Циклические группы

Циклическая группа - группа, которая является собственной циклической подгруппой . В примере 5.7 группа G имеет циклическую подгруппу H 5 = G . Это означает, что группа G - циклическая группа. В этом случае элемент, который генерирует циклическую подгруппу, может также генерировать саму группу. Этот элемент далее именуется "генератор". Если g - генератор, элементы в конечной циклической группе могут быть записаны как

{e,g,g 2 ,….., g n-1 } , где g n = e .

Заметим, что циклическая группа может иметь много генераторов.

Пример 5.9

а. Группа G = - циклическая группа с двумя генераторами, g = 1 и g = 5 .

б. Группа - циклическая группа с двумя генераторами, g = 3 и g = 7 .

Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа показывает отношение между порядком группы к порядку ее подгруппы. Предположим, что G - группа и H - подгруппа G . Если порядок G и H - |G| и |H| , соответственно, то согласно этой теореме |H| делит |G| . В примере 5.7 |G| = 6 . Порядок подгруппы - |H1| = 1, | H2| = 3, |H3| = 2 и |H4| = 6 . Очевидно, все эти порядки есть делители 6 .

Теорема Лагранжа имеет очень интересное приложение. Когда дана группа G и ее порядок |G| , могут быть легко определены порядки потенциальных подгрупп , если могут быть найдены делители. Например, порядок группы G = - это |17| . Делители 17 есть 1 и 17 . Это означает, что эта группа может иметь только две подгруппы - нейтральный элемент и H 2 = G .

Порядок элемента

Порядок элемента в группе ord (a) (порядок (a)) является наименьшим целым числом n , таким, что a n = e . Иными словами: порядок элемента - порядок группы, которую он генерирует.

Пример 5.10

a. В группе G = , порядки элементов: порядок ord(0) = 1 , порядок ord (1) = 6 , порядок ord (2) = 3 , порядок ord (3) = 2 , порядок ord (4) = 3 , порядок ord (5) = 6 .

b. В группе G = , порядки элементов: порядок ord (1) = 1 , порядок ord (3) = 4 , порядок ord (7) =4 , порядок (9) = 2 .

Пусть M – некоторое подмножество группы G. Множество всевозможных произведений элементов из M и обратных к ним является подгруппой. Она называется подгруппой, порожденной подмножеством M, и обозначается через hMi. В частности, M порождает группу G, если G = hMi. Полезно следующее простое утверждение:

подгруппа H порождена подмножеством M тогда и

Если G = hMi и |M| < ∞, то G называется конечно порожденной .

Подгруппа, порожденная одним элементом a G, называется циклической и обозначается через hai. Если G = hai для некоторого a G, то G также называется циклической. Примеры циклических групп:

1) группа Z целых чисел относительно сложения;

2) группа Z(n) вычетов по модулю n относительно сложения;

ее элементами являются множества всех целых чисел, дающих один и тот же остаток при делении на данное число n Z.

Оказывается, этими примерами исчерпываются все циклические группы:

Теорема 2.1 1) Если G – бесконечная циклическая группа, то

G Z.

2) Если G – конечная циклическая группа порядка n , то

G Z(n).

Порядком элемента a G называется наименьшее натуральное число n, такое что an = 1; если такого числа не существует, то порядок элемента считается равным бесконеччности. Порядок элемента a обозначается через |a|. Отметим, что |hai| = |a|.

2 .1 . Вычислите порядки элементов групп S3 , D4 .

2 .2 . Пусть |G| < ∞, g G. Докажите, что |g| делит |G|.

2 .3 . Пусть g G, |g| = n. Докажите, что gm = e тогда и только тогда, когда n делит m.

2 .4 . Пусть |G| = n. Докажите, что an = e для всех a G.

2 .5 . Докажите, что группа четного порядка содержит элемент порядка 2.

2 .6 . Пусть группа G имеет нечетный порядок. Докажите, что для всякого a G найдется b G такой, что a = b2 .

2 .7 . Проверьте, что |x| = |yxy−1 |, |ab| = |ba|, |abc| = |bca| = |cab|.

2 .8 . Пусть a G, |a| = n и b = ak . Докажите, что |b| = n/НОД(n, k);

2 .9 . Пусть ab = ba. Докажите, что НОК(|a|, |b|) делится на |ab|. Приведите пример, когда НОК(|a|, |b|) 6= |ab|.

2 .10 . Пусть ab = ba, НОД(|a|, |b|) = 1. Докажите, что |ab| = |a||b|.

2 .11 . Пусть σ Sn – цикл. Проверьте, что |σ| равен длине σ.

