Рациональные отрицательные числа примеры. Сущность и обозначение

Множество рациональных чисел

Множество рациональных чисел обозначается и может быть записано таком в виде:

При этом оказывается, что разные записи могут представлять одну и ту же дробь, например, и , (все дроби, которые можно получить друг из друга умножением или делением на одно и то же натуральное число, представляют одно и то же рациональное число). Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:

Здесь - наибольший общий делитель чисел и .

Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел . Легко видеть, что если у рационального числа знаменатель , то является целым числом. Множество рациональных чисел располагается на числовой оси всюду плотно: между любыми двумя различными рациональными числами расположено хотя бы одно рациональное число (а значит, и бесконечное множество рациональных чисел). Тем не менее, оказывается, что множество рациональных чисел имеет счётную мощность (то есть все его элементы можно перенумеровать). Заметим, кстати, что ещё древние греки убедились в существовании чисел, не представимых в виде дроби (например, они доказали, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2).

Терминология

Формальное определение

Формально рациональные числа определяются как множество классов эквивалентности пар по отношению эквивалентности , если . При этом операции сложения и умножения определяются следующим образом:

Связанные определения

Правильные, неправильные и смешанные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Правильные дроби представляют рациональные числа, по модулю меньшие единицы . Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной и представляет рациональное число, большее или равное единице по модулю.

Неправильную дробь можно представить в виде суммы целого числа и правильной дроби, называемой смешанной дробью . Например, . Подобная запись (с пропущенным знаком сложения), хотя и употребляется в элементарной арифметике , избегается в строгой математической литературе из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь.

Высота дроби

Высота обыкновенной дроби - это сумма модуля числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа - это сумма модуля числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.

Например, высота дроби равна . Высота же соответствующего рационального числа равна , так как дробь сокращается на .

Комментарий

Термин дробное число (дробь) иногда [уточнить ] используется как синоним к термину рациональное число , а иногда синоним любого нецелого числа. В последнем случае, дробные и рациональные числа являются разными вещами, так как тогда нецелые рациональные числа - всего лишь частный случай дробных.

Свойства

Основные свойства

Множество рациональных чисел удовлетворяют шестнадцати основным свойствам , которые легко могут быть получены из свойств целых чисел .

1. Упорядоченность . Для любых рациональных чисел и существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений : «», «» или «». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом: два положительных числа и связаны тем же отношением, что и два целых числа и ; два неположительных числа и связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа и ; если же вдруг неотрицательно, а - отрицательно, то .

   

   Суммирование дробей

2. Операция сложения . правило суммирования суммой чисел и и обозначается , а процесс отыскания такого числа называется суммированием . Правило суммирования имеет следующий вид: .
3. Операция умножения . Для любых рациональных чисел и существует так называемое правило умножения , которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число . При этом само число называется произведением чисел и и обозначается , а процесс отыскания такого числа также называется умножением . Правило умножения имеет следующий вид: .
4. Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел , и если меньше и меньше , то меньше , а если равно и равно , то равно .
5. Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.
6. Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
7. Наличие нуля . Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.
8. Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.
9. Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.
10. Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
11. Наличие единицы . Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.
12. Наличие обратных чисел . Любое ненулевое рациональное число имеет обратное рациональное число, умножение на которое даёт 1.
13. Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:
14. Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число.
15. Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число.
16. Аксиома Архимеда . Каково бы ни было рациональное число , можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт .

Дополнительные свойства

Все остальные свойства, присущие рациональным числам, не выделяют в основные, потому что они, вообще говоря, уже не опираются непосредственно на свойства целых чисел, а могут быть доказаны исходя из приведённых основных свойств или непосредственно по определению некоторого математического объекта. Таких дополнительных свойств очень много. Здесь имеет смысл привести лишь некоторые из них.

