Родился в небольшом городке на юге Англии в семье учителей, оба родителя имели склонность к математике, хотя и преподавали другие предметы. Математические способности самого Харди начали проявляться еще в возрасте двух лет.

В 1896 году он поступил в Тринити-колледж Кембриджского университета. Всего после двух лет учебы он занял четвертое место на конкурсе выпускников.

В 1900 году Харди становится сотрудником факультета, а с 1906 году становится лектором с нагрузкой в 6 часов в неделю, что давало много свободного времени для собственных исследований. В 1919 году он занял пост профессора математики в Оксфордском университете. В 1931 году Харди вернулся в Кембридж, где пробыл на посту профессора до 1942 года.

Одним из самых своих больших открытий сам Харди называл открытие индийского математика Рамануджана, с которым впоследствии написал много работ.

Начиная с 1911 года Харди очень плодотворно сотрудничает с Джоном Литлвудом. Большинство работ Харди написано именно в сооавторстве с Литлвудом. Ходила даже шутка, что в Англии живёт три великих математика - Харди, Литлвуд и Харди-Литлвуд, причем третий из них самый великий.

Член Лондонского королевского общества (1910).

Математическая работа

Харди предпочитал называть свою работу чистой математикой, в отличие от математики имевшей прикладное, особенное военное значение. В своей книге "Апология математика" он говорит:

Лучшие дня

Я никогда не делал чего-нибудь "полезного". Ни одно мое открытие не принесло или могло бы принести, явно или не явно, к добру или к злу, малейшего изменения в благоустройстве мира.

В теории чисел он занимался теорией простых чисел и теорией дзета-функции, а также проблемой Варинга. Вместе с Литлвудом они доказали несколько условных результатов а также выдвинули две важные гипотезы о распределении простых чисел.

В теории функций занимался теорией тригонометрических рядов и исследованием неравенств. Ряд работ посвящен теории интегральных преобразований и теории интегральных уравнений.

Г. Г. Харди {?}

Все было как обычно за преподавательским столом в столовой Крайст-колледжа, за исключением того, что за обедом с нами сидел в качестве гостя Годфри Гарольд Харди {292} . Он только что вернулся в Кембридж профессором математики. Все были в восторге от его возвращения. Ведь он, как говорили, не в пример Дираку и Бору, о которых постоянно твердят физики, самый настоящий, чистейший математик. К тому же он еще такой неортодоксальный, эксцентричный, ужасно радикальный, готовый спорить обо всем. Тогда - в 1931 году - в английском языке еще не было подходящего выражения, но в более поздние годы о нем бы, наверно, сказали, что он в какой-то степени наделен свойствами прославленной «звезды».

Сидя в дальнем конце стола, я внимательно приглядывался к Харди. Ему было тогда немногим больше пятидесяти, волосы у него уже поседели, лицо было очень загорелое - кожа, как у индейца, отливала бронзой. Красивое лицо с выдающимися скулами и тонким носом было суровым и одухотворенным, но оно совершенно преображалось, когда он внезапно разражался безудержным смехом уличного мальчишки. У него были темно-карие, блестящие, как у птицы, глаза. В те годы в Кембридже на каждом шагу встречались необычные, характерные лица, но даже и тогда, как мне показалось в тот вечер, Харди особенно отличался от других.

Я уж не помню, как он был одет. Вполне вероятно, под профессорской мантией на нем была спортивная куртка и серые фланелевые брюки. Подобно Эйнштейну, он одевался так, как ему нравилось, хотя в отличие от него несколько разнообразил свою одежду, питая склонность к дорогим шелковым рубашкам.

Когда после обеда мы сидели в профессорской за бутылкой вина, кто-то вспомнил, что Харди хотел поговорить со мной о крикете. Меня только год назад выбрали членом ученого совета колледжа, но Крайст-колледж был в то время небольшим учебным заведением, и спортивные пристрастия даже младших научных сотрудников быстро становились известными. Без всяких представлений меня просто усадили рядом с ним. Как я впоследствии обнаружил, Харди был застенчив и неловок на всех официальных приемах и до смерти не любил, чтобы его представляли. Наклонив голову, словно это было признанием нашего знакомства, он без всяких предисловий спросил:

Вы, надо полагать, разбираетесь в крикете, не так ли?

Да, - ответил я, - немного разбираюсь.

Он тут же подверг меня довольно строгому экзамену. Играл ли я сам в крикет? Каким был игроком? Из его вопросов я понял, что он терпеть не мог таких субъектов - а их тогда было множество в университетской среде, - которые усердно читали спортивную литературу, но сами никогда ни во что не играли. По-видимому, я в какой-то степени убедил его в том, что играю в крикет, и он перешел к обсуждению преимущественно тактических вопросов крикетной игры. Кого бы я поставил капитаном команды на матче в прошлом сезоне 1930 года? Какова была бы моя стратегия и тактика игры, если бы было решено, что Сноу и есть тот самый человек, которому можно доверить спортивную честь Англии? И все в таком же роде. Он был так поглощен этой беседой о крикете, что, казалось, и вовсе забыл о существовании всех остальных, сидевших с нами за столом.

В дальнейшем я имел возможность неоднократно убедиться в том, что при знакомстве с людьми Харди не доверял своей интуиции или личным впечатлениям, а также не полагался на отзывы других. По мнению Харди, единственный способ правильно определить и оценить знания человека - это проверить его. Это относилось к математике, литературе, философии, политическим наукам и ко всему, чему хотите. Если проверяемый сначала пускал пыль в глаза, а потом терялся от задаваемых вопросов, ему приходилось пенять на себя. Самое существенное в человеке быстро распознавалось глубоким и острым умом Харди.

В тот вечер в профессорской требовалось выяснить, стоит ли со мной беседовать о крикете. Все остальное не имело значения. Под конец нашей беседы Харди чрезвычайно обаятельно, как-то по-детски открыто улыбнулся и сказал мне, что в следующем сезоне университетская крикетная площадка может оказаться вполне подходящим местом, чтобы основательно продолжить наш разговор.

Как своим знакомством с Ллойд Джорджем я был обязан его увлечению френологией {293} , так и своей дружбой с Харди я обязан тому, что в молодости несообразно много времени уделял игре в крикет. Не знаю, какой тут можно сделать вывод. Во всяком случае, мне чрезвычайно повезло: дружба с Харди была в интеллектуальном смысле самой ценной в моей жизни. Как я уже сказал, он был человеком глубокого, выдающегося ума, так что рядом с ним каждый казался немного тусклым, немного скучным и немного скованным. Харди не был таким великим гением, как, скажем, Эйнштейн или Резерфорд. С обычной для него простотой он говорил, что если слово «гений» действительно что-то значит, то он «не из их числа». В лучшем случае, замечал Харди, он некоторое время был на пятом месте среди лучших математиков мира. Поскольку характер Харди был таким же прямым и прекрасным, как и его разум, он постоянно утверждал, что его друг Литлвуд, с которым они совместно написали большинство своих работ, несомненно, является более сильным математиком, чем он, а о своем протеже Рамануджане {294} он всегда говорил, что тот, безусловно, прирожденный математический гений.

Люди иногда думали, что он сознательно недооценивал себя, когда так отзывался об этих своих друзьях. Действительно, Харди был великодушен и не завистлив, насколько это возможно для человека, но мне кажется, что мы совершим ошибку, не поверив в искренность его суждений. Я лично предпочитаю верить тому, что он сказал в своей «Апологии математика», где так гордо и вместе с тем так скромно прозвучали его слова: «Я говорю себе, когда бываю угнетен и вынужден слушать разглагольствования напыщенных и надоедливых людей: „Ну что ж, я по крайней мере сделал то, чего вы никогда не сможете, - работал как равный с Литлвудом и Рамануджаном“».

Точная оценка значения Харди - дело историков математики (хотя это крайне трудная задача, поскольку большинство его лучших работ написаны им в соавторстве). В одном, однако, он явно превосходил Эйнштейна, Резерфорда и других великих гениев - в способности обращать умственный труд (большой и малый и даже просто шутку) в произведение искусства. Думаю, что главным образом именно эта способность приносила ему огромное духовное наслаждение. Когда вышла его «Апология математика», Грэм Грин писал, что наряду с записными книжками Генри Джеймса ее можно назвать творческим отчетом художника. Вспоминая то впечатление, которое Харди производил на окружающих, я полагаю, что в этом надо искать ключ к пониманию его личности.