2 .12 . Пусть σ Sn , σ = σ1 . . . σm , где σ1 , . . . , σm – независимые циклы. Проверьте, что |σ| = НОК(|σ1 |, . . . , |σm |).

2 .13 . Цикличны ли группы: а) Sn ;

б) Dn ;

в) µn := {z C | zn = 1}?

2 .14 . Докажите, что если |G| = p – простое число, то G – циклическая.

2 .15 . Докажите, что в неединичной группе G нет собственных подгрупп тогда и только тогда, когда |G| = p, т. е. G изоморфна Z(p) (p – простое число).

2 .16 . Докажите, что если |G| ≤ 5, то G абелева. Опишите группы порядка 4.

2 .17 . Пусть G – циклическая группа порядка n с образующим элементом a. Пусть b = ak . Докажите, что G = hbi тогда и только тогда, когда НОД(n, k) = 1, т.е. число образующих элементов в циклической группе порядка n равно ϕ(n), где ϕ – функция Эйлера :

2 .18 .* Докажите, что

2 .19 . Пусть G – циклическая группа порядка n, m|n. Докажите, что в G существует, причем ровно одна, подгруппа порядка m.

2 .20 . Найдите все образующие групп: а) Z, б) Z(18).

2 .21 . Докажите, что бесконечная группа имеет бесконечное число подгрупп.

2 .22 .* Пусть |G| < ∞. Докажите, что G циклична тогда и только тогда, когда |Gd | ≤ d для всех d N, где Gd = {x G | xd = e}.

2 .23 .* Пусть F – поле, G – конечная подгруппа в F . Докажите, что G циклична.

Р А З Д Е Л 3

Гомоморфизмы. Нормальные подгруппы. Факторгруппы

Отображение групп f: G −→ H называется гомоморфизмом , если f(ab) = f(a)f(b) для любых a, b G (так что изоморфизм

– частный случай гомоморфизма). Часто используются и другие разновидности гомоморфизма:

мономорфизм – инъективный гомоморфизм, эпиморфизм – сюръективный гомоморфизм, эндоморфизм – гомоморфизм в себя, автоморфизм – изоморфизм на себя.

Подмножества

Kerf = {a G | f(a) = 1} G

Imf = {b H | f(a) = b для некоторого a G} H

называются соответственно ядром и образом гомоморфизма f. Очевидно, Kerf и Imf являются подгруппами.

Подгруппа N < G называется нормальной (это обозначается N C G), если a−1 Na = N для всех a G; это эквивалентно тому, что Na = aN. Группа называется простой , если она не содержит собственных нормальных подгрупп.

Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой. Верно и обратное: каждая нормальная подгруппа является ядром некоторого гомоморфизма. Чтобы показать это, введем на множестве

16 Раздел 3. Гомоморфизмы, факторгруппы

G/N = {aN | a G} смежных классов по нормальной подгруппе N операцию: aN · bN = abN. Тогда G/N превращается в группу, которая называется факторгруппой по подгруппе N. Отображение f: G −→ G/N является эпиморфизмом, причем Kerf = N.

Каждый гомоморфизм f: G −→ H является композицией эпиморфизма G −→ G/Kerf, изоморфизма G/Kerf −→ Imf и мономорфизма Imf −→ H.

3 .1 . Докажите, что данные отображения являются гомоморфиз-

мами групп, и найдите их ядро и образ. а) f: R → R , f(x) = ex ;

б) f: R → C , f(x) = e2πix ;

в) f: F → F (где F – поле), f(x) = ax, a F ; г) f: R → R , f(x) = sgnx;

д) f: R → R , f(x) = |x|; е) f: C → R , f(x) = |x|;

ж) f: GL(n, F) → F (где F – поле), f(A) = det A;

з) f: GL(2, F) → G, где G – группа дробно-линейных функций (см. задачу 1 .8 ), F – поле,

и) f: Sn → {1, −1}, f(σ) = sgnσ.

3 .2 . При каком условии на группу G отображение f: G → G, заданное формулой

а) g 7→g2 б) g 7→g−1 ,

является гомоморфизмом?

3 .3 . Пусть f: G → H – гомоморфизм, a G. Докажите, что |f(a)| делит |a|.

3 .4 . Докажите, что гомоморфный образ циклической группы цикличен.

3 .5 . Докажите, что образ и прообраз подгруппы при гомоморфизме являются подгруппами.

3 .6 . Назовем группы G1 и G2 антиизоморфными, если существует биекция f: G1 → G2 такая, что f(ab) = f(b)f(a) для всех a, b G1 . Докажите, что антиизоморфные группы изоморфны.

3 .7 .* Докажите, что не существует нетривиальных гомоморфизмов Q → Z, Q → Q+ .

