Иррациональные числа. Иррациональные числа — Гипермаркет знаний

Урок математики в 8 классе

Тема урока: Иррациональные числа. Действительные числа.

Синиченкова Галина Алексеевна

учитель математики

МОУ Грибановская ООШ

Цели: - ввести понятие иррационального числа, действительного числа;- научить находить приближенные значения корней с помощью микрокалькулятора;- познакомить с четырехзначными математическими таблицами;- закрепить навык преобразования обыкновенной дроби в десятичную и десятичной бесконечной периодической дроби в обыкновенную;- развивать память, мышление.

Ход урока

I Актуализация опорных знаний.
Проверка домашнего задания:а) Представить в виде десятичной дроби: 38/11 =
б) Представить в виде обыкновенной дроби: 1,(3) = 0,3(17) =
в) Карточка:Представить в виде обыкновенной дроби:1 вариант 2 вариант 3 вариант 7,4(31) 1,3(4) 4,7(13)
II Устные упражнения 1) Прочитайте дроби:0,(5); 3,(24); 15,2(57); -3,51(3)2) Вычислите:
3) Округлите данные числа:3,45; 10,59; 23,263; 0,892А) до единиц;Б) до десятых.
III Изучение нового материала 1. Сообщение темы и целей урока 2. Объяснение учителя Наряду с бесконечными периодическими дробями в математике также рассматриваются бесконечные непериодические дроби. На прошлом уроке вы познакомились с понятием рациональных чисел. И знаете, что любое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби, конечной или бесконечной.Например, дроби0,1010010001…0,123456…2,723614…Бесконечные десятичные непериодические дроби называются иррациональными числами.
Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.
Арифметические действия и правила сравнения для действительных чисел определяются так, что свойства этих действий, а также свойства равенств и неравенств также как и для рациональных чисел.
Когда же получаются иррациональные числа?
1) При извлечении квадратных корней.В курсе высшей математики доказывается, что из любого неотрицательного числа можно извлечь квадратный корень.
Например

2) Иррациональные числа получаются не только при извлечении корней. Например

3. Устно решают №321 Какие числа называются иррациональными? (чтение ответа из учебника)
4. Сообщение «Из истории иррациональных чисел»
5. На практике для нахождения приближенных значений корней с требуемой точностью используются таблицы, микрокалькуляторы и другие вычислительные средства. 1). Знакомство с четырехзначными математическими таблицами.(стр. 35)

Для тех, кто интересуется более подробно познакомиться с нахождением квадратных корней с помощью таблицы может почитать пояснения к таблице.
2). В настоящее время чаще всего для нахождения приближенных значений корней пользуются микрокалькулятором.
Пример

IV Закрепление изученного материала
№322(1,3,5) Разбирают и записывают на доске.

6. Работа по карточкам
Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,001

7. Геометрически действительные числа изображаются точками числовой оси Стр. 89 (рис.30)
V Усвоение изученного материала Самостоятельная работа
Вариант 1

Сравнить числа

а) 1,(56) и 1,56 б) - 4,(45) и – 4,45 2. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь а) 0,(8) б) 4,2(43)
Вариант 2

Сравнить числа

а) 2,(35) и 2,35 б) - 1,(27) и – 1,272 2. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь а) 1,(9) б) 7,5(31)
VI Домашнее задание : п.21, №322(2,4,6), №323, дополнительное задание (карточки)
VII Итог урока и выставление оценок. - Какие числа называются иррациональными?- Какие числа образуют множество действительных чисел?

Урок математики в 8Б классе

Тема урока: Иррациональные числа.

Ляпустина Наталия Юрьевна

учитель математики

МОБУ Лицей №:6

Цели:

Ввести понятие иррационального числа;

Научить находить приближенные значения корней с помощью микрокалькулятора;

Познакомить с четырехзначными математическими таблицами;

Закрепить навык преобразования обыкновенной дроби в десятичную и десятичной бесконечной периодической дроби в обыкновенную;

Развивать память, мышление.

Ход урока

I Актуализация опорных знаний.

Проверка домашнего задания:

а) Представить в виде десятичной дроби: 38/11 = 3,(45)

б) Представить в виде обыкновенной дроби: 1,(3) = 4/3 0,3(17) = 157/495

II Устные упражнения (презентация)

1) Дать определение квадратного корня и выполнить задания. Записать на доске

2) Прочитайте дроби:

0,(5); 3,(24); 15,2(57); 3,51(3)

4) Округлите данные числа:

3,45; 10,59; 23,263; 0,892

А) до единиц;

Б) до десятых.

III Изучение нового материала

1. Сообщение темы и целей урока

2. Объяснение учителя

Наряду с бесконечными периодическими дробями в математике также рассматриваются бесконечные непериодические дроби. На прошлом уроке вы познакомились с понятием рациональных чисел. И знаете, что любое рациональное число можно представить в виде десятичной дроби, конечной или бесконечной периодической.

Бесконечные десятичные непериодические дроби называются иррациональными числами.

Например, дроби

Когда же получаются иррациональные числа?

1) При извлечении квадратных корней.

В курсе высшей математики доказывается, что из любого неотрицательного числа можно извлечь квадратный корень.

Например:
рациональные числа

Иррациональные числа

2) Иррациональные числа получаются не только при извлечении корней.

Например:

3) Сообщение «Из истории иррациональных чисел» Вавилонский способ.

Можно узнать любую n -ую цифру после запятой для любого иррационального числа

4) . На практике для нахождения приближенных значений корней с требуемой точностью используются таблицы, микрокалькуляторы и другие вычислительные средства.

Для тех, кто интересуется более подробно познакомиться с нахождением квадратных корней с помощью таблицы может почитать пояснения к таблице.

2)В настоящее время чаще всего для нахождения приближенных значений корней пользуются микрокалькулятором.

Пример работы с калькулятором

3. Устно решают №321

Какие числа называются иррациональными? (чтение ответа из учебника)

4. Закрепление изученного материала

Решить уравнение: по определению квадратного корня.

11.2(а,в)

11.5 (а,б)

Разбирают и записывают на доске.

5. Работа по карточкам

Вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,001

Определение иррационального числа

Иррациональными называют такие числа, которые в десятичной записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.

Так, например, числа, полученные путем извлечения квадратного корня из натуральных чисел, являются иррациональными и не являются квадратами натуральных чисел. Но не все иррациональные числа получают путем извлечения квадратных корней, ведь полученное методом деления, число «пи», также является иррациональным, и его вы вряд ли получите, пытаясь извлечь квадратный корень из натурального числа.

Свойства иррациональных чисел

В отличие от чисел, записанных бесконечной десятичной дробью, только иррациональные числа записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
Сумма двух неотрицательных иррациональных чисел в итоге может быть рациональным числом.
Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, в нижнем классе у которых нет самого большого числа, а в верхнем нет меньшего.
Любое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
Все иррациональные числа являются либо алгебраическими, либо трансцендентными.
Множество иррациональных чисел на прямой располагаются плотно, и между его любыми двумя числами обязательно найдется иррациональное число.
Множество иррациональных чисел бесконечно, несчетно и является множеством 2-й категории.
При выполнении любой арифметической операции с рациональными числами, кроме деления на 0, его результатом будет рациональное число.
При сложении рационального числа с иррациональным, в результате всегда получается иррациональное число.
При сложении иррациональных чисел в результате мы можем получить рациональное число.
Множество иррациональных чисел не есть четным.

Числа, не являются иррациональными

Иногда достаточно сложно ответить на вопрос, является ли число иррациональным, особенно в случаях, когда число имеет вид десятичной дроби или в виде числового выражения, корня или логарифма.

Поэтому не лишним будет знать, какие числа не относятся к иррациональным. Если следовать определения иррациональных чисел, то нам уже известно, что рациональные числа не могут быть иррациональными.

Иррациональными числами не являются:

Во-первых, все натуральные числа;
Во-вторых, целые числа;
В-третьих, обыкновенные дроби;
В-четвертых, разные смешанные числа;
В-пятых, это бесконечные периодические десятичные дроби.

Кроме всего перечисленного, иррациональным числом не может быть любая комбинация рациональных чисел, которая выполняется знаками арифметических операций, как +, -, , :, так как при этом итогом двух рациональных чисел будет также рациональное число.

А теперь посмотрим, какие же из чисел являются иррациональными:

А известно ли вам о существовании фан-клуба, где поклонники этого загадочного математического феномена ищут все новые сведения о Пи, пытаясь разгадать его тайну. Членом этого клуба может сталь любой человек, который знает наизусть определенное количество чисел Пи после запятой;

А знаете ли вы, что в Германии под охраной ЮНЕСКО находится дворец Кастадель Монте, благодаря пропорциям которого можно вычислить Пи. Целый дворец посвятил этому числу король Фридрих II.

Оказывается, число Пи пытались использовать при строительстве Вавилонской башни. Но к превеликому сожалению, это привело к краху проекта, так как на тот момент было недостаточно изучено точное исчисление значения Пи.

Певица Кейт Буш в своем новом диске записала песню под названием «Пи», в которой прозвучало сто двадцать четыре числа из знаменитого числового ряда 3, 141…..