Отрицательные числа (Вольфсон Г.И.). Урок "Положительные и отрицательные числа" (6 класс)

Главная

Семья

Урок - Математика 6 класс

Тема: Положительные и отрицательные числа. Число 0.

Цели урока:

Образовательная: Познакомить учащихся с отрицательными числами, «открыть» множество отрицательных чисел. Применение отрицательных чисел.,сформировать понятия отрицательного и положительного числа.

Развивающая: развивать память, речь, наблюдательность подмечать закономерность обобщать проводить суждения по аналогии умения работать с учебником, развитие логического мышления.

Воспитательная: воспитание дисциплины, аккуратности, настойчивости, ответственного отношения к учебе.

Тип урока: изучение нового материала.

Формы работы: индивидуальная, групповая

Ход урока.

1. Орг. момент.

2. Мотивация урока.

Раз, два, три, четыре, пять,

Шесть, семь, восемь, девять, десять.

Возникнув в глубокой древности из практических потребностей счёта и простейших измерений, математика развивалась в связи с усложнением хозяйственной деятельности и социальных отношений, денежными расчётами, задачами измерений расстояний, времени, площадей и требованиями, которые предъявляли к ней другие науки.

Сегодня мы с вами познакомимся с новыми числами.

3. Актуализация опорных знаний.

Ребята! Сегодня на уроке мы работаем по следующим правилам в течение урока мы заполним таблицу « Знаю - Хочу знать - Узнал.» Или сокращенно «ЗХУ»

(Перед каждым ребенком на столе заготовка таблицы.)

ХОЧУ ЗНАТЬ

Примерная таблица, которая может получиться после предложений учащихся.

ХОЧУ ЗНАТЬ

4. Изучение нового материала.

Окружающий мир настолько сложен и разнообразен. Натуральных и дробных чисел бывает недостаточно, чтобы измерить некоторые величины, описать многие события.

Ребята, какое время года сейчас? Чем отличается погода летом и зимой? А как вы узнали, что на улице холодно? С помощью какого прибора? Давайте рассмотрим термометр. Что изображено на термометре? Как расположены числа?

Положительные и отрицательные числа используются не только в математике, но и в географии. К ХХ веку почти вся Земля была исследована. Куда же перенесли свои исследования ученые и путешественники? (дно Мирового океана)

Что обнаружили ученые? Каков рельеф дна? Похожи ли рельефы поверхности Земли и дна Мирового океана?

Если нужно измерить высоту горы или глубину океана, от какой точки надо начинать отсчет? (от уровня воды океана)

Если представить это в виде вертикальной шкалы, то нулевая точка это и есть уровень воды океана.

В каком направлении будут измеряться высоты гор?

Какими числами? (положительными)

Какую самую большую положительную величину на Земле вы знаете? (вершина Джомолунгма +8848 м)

В каком направлении будут измеряться глубины океана?

Историческая справка.

– Сейчас сядьте поудобнее, можно немножко расслабиться, подготовиться к следующим серьезным заданиям и прослушать небольшую историческую справку.

Понятие об отрицательных числах возникло в практике очень давно, причем при решении таких заданий, где из меньшего числа приходилось вычитать большее число. Египтяне, вавилоняне, а также древние греки не знали отрицательных чисел и для производства вычислений математики того времени пользовались счетной доской. А так как знаков «плюс» и «минус» не существовало, то они на этой доске положительные числа отмечали красными счетными палочками, а отрицательные – синими. И отрицательные числа долгое время назывались словами, которые означали долг, недостача, а положительные трактовались как имущество.

Древнегреческий ученый Диофант вообще не признавал отрицательных чисел, и если при решении у него получался отрицательный корень, то он отбрасывал его как недоступный.

Совершенно по-другому относились к отрицательным числам древнеиндийские математики: они признавали существование отрицательных чисел, но относились к ним с некоторым недоверием, считая их своеобразными, не совсем реальными.

Не одобряли их долго и европейцы, потому что истолкование имущество – долг вызывало недоумение и сомнение. Действительно, можно складывать и вычитать имущество – долг, а как умножать и делить? Это было непонятно и нереально.

Всеобщее признание отрицательные числа получили в первой половине XIX века. Была создана теория, по которой мы сейчас и изучаем отрицательные числа.

5. Закрепление нового материала.

Задание №1

Мы выполним тест «Верно, неверно» с сигнальными карточками. Если верно поднимаем карточку +, если неверно -.

Подводим итоги, раздавая жетоны за верные ответы.

Верно ли, что речь идет об отрицательных числах:

Сегодня мороз 10 0 С.