Счётность множества

Чтобы оценить количество рациональных чисел, нужно найти мощность их множества. Легко доказать, что множество рациональных чисел счётно . Для этого достаточно привести алгоритм, который нумерует рациональные числа, т. е. устанавливает биекцию между множествами рациональных и натуральных чисел. Примером такого построения может служить следующий простой алгоритм. Составляется бесконечная таблица обыкновенных дробей, на каждой -ой строке в каждом -ом столбце которой располагается дробь . Для определённости считается, что строки и столбцы этой таблицы нумеруются с единицы. Ячейки таблицы обозначаются , где - номер строки таблицы, в которой располагается ячейка, а - номер столбца.

Полученная таблица обходится «змейкой» по следующему формальному алгоритму.

Эти правила просматриваются сверху вниз и следующее положение выбирается по первому совпадению.

В процессе такого обхода каждому новому рациональному числу ставится в соответствие очередное натуральное число. Т. е. дроби ставится в соответствие число 1, дроби - число 2, и т. д. Нужно отметить, что нумеруются только несократимые дроби. Формальным признаком несократимости является равенство единице наибольшего общего делителя числителя и знаменателя дроби.

Следуя этому алгоритму, можно занумеровать все положительные рациональные числа. Это значит, что множество положительных рациональных чисел счётно. Легко установить биекцию между множествами положительных и отрицательных рациональных чисел, просто поставив в соответствие каждому рациональному числу противоположное ему. Т. о. множество отрицательных рациональных чисел тоже счётно. Их объединение также счётно по свойству счётных множеств. Множество же рациональных чисел тоже счётно как объединение счётного множества с конечным.

Разумеется, существуют и другие способы занумеровать рациональные числа. Например, для этого можно воспользоваться такими структурами как дерево Калкина - Уилфа, дерево Штерна - Броко или ряд Фарея .

Утверждение о счётности множества рациональных чисел может вызывать некоторое недоумение, т. к. на первый взгляд складывается впечатление, что оно гораздо обширнее множества натуральных чисел. На самом деле это не так и натуральных чисел хватает, чтобы занумеровать все рациональные.

Недостаточность рациональных чисел

См. также

Примечания

Литература

• И.Кушнир. Справочник по математике для школьников. - Киев: АСТАРТА, 1998. - 520 с.
• П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М.: глав. ред. физ.-мат. лит. изд. «Наука», 1977
• И. Л. Хмельницкий. Введение в теорию алгебраических систем

Определение рациональных чисел:

Рациональным числом называют число, которое может быть представлено в виде дроби. Числитель такой дроби принадлежит множеству целых чисел, а знаменатель принадлежит множеству натуральных чисел.

Почему числа называют рациональными?

По латински "рацио" (ratio) означает отношение. Рациональные числа могут быть представлены в виде отношения, т.е. другими словами в виде дроби.

Пример рационального числа

Число 2/3 есть рациональное число. Почему? Это число представлено в виде дроби, числитель которой принадлежит множеству целых чисел, а знаменатель - множеству натуральных чисел.

Больше примеров рациональных чисел см. в статье .

Равные рациональные числа

Разные дроби могут представлять одно рациональное число.

Рассмотрим рациональное число 3/5. Этому рациональному числу равны

Сократим числитель и знаменатель на общий множитель 2:

Мы получили дробь 3/5, а это значит, что

)- это числа с положительным или отрицательным знаком (целые и дробные) и ноль. Более точное понятие рациональных чисел, звучит так:

Рациональное число — число, которое представляется обычной дробью m/n , где числитель m — целые числа, а знаменатель n — натуральные числа, к примеру 2/3 .

Бесконечные непериодические дроби НЕ входят в множество рациональных чисел.

a/b , где a ∈ Z (a принадлежит целым числам), b ∈ N (b принадлежит натуральным числам).

Использование рациональных чисел в реальной жизни.

В реальной жизни множество рациональных чисел используется для счёта частей некоторых целых делимых объектов, например , тортов или других продуктов, которые разрезаются на части перед употреблением, или для грубой оценки пространственных отношений протяжённых объектов.

Свойства рациональных чисел.

Основные свойства рациональных чисел.