Харди родился в 1877 году в скромной учительской семье. Его отец был казначеем и учителем закрытой средней школы в Кренли, а мать - старшей преподавательницей в педагогическом колледже. Оба были людьми одаренными, со склонностью к математике. В данном случае, как и в биографиях большинства математиков, не приходилось долго отыскивать влияния наследственности. В отличие от Эйнштейна у Харди уже в раннем детстве проявились способности будущего математика. В два года он уже писал числа до миллиона (что является первым признаком математической одаренности). Когда его водили в церковь, он забавлялся тем, что разлагал на множители номера церковных псалмов. Уже с той поры он начал играть с цифрами, сохранив эту привычку на всю жизнь.

Харди рос в просвещенной, культурной семье. Его родители, возможно, были люди несколько ограниченные, но очень добрые. Дети в такой старомодной викторианской семье были окружены нежной, но, по-видимому, требовательной заботой.

Ребенком Харди был необычным. С ранних детских лет он отличался болезненной застенчивостью. Родители знали, что он удивительно умен, и он сам это понимал. Он был первым учеником в классе, и ему приходилось публично, на торжественных собраниях всей школы, получать награды, что было для него ужасным испытанием. Как-то за обедом он рассказал мне, что в школьные годы иногда нарочно отвечал на задаваемые вопросы неправильно, чтобы отделаться от невыносимо тягостной церемонии вручения наград. Однако у него никогда не было способности к обману, и ему все равно по-прежнему давали награды.

Со временем он отчасти избавился от своей застенчивости и стал стремиться к соревнованию с другими. В «Апологии математика» он говорит: «Не помню, чтобы мальчиком я питал страсть к математике, а мысль о том, что я могу добиться успеха как математик, была далека от благородных побуждений. Я относился к математике с точки зрения сдачи экзаменов: мне хотелось опередить других учеников, а математика казалась мне наиболее верным средством для достижения этой цели».

Однако по натуре своей он был человек чересчур деликатный. В отличие от Эйнштейна, чье могучее «я» целиком погрузилось в исследование внешнего мира еще до того, как он достиг духовной зрелости, Харди постоянно должен был укреплять свои духовные силы. Время от времени ему приходилось убеждать себя в правоте (чего Эйнштейну никогда не требовалось) своих этических взглядов. Зато это породило у него глубокую самооценку и удивительную прямоту характера, так что он мог говорить о себе с полнейшей простотой (чего не было у Эйнштейна).

Надо полагать, что вот с такими противоречивыми или неловкими чертами его характера была связана и некоторая странность в его поведении. Харди был решительным, так сказать, классическим противником всякой самовлюбленности. Он, например, терпеть не мог фотографироваться, и, насколько мне известно, едва ли наберется с полдюжины его фотографий. В квартире у него не было ни одного зеркала, даже зеркала для бритья. Когда он останавливался в отеле, то у себя в номере он первым делом завешивал полотенцами все зеркала. Это выглядело бы достаточно странным даже в том случае, если бы он походил на какого-нибудь фантастического урода, и казалось особенно странным, потому что он до конца дней своих был действительно привлекательным человеком.

В данном случае его поведение выглядело чудачеством. Тут между ним и Эйнштейном также можно отметить различие. Те, кто много общался с Эйнштейном - как, например, Инфельд, - обнаруживали, что, чем ближе они узнавали его, тем больше он казался странным и непохожим на других. Я убежден, что и я со временем почувствовал бы то же самое. С Харди дело обстояло совершенно иначе. Его поведение часто разнилось от общепринятого, выглядело странным, но это, по-видимому, было лишь каким-то наслоением, потому что в действительности он вовсе не отличался от нас, разве что был более деликатным, менее надутым и к тому же очень тонким человеком.

Одна из особенностей детства Харди была весьма прозаической и, по существу, означала устранение всех практических препятствий с его жизненного пути. Сам Харди с его кристальной честностью меньше всего разбирался в том, как надо устраиваться в жизни. Он понимал, что такое превосходство, и знал, что обладает им. Его родители не имели средств, кроме своего учительского жалованья, но у них были большие связи в учебных кругах Англии конца прошлого века. А в нашей стране дельный совет всегда значил больше, чем деньги. Скажем, стипендию наверняка получишь, если знаешь, какими путями ее добиться. Никогда не возникало ни малейшего сомнения в том, что молодой Харди может не получить ее, как это случалось с молодым Уэллсом или Эйнштейном.

Действительно, в двенадцать лет ему дали стипендию в Уинчестерской школе, которая и тогда, и долгие годы спустя считалась лучшей математической школой в Англии. Стипендию ему дали просто потому, что в Кранли-Скул {295} он уже достиг значительных успехов в математике, выполнив ряд серьезных работ (между прочим, любопытно, какое высшее учебное заведение смогло бы в наши дни проявить такую же мудрость?). Харди был первым учеником по математике, но и по другим классическим предметам он не отставал от лучших учеников колледжа. Он не любил школу, но любил занятия. Подобно всем закрытым учебным заведениям викторианского времени, Уинчестерская школа была достаточно неприятным местом. В одну из зим Харди едва там не умер. Он завидовал Литлвуду и другим своим друзьям, которые учились в обычных средних школах. Окончив Уинчестерскую школу, Харди никогда больше туда не заглядывал, но он вышел из нее с уверенностью человека, который находится на верном пути и имеет возможность получить стипендию в Тринити-колледже.

В колледже ему пришлось испытать некоторые злоключения. Дело в том, что Харди решил - как я полагаю, еще в Уинчестерской школе, - что он не верит в бога. Это было твердое решение, точное и ясное, как и все другие его логические построения. В Тринити-колледже посещение церкви было обязательным. Но Харди заявил декану (не сомневаюсь, что это было сказано с присущей ему застенчивостью, но убежденно), что совесть не позволяет ему посещать церковь. Декан, обычный чиновник, потребовал, чтобы Харди написал об этом родным. Он знал, а еще лучше знал это сам Харди, что подобное известие огорчит его родителей, людей глубоко верующих, и причинит им такую боль, какую мы в наше время, семьдесят лет спустя, и представить себе не можем.

Совесть мучила Харди. Он не был еще настолько зрелым, чтобы найти выход из этого положения. Не догадался он - как с горечью рассказывал мне много лет спустя, - обратиться за советом к более рассудительным товарищам, которые могли поддержать и надоумить его. В конце концов он не выдержал и написал родным.

С тех пор, отчасти благодаря этому случаю, Харди стал открытым и деятельным безбожником. Он отказывался идти в церковь даже тогда, когда там устраивались официальные собрания, например выбирался глава колледжа. У него были друзья среди священников, но бог всегда оставался его личным врагом.

В студенческие годы было у него и еще одно беспокойство. Почти со времени Ньютона в Кембридже господствовала старая система математических экзаменов для получения отличий. Англичане всегда - и больше, чем другие народы, - придавали значение конкурсным экзаменам. Они проводились с традиционной справедливостью, но и с весьма тупым формализмом (что, между прочим, сохранилось и до наших дней). Особенно это сказывалось на экзаменах для получения отличий по математике, когда обычно задавались весьма каверзные вопросы, причем, к несчастью, такие, которые не давали возможности экзаменующемуся проявить свое математическое воображение, интуицию или творческие способности. Из числа студентов, успешно справлявшихся с такого рода экзаменом, по полученным баллам в строго установленном порядке отбирались особо отличившиеся. Если кого-либо объявляли лучшим из них, то в его честь в колледжах устраивались особые торжества. Первые два или три из числа признанных особо отличившимися тут же выбирались в члены научного общества колледжа.

Все это было вполне в английском духе. Беда состояла в том (как указывал Харди, когда стал выдающимся математиком и вместе со своим первым другом Литлвудом ратовал за уничтожение этой системы), что такого рода опрос на экзаменах вот уже более ста лет весьма эффективно губил в Англии серьезных математиков.

С самого начала своих занятий в Тринити-колледже Харди попал в путы этой системы. Надо было научиться преодолевать, как скаковая лошадь, множество таких математических упражнений, которые он и в девятнадцать лет считал бессмысленными.

Ему наняли известного репетитора, который славился тем, что весьма успешно готовил к сдаче таких экзаменов. Репетитор в совершенстве знал все препоны и все козни, чинимые экзаменаторами, и величественно пренебрегал самой математикой. Молодой Эйнштейн тут бы, конечно, взбунтовался: он или ушел бы из Кембриджа, или не стал бы тратить время на столь формальную подготовку. Но Харди получил воспитание в типично английской, очень трудолюбивой учительской семье, которой присущи и свои достоинства и свои недостатки.

В 1898 году Харди после сдачи экзамена оказался на четвертом месте. Это несколько разозлило его, как он признавался впоследствии. Но он был достаточно настойчив, чтобы продолжать соревнование, даже такое нелепое, ибо был уверен, что победит. В 1900 году Харди успешно выдержал экзамен, что дало ему право на получение стипендии и позволяло остаться в университете для исследовательской работы.

Именно тогда, в сущности, и определилась его жизнь. Харди поставил перед собой цель - внести строгую точность в английский математический анализ. Он никогда не оставлял исследовательской работы, которую называл «постоянным величайшим счастьем своей жизни». Не было у него сомнений и в том, чем он должен заниматься. Ни он сам, ни люди, знавшие его, не сомневались в его большом таланте. В тридцать три года его избрали академиком, членом Королевского общества содействия успехам естествознания.

Харди чрезвычайно повезло во многих отношениях. Ему не пришлось думать о своей ученой карьере. А с двадцати трех лет он имел и полную свободу, о которой только мог мечтать человек, и средства, какие ему были необходимы.

Он прожил свою жизнь счастливее, чем большинство из нас. У него было много друзей, и удивительно разных. Все они подвергались скрытой проверке с целью обнаружения у них того, что он называл «spin» (этот непереводимый дословно термин крикетной игры употреблялся им в переносном смысле, и означал известное отклонение от прямолинейности или способность к ироническому восприятию. Из недавних политических деятелей у Макмиллана {296} и Кеннеди были бы в этом смысле высокие показатели, а у Черчилля и Эйзенхауэра - низкие). Что касается самого Харди, то он всегда был человеком терпимым; он очень любил своих друзей, хотя открыто и не проявлял своих чувств. Однажды мне довелось прийти к нему утром, когда он обычно занимался математикой. Харди сидел за письменным столом и что-то писал своим четким, красивым почерком. Я пробормотал обычную в таких случаях банальную фразу, что, мол, надеюсь, не помешал. Он внезапно усмехнулся своей озорной усмешкой и сказал:

Как вы непременно должны были бы заметить, ваши надежды не оправдались и вы помешали. И все же я всегда рад вас видеть.

За шестнадцать лет, что мы знали друг друга, я не слышал от него большего упрека. И только на смертном одре он укоризненно заметил, что всегда с нетерпением ожидал моего прихода.

С насмешливым стоицизмом Харди писал в «Апологии математика» - книге, где, несмотря на всю ее жизнерадостность, сквозит глубокая печаль, - что когда человек творческого труда теряет силы или желание творить, то, «как это ни жаль, в таком случае он теряет и свое значение, и глупо было бы возиться с ним».

Вот так же он смотрел и на себя вне математики. Она была оправданием всей его жизни. Это обычно не замечалось теми, кто находился в его блестящем обществе, точно так же как в общении с Эйнштейном легко забывалось, что только физика была для него единственной целью и оправданием его существования. Но и тот, и другой всегда помнили об этом. Это была основа основ их жизни с юношеских лет и до самой смерти.

В отличие от Эйнштейна Харди начинал не так уж стремительно. Его ранние работы между 1900 и 1911 годами были достаточно серьезны, чтобы он мог стать членом Королевского общества и добиться международного признания, но сам он не считал их значительными. С его стороны это было не ложной скромностью, а суждением опытного мастера, который ясно видит достоинства и недостатки своей работы.

В 1911 году началось его научное содружество с Литлвудом {297} , которое продолжалось тридцать пять лет, почти до самой смерти Харди. В 1913 году он открыл никому не известного индийского математика Рамануджана, что положило начало еще одному научному содружеству. Все свои работы Харди создал вместе с ними, главным образом с Литлвудом, причем их сотрудничество стало самым прославленным в истории математики. Ничего подобного еще не встречалось в какой-нибудь другой области науки или творческой деятельности. Вместе с Литлвудом он написал около ста научных работ. Многие из них имеют весьма большое значение.

Работы Харди - Литлвуда в течение жизни целого поколения господствовали в английской чистой математике и оказали значительное влияние на развитие этой науки во всем мире. Еще преждевременно судить - так говорили мне математики, - в какой степени они определили направление математического анализа или как скажется влияние их работ в ближайшие сто лет. Но их непреходящая ценность вне всякого сомнения.

Нет никаких свидетельств о том, как они наладили свою совместную работу. В самый деятельный период их сотрудничества они даже работали в разных университетах.

На протяжении многих лет Харди часто рассказывал мне о себе, говорил он почти обо всем, за исключением того, как осуществлялось их научное содружество, хотя и указывал, что оно было главной удачей в его творческой работе. Сам же я не настолько знаком с математикой, чтобы разбираться в их работах.

С полной откровенностью Харди поведал нам, как он открыл индийского математика Рамануджана. «В моей жизни случай этот весьма романтический», - писал он. В один из дней (дело происходило в 1913 году) Харди за завтраком увидел среди утренней почты, лежавшей на столе, большой замусоленный конверт с индийским почтовым штемпелем. Вскрыв его, он обнаружил мятые листы бумаги, исписанные странным, незнакомым почерком и усеянные математическими обозначениями. Харди взглянул на них без особого интереса. К тому времени он был уже ученым с мировым именем, а знаменитых ученых, как ему пришлось убедиться, довольно часто осаждают письмами разные чудаки. Он уже привык получать рукописи, в которых трактовались то пророческая мудрость Великой пирамиды {298} , то откровения мудрецов Сиона, то способы тайнописи, которыми пользовался Бэкон {299} в пьесах так называемого Шекспира.

Итак, Харди со скукой поглядел на эти листки. Он пробежал письмо, как видно с трудом написанное по-английски и подписанное неизвестным ему индийским именем. В письме обращались к нему с просьбой высказать свое мнение по поводу прилагаемых математических открытий.

На беглый взгляд рукопись состояла из теорем, большинство которых казались дикими или фантастическими, а две или три были давно известны, но преподносились так, словно о них говорится впервые. Харди не только скучал, но и испытывал раздражение. Все это казалось ему какой-то мистификацией или мошенничеством. Он отложил рукопись в сторону и занялся своими обычными делами.

Поскольку в течение всей жизни распорядок дня оставался у него неизменным, не составит особого труда воспроизвести его. За завтраком он прежде всего читал «Таймс», причем если в газете были помещены отчеты о крикете, то он непременно начинал с них, изучая эти отчеты с пристальным вниманием. Его друг Мейнард Кейнз как-то сказал, что если бы Харди каждый день полчаса читал биржевые отчеты с таким же вниманием, с каким он подсчитывал очки в отчетах о крикетной игре, то он непременно стал бы богатым человеком.

Затем с девяти утра и до часа дня, если в этот день у него не было лекций, Харди занимался математическими исследованиями. Четыре часа творческой работы в день - это предел для математика, говорил он. Затем - легкий второй завтрак уже в столовой колледжа. После этого он отправлялся на закрытый университетский корт играть в теннис (а летом шел на крикетную площадку смотреть проходившие там игры).

Так было и в тот день. Распорядок дня не был нарушен, но Харди чувствовал, что все у него как-то не ладилось. Индийская рукопись не давала ему покоя и мешала как следует насладиться игрой в теннис. Какие-то дикие теоремы. Таких он никогда не встречал и даже не мог представить себе. Быть может, это - гениальное плутовство, подумал он. Но так как это был Харди, то он тут же язвительно спросил себя: разве гениальное плутовство более вероятно, чем неизвестный математический гений? Придя к себе на квартиру в Тринити-колледж, он еще раз просмотрел рукопись. Затем он известил Литлвуда (вероятно, через посыльного, во всяком случае не по телефону, ибо телефона, подобно другим техническим затеям, включая и авторучки, терпеть не мог), что после обеда им нужно переговорить.

Пообедав, они могли бы немного задержаться в столовой. Харди любил выпить стакан вина, но, несмотря на то что в свое время такая перспектива пленяла его юношеское воображение, он не засиживался в профессорской за портвейном с орешками. Литлвуд был более склонен к такого рода удовольствиям. Словом, они могли несколько задержаться. Во всяком случае, не позже девяти часов вечера они уже сидели дома у Харди, и перед ними лежала индийская рукопись.

Им понадобилось всего часа два или три, чтобы удостовериться в том, что автор рукописи гениален. Позднее Харди решил, что Рамануджан - прирожденный математический гений, равный Гауссу {300} и Эйлеру {301} , но из-за отсутствия у него образования, а также потому, что его появление в истории математики слишком запоздало, трудно было ожидать, чтобы он сделал научный вклад такого же крупного масштаба.

Казалось бы, весьма нетрудно распознать то, что увидели Харди и Литлвуд. Однако следует упомянуть о двух ученых, которые в данном случае оказались слепы. По своему благородству Харди умолчал об этом, но этих людей уже нет на свете, и пора сказать истину. Она проста. Харди не был первым из выдающихся ученых, которому была послана рукопись Рамануджана. До него она побывала у двух крупных английских математиков, и оба они вернули ее, не сказав ни слова. Думаю, что для истории неважно, какова была их реакция (если она вообще была), когда к Рамануджану пришли заслуженная известность и слава.

На следующий день Харди начал действовать. Он решил, что Рамануджан должен приехать в Англию. Материальная сторона дела не была в данном случае главной проблемой. Тринити-колледж всегда стремился поддержать редкие таланты (спустя несколько лет это же было сделано и для Капицы). А кроме того, раз Харди так решил, то никакая человеческая сила не могла воспрепятствовать этому, а вот помощь силы сверхчеловеческой им бы не помешала.

Рамануджан оказался бедным клерком из Мадраса, вместе с женой он жил на двадцать фунтов стерлингов в год. Он был к тому же брамином, чрезвычайно строго соблюдавшим все религиозные обряды, а его мать была еще более фанатичной, чем он. Казалось совершенно невероятным, что он сможет нарушить религиозные запреты и пересечь океан. К счастью, его мать, особенно почитавшая богиню Немаккал, однажды утром сделала потрясающее признание. Оказывается, ночью она видела во сне своего сына, сидящего в большом зале среди европейцев, и тут же появилась богиня Немаккал и приказала ей, чтобы она не мешала ему исполнить то, что предначертано судьбой. Индийские биографы Рамануджана отмечают, что это явилось приятной неожиданностью для тех, кто был озабочен его судьбой.

В 1914 году Рамануджан приехал в Англию. Насколько Харди мог заметить (хотя в этом отношении я не очень-то доверяю его интуиции), несмотря на трудности преодоления религиозных табу, Рамануджан в действительности, за исключением туманного пантеизма {302} , оказался не более верующим, чем сам Харди.

Взаимоотношения этих двух людей были удивительно трогательными. Харди не забывал, что перед ним гений, но гений почти без всякого образования, даже математического. Рамануджан не мог поступить в Мадрасский университет, потому что не сдал бы экзамена по английскому языку. По словам Харди, он всегда был милым, добродушным, но они с большим трудом понимали друг друга, когда их разговор выходил за пределы математики. Рамануджан обычно слушал его внимательно, с терпеливой улыбкой на добром и милом лице. Но и в математике на их взаимопонимании сказывалось различие в образовании. Рамануджан был самоучка и не имел никакого представления о точности современного научного вывода; в известном смысле он вообще не понимал, каким должно быть научное доказательство. В какую-то сентиментальную минуту Харди однажды заметил, что если бы Рамануджан имел образование, то он не был бы самим собой. Но стоило вмешаться его критическому уму, как он тут же поправил себя, признав, что сказал чушь. Если бы Рамануджан получил надлежащее образование, то он, конечно, стал бы еще более удивительным человеком.

Харди пришлось обучать его основным положениям математики, словно Рамануджан был кандидатом на стипендию в Уинчестерской школе. Это был совершенно необычный опыт, рассказывал Харди, так как современная математика воспринималась в данном случае таким человеком, который обладал глубочайшей математической интуицией, но буквально никогда не слышал о большинстве математических положений.

Как бы то ни было, они вместе создали пять работ огромного научного значения, в которых и Харди проявил свою блестящую оригинальность. Великодушие и творческая фантазия редко бывали так щедро вознаграждены.

Такова уж природа нашей добродетели. Как только люди начинают совершать хорошие поступки, они становятся лучше. Приятно вспомнить, что Англия оказала Рамануджану всяческие почести. В тридцать лет его избрали членом Королевского общества (что даже для математика было необычно рано), и в том же году он был избран членом ученого совета Тринити-колледжа. Он оказался первым индийцем, удостоившимся таких отличий. Но вскоре Рамануджан заболел.

Харди часто навещал тяжело больного, умирающего Рамануджана, когда тот лежал в больнице в Патни {303} . С одним из его посещений и связана любопытная и хорошо известная история с номером такси. В Патни Харди приезжал на такси. В один из дней, войдя в палату, где лежал Рамануджан, и как всегда не зная, с чего начать разговор, возможно, даже не поздоровавшись, он сказал:

Номер моего такси 1729. Мне кажется, что это довольно скучное число.

Нет-нет, Харди. Что вы? - тут же отвечал Рамануджан. - Это очень интересное число. Это наименьшее число, выражающее сумму кубов двух чисел двумя различными способами.

Шла война, и Рамануджана было трудно переправить в места с более мягким климатом. Спустя два года после войны он умер от туберкулеза, уже вернувшись к себе, в Мадрас. В «Апологии математика» Харди писал: «Галуа {304} умер в двадцать один год, Нильс Абель {305} - двадцати семи лет, Рамануджан - тридцати трех, Риман - в сорок… Я не знаю никого, кто был бы после пятидесяти лет крупным математиком».

Не будь Харди так поглощен совместной работой с Рамануджаном, он острее переживал бы войну 1914–1918 годов. Но она и без того оставила в его душе глубокую незаживающую рану, вновь открывшуюся в дни второй мировой войны. До конца жизни Харди был человеком весьма радикальных взглядов. В его радикализме отражались просветительские идеи начала нашего века. Людям моего поколения временами казалось, что они тогда дышали более чистым и более невинным воздухом.

Как и большинство его друзей-интеллектуалов, Харди высоко ценил Германию. Ведь в девятнадцатом веке она была крупным центром просвещения. Восточная Европа, Россия и Соединенные Штаты Америки многому научились у германских университетов. Но немецкая философия и литература не оказали большого влияния на Харди, он больше почитал античность. Однако во многих отношениях германская культура казалась ему выше, чем культура его собственной страны. В отличие от Эйнштейна, который значительно глубже понимал политическую жизнь, Харди, по существу, мало что знал о кайзеровской Германии.

Подобно Бертрану Расселу и большинству рафинированной кембриджской интеллигенции, Харди не верил, что разразится первая мировая война. Когда же это произошло, то вследствие укоренившегося в нем недоверия к нашим политиканам он считал, что большая ответственность - на нашей стороне. Все же Харди не смог найти убедительного для себя основания, чтобы отказаться от военной службы. Он записался в добровольцы, но врачи признали его негодным к службе. Находясь в Кембридже, он чувствовал себя все более одиноким среди воцарившейся там шумной воинственности.

Как только представилась возможность, Харди оставил Кембридж. В 1919 году ему предложили профессуру в Оксфордском университете, и это стало началом счастливейшего периода его жизни. Он уже написал вместе с Рамануджаном и Литлвудом крупные научные работы, но теперь его содружество с последним достигло своей полной силы. Он был «во цвете лет для выдумки», как говорил когда-то Ньютон, но у Харди это происходило после сорока - необычно поздно для математика.

Этот поздний творческий подъем создавал у него ощущение сохранившейся молодости, что было для него важнее, чем для многих других людей. Харди вел жизнь молодого человека, каким он и был по своей натуре. Он еще играл в теннис, и даже лучше, чем раньше. Ему нравилась Америка, и он часто приезжал в американские университеты. Но Харди был, пожалуй, одним из немногих англичан своего времени, одинаково почитавших как Соединенные Штаты, так и Советский Союз.

У себя в квартире он повесил большой портрет Ленина. Радикализм у Харди был до некоторой степени стихийным, но всегда искренним. Как я уже указывал, он родился в скромной учительской семье, затем почти всю жизнь ему пришлось провести среди состоятельных буржуа, но он вел себя как некий аристократ романтического склада. Быть может, в чем-то он подражал своему другу Бертрану Расселу.

Харди легко сходился, без всякой тени покровительства, с бедными, несчастливыми и скромными людьми, со всеми, кому трудно жилось. Он предпочитал их тем, кого он называл «толстозадыми». В глазах Харди ими были самодовольные, процветающие епископы, директора школ, судьи и все политические деятели, за исключением одного лишь Ллойда Джорджа.

Только для того, чтобы показать верность своим идеям, Харди однажды согласился занять общественную должность. В течение двух лет (1924–1926) он был президентом Ассоциации научных работников. Харди саркастически заметил, что это довольно странный выбор, поскольку он «самый непрактичный представитель наиболее непрактичной в мире профессии». Но в важных делах он вовсе не был так уж непрактичен.

Его вторая молодость в Оксфорде в двадцатых годах была такой счастливой, что многие думали, что он уже никогда не вернется обратно в Кембридж. Но в 1931 году он вернулся. Как я полагаю, это было вызвано двумя причинами. Первая (и главная) была связана с научными интересами, так как Кембридж все еще оставался центром английской математики. Вторая, несколько странная, объяснялась заботой о своей старости. Дело в том, что в оксфордских колледжах, где обстановка в целом была весьма теплой и дружеской, существовало одно безжалостное к старикам правило: после отставки в 65 лет профессор должен был освободить занимаемую им университетскую квартиру. А вернувшись обратно в кембриджский Тринити-колледж, Харди мог бы жить при колледже до конца своих дней.

Мое знакомство с Харди началось, когда он вернулся в Кембридж и наступила, так сказать, вечерняя заря его большой деятельной жизни. Он был еще счастлив. У него еще были творческие силы, хотя и не такие, как в двадцатые годы, но, как и в Оксфорде, Харди был полон воодушевления. Он оставался почти таким же, как и в свои лучше годы.

Когда мы стали друзьями, то обычно каждые две недели мы приглашали друг друга на обед в свой колледж. Само собой понятно, что летом мы постоянно встречались на университетской крикетной площадке. Огибая гаревую дорожку, он шел, как всегда, немного раскачиваясь, уверенным широким шагом. Голова опущена, а волосы, галстук, бумаги, которые он держит, - все развевается и как бы плывет в воздухе. На него нельзя было не обратить внимания. «Вот идет греческий поэт», - однажды сказал про него какой-то весельчак, когда Харди проходил мимо.

Он обожал крикет и находил в нем красоту, создаваемую грациозностью движений и характером игры. Те же эстетические черты были присущи и его математическим трудам вплоть до самой последней работы.

В тридцатые годы он продолжал на свой манер вести жизнь очень подвижного молодого человека. Затем внезапно все изменилось: в 1939 году у него обнаружили серьезное заболевание - коронарный тромбоз.

Он подлечился, однако с теннисом, с любой игрой в мяч, как и вообще с любимой им гимнастикой, пришлось окончательно распрощаться. Начавшаяся вторая мировая война еще больше омрачила его существование. В его глазах войны означали сумасшествие, ему казалось, что все мы сбились с пути, и он, как и в 1914 году, не мог примириться с этим, хотя одно ему было ясно: страна должна выстоять. В это время трагически погиб один из его ближайших друзей. Думаю, что все эти горести в конце концов и привели к тому, что после шестидесяти лет в нем угасли духовные силы и, во всяком случае, творческие силы математика.

Вот почему его «Апология математика», если ее читать с тем вниманием, какого она заслуживает, представляется книгой неотступной печали. Да, эта книга остроумна, тонка, отмечена веселой живостью ума; да, она написана с кристальной ясностью и прямотой; она - откровение подлинного художника. Но в то же время эта книга - страстное и мужественное сожаление об исчезнувших творческих силах, которые никогда больше не вернутся. Другой такой книги на английском языке я не знаю, вероятно, потому, что большинство людей с литературным талантом, пускаясь в откровения, не вполне искренни, да и весьма редко писатель полностью сознает, что для него все уже кончено.

В последние годы жизни Харди я редко встречался с ним. Во время второй мировой войны я глубоко завяз на Уайтхолле, у меня была масса дел, часто я очень уставал, и мне трудно было выбраться в Кембридж.

После окончания войны я не вернулся в Кембриджский университет, но в 1946 году несколько раз побывал у Харди. Он по-прежнему находился в угнетенном состоянии, чувствовал себя физически слабым и задыхался, сделав несколько шагов. Наши долгие веселые прогулки после крикета навсегда ушли в прошлое. Он радовался тому, что я опять вернулся к литературному труду и пишу книги: ведь творческая жизнь - это единственно приемлемое существование для серьезного человека. Говоря о себе, он сказал, что хотел бы снова, как и прежде, жить творчески, но его жизнь уже прожита. Может быть, это не совсем его слова, но все было так непохоже на него, что я пытался обратить их в шутку или поскорее забыть.

В начале лета 1947 года утром у меня раздался телефонный звонок. Звонила сестра Харди. Она сообщила, что он в очень тяжелом состоянии. Не могу ли я сразу приехать к ним, зайдя предварительно в Тринити-колледж? Я не мог понять, для чего мне надо заходить в колледж, но повиновался. Там у привратника была оставлена для меня записка, в которой говорилось, чтобы я зашел на квартиру к Дональду Робертсону.

Профессор греческого языка и литературы Робертсон был близким другом Харди. Он встретил меня спокойно. За окном было солнечное утро.

Вы должны знать, что Харди пытался покончить с собой, - сказал Робертсон. - Сейчас он уже вне опасности и пока что цел и невредим, если так можно сказать.

Робертсон так же, как и его друг Харди, был человеком прямым.

Жаль, что попытка окончилась неудачно, - продолжал он. - Здоровье Харди становится все хуже, и он во всяком случае долго не протянет. Даже пройти из своей квартиры до столовой колледжа стоит ему теперь большого труда. Харди сделал вполне обдуманный шаг. Жизнь в таком состоянии невыносима, в ней нет ничего. Так вот, он собрал достаточное количество снотворных таблеток, но принял их слишком много.

Мне нравился Дональд Робертсон, но до этого я только изредка встречался с ним в столовой Тринити-колледжа. Впервые мы разговаривали с глазу на глаз. С вежливой настойчивостью он сказал затем, что я должен как можно чаще навещать Харди. Хотя видеть его в таком состоянии тяжело, но это наша обязанность, которая к тому же, вероятно, не продлится долго. Мы оба чувствовали себя ужасно. Я попрощался и никогда больше не видел Робертсона.

В частной лечебнице на кровати лежал Харди. Казалось, какой-то оттенок фарса был в том, что под глазом у него красовался большой синяк. Он упал и ударился головой о ванну.

Сейчас, лежа на кровати, он пытался иронизировать. Подумать только, как он опростоволосился. Кто-нибудь устраивал когда-либо большую кутерьму?

Никогда еще я не чувствовал себя менее расположенным к шуткам, но решил подладиться под его тон.

Затем я приезжал к нему в Кембридж по меньшей мере раз в неделю. Почти каждый раз, когда я бывал у него, он заговаривал о смерти. Он желал смерти и не боялся ее. Чего бояться в небытии? К нему снова вернулся его непоколебимый интеллектуальный стоицизм. Он не сделал бы новой попытки покончить с собой. Да у него и не было сил для этого. Он приготовился ждать. Но с непоследовательностью, которая, очевидно, мучила его (подобно большинству людей его круга, он придерживался рациональных начал, а в данном случае поступал нелогично), Харди с мрачным беспокойством напряженно следил за развитием своей болезни.

Почти все время, что я находился у него, мы разговаривали исключительно о крикете. И если бы я не приносил ему какие-то новости, то он пребывал бы в том мрачном одиночестве, что приходит к людям перед концом.

Несколько раз я пытался расшевелить его. Может быть, нам стоит рискнуть и отправиться поглядеть на крикет? Я теперь богаче, чем раньше, говорил я, собираясь взять такси и отвезти его на любую крикетную площадку, которую он выберет. Он оживлялся, но затем уверял, что на руках у меня может оказаться мертвец. Я говорил, что этого не случится, да и он сам понимал, что смерть его - дело нескольких месяцев. Мне же очень хотелось, чтобы хоть один день он снова был как-то радостен и весел. Но когда я в следующий раз приехал к нему, он с какой-то злостью отрицательно покачал головой. Нет, ему не стоит даже пытаться: нет смысла.

Подчас мне было тяжело беседовать с ним о крикете, но еще труднее приходилось его сестре, обаятельной, умной женщине, которая не вышла замуж и почти всю свою жизнь посвятила заботам о брате. С забавным рвением, таким же, как и у него, она вырезала из газет все сообщения о крикете, хотя сама ничего не понимала в этой игре.

За две или три недели до смерти Королевское общество удостоило его своей высшей награды - медали Копли. Узнав об этом, Харди в первый раз за последние месяцы оживился и с великолепной мефистофельской усмешкой сказал:

Теперь я знаю, что должен скоро умереть. Когда люди торопятся оказать вам почести - это самый верный признак, что конец близок.

После этого я еще дважды побывал у него. В последний раз - дней за пять до печального конца. Индийская крикетная команда отправилась тогда на матч в Австралию, и мы говорили об этом.

На той же неделе он сказал сестре:

Даже если бы я знал, что умру сегодня, то все равно хотел бы услышать о крикете.

Ему почти удалось это. Всю ту неделю сестра перед сном читала ему по одной главе из истории крикета в Кембриджском университете. В одной из глав и оказались последние слова, которые он услышал в своей жизни, так как умер внезапно на рассвете.

Курс чистой математики. Г.Х. Харди.

Пер. с англ. - М.: Изд-во Иностранной литературы, 1949 - 512с.

Книга выдающегося английского математика, профессора Кембриджского университета Годфри Гарольда Харди (1877--1947) содержит основные положения математического анализа, разобранные с исчерпывающей полнотой и всей необходимой математической строгостью. В нее также включено большое количество интересных задач и примеров, представляющих собой хороший материал для самостоятельной проработки важнейших положений анализа.

Формат: djvu / zip

Размер: 5 ,6 Мб

/ Download файл

Эта книга написана в первую очередь для студентов первых курсов университетов, способности которых приближаются к тому уровню, который обычно требуется для получения стипендии. Я надеюсь, что она окажется полезной и для другого круга читателей, но в основном я учитывал интересы именно этого круга. Во всяком случае эта книга написана для математиков; я нигде не пытался идти навстречу студентам технических специальностей, и вообще не принимал во внимание запросов тех читателей, чьи интересы не являются в первую очередь математическими.

Я рассматриваю эту книгу как действительно элементарную. В ней содержится много трудных примеров (преимущественно в конце глав); такие примеры я снабжал, где это было возможно с точки зрения объема, указаниями к решению. Но я всячески старался избегать действительно трудных понятий. Например, равномерная сходимость, двойные ряды, бесконечные произведения даже не упоминаются в этой книге; я не доказываю никаких общих теорем относительно перестановки предельных переходов. В последних двух главах иногда интегрируется степенной ряд, но я ограничиваюсь только простейшими случаями и для каждого из них провожу специальное исследование.
Сентябрь 1908 г.

В этом издании книга подверглась самым серьезным изменениям со времени второго издания. Я воспользовался тем, что книга заново набиралась, и это дало мне возможность свободно изменять ее содержание.

Бывшее Приложение II (относительно обозначений "О, о и tilde") я включил в соответствующих местах в текст книги. Заново написаны части глав VI и VII, относящиеся к элементарным свойствам производных. Здесь я следую курсу де ла Валле-Пуссена; эта часть книги несомненно значительно улучшена. Эти важные изменения повлекли за собой, конечно, много других более мелких исправлений.

Я включил большое число новых примеров из числа задач, предлагавшихся на экзаменах в Кэмбридже за последние 20 лет, которые будут полезны кэмбриджским студентам. Эти задачи были подобраны для меня Лявом (E.R.Love), который прочел также все гранки и исправил много ошибок.

Общий план книги остался без изменений. Внимательно перечитывая книгу впервые за 20 лет, я неоднократно испытывал желание произвести в ней более радикальные изменения как в содержании, так и в стиле. Она была написана в то время, когда в Кэмбридже пренебрегали математическим анализом, и ее патетический стиль кажется теперь немного смешным. Если бы я переписал ее теперь, то я бы уже не писал (по выражению проф. Литтльвуда) как "проповедник, разговаривающий с каннибалами", а значительно суше и с соответствующей сдержанностью. Более того, я писал бы гораздо короче и смог бы включить значительно больше материала. Книга приняла бы характер обычного курса анализа.
Для такого начинания я не располагаю достаточным временем, и возможно, что это к лучшему, так как, вероятно, я написал бы значительно лучшую, но гораздо менее оригинальную книгу. Эта книга была бы не так полезна в качестве введения к руководствам по анализу, в которых теперь даже в Англии нет недостатка.
Ноябрь 1937 г.

ГЛАВА I.	ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
		Рациональные числа
		Иррациональные числа
		Действительные числа
		Соотношения величины между действительными числами
	10-11	Алгебраические действия над действительными числами
		Число sqrt(2)
	13-14	Квадратичные иррациональности
		Континуум
		Непрерывное действительное переменное
		Сечения в области действительных чисел. Теорема Дедекинда
		Точки накопления
		Теорема Вейерштрасса
	Разные примеры
ГЛАВА II.	ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
		Понятие функции
		Графическое представление функций. Координаты
		Полярные координаты
		Полиномы
	24-25	Дробно-рациональные функции
	26-27	Алгебраические функции
	28-29	Трансцендентные функции
		Графическое решение уравнений
		Функции от двух переменных и их графическое представление
		Кривые на плоскости
		Геометрические места в пространстве
	Разные примеры
ГЛАВА III.	КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
	34-38	Смещения
	39-42	Комплексные числа
		Квадратное уравнение с действительными коэффициентами
		Диаграмма Аргана
		Теорема Муавра
		Рациональные функции комплексного переменного
	47-49	Корни из комплексных чисел
	Разные примеры
ГЛАВА IV.	ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО АРГУМЕНТА
		Функции целочисленного положительного аргумента
		Интерполяция
		Конечные и бесконечные классы
	53-57	Свойства, которыми обладают функции от n для больших значений n
	58-61	Определение предела и другие определения
		Колеблющиеся функции
	63-68	Общие теоремы о пределах
	69-70	Монотонно возрастающие или убывающие функции
		Другое доказательство теоремы Вейерштрасса
		Предел x n
		Предел (1 + 1/n ) n
		Некоторые алгебраические леммы
		Предел n (sqrt n x - 1)
	76-77	Бесконечные ряды
		Бесконечная геометрическая прогрессия
		Представление функций от непрерывного действительного переменного с помощью пределов
		Грани ограниченной совокупности
		Грани ограниченной функции
		Верхний и нижний пределы ограниченной функции
	83-84	Общий признак сходимости
	85-86	Пределы комплексно-значных функций и ряды с комплексными членами
	87-88	Приложения к z n и к геометрической прогрессии
		Символы О, о, tilde
	Разные примеры
ГЛАВА V.	ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНЭГО ПЕРЕМЕННОГО. НЕПРЕРЫВНЫЕ И РАЗРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
	90-92	Пределы при x --> oo или x --> --oo
	93-97	Пределы при x --> a
		Символы О и о, tilde: порядки малости и роста
	99-100	Непрерывные функции действительного переменного
	101-105	Свойства непрерывных функций. Ограниченные функции. Колебание функции в интервале
	106-107	Системы интервалов на прямой. Теорема Гейне -- Бореля
		Непрерывные функции нескольких переменных
	109-110	Неявные и обратные функции
	Разные примеры
ГЛАВА VI.	ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ
	111-113	Производные
		Общие правила дифференцирования
		Производные комплексно-значных функций
		Обозначения дифференциального исчисления
		Дифференцирование многочленов
		Дифференцирование дробно-рациональных функций
		Дифференцирование алгебраических функций
		Дифференцирование трансцендентных функций
		Повторное дифференцирование
		Общие теоремы о производных. Теорема Ролля
	123-125	Максимумы и минимумы
	126-127	Теорема о среднем значении
		Теорема Коши о среднем значении
		Теорема Дарбу
	130-131	Интегрирование. Логарифмическая функция
		Интегрирование многочленов
	133-134	Интегрирование дробно-рациональных функций
	135-142	Интегрирование алгебраических функций. Интегрирование рационализацией. Интегрирование по частям
	143-147	Интегрирование трансцендентных функций v
		Площади фигур, ограниченных плоскими кривыми
		Длины плоских кривых
	Разные примеры
ГЛАВА VII.	ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
	150-151	Теорема Тейлора
		Ряд Тейлора
		Приложения теоремы Тейлора к теории максимумов и минимумов
		Вычисление некоторых пределов
		Касание плоских кривых
	156-158	Дифференцирование функций нескольких переменных
		Теорема о среднем для функций двух переменных
		Дифференциалы
	161-162	Определенные интегралы
		Тригонометрические функции
		Вычисление определенного интеграла как предела суммы
		Общие свойства определенного интеграла
		Интегрирование по частям и подстановкой
		Другое доказательство теоремы Тейлора
		Приложение к биномиальному ряду
		Приближенные формулы для определенных интегралов. Правило Симпсона
		Интегралы от комплексно-значных функций
	Разные примеры
ГЛАВА VIII.	СХОДИМОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ И НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
	171-174	Ряды с положительными членами. Признаки сходимости Коши и Даламбера
		Признаки, основанные на отношениях следующих друг за другом членов
		Теорема Дирихле
		Умножение рядов с положительными членами
	178-180	Дальнейшие признаки сходимости. Теорема Абеля. Интегральный признак Маклорена
		Ряды sum n --s
		Признак сгущения Коши
		Дальнейшие признаки, основанные на отношениях
	184-189	Несобственные интегралы
		Ряды, содержащие положительные и отрицательные члены.
	191-192	Абсолютно сходящиеся ряды
	193-194	Условно сходящиеся ряды
		Знакочередующиеся ряды
		Признаки сходимости Абеля и Дирихле
		Ряды с комплексными членами
	198-201	Степенные ряды
		Умножение рядов
		Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы
	Разные примеры
ГЛАВА IX.	ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
	204-205	Логарифмическая функция
		Функциональное уравнение для ln x
	207-209	Поведение ln x при x стремящемся к бесконечности или к нулю
		Логарифмическая шкала порядков роста
		Число e
	212-213	Показательная функция
		Общая показательная функция a x
		Представление e x в виде предела
		Представление ln x в виде предела
		Обыкновенные логарифмы
		Логарифмические признаки сходимости
		Экспоненциальный ряд
		Логарифмический ряд
		Ряд для arc tg x
		Биномиальный ряд
		Другой способ развития теории показательной и логарифмической функций
	224-226	Аналитическая теория тригонометрических функций
	Разные примеры
ГЛАВА X.	ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ, ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
	227-228	Функции комплексного переменного
		Криволинейные интегралы
		Определение логарифмической функции
		Значения логарифмической функции
	232-234	Показательная функция
	235-236	Общая показательная функция а
	237-240	Тригонометрические и гиперболические функции
		Связь между логарифмической и обратными тригонометрическими функциями
		Экспоненциальный ряд
		Ряды для cos z и sin z
	244-245	Логарифмический ряд
		Представление показательной функции в виде предела
		Биномиальный ряд
	Разные примеры
Приложение I. Неравенства Гельдера и Минковского
Приложение II. Доказательство того, что каждое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один корень
Приложение III. Замечание о двойных предельных переходах
Приложение IV. Бесконечное в анализе и в геометрии

английский математик

Годфри Харди

Краткая биография

Го́дфри Ха́ролд Ха́рди (англ. Godfrey Harold Hardy; 7 февраля 1877, Кранли, Великобритания - 1 декабря 1947, Кембридж, Великобритания) - английский математик, известный своими работами в теории чисел и математическом анализе.

Родился в небольшом городке на юге Англии в семье учителей, оба родителя имели склонность к математике, хотя и преподавали другие предметы. Математические способности самого Харди начали проявляться ещё в возрасте двух лет.

В 1896 году он поступил в Тринити-колледж Кембриджского университета. Всего после двух лет учёбы он занял четвёртое место на конкурсе выпускников.

В 1900 году Харди становится сотрудником факультета, а с 1906 года становится лектором с нагрузкой в 6 часов в неделю, что давало много свободного времени для собственных исследований. В 1919 году он занял пост профессора математики в Оксфордском университете. В 1931 году Харди вернулся в Кембридж, где пробыл на посту профессора до 1942 года.

Начиная с 1911 года Харди очень плодотворно сотрудничает с Джоном Литлвудом. Большинство работ Харди написано именно в сооавторстве с Литлвудом. Ходила даже шутка, что в Англии живёт три великих математика - Харди, Литлвуд и Харди-Литлвуд, причем третий из них самый великий.

Одним из самых своих больших открытий сам Харди в интервью венгерскому математику Палу Эрдёшу называл открытие молодого индийского математика Сринивасы Рамануджана, наставником которого он был с 1914 года, с которым впоследствии написал много работ.

Среди его друзей были Джордж Мур, Бертран Рассел и Джон Мейнард Кейнс. Он принимал участие в Союзе демократического контроля во время Первой мировой войны и Союзе за интеллектуальную свободу в конце 1930-х годов.

Член Лондонского королевского общества (1910).

Математическая работа

Харди предпочитал называть свою работу чистой математикой , в отличие от математики имевшей прикладное, особенное военное значение. В начале Второй мировой войны Харди, убеждённый пацифист, желал оправдать своё убеждение в том, что математика должна быть продолжена для неё же самой, а не ради её приложений. Он хотел написать книгу, в которой мог бы объяснить свою философию математикам следующего поколения; книгу, которая будет защищать математиков путём разработки по существу исключительно чистой математики, без необходимости прибегать к достижениям прикладной математики в целях оправдания общей значимости математики; книгу, способную вдохновить грядущие поколения чистых математиков. Харди был убеждённым атеистом, и его «оправдание» обращено не к Богу, а к соратникам и коллегам.

В своей книге «Апология математика» он говорит:

Я никогда не делал чего-нибудь «полезного». Ни одно мое открытие не принесло и не могло бы принести, явно или неявно, к добру или ко злу, ни малейшего изменения в благоустройстве этого мира.

Одной из главных тем книги является красота, которой обладает математика, которую Харди сравнивает с живописью, шахматами и поэзией. Для Харди, самой красивой математикой является та, которая не имеет практического применения во внешнем мире (чистая математика). В первую очередь это «математика для математики» - теория чисел. Харди утверждает, что если полезные знания определяются как знания, которые могут влиять на материальное благополучие человечества в ближайшем будущем (если не прямо сейчас), так, что чисто интеллектуальное удовлетворение несущественно, то большая часть высшей математики бесполезна. Он оправдывает стремление к чистой математике аргументом, что её совершенная «ненужность» в целом лишь означает, что она не может быть использована для причинения вреда. С другой стороны, Харди считает многое из прикладной математики «тривиальным», «уродливым» или «скучным», и сравнивает её с «настоящей математикой», которой является, по его мнению, чистая математика.

В теории чисел Харди занимался теорией простых чисел и теорией дзета-функции, а также проблемой Варинга. Вместе с Литлвудом они доказали несколько условных результатов, а также выдвинули две важные гипотезы о распределении простых чисел. Совместно с M. Райт нашел два решения задачи о четырёх кубах (формулы Харди и Райт). Совместно с Рамануджаном им была получена асимптотика числа разбиений p (n) .

В теории функций занимался теорией тригонометрических рядов и исследованием неравенств. Ряд работ посвящён теории интегральных преобразований и теории интегральных уравнений.

Ничто не предвещало появления выпуска, посвященного известному английскому математику Харди, так как в моём архиве был только один анекдот из жизни этого незаурядного человека, который только и ожидал случая, чтобы появиться на свет. Потом этих анекдотов стало два, три... И тут я понял, что совершенно ничего не знаю об этом человеке.
Я немного знал о его многолетнем соавторе Джоне Литлвуде, так как в своё время у меня в руках побывала его книга “Математическая смесь”, но Харди...
Годфри Харолд Харди (Godfrey Harold Hardy, 1877-1947) - английский математик.
Джон Идензор Литлвуд (1885-1977) - английский математик.
Предпринятые мной поиски собрали довольно большое количество любопытного материала, фрагменты которого и составили настоящий выпуск. Это не будет биографией крупного учёного, но это и не сборник анекдотов (хотя, куда уж без них!). Всё же я начну с анекдотической истории из его жизни.

Харди и гипотеза Римана

Одним из ближайших друзей Харди был известный датский математик Харальд Август Бор (1887-1951), родной брат знаменитого физика Нильса Бора. Во время совместной работы Харди и Бор много гуляли, иногда садились на скамейки и записывали результаты своих размышлений – ведь у них всегда был с собой блокнот для записей. Но первой записью в каждом блокноте по настоянию Харди была:

"Доказать гипотезу Римана".

Результатом этих прогулок было множество интересных материалов, но справиться с гипотезой Римана им так и не удалось. Свои летние каникулы Харди однажды проводил в Дании у Харальда Бора, но когда пришла пора возвращаться в Англию, ему пришлось рассчитывать только на небольшой катер, а воздушного сообщения с Англией тогда ещё не было. Пересекать Северное море на такой посудине было довольно опасно, но другого выхода у Харди в тот момент не было.
Перед отплытием Харди отправил Харальду Бору открытку с текстом:

"Я доказал гипотезу Римана! Г.Х. Харди".

Он рассчитывал, что если катер вместе с ним потонет, то все поверят в то, что он действительно доказал гипотезу Римана.
Но, как говорят, Божинька не фраер, и Харди благополучно вернулся на родину. О том, как он объяснялся потом с Харальдом Бором, история умалчивает. Известный писатель и учёный Ч.П. Сноу так писал о Харди:

"Харди был чистейшим из чистых математиков. К тому же он был человеком неортодоксальным, эксцентричным, радикальным и охотно говорил буквально обо всём".

Чарльз Перси Сноу (1905-1980) - английский писатель, учёный и общественный деятель. Харди действительно был довольно эксцентричным человеком с определённым набором странностей.
Так, он терпеть не мог зеркала, и в его жилых помещениях не было никаких зеркал, а в гостиницах он занавешивал зеркала полотенцами.
Харди очень не любил фотографироваться, так что едва ли наберётся с десяток его фотографий. Сноу об этих странностях Харди писал снисходительно и с уважением:

"В данном случае его поведение выглядело чудачеством…
Его поведение часто разнилось от общепринятого, выглядело странным, но это, по-видимому, было лишь каким-то наслоением, потому что в действительности он вовсе не отличался от нас, разве что был более деликатным, менее надутым и к тому же очень тонким человеком...
Его поведение часто отличалось, причём самым причудливым образом, от нашего, но казалось, что оно исходило от некоторой суперструктуры, наложенной на природу, - суперструктуры, которая ничем не отличалась от нашей, разве что была более деликатной, менее погрязшей в суесловии и обладала более тонкой нервной организацией".

Кстати, Сноу был в дружеских, а одно время и в достаточно близких отношениях с Харди. Как-то Сноу пришёл к Харди утром, когда учёный обычно занимался научной деятельностью. Сноу знал об этом и поэтому пробормотал:

"Надеюсь, не помешал?"

Харди оторвался от своих занятий, улыбнулся и саркастически ответил:

"Как вы непременно должны были бы заметить, ваши надежды не оправдались, и вы помешали. И всё же я всегда рад вас видеть".

В течение большей части своей жизни Харди твёрдо придерживался определённого распорядка дня. Он вставал, по современным понятиям, довольно рано и за завтраком обязательно читал “Таймс”. Если в газете были отчёты о соревнованиях по крикету, то он начинал именно с них, причём изучал их очень внимательно.
Один из его друзей, Дж.М. Кейнс, как-то заметил, что если бы Харди с таким же вниманием каждый день по полчаса изучал биржевые отчёты, то довольно быстро стал бы богатым человеком.
Джон Мейнард Кейнс (1883-1946) - видный английский экономист. С девяти утра до часу дня Харди занимался своими математическими исследованиями; это в том случае, если в этот день у него не было лекций. Харди утверждал, что четыре часа творческой работы в день - это предел для математика.
Потом следовал второй завтрак, уже в столовой колледжа, после которого он отправлялся: зимой - на закрытый теннисный корт, а летом - на крикетную площадку, где он и сам мог поиграть, или смотрел на проходившие там игры. Сноу писал:

"Само собой понятно, что летом мы постоянно встречались на университетской крикетной площадке. Огибая гаревую дорожку, он шёл, как всегда, немного раскачиваясь, уверенным широким шагом. Голова опущена, а волосы, галстук, бумаги, которые он держит, - всё развевается и как бы плывёт в воздухе. На него нельзя было не обратить внимания.

"Вот идёт греческий поэт", -

однажды сказал про него какой-то весельчак, когда Харди проходил мимо".

В своей “Апологии математика” Харди написал, что вначале он не собирался выбирать математику в качестве своей профессии. Он мог бы стать, например, историком, но ему повезло с наставником:

"Глаза мне открыл профессор Лав, который учил меня несколько семестров и дал мне первое серьёзное представление о математическом анализе. Но более всего я признателен ему за то, что он, будучи по существу прикладным математиком, посоветовал мне прочитать “Курс анализа” Жордана. Я никогда не забуду то изумление, которое охватило меня при чтении этой замечательной книги, ставшей источником первого вдохновения для столь многих математиков моего поколения, и я впервые понял, что такое математика в действительности. С тех пор я стал и остаюсь поныне - на свой собственный лад - настоящим математиком со здравыми математическими амбициями и подлинной страстью к математике".

Огастес Эдуард Хью Лав (Augustus Edward Hough Love 1863-1940) - английский математик и механик, специалист по математической теории упругости.
Мари Энмон Камилл Жордан (1838-1922) - французский математик. Став членом Тринити-колледжа в Кембридже, Харди окончательно решил, что он не верит в Бога. С этих пор Харди категорически отказывался посещать церковь даже по такому поводу, как выборы ректора, а с Богом у него оставались особые счёты, как это мы уже видели в истории с гипотезой Римана. Стандартной шуткой Харди была такая:

"Можно подумать, что у Бога нет более важных дел, чем досаждать Харди".

По поводу отношений Харди с Богом хочу привести ещё парочку анекдотов. Однажды Харди отдыхал в швейцарском курорте Энегельберг, где собрались хорошо ему знакомые люди: Дьёрдь Пойа и Фердинанд Гонсет. Они частенько играли в бридж, и четвёртым в свою кампанию они брали фрау Пойа. Всё было замечательно, кроме погоды, так как каждый день шли дожди.
Когда настало время Гонсету возвращаться домой, друзья проводили его на поезд, и перед отправлением Харди попросил Гонсета:

"Будьте добры, когда поезд тронется, высуньтесь в окошко и, глядя на небо, крикните:

Харди рассуждал так: если Бог поверит, что Харди уехал, то он пришлёт хорошую погоду.
Вы не поверите, но после отъезда Гонсета дожди действительно прекратились.
Фердинанд Гонсет (1890-1975) – швейцарский математик и философ.
Дьёрдь Пойа (1887-1985) - венгерский математик. Другой случай произошёл в Лондоне в середине тридцатых годов XX века. Проходил один важный крикетный матч на стадионе “Lord"s”, и бэтсмэн одной из команд пожаловался, что его всё время слепит отражение солнца от какого-то блестящего предмета. Судьи остановили игру и стали осматривать стадион и его окрестности. Окна домов и автомобили вроде бы никаких заметных бликов не давали, да и высоких домов вокруг стадиона не было. Вскоре один из судей обнаружил, что солнце отражалось от большого наперсного креста некоего священника. Судья вежливо попросил священника снять крест, что привело Харди в неописуемый восторг. Примерно в это же время Харди играл с приятелями в крикет на площадке комплекса “Fenner"s”, когда раздались шестичасовые удары колокола расположенной неподалёку церкви. Харди остановился и с горечью произнёс:

" Какое несчастье, что некоторые из счастливейших часов моей жизни я вынужден проводить под звуки римско-католической церкви".

Несколько слов следует сказать и о профессиональной деятельности Харди. Став членом Тринити-колледжа в Кембридже, Харди начал довольно плодотворно заниматься математическими исследованиями, в основном, в области теории чисел. Его работы довольно скоро стали получать признание у коллег, так что его карьера ни у кого не вызывала сомнений и удивлений. В 1906 году он получил право на чтение лекций (6 часов в неделю), а вскоре стал членом Королевского общества. За первые десять лет своей деятельности Харди получил известность, как крупный математик, но как он сам позднее отмечал, его работам не хватало блеска. В своей “Апологии математика” Харди писал об этом периоде:

"За следующие десять лет я написал много работ, но очень мало из них имели хотя бы какое-то значение: лишь четыре или пять из них я всё ещё могу вспомнить с некоторым удовлетворением".

К этому же периоду относится и знакомство Харди с венгерским математиком Дьёрдем Пойа, который уже появлялся в нашем повествовании. Следующее появление Пойа на этих страницах тоже носит анекдотический характер. Харди некоторое время работал вместе с Пойа, и во время их совместной работы Пойа выдвинул некую оригинальную идею, которую Харди одобрил. Однако Пойа не спешил развивать свою идею, что не понравилось Харди, который прямо не выказал своё недовольство коллеге.
Харди сделал это несколько позже, когда вместе с другим коллегой он посетил Стокгольмский зоопарк. Там они увидели медведя, сидящего в запертой клетке, а замок висел на дверце снаружи. Медведь подошёл к дверце, потрогал лапой замок, фыркнул, немного порычал и ушёл вглубь клетки.
Харди саркастически заметил:

"Как он похож на Пойа – у того тоже бывают великолепные идеи, но он никогда не доводит их до конца".

(Окончание следует)