектриса угла.

4. Построение перпендикулярных прямых

Случай

Дано:

Построить:

Доказательство:

1.АМ=МВ, как радиусы одной окружности.

2. АР=РВ, как радиусы одной окружности ∆АРВ р/б

3. РМ медиана в р/б треугольнике является также ВЫСОТОЙ.

Случай

Дано:

Построить:

Доказательство:

АМ=АN=MB=BN, как равные радиусы.

МN-общая сторона.

∆MВN= ∆MAN (по трем сторонам)

В р/б ∆АМВ отрезок МС является биссектрисой, а значит, и высотой.

Построение:

1. Построить окружность с центром в данной точке и радиусом больше расстояния от данной точки до прямой.

2. Найти и обозначить точки пересечения окружности с прямой.

3. Построить две равные окружности с центрами в построенных на прямой точках радиусом равным длине отрезка.

4. Найти и обозначить точку пересечения окружностей.

5. Провести прямую через данную точку, не лежащую на прямой и точку пересечения окружностей, - искомая прямая.

5.Построение середины отрезка

Дано:

Построить:

О – середина отрезка АВ.

Доказательство:

∆АРQ = ∆ BPQ (по трем сторонам) .

∆ АРВ р/б.

Отрезок РО является биссектрисой, а значит, и медианой.

Тогда, точка О – середина АВ.

Построение:

1. Построить две равные окружности с центрами в концах отрезка и радиусом равным АВ .

2. Обозначить точки пересечения окружностей.

3. Провести прямую через точки пересечения окружностей.

4. Обозначить точку пересечения прямой и отрезка, - искомая точка.

«Геометрические задачи на построение» - Медиана РМ равнобедренного треугольника. Построить окружность с центром в точке А и с радиусом АВ. Построение циркулем и линейкой. Работа со строкой параметров. На рисунке отрезки АВ и ЕF - хорды окружности, отрезок СВ - диаметр. Построение в соответствие с разработанным алгоритмом. Построение окружности с использованием геометрического калькулятора. Построим две окружности радиуса ВС с центрами» в точках В и С.

«Измерение отрезков и углов» - Сравнение фигур с помощью наложения. Москва. Политехнический музей. 1км. Совместились стороны ВА и ЕО. 1мм. Точка С – середина отрезка. 1м =. Совместились стороны ВМ и ЕС. Масштабная миллиметровая линейка, штангенциркуль, портной сантиметр. Совместились вершины В и Е. 1дм. Аb = cd. Другие единицы измерения. Ф1 = ф2. 1см. Сколько всего таких прямых можно провести? Луч ВО – биссектриса угла АВМ. http://www.physicsdepartment.ru/blog/images/0166.jpg.

««Треугольники» 7 класс» - Треугольник. 2-й признак. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Высота треугольника. Буквы. Два прямоугольных треугольника. Равносторонний и равнобедренный треугольник. Катеты. Элементы прямоугольного треугольника. Высота. Найти равные треугольники. 1 признак. 3-й признак. Биссектриса треугольника. Первое упоминание о треугольнике и его свойствах. Медиана треугольника. Закрепить знания о свойствах прямоугольных треугольников.

«Прямоугольный треугольник, его свойства» - Внимательно рассмотрим чертеж. Треугольник. Какой треугольник называется прямоугольным. Составим уравнение. Прямоугольный треугольник. Биссектриса. Катет прямоугольного треугольника. Решение. Развитие логического мышления. Свойства прямоугольного треугольника. Разминка. Свойство прямоугольного треугольника. Один из углов прямоугольного треугольника. Жители трех домов.

«Зачем нужна геометрия» - Виды треугольников. Из истории возникновения. Геометрия в разных языках. Как жить без геометрических фигур. Термин. Интересные вопросы. Зачем нужна геометрия. Свойства и теоремы. Раздел математики. А если б не было геометрии. Шуточная рифмовка теоремы Пифагора. Чему равен угол в квадрате. Где изучают геометрию. Весёлые стихотворения. Виды углов. Новое время. Зачем нужна наука геометрия.