1. Упорядоченность a и b есть правило, которое позволяет однозначно идентифицировать между ними 1-но и только одно из 3-х отношений: «<», «>» либо «=». Это правило - правило упорядочения и формулируют его вот так:

• 2 положительных числа a=m a /n a и b=m b /n b связаны тем же отношением, что и 2 целых числа m a ⋅ n b и m b ⋅ n a ;
• 2 отрицательных числа a и b связаны одним отношением, что и 2 положительных числа |b| и |a| ;
• когда a положительно, а b — отрицательно, то a>b .

∀ a,b ∈ Q (a∨ a>b ∨ a=b)

2. Операция сложения . Для всех рациональных чисел a и b есть правило суммирования , которое ставит им в соответствие определенное рациональное число c . При этом само число c - это сумма чисел a и b и ее обозначают как (a+b) суммирование .

Правило суммирования выглядит так:

m a /n a +m b /n b =(m a ⋅ n b +m b ⋅ n a) /(n a ⋅ n b).

∀ a,b ∈ Q ∃ !(a+b) ∈ Q

3. Операция умножения . Для всяких рациональных чисел a и b есть правило умножения , оно ставит им в соответствие определенное рациональное число c . Число c называют произведением чисел a и b и обозначают (a⋅b) , а процесс нахождения этого числа называют умножение .

Правило умножения выглядит так: m a n a ⋅ m b n b =m a ⋅ m b n a ⋅ n b .

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Транзитивность отношения порядка. Для любых трех рациональных чисел a , b и c если a меньше b и b меньше c , то a меньше c , а если a равно b и b равно c , то a равно c .

∀ a,b,c ∈ Q (a∧ b⇒ a∧ (a = b ∧ b = c ⇒ a = c)

5. Коммутативность сложения . От перемены мест рациональных слагаемых сумма не изменяется.

∀ a,b ∈ Q a+b=b+a

6. Ассоциативность сложения . Порядок сложения 3-х рациональных чисел не оказывает влияния на результат.

∀ a,b,c ∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Наличие нуля . Есть рациональное число 0, оно сохраняет всякое другое рациональное число при складывании.

∃ 0 ∈ Q ∀ a ∈ Q a+0=a

8. Наличие противоположных чисел . У любого рационального числа есть противоположное рациональное число, при их сложении получается 0.

∀ a ∈ Q ∃ (−a) ∈ Q a+(−a)=0

9. Коммутативность умножения . От перемены мест рациональных множителей произведение не изменяется.

∀ a,b ∈ Q a ⋅ b=b ⋅ a

10. Ассоциативность умножения . Порядок перемножения 3-х рациональных чисел не имеет влияния на итог.

∀ a,b,c ∈ Q (a ⋅ b) ⋅ c=a ⋅ (b ⋅ c)

11. Наличие единицы . Есть рациональное число 1, оно сохраняет всякое другое рациональное число в процессе умножения.

∃ 1 ∈ Q ∀ a ∈ Q a ⋅ 1=a

12. Наличие обратных чисел . Всякое рациональное число, отличное от нуля имеет обратное рациональное число, умножив на которое получим 1.

∀ a ∈ Q ∃ a−1 ∈ Q a ⋅ a−1=1

13. Дистрибутивность умножения относительно сложения . Операция умножения связана со сложением при помощи распределительного закона:

∀ a,b,c ∈ Q (a+b) ⋅ c=a ⋅ c+b ⋅ c

14. Связь отношения порядка с операцией сложения . К левой и правой частям рационального неравенства прибавляют одно и то же рациональное число.

∀ a,b,c ∈ Q a⇒ a+c

15. Связь отношения порядка с операцией умножения . Левую и правую части рационального неравенства можно умножить на одинаковое неотрицательное рациональное число.

∀ a,b,c ∈ Q c>0 ∧ a⇒ a ⋅ c⋅ c

16. Аксиома Архимеда . Каким бы ни было рациональное число a , легко взять столько единиц, что их сумма будет больше a .

Старшие школьники и студенты математических специальностей, вероятно, с легкостью ответят на этот вопрос. А вот тем, кто по профессии далек от этого, будет сложнее. Что же это на самом деле такое?