Глубина Черного моря 5500 метров.

Рост Пети Иванова 130 сантиметров.

Компания «Восток» должна банку 2000000 рублей.

Мама купила 1,5 килограмма конфет.

Маша потратила 40 тенге на покупку ручки

ОТВЕТЫ:

Задание №2

Положительные и отрицательные числа и история.

Знакомые из истории фразы:

«Пифагор жил в VI веке до нашей эры»;

«Русь находилась под игом монголо-татар в течении XIII -XV веков нашей эры»;

«Олимпиада в Сочи состоялась в 2014 году»;

Эти даты отмечены на шкале времени:

. 2014

XIII – XV вв.

РОЖДЕСТВО ХРИСТОВО

ДО НАШЕЙ ЭРЫ

VI в. до н.э.

Ответьте на вопросы:

а) Каким математическим знаком можно

заменить слова: «до нашей эры», «нашей эры»?

б) Каким числом можно заменить год

«Рождества Христова»?

Запишите используя знаки числа встретившиеся в тексте

а) Кто жил раньше: Пифагор или Архимед,

если Архимед жил в 287-212 гг. до нашей эры?

б) Сколько лет жил Архимед?

Римский император Август жил с 63 года

до нашей эры по 14 год нашей эры.

В каком возрасте умер император?

Линия времени

В древности года в разных странах считали по- разному. Например, в Древнем Египте каждый раз, когда начинал править новый царь, счет лет начинал править новый царь, счет лет начинался заново, римляне первым годом считали год основания своего города. Такой счет прошедших лет был неудобен для определения важных исторических событий. Возникла необходимость во всех странах начать вести счет времени от данного события. В это время христианская религия, вера в Иисуса Христа распространилась во многих странах. Один из верующих предложил вести счет лет от рождения Иисуса. Время, исчисляемое от Рождества Христова стали называть наша эра. Продолжается наша эра две тысячи лет. Время, исчисляемое до Рождества Христова - до нашей эры.

А теперь ребята, что вам интересно, и что вы хотите узнать по данной теме. Заполните в группах вторую графу таблицы. Работаем в парах

Учитель записывает варианты учащихся в таблицу

Примерная таблица.

ХОЧУ ЗНАТЬ

1. Знаем, что такое положительные числа

2. Знаем, как записываются положительные числа

3. Знаем, как выполнять действия с положительными числами

4. Знаем, как изображаются положительные числа на координатном луче

Чтобы найти ответы на свои вопросы выполним следующие задания.

2. Практическая работа.№1 По модели градусника покажите температуру и запишите ее с помощью отрицательных и положительных чисел.

5 0 С выше нуля

6 0 С ниже нуля

3 0 С ниже нуля

10 0 С тепла

4 0 С мороза

Запись в тетради: 5 0 С, -6 0 С, 0 0 С, -3 0 С, 10 0 С, -4 0 С. (фронтальная проверка)

Физкультминутка

У каждого из вас есть карточка с числом

По команде поднимаются только те, у кого в руках положительные числа и встают в ряд,а затем рядом по парно отрицательные числа слева от положительного числа, число которое осталось без пары встает по середине между парой чисел.

12; 66; 15; 7; 19; 0

Какое число осталось бес пары?

Практическая работа.№2

на нахождение положительных и отрицательных чисел

– Выполним следующее задание: обведите синим цветом отрицательные числа, а красным положительные числа.

– Молодцы. С этим заданием вы справились.

Практическая работа.№3

Работа с физической картой мира . Найдите высоты гор, глубины морей и запишите величины с помощью положительных и отрицательных чисел.

г. Эльбрус

г. Эверест

пик Победы

Каспийское море

Средиземное море

Запись в тетради: 6000м, 8000м, 7500м, -1000м, -5500м. (фронтальная проверка)

Рефлексия

Возвращаемся к таблице и заполняем третью графу, что вы узнали в течение урока. Работаем в парах

Учащиеся высказывают свои мнения. Учитель фиксирует в таблице ответы учащихся.

Примерная таблица, которая может получиться после высказываний учащихся.

ХОЧУ ЗНАТЬ

1. Знаем, что такое положительные числа

1. Что такое отрицательные числа.

1. Числа со знаком – называются отрицательные

2. Знаем, как записываются положительные числа

2. Как записываются отрицательные числа

2. Отрицательные числа записываются с помощью знака -.

3. Знаем, как выполнять действия с положительными числами

3. Как выполнять действия с отрицательными числами

4. Знаем, как изображаются положительные числа на координатном луче

4. Как изобразить отрицательные числа на координатном луче

4. Отрицательные числа изображаются на координатной прямой.