«Геометрические понятия» - Отрезок. Вертикальные углы. Сумма трех углов. Геометрическая фигура. Длина. Мориц Эшер. Сосчитай, сколько на чертеже неразвернутых углов. Найди ошибку. Выберите вопрос. Единицы измерения длины отрезков. Равные углы. Пристальный взгляд. Отрезки. Вычислите градусную меру угла. Смежные углы. Эвклид. Виды углов. Свойства смежных и вертикальных углов. Произведения. Биссектриса угла. Точка. Закончите предложение.

Окружность

Окружность - геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся в заданном расстоянии от данной точки.

Эту точку называют центром окружности, а заданное расстояние - радиусом окружности.

Радиус - это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности. Из определения следует, что можно провести бесконечное количество радиусов и они все имеют одинаковую длину.

Отрезок, который соединяет две точки на окружности, называют хордой .

Если хорда проходит через центр окружности, то её называют диаметром окружности.

Диаметр - самая длинная хорда.

В окружности также можно провести бесконечное количество диаметров.

Если соединить две точки окружности не отрезком, а кривой, проходящей по самой окружности, то часть окружности между двумя точками называют дугой .

Если на окружности отметить две точки, то получаются две дуги. Поэтому для названия дуги используют три латинские буквы, которые могут быть как маленькие, так и большие.

В рисунке выше можем назвать: дуга \(BDH\), дуга \(ACG\) и другие.

В рисунке ниже нарисованы: дуга \(AxB\) и дуга\(AyB\).

Часть плоскости ограниченная окружностью называется кругом .

Задачи на построение

В задачах, где необходимо выполнить конструкции, используются циркуль и линейка .

Очень важно запомнить, что в этих задачах линейка не используется как инструмент для измерения, а исключительно только для того, чтобы провести прямую, луч или отрезок через две данные точки, то есть, чтобы провести прямую линию. Циркуль используется для построения окружности или дуги окружности.

Рассмотрим пять основных построений, в которых используем упомянутые действия - построение прямой линии и окружности:

1. На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.
2. Построение угла, равного данному.
3. Построение биссектрисы угла.

4. Построение перпендикулярных прямых.
5. Построение середины отрезка.

1. На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному .
См. видео.

Ясно, что таким образом мы получили отрезок, равный с данным. Соответственно определению окружности, она состоит из точек, расположенных на заданном расстоянии (радиусе) от некой точки (центра окружности).

Если центром служит начальная точка луча \(C\), радиусом - данный отрезок \(AB\), то точка пересечения окружности и луча \(D\) и есть искомая конечная точка отрезка \(CD\), равного с данным отрезком \(AB\).

2. Построение угла, равного данному .

См. видео.

Докажем, что построенный угол \(ECD\) и есть тот искомый угол, равный с данным углом \(AOB\).

Если мы построили окружность с центром \(C\) - начальной точкой луча и таким же радиусом как у окружности с центром \(O\), то\(CD\)\(=\)\(OB\).

Провели луч \(CE\). Очевидно \(OA\)\(=\)\(CE\).

Значит треугольники \(AOB\) и \(ECD\) равны по третьему признаку равенства треугольников, у них равны и углы, в том числе угол \(ECD\) равен с углом \(AOB\).

3. Построение биссектрисы угла .

См. видео.

Чтобы доказать, что \(OC\) действительно делит угол \(AOB\) пополам, достаточно рассмотреть треугольники \(AOC\) и \(BOC\).

Конспект урока «Построение середины отрезка. Построение перпендикулярных прямых»

обучающая: научить учащихся с помощью циркуля и линейки выполнять деление отрезка пополам; сформировать умения и навыки построения перпендикулярных прямых;

развивающая: развитие пространственного мышления, внимания;

воспитательная: воспитание трудолюбия и аккуратности.

Ход урока:

1. Актуализация основных теоретических понятий (5 мин).

Сначала можно провести фронтальный опрос по следующим вопросам:

• 1. Дайте определение окружности. Что такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности?
• 2. Какой треугольник называется равнобедренным? Как называются его стороны?
• 3. Какой треугольник называется равносторонним?
• 4. Что называют серединой отрезка?

2. Изучение нового материала (практическая работа) (20 мин)

Построение середины отрезка

При изучении нового материала используется таблица №4 приложения 4, по которой учащиеся составляют рассказ, как разделить данный отрезок пополам. После этого в тетрадях выполняются соответствующие построения.

Задача . Построить середину данного отрезка (объясняет учитель с помощью учащихся).

Решение . Пусть АВ - данный отрезок. Построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ (рис. 5).

Рис. 5

Они пересекаются в точках Р и Q. Проведем прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с отрезком АВ и искомая середина отрезка АВ.

В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трем сторонам, поэтому 1=2.

Следовательно, отрезок РО - биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т.е. точка О - середина отрезка АВ.

Построение перпендикулярных прямых

Здесь необходимо обратить внимание, что возможны два случая:

• 1. Точка принадлежит прямой;
• 2. Точка не принадлежит прямой.

После повторения учитель формулирует задачу и объясняет построение для первого случая.

При рассмотрении второго случая учащиеся при помощи таблицы 4 проводят построение и доказательство самостоятельно.

Задача . Через данную точку О провести прямую, перпендикулярную данной прямой а (объясняет учитель, после обсуждения с учениками).

Решение . Возможны два случая:

• 1) точка О лежит на прямой а;
• 2) точка О не лежит на прямой а.

Рассмотрим первый случай (рис. 6). Из точки О проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает прямую а в двух точках: А и В. из точек А и В проводим окружности радиусом АВ. Пусть С - точка их пересечения. Искомая прямая проходит через точки О и С.

Рис. 6

Перпендикулярность прямых ОС и АВ следует из равенства углов при вершине О треугольников АСО и ВСО.

Эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.

Рассмотрим построение и доказательство для второго случая (рис. 7).

Рис. 7

Из точки О проводим окружность, пересекающую прямую а. Пусть А и В-точки ее пересечения с прямой а. Из точек А и В тем же радиусом проводим окружности. Пусть О - точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка О. Искомая прямая проходит через точки О и О. Докажем это. Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и ОО. Треугольники АОВ и АОВ равны по третьему признаку. Поэтому угол ОАС равен углу ОАС. А тогда треугольники ОАС и ОАС равны по первому признаку. Значит, их углы АСО и АСО равны. А так как они смежные, то они прямые. Таким образом, ОС - перпендикуляр, опущенный из точки О на прямую а.

3. Закрепление (10 мин)

Задача. Постройте прямоугольный треугольник по его катетам.

Данную задачу ученик решает у доски, предварительно проведя ее анализ.

1. Анализ.

Рис. 8

Выполним чертёж - набросок (рис. 8).

СА=b, CB=a, АСВ=

2. Построение (рис. 9).

Рис. 9

• 1. На прямой отметим точку С и отложим отрезок СВ=а.
• 2. Построим прямую, проходящую через точку С перпендикулярную СВ.
• 3. Отложим отрезок СА=b
• 4. АВС - искомый.
• 3. Доказательство.

В АВС ВС=а, СА= b, ВDАС, следовательно, угол ВСА равен 90є. Значит треугольник АВС - искомый.

• 4. Подведение итога (3 мин)
• 1. В ходе урока мы решили две задачи на построение. Учились:
  • а) строить середину отрезка;
  • б) строить перпендикулярные прямые.
• 2. В ходе решения этих задач:
  • а) вспомнили признаки равенства треугольников;
  • б) использовали построения окружностей, отрезков, лучей.