Сущность и обозначение

Под рациональными числами подразумевают такие, которые могут быть представлены в виде обыкновенной дроби. Положительные, отрицательные, а также ноль тоже входят в это множество. Числитель дроби при этом должен быть целым, а знаменатель - представлять собой

Это множество в математике обозначается как Q и называется "полем рациональных чисел". Туда входят все целые и натуральные, обозначающиеся соответственно как Z и N. Само же множество Q входит в множество R. Именно этой буквой обозначают так называемые вещественные или

Представление

Как уже было сказано, рациональные числа - это множество, в которое входят все целые и дробные значения. Они могут быть представлены в разных формах. Во-первых, в виде обыкновенной дроби: 5/7, 1/5, 11/15 и т. д. Разумеется, целые числа также могут быть записаны в подобном виде: 6/2, 15/5, 0/1, -10/2 и т. д. Во-вторых, еще один вид представления - десятичная дробь с конечной дробной частью: 0,01, -15,001006 и т. д. Это, пожалуй, одна из наиболее часто встречающихся форм.

Но есть еще и третья - периодическая дробь. Такой вид встречается не очень часто, но все же используется. Например, дробь 10/3 может быть записана как 3,33333... или 3,(3). При этом различные представления будут считаться аналогичными числами. Так же будут называться и равные между собой дроби, например 3/5 и 6/10. Похоже, что стало ясно, что такое рациональные числа. Но почему для их обозначения используют именно этот термин?

Происхождение названия

Слово "рациональный" в современном русском языке в общем случае несет немного другое значение. Это скорее "разумный", "обдуманный". Но математические термины близки к прямому смыслу этого В латыни "ratio" - это "отношение", "дробь" или "деление". Таким образом, название отражает сущность того, что такое рациональные числа. Впрочем, и второе значение

недалеко ушло от истины.

Действия с ними

При решении математических задач мы постоянно сталкиваемся с рациональными числами, сами не зная этого. И они обладают рядом интересных свойств. Все они следуют либо из определения множества, либо из действий.

Во-первых, рациональные числа обладают свойством отношения порядка. Это означает, что между двумя числами может существовать только одно соотношение - они либо равны друг другу, либо одно больше или меньше другого. Т. е.:

либо a = b ; либо a > b, либо a < b.

Кроме того, из этого свойства также вытекает транзитивность соотношения. То есть если a больше b , b больше c , то a больше c . На языке математики это выглядит следующим образом:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

Во-вторых, существуют арифметические действия с рациональными числами, то есть сложение, вычитание, деление и, разумеется, умножение. При этом в процессе преобразований можно также выделить ряд свойств.

• a + b = b + a (перемена мест слагаемых, коммутативность);
• 0 + a = a + 0 ;
• (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность);
• a + (-a) = 0;
• ab = ba;
• (ab)c = a(bc) (дистрибутивность);
• a x 1 = 1 x a = a;
• a x (1 / a) = 1 (при этом a не равно 0);
• (a + b)c = ac + ab;
• (a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Когда же речь идет об обыкновенных, а не или целых числах, действия с ними могут вызывать определенные трудности. Так, сложение и вычитание возможны только при равенстве знаменателей. Если они изначально различны, следует найти общий, используя умножение всей дроби на те или иные числа. Сравнение также чаще всего возможно только при соблюдении этого условия.

Деление и перемножение обыкновенных дробей производятся в соответствии с достаточно простыми правилами. Приведение к общему знаменателю не нужно. Отдельно перемножаются числители и знаменатели, при этом в процессе выполнения действия по возможности дробь нужно максимально сократить и упростить.

Что касается деления, то это действие аналогично первому с небольшой разницей. Для второй дроби следует найти обратную, то есть

"перевернуть" ее. Таким образом, числитель первой дроби нужно будет перемножить со знаменателем второй и наоборот.