3 .8 .* Пусть G – группа, g G. Докажите, что для существования f Hom(Z(m), G) такого, что f(1) = g, необходимо и достаточно, чтобы gm = e.

3 .9 . Опишите

а) Hom(Z(6), Z(18)), б) Hom(Z(18), Z(6)), в) Hom(Z(12), Z(15)), г) Hom(Z(m), Z(n)).

3 .10 . Проверьте, что

α, β R, α2 + β2 6= 0 .

3. 11. (Обобщение теоремы Кэли.) Докажите, что сопоставление элементу a G подстановки xH 7→axH на множестве смежных классах по подгруппе H < G является гомоморфизмом G в группу S(G/H). Чему равно его ядро?

3. 12. Проверьте, что множество Aut G всех автоморфизмов группы G образует группу относительно композиции.

3. 13. Проверьте, что отображение f g : G → G, f g (x) = gxg −1 , где g G, является автоморфизмом группы G (такие автоморфизмы называют внутренними ). Проверьте, что внутренние автоморфизмы образуют подгруппу Inn G < Aut G.

3 .14 . Найдите группу автоморфизмов а) Z;

б) нециклической группы порядка 4 (см. задачу 2 .16 ); в) S3 ;

18 Раздел 3. Гомоморфизмы, факторгруппы

3 .15 . Верно ли, что: а) G C G, E C G;

б) SL(n, F) C GL(n, F);

в) скалярные ненулевые матрицы образуют нормальную подгруппу в GL(n, F);

г) диагональные (верхнетреугольные) матрицы с ненулевыми диагональными элементами образуют нормальную подгруппу в

д) An C Sn ;

е) Inn G C Aut G?

3 .16 . Пусть = 2. Докажите, что H C G.

3 .17 . Пусть M, N C G. Докажите, что M ∩ N, MN C G.

3 .18 . Пусть N C G, H < G. Докажите, что N ∩ H C H.

3 .19 . Пусть N C G, H < G. Докажите, что NH = HN < G.

3 .20 . Пусть H < G. Докажите, что xHx−1 C G.

3 .21 . Пусть H < K < G. Докажите, что H C K тогда и только тогда, когда K NG (H).

3 .22 . Пусть M, N C G, M ∩ N = E. Докажите, что M и N поэлементно перестановочны.

3 .23 . Докажите, что:

а) Образ нормальной подгруппы при эпиморфизме нормален; б) Полный прообраз нормальной подгруппы (при любом гомо-

морфизме) нормален.

3 .24 . Проверьте, что G/G E, G/E G.

3 .25 . Докажите, что Z/nZ – циклическая группа порядка n.

3 .26 .* Докажите, что:

г) R /R {1, −1};

е) GL(n, F)/SL(n, F) F ;

где GL+ (n, R) := {A GL(n, R) | det A > 0}.

3 .27 . Докажите, что Q/Z – периодическая группа (т.е. порядок любого ее элемента конечен), которая содержит единственную подгруппу порядка n для каждого натурального n. Каждая такая подгруппа – циклическая.

3 .28 .* Докажите, что: а) C(G) C G,

б) Inn G G/C(G).

3 .29 .* Пусть N C G, H < G. Докажите, что NH/N H/H ∩ N.

3 .30 .* Докажите, что если M C N C G, M C G, то

(G/M)/(N/M) G/N.

3 .31 . Докажите, что если G/C(G) циклическая, то G = C(G) (т.е. G/C(G) = E).

3 .32 . Назовем коммутатором элементов x и y группы G элемент := x−1 y−1 xy. Коммутант группы G – это ее подгруппа G0 , порожденная всеми коммутаторами. Докажите, что:

а) G0 C G;

б) Группа G/G0 абелева;

в) G абелева тогда и только тогда, когда G0 = E.

3 .33 . Пусть N C G. Докажите, что G/N абелева тогда и только тогда, когда N G0 .

3 .34 . Определим по индукции G(0) = G, G(n) = (G(n−1) )0 . Группа G называется разрешимой , если G(n) = E для некоторого n N. Проверьте, что:

а) подгруппы и факторгруппы разрешимой группы разрешимы;

б) если N C G такова, что N и G/N разрешимы, то G разрешима.

3 .35 . Докажите, что группа G разрешима тогда и только тогда, когда найдется цепочка подгрупп

E = Gn C Gn−1 C . . . C G1 C G0 = G

20 Раздел 3. Гомоморфизмы, факторгруппы

такая, что все факторгруппы Gk /Gk+1 абелевы.

3 .36 . Проверьте, что а) абелевы группы; б) группы S3 и S4 ;

в) подгруппа всех верхнетреугольных матриц в GL(n, F) (где F – поле)

являются разрешимыми.