5. Где встречаются отрицательные числа

Отрицательные числа встречаются в географии.

6. Как возникли отрицательные числа

Учитель: Ребята! А на какие вопросы вы не нашли ответов?

Высказывания учащихся, коллективное обсуждение.

Положительные отрицательные.

Положительные - со знаком плюс Отрицательные- с минусом

вправо от нуля влево от нуля.

Числа со знаком «+» называют положительными, числа со знаком «-» называют отрицательными. Прямая с выбранным на ней началом отсчета, единичным отрезком и направленным называют координатной прямой. Если прямая расположена горизонтально, то обычно положительными считают координаты точек, расположенных справа от точки О, а отрицательными – координаты точек, расположенных слева от точки О. Положительное направление отмечают стрелкой. Если прямая расположена вертикально, то положительными считают координаты точек, находящихся выше точки О, а отрицательными – координаты точек, находящихся ниже точки О. Прямую с выбранным на ней началом отчсета, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой.

ГЧ 4 10 На шоссе начерчен координатный луч. На числе 4 стоит Чебурашка. Чтобы прийти к Гене, он должен пройти 5 единичных отрезков вправо. На каком числе стоит Гена? Старуха Шапокляк находится на таком же расстоянии от Чебурашки, как и Гена, но только с левой стороны. Перечерти рисунок в тетрадь И покажи, где стоит Шапокляк. Что общего между точкой, где она стоит, и точкой с координатой (1)? Что за числа стоят слева от нуля? Где еще возможно «движение» от нуля в разные стороны?

Почему на вопрос: «Сколько градусов?» - и зимой и летом можно ответить «20»? Сравните: зима - лето мороз - тепло минус - плюс «долг» - «имущество» Сравните поговорки: (противоположные слова по смыслу – антонимы, а не числа) Молодой на битву – а старый на думу. Маленькое дело лучше большого безделья Худой мир лучше доброй славы Старый друг лучше новых друзей Труд кормит, а лень портит Делу время, потехе час.

Реши задачи: Вдоль шоссе начерчена координатная прямая. Длина одного единичного отрезка равна 2 метрам. Все действующие лица двигаются только фдоль координатной пряиой. 1.На числе 0 стоят Незнайка и Топорыжка. Они пошли в разные стороны и прошли равные расстояния. Незнайка пришел на число 4. На какое число пришел Незнайка?? Сколько метров прошел Топорыжка? 2.На числе 0 встретились собака и кошка. Кошка пробежала от собаки и остановилась на числе 24. Собака побежала от кошки в другую сторону и пробежала в 2 раза большее расстояние. На каком числе оказалась собака? 3.На числе 9 стоят Малыш и Карлсон. Они пошли в разные стороны и прошли равные расстояния. Малыш пришел на число 29.На какое число пришел Карлсон? 4.На числе 4 стоят Степашка и Филя. Они пошли в разные стороны и прошли равные расстояния. Степашка пришел на число -10. На какое число пришел Филя? Сколько метров прошел Степашка? Сколько метров прошел Филя?

5.На числе 4 стоят Гена и Чебурашка. Они одновременно поли в разные стороны и одновременно остановились.Гена прошел в 3 раза большее расстояние, чем Чебурашка, и оказался на числе37. На каком числе оказался Чебурашка? Кто из них шёл быстрее и во сколько раз? 6.На числе 0 стоят Незнайка и Топорыжка. Они пошли в разные стороны и прошли равные расстояния. Незнайка пришел на число а. На какое число пришел Топорыжка? 7.На числе 5 стоят Незнайка и Топорыжка. Они пошли в разные стороны и прошли равные расстояния. Незнайка пришел на число а. На какое число пришел Топорыжка? 8.На числе d стоят Незнайка и Топорыжка. Они пошли в разные стороны и прошли равные расстояния. Незнайка пришел на число а. На какое число пришел Топорыжка? Вдоль шоссе начерчена числовая прямая. Длина одного единичного отрезка равна половине метра. Все двигаются вдоль числовой прямой. На числе 4 стоял Чиполлино, потм он прошел 6 единичных отрезков влево. На какое число пришел Чиполлино? Сколько метров он прошел?

На этом уроке вы узнаете, что такое отрицательные числа. Познакомитесь с их свойствами, сферами применения в реальной жизни. Также разберете, что отрицательные числа могут быть как целыми, так и дробными. Поймете, как располагаются отрицательные числа на числовой прямой относительно 0.