Наконец, еще одно свойство, присущее рациональным числам, называют аксиомой Архимеда. Часто в литературе также встречается название "принцип". Он действителен для всего множества действительных чисел, однако не везде. Так, этот принцип не действует для некоторых совокупностей рациональных функций. По сути же, эта аксиома означает, что при существовании двух величин a и b всегда можно взять достаточное количество a, чтобы превзойти b.

Область применения

Итак, тем, кто узнал или вспомнил, что такое рациональные числа, становится ясно, что они используются повсеместно: в бухгалтерии, экономике, статистике, физике, химии и других науках. Естественно, также место им есть в математике. Не всегда зная, что имеем дело с ними, мы постоянно используем рациональные числа. Еще маленькие дети, учась считать предметы, разрезая на части яблоко или выполняя другие простые действия, сталкиваются с ними. Они буквально нас окружают. И все же для решения некоторых задач их недостаточно, в частности, на примере теоремы Пифагора можно понять необходимость введения понятия

Как мы уже видели, множество натуральных чисел

замкнуто относительно сложения и умножения, а множество целых чисел

замкнуто относительно сложения, умножения и вычитания. Однако ни одно из этих множеств не замкнуто относительно деления, поскольку деление целых чисел может привести к дробям, как, например, в случаях 4/3, 7/6, -2/5 и т.д. Совокупность всех таких дробей образует множество рациональных чисел. Таким образом, рациональное число (рациональная дробь) есть такое число, которое можно представить в виде , где а и d - целые числа, причем d не равно нулю. Сделаем по поводу этого определения несколько замечаний.

1) Мы потребовали, чтобы d было отлично от нуля. Это требование (математически записываемое неравенством ) необходимо, поскольку здесь d является делителем. Рассмотрим следующие примеры:

Случай 1. .

Случай 2. .

В случае 1 d является делителем в смысле предыдущей главы, т. е. 7 есть точный делитель 21, В случае 2 d по-прежнему является делителем, но уже в другом смысле, поскольку 7 не есть точный делитель 25.

Если 25 назвать делимым, а 7 - делителем, то мы получим частное 3 и остаток 4. Итак, слово делитель используется здесь в более общем смысле и применимо к большему числу случаев, чем в гл. I. Однако в случаях, подобных случаю 1, должно оставаться применимым понятие делителя, введенное в гл. I; поэтому необходимо, как и в гл. I, исключить возможность d = 0.

2) Отметим, что, в то время как выражения рациональное число и рациональная дробь являются синонимами, само по себе слово дробь используется для обозначения любого алгебраического выражения, состоящего из числителя и знаменателя, как, например,

3) В определение рационального числа входит выражение «число, которое можно представить в виде , где а и d - целые числа и . Почему его нельзя заменить выражением «число вида , где а и d - целые числа и Причиной этому является то обстоятельство, что существует бесконечно много способов выражения одной и той же дроби (например, 2/3 можно также записать, как 4/6, 6/9, или или 213/33, или и т. п.), и нам желательно, чтобы наше определение рационального числа не зависело от частного способа его выражения.

Дробь определяется таким образом, что ее значение не меняется при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число. Однако не всегда можно сказать, просто посмотрев на данную дробь, является она рациональной или нет. Рассмотрим, например, числа

Ни одно из них в выбранной нами записи не имеет вида , где а и d - целые числа.

Мы можем, однако, произвести над первой дробью ряд арифметических преобразований и получить

Таким образом, мы приходим к дроби, равной исходу ной дроби, для которой . Число следовательно, рационально, но оно не было бы рациональным, если бы определение рационального числа требовало бы, чтобы число имело вид а/b, где а и b - целые числа. В случае дроби преобразования

приводят к числу . В последующих главах мы узнаем, что число не может быть представлено как отношение двух целых чисел и, следовательно, оно не рационально или, как говорят, иррационально.

4) Отметим, что всякое целое число рационально. Как мы только что видели, это верно в случае числа 2. В общем случае произвольных целых чисел можно, аналогично, приписать каждому из них знаменатель, равный 1, и получить их представление в виде рациональных дробей.