3 .37 . Пусть G(n) – подгруппа в G, порожденная множеством {gn | g G}. Докажите, что:

а) G(n) C G;

б) G/G(n) имеет период n (т.е. в ней выполнено тождество xn = 1);

в) G имеет период n тогда и только тогда, когда G(n) = E.

3 .38 . Пусть N C G. Докажите, что G/N имеет период n тогда и только тогда, когда N G(n) .

3 .39 . Пусть G – группа (относительно композиции) отображений

φ : R → R вида x 7→ax + b (a 6= 0), H = {φ G | φ : x 7→x + b}. Докажите, что H C G. Чему равна G/H?

3 .40 . Определим на множестве G = Z × Z операцию:

(a, b)(c, d) = (a + (−1)b c, b + d)

Докажите, что G – группа и H = h(1, 0)i C G.

Подгруппы циклических групп

Следующая теорема описывает строение подгрупп циклических групп.

Теорема 1.4. Подгруппа циклической группы циклическая. Если G = (a)uH - неединичная подгруппа группы G,moH = (а п), где п - наименьшее натуральное число, такое что а п е Н.

Доказательство. Пусть G = (а) и Н - подгруппа группы G. Если подгруппа Н единичная, то Н = (е) - циклическая группа. Пусть Н - неединичная подгруппа. Обозначим через п наименьшее натуральное число, такое что а п е Н, и докажем, что Н = (а п). Включение (а п ) с Н очевидно. Докажем обратное включение. Пусть h е Н. Поскольку G = (а), то существует целый показатель к, такой что h = а к. Разделим к на п с остатком: к = nq + г, где 0 п. Если предположить, что г Ф 0, то получим h = а к = а па п ч а г, откуда a r = а~ п чН е Н. Пришли к противоречию с минимальностью показателя п. Следовательно, г = 0 и к - nq. Отсюда h = a k = а п ч е а"). Таким образом, Н с (а п), а значит, Н = (а п). Теорема доказана.

Порождающие элементы циклической группы

Какими элементами может порождаться циклическая группа? Отвечают на этот вопрос следующие две теоремы.

Теорема 1.5. Пусть дана циклическая группа G = (а) бесконечного порядка. Тогда (а) - (а к) тогда и только тогда, когда к - ± 1.

Доказательство. Пусть G = (а), |а| = °° и (а) = (а к). Тогда существует целое число п, такое что а = а кп. Отсюда а*" -1 = е, а так как | а = то кп - 1 = 0. Но тогда кп = 1 ик- ± 1. Обратное утверждение очевидно.

Теорема 1.6. Пусть дана циклическая группа G = (а) порядка т. Тогда (а) = (а к) тогда и только тогда, когда НОД(/с, т) = 1.

Доказательство. (=>) Пусть (а) = (а к), докажем, что НОД(/с, т) - 1. Обозначим НОДЦс, т) - d. Поскольку а е (а) - (а к), то а = а кп при некотором целом п. По свойству порядков элементов отсюда следует, что (1 - кп) : т, т.е. 1 - кп = mt при некотором целом t. Но тогда 1 = (кп + mt) : d, откуда d = 1 и НОД(/с, т) = 1.

(Пусть НОД (к, т) = 1. Докажем, что (а) = (а к). Включение (а к) с (а) очевидно. Обратно, из условия НОД№, т) = 1 следует существование целых чисел и и v, таких что ки + mv = 1. Пользуясь тем, что | а | - т, получаем а = a ku+mv = a ku a mv = а ки е (а к ). Следовательно, (а) = (а к ). Теорема доказана.

Напомним, что функция Эйлера ф(т) определяется как количество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа т и взаимно простых с т. Отсюда получаем следствие.

Следствие. Циклическая группа (а) порядка т имеет ф(т) различных порождающих элементов.

Для придания геометрической наглядности теореме 1.5 изобразим циклическую группу G = (а) порядка т точками окружности А 0 , А ь..., А т _ ь делящими ее на т равных частей. Элемент а к данной группы, соответствующий точке А к, будет порождающим тогда и только тогда, когда, соединяя последовательно точки А 0 , А к, А 2к и т.д., мы придем в точку А]. Найдем все такие к при т = 10 простым перебором случаев (рис. 1.5). В результате получим к = 1,3, 7, 9. Для циклической группы (а) это означает, что (а) = (а 3) = (а 7) = (а 9). Обратно: найдя к, взаимно простое с данным числом т, можно смело вычерчивать соответствующую «звездочку», твердо зная, что рано или поздно попадешь в каждую точку, ибо (а) = (а к).