Вспомним, какие числа вы уже знаете. Начинали вы изучение с натуральных чисел, тех чисел, которые мы используем при счете, таких как 1, 2, 3, 4... и т. д. Потом выяснили, что таких чисел нам не хватает. Например, если разделить отрезок длины 1 пополам, то длина получившегося отрезка будет не целой. Так мы познакомились с дробными числами, такими как , , . Итак, мы вспомнили, что есть натуральные и есть дробные числа, но выясняется, что и их не хватает. Рассмотрим это на примере.

У вас есть 40 руб. и вы хотите купить мороженое за 20 руб. Сколько денег у вас останется после покупки? (см. рис. 1).

Рис. 1. Мороженое за 20 руб.

Теперь представьте несколько иную ситуацию. У вас есть 20 руб., и вы хотите купить мороженое за 40 руб. Сколько тогда денег у вас останется? (см. рис. 2).

Рис. 2. Мороженое за 40 руб.

Можно решить по аналогии: .

Но 20 меньше 40. И имея 20 руб., мороженое за 40 руб. купить нельзя. Можно занять 20 руб. и только тогда купить мороженое. Но что после этого останется?

Останется долг в 20 руб. Выразить числом этот долг можно, вводя отрицательные числа.

Аналогичные предпосылки возникают и на числовой оси.

Рассмотрим числовую ось (см. рис. 3).

Рис. 3. Числовая ось

На ней отмечены натуральные числа 1, 2, 3 и т. д. и начало в точке ноль. Также на соответствующих отрезках можем отметить числа , , и т. д. (см. рис. 4).

Рис. 4. Числовая ось

Что означает, Это мы к 1 прибавляем три единицы и попадаем в точку 4 (см. рис. 5).

Рис. 5. Числовая ось

Точно так же мы можем сделать шаг в другую сторону. Например, что будет, если мы из 1 вычтем 3: ? Мы попадем в пустоту (см. рис. 6).

Рис. 6. Числовая ось

Здесь и находятся отрицательные числа, которые нам, безусловно, понадобятся (см. рис. 7).

Рис. 7. Числовая ось

Теперь мы можем их ввести. Но как же обозначаются отрицательные числа? Для этого вспомним, как обозначаются натуральные числа, такие как 1, 2, 3, 4 и т. д. (см. рис. 8).

Рис. 8. Числовая ось

Но что показывает число 2? Оно показывает, что от 0 до 2 помещается два единичных отрезка (см. рис. 9).

Рис. 9. Числовая ось

Если отложить такой же отрезок влево, мы получим расстояние от точки 0 ровно в один отрезок. Так мы получаем число 1. Но чтобы не путаться, для чисел слева придумали специальный знак «-», который мы ставим перед числом и получаем . Аналогично, следующее число будет и т. д. То есть, если натуральные числа у нас обозначаются как 1, 2, 3 и т. д., то отрицательные как -1, -2, -3.(см. рис. 10).

Рис. 10. Числовая ось

Есть число , для него существует противоположное число. Оно находится между -2 и -1 и равно - (см. рис. 11).

Рис. 11. Числовая ось

Вернемся к первому примеру. У нас было 20 руб. и мы потратили 40 руб., у нас осталось -20 руб.

Как действовать с отрицательными числами, как их складывать, вычитать и т. д. - это темы более поздних уроков. А сейчас давайте подумаем, где же в реальной жизни применяются отрицательные числа?

На некоторых уличных градусниках температура показывается так: есть планка ноль градусов, есть то, что выше нуля - 1, 2, 3, и т. д, а есть то, что ниже нуля, и обозначается отрицательными числами -1, -2, -3 и т. д. (см. рис. 12).

Рис. 12. Термометр

Еще -1 градус называют 1 градусом мороза, а +1 градус - одним градусом тепла. То есть и там, и там 1, но вместо знака минус мы употребляем слова «мороза». А когда не хотим употреблять, говорим: «Температура воздуха - -20 градусов» (см. рис. 13).

Рис. 13. Температура воздуха

Это и означает минус, что от нуля мы идем не вверх, а вниз.

Уровень воды в реке (см. рис. 14).

Рис. 14. Уровень воды в реке

Как вы знаете, уровень воды в реке может повышаться и понижаться. Так вот, если уровень воды повысился на 5 см, говорят: «Изменился на +5 см» (см. рис. 15).

Рис. 15. Уровень воды в реке

Если же он понизился на 5 см, то говорят «Уровень воды изменился на -5 см» (см. рис. 16).

Рис. 16. Уровень воды в реке

И там, и там уровень воды изменился на 5 см, но, когда он повысился, говорят на +5 см, а, когда понизился - на -5 см.

Как вы видите, отрицательные числа применяются там, где величина может изменяться в обе стороны. То есть, когда мы говорили о денежных расчетах, у вас может оставаться сдача - это «+», а если вы кому-то должны, то это «-». Температура может быть выше нуля - это «+», и ниже нуля - это «-». Уровень воды может повышаться - «+», и понижаться - «-».

Рассмотрим еще один пример.

Предприниматель владеет фирмой по продаже яблок, и в январе он заработал чистой прибыли 500 руб., а в феврале - 800 руб. В марте яблоки покупали хуже, и он остался в убытке, а именно его прибыль составила -200 руб. (см. рис. 17).

Рис. 17. Денежный поток

Рис. 18. Денежный поток

Более подобно о действиях с отрицательными числами можно ознакомиться в следующих уроках.

Сегодня мы выяснили, что тех чисел, которые мы знали до этого - натуральных (1, 2, 3 … и т. д.) и дробных (, , ), не хватает для некоторых практических целей, поэтому мы ввели отрицательные (-1, -2, -3… и т. д.).

Отрицательные числа на числовой оси находятся слева от нуля. Могут быть не только целые отрицательные числа, но и дробные. И мы выяснили, где могут возникать отрицательные числа, а именно там, где величина может быть увеличена и уменьшена. Так было при измерении температуры, уровня воды и измерении доходов и расходов.

Список литературы

Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия. 2006.
Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1989.
Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. - М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

Таблица 1

3. Птица клест-еловик несет яйца и высиживает птенцов зимой. Даже при температуре воздуха в гнезде температура не ниже . На сколько температура в гнезде выше температуры воздуха?

Отрицательные числа — это числа со знаком минус (−), например −1, −2, −3. Читается как: минус один, минус два, минус три.

Примером применения отрицательных чисел является термометр, показывающий температуру тела, воздуха, почвы или воды. В зимнее время, когда на улице очень холодно, температура бывает отрицательной (или как говорят в народе «минусовой»).

Например, −10 градусов холода:

Обычные же числа, которые мы рассматривали ранее, такие как 1, 2, 3 называют положительными. Положительные числа — это числа со знаком плюс (+).

При записи положительных чисел знак + не записывают, поэтому мы и видим привычные для нас числа 1, 2, 3. Но следует иметь ввиду, что эти положительные числа выглядят так: +1, +2, +3.

Содержание урока

Это прямая линия, на которой располагаются все числа: и отрицательные и положительные. Выглядит следующим образом:

Здесь показаны числа от −5 до 5. На самом деле координатная прямая бесконечна. На рисунке представлен лишь её небольшой фрагмент.

Числа на координатной прямой отмечают в виде точек. На рисунке жирная чёрная точка является началом отсчёта. Начало отсчёта начинается с нуля. Слева от начала отсчёта отмечают отрицательные числа, а справа — положительные.

Координатная прямая продолжается бесконечно по обе стороны. Бесконечность в математике обозначается символом ∞. Отрицательное направление будет обозначаться символом −∞, а положительное символом +∞. Тогда можно сказать, что на координатной прямой располагаются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

Каждая точка на координатной прямой имеет своё имя и координату. Имя — это любая латинская буква. Координата — это число, которое показывает положение точки на этой прямой. Проще говоря, координата это то самое число, которое мы хотим отметить на координатной прямой.

Например, точка А(2) читается как «точка А с координатой 2» и будет обозначаться на координатной прямой следующим образом:

Здесь A — это имя точки, 2 — координата точки A.

Пример 2. Точка B(4) читается как «точка B с координатой 4»

Здесь B — это имя точки, 4 — координата точки B.

Пример 3. Точка M(−3) читается как «точка M с координатой минус три» и будет обозначаться на координатной прямой так:

Здесь M — это имя точки, −3 — координата точки M.

Точки можно обозначать любыми буквами. Но общепринято обозначать их большими латинскими буквами. Более того, начало отчёта, которое по другому называют началом координат принято обозначать большой латинской буквой O

Легко заметить, что отрицательные числа лежат левее относительно начала отсчёта, а положительные числа правее.

Существуют такие словосочетания, как «чем левее, тем меньше» и «чем правее, тем больше» . Наверное, вы уже догадались о чём идёт речь. При каждом шаге влево, число будет уменьшаться в меньшую сторону. И при каждом шаге вправо число будет увеличиваться. Стрелка, направленная вправо, указывает на положительное направление отсчёта.

Сравнение отрицательных и положительных чисел

Правило 1. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Например, сравним два числа: −5 и 3. Минус пять меньше , чем три, несмотря на то, что пятёрка бросается в глаза в первую очередь, как цифра большая, чем три.

Связано это с тем, что −5 является отрицательным числом, а 3 — положительным. На координатной прямой можно увидеть, где располагаются числа −5 и 3

Видно, что −5 лежит левее, а 3 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

−5 < 3

«Минус пять меньше, чем три»

Правило 2. Из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой.

Например, сравним числа −4 и −1. Минус четыре меньше , чем минус единица.

Связано это опять же с тем, что на координатной прямой −4 располагается левее, чем −1

Видно, что −4 лежит левее, а −1 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что из двух отрицательных чисел меньше то, которое располагается левее на координатной прямой. Отсюда следует, что

Минус четыре меньше, чем минус единица

Правило 3. Ноль больше любого отрицательного числа.

Например, сравним 0 и −3. Ноль больше , чем минус три. Связано это с тем, что на координатной прямой 0 располагается правее, чем −3

Видно, что 0 лежит правее, а −3 левее. А мы говорили, что «чем правее, тем больше» . И правило говорит, что ноль больше любого отрицательного числа. Отсюда следует, что

Ноль больше, чем минус три

Правило 4. Ноль меньше любого положительного числа.

Например, сравним 0 и 4. Ноль меньше , чем 4. Это в принципе ясно и так. Но мы попробуем увидеть это воочию, опять же на координатной прямой:

Видно, что на координатной прямой 0 располагается левее, а 4 правее. А мы говорили, что «чем левее, тем меньше» . И правило говорит, что ноль меньше любого положительного числа. Отсюда следует, что

Ноль меньше, чем четыре

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Положительные и отрицательные числа
Координатная прямая
Проведём прямую. Отметим на ней точку 0 (ноль) и примем эту точку за начало отсчёта.

Укажем стрелкой направление движения по прямой вправо от начала координат. В этом направлении от точки 0 будем откладывать положительные числа.

То есть положительными называют уже известные нам числа, кроме нуля.

Иногда положительные числа записывают со знаком «+». Например, «+8».

Для краткости записи знак «+» перед положительным числом обычно опускают и вместо «+8» пишут просто 8.

Поэтому «+3» и «3» - это одно и тоже число, только по разному обозначенное.

Выберем какой-либо отрезок, длину которого примем за единицу и отложим его несколько раз вправо от точки 0. В конце первого отрезка записывается число 1, в конце второго - число 2 и т.д.

Отложив единичный отрезок влево от начала отсчёта получим отрицательные числа: -1; -2; и т.д.

Отрицательные числа используют для обозначения различных величин, таких как: температура (ниже нуля), расход - то есть отрицательный доход, глубина - отрицательная высота и другие.

Как видно из рисунка, отрицательные числа - это уже известные нам числа, только со знаком «минус»: -8; -5,25 и т.д.

Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.

Числовую ось обычно располагают горизонтально или вертикально.

Если координатная прямая расположена вертикально, то направление вверх от начала отсчёта обычно считают положительным, а вниз от начала отсчёта - отрицательным.

Стрелкой указывают положительное направление.

Прямая, на которой отмечено:
. начало отсчёта (точка 0);
. единичный отрезок;
. стрелкой указано положительное направление;
называется координатной прямой или числовой осью.

Противоположные числа на координатной прямой
Отметим на координатной прямой две точки A и B, которые расположены на одинаковом расстоянии от точки 0 справа и слева соответственно.

В таком случае длины отрезков OA и OB одинаковы.

Значит, координаты точек A и B отличаются только знаком.

Также говорят, что точки A и B симметричны относительно начала координат.
Координата точки A положительная «+2», координата точки B имеет знак минус «-2».
A (+2), B (-2).

Числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными числами. Соответствующие им точки числовой (координатной) оси симметричны относительны начала отсчёта.

Каждое число имеет единственное противоположное ему число . Только число 0 не имеет противоположного, но можно сказать, что оно противоположно самому себе.

Запись «-a» означает число, противоположное «a». Помните, что под буквой может скрываться как положительное число, так и отрицательное число.

Пример:
-3 - число противоположное числу 3.

Записываем в виде выражения:
-3 = -(+3)

Пример:
-(-6) - число противоположное отрицательному числу -6. Значит, -(-6) это положительное число 6.

Записываем в виде выражения:
-(-6) = 6

Сложение отрицательных чисел
Сложение положительных и отрицательных чисел можно разобрать с помощью числовой оси.

Сложение небольших по модулю чисел удобно выполнять на координатной прямой, мысленно представляя себе как точка, обозначающая число передвигается по числовой оси.

Возьмём какое-нибудь число, например, 3. Обозначим его на числовой оси точкой A.

Прибавим к числу положительное число 2. Это будет означать, что точку A надо переместить на два единичных отрезка в положительном направлении, то есть вправо . В результате мы получим точку B с координатой 5.
3 + (+ 2) = 5

Для того чтобы к положительному числу, например, к 3 прибавить отрицательное число (- 5), точку A надо переместить на 5 единиц длины в отрицательном направлении, то есть влево .

В этом случае координата точки B равна - 2.

Итак, порядок сложения рациональных чисел с помощью числовой оси будет следующим:
. отметить на координатной прямой точку A с координатой равной первому слагаемому;
. передвинуть её на расстояние, равное модулю второго слагаемого в направлении, которое соответствует знаку перед вторым числом (плюс - передвигаем вправо, минус - влево);
. полученная на оси точка B будет иметь координату, которая будет равна сумме данных чисел.

Пример.
- 2 + (- 6) =

Двигаясь от точки - 2 влево (так как перед 6 стоит знак минус), получим - 8.
- 2 + (- 6) = - 8

Сложение чисел с одинаковыми знаками
Складывать рациональные числа можно проще, если использовать понятие модуля.

Пускай нам нужно сложить числа, которые имеют одинаковые знаки.
Для этого, отбрасываем знаки чисел и берём модули этих чисел. Сложим модули и перед суммой поставим знак, который был общим у данных чисел.

Пример.

Пример сложения отрицательных чисел.
(- 3,2) + (- 4,3) = - (3,2 + 4,3) = - 7,5

Чтобы сложить числа одного знака надо сложить их модули и поставить перед суммой знак, который был перед слагаемыми.

Сложение чисел с разными знаками
Если числа имеют разные знаки, то действуем несколько по-иному, чем при сложении чисел с одинаковыми знаками.
. Отбрасываем знаки перед числами, то есть берём их модули.
. Из большего модуля вычитаем меньший.
. Перед разностью ставим тот знак, который был у числа с бóльшим модулем.

Пример сложения отрицательного и положительного числа.
0,3 + (- 0,8) = - (0,8 - 0,3) = - 0,5

Пример сложения смешанных чисел.

Чтобы сложить числа разного знака надо:
. из бóльшего модуля вычесть меньший модуль;
. перед полученной разностью поставить знак числа, имеющего больший модуль.

Вычитание отрицательных чисел
Как известно вычитание - это действие, противоположное сложению.
Если a и b - положительные числа, то вычесть из числа a число b, значит найти такое число c, которое при сложении с числом b даёт число a.
a - b = с или с + b = a

Определение вычитания сохраняется для всех рациональных чисел. То есть вычитание положительных и отрицательных чисел можно заменить сложением.

Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.

Или по другому можно сказать, что вычитание числа b - это тоже самое сложение, но с числом противоположным числу b.
a - b = a + (- b)

Пример.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2

Пример.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2

Стоит запомнить выражения ниже.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Правила вычитания отрицательных чисел
Как видно из примеров выше вычитание числа b - это сложение с числом противоположным числу b.
Это правило сохраняется не только при вычитании из бóльшего числа меньшего, но и позволяет из меньшего числа вычесть большее число, то есть всегда можно найти разность двух чисел.

Разность может быть положительным числом, отрицательным числом или числом ноль.

Примеры вычитания отрицательных и положительных чисел.
. - 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
. - 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
. 5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Удобно запомнить правило знаков, которое позволяет уменьшить количество скобок.
Знак «плюс» не изменяет знака числа, поэтому, если перед скобкой стоит плюс, то знак в скобках не меняется.
+ (+ a) = + a

+ (- a) = - a

Знак «минус» перед скобками меняет знак числа в скобках на противоположный.
- (+ a) = - a

- (- a) = + a

Из равенств видно, что если перед и внутри скобок стоят одинаковые знаки, то получаем «+», а если знаки разные, то получаем «-».
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0

Правило знаков сохраняется и в том случае, если в скобках не одно число, а алгебраическая сумма чисел.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n

Обратите внимание, если в скобках стоит несколько чисел и перед скобками стоит знак «минус», то должны меняться знаки перед всемичислами в этих скобках.

Чтобы запомнить правило знаков можно составить таблицу определения знаков числа.
Правило знаков для чисел

Или выучить простое правило.

Минус на минус даёт плюс,
Плюс на минус даёт минус.

Умножение отрицательных чисел
Используя понятие модуля числа, сформулируем правила умножения положительных и отрицательных чисел.

Умножение чисел с одинаковыми знаками
Первый случай, который может вам встретиться - это умножение чисел с одинаковыми знаками.
Чтобы умножить два числа с одинаковыми знаками надо:
. перемножить модули чисел;
. перед полученным произведением поставить знак «+» (при записи ответа знак «плюс» перед первым числом слева можно опускать).

Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
. (- 3) . (- 6) = + 18 = 18
. 2 . 3 = 6

Умножение чисел с разными знаками
Второй возможный случай - это умножение чисел с разными знаками.
Чтобы умножить два числа с разными знаками, надо:
. перемножить модули чисел;
. перед полученным произведением поставить знак «-».
Примеры умножения отрицательных и положительных чисел.
. (- 0,3) . 0,5 = - 1,5
. 1,2 . (- 7) = - 8,4

Правила знаков для умножения
Запомнить правило знаков для умножения очень просто. Данное правило совпадает с правилом раскрытия скобок.

Минус на минус даёт плюс,
Плюс на минус даёт минус.

В «длинных» примерах, в которых есть только действие умножение, знак произведения можно определять по количеству отрицательных множителей.

При чётном числе отрицательных множителей результат будет положительным, а при нечётном количестве - отрицательным.
Пример.
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) =

В примере пять отрицательных множителей. Значит, знак результата будет «минус».
Теперь вычислим произведение модулей, не обращая внимание на знаки.
6 . 3 . 4 . 2 . 12 . 1 = 1728

Конечный результат умножения исходных чисел будет:
(- 6) . (- 3) . (- 4) . (- 2) . 12 . (- 1) = - 1728

Умножение на ноль и единицу
Если среди множителей есть число ноль или положительная единица, то умножение выполняется по известным правилам.
. 0 . a = 0
. a . 0 = 0
. a . 1 = a
Примеры:
. 0 . (- 3) = 0
. 0,4 . 1 = 0,4
Особую роль при умножении рациональных чисел играет отрицательная единица (- 1).

При умножении на (- 1) число меняется на противоположное.

В буквенном выражении это свойство можно записать:
a . (- 1) = (- 1) . a = - a

При совместном выполнении сложения, вычитания и умножения рациональных чисел сохраняется порядок действий, установленный для положительных чисел и нуля.

Пример умножения отрицательных и положительных чисел.

Деление отрицательных чисел
Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление - это действие, обратное умножению.

Если a и b положительные числа, то разделить число a на число b, значит найти такое число с, которое при умножении на b даёт число a.

Данное определение деления действует для любых рациональных чисел, если делители отличны от нуля.

Поэтому, например, разделить число (- 15) на число 5 - значит, найти такое число, которое при умножении на число 5 даёт число (- 15). Таким числом будет (- 3), так как
(- 3) . 5 = - 15

значит

(- 15) : 5 = - 3

Примеры деления рациональных чисел.
1. 10: 5 = 2, так как 2 . 5 = 10
2. (- 4) : (- 2) = 2, так как 2 . (- 2) = - 4
3. (- 18) : 3 = - 6, так как (- 6) . 3 = - 18
4. 12: (- 4) = - 3, так как (- 3) . (- 4) = 12

Из примеров видно, что частное двух чисел с одинаковыми знаками - число положительное (примеры 1, 2), а частное двух чисел с разными знаками - число отрицательное (примеры 3,4).

Правила деления отрицательных чисел
Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.
Итак, чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, надо:

. перед результатом поставить знак «+».
Примеры деления чисел с одинаковыми знаками:
. (- 9) : (- 3) = + 3
. 6: 3 = 2

Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо:
. модуль делимого разделить на модуль делителя;
. перед результатом поставить знак «-».
Примеры деления чисел с разными знаками:
. (- 5) : 2 = - 2,5
. 28: (- 2) = - 14
Для определения знака частного можно также пользоваться следующей таблицей.
Правило знаков при делении

При вычислении «длинных» выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления дроби

Можно обратить внимание, что в числителе 2 знака «минус», которые при умножении дадут «плюс». Также в знаменателе три знака «минус», которые при умножении дадут «минус». Поэтому в конце результат получится со знаком «минус».

Сокращение дроби (дальнейшие действия с модулями чисел) выполняется также, как и раньше:

Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю.
0: a = 0, a ≠ 0
Делить на ноль НЕЛЬЗЯ!

Все известные ранее правила деления на единицу действуют и на множество рациональных чисел.
. а: 1 = a
. а: (- 1) = - a
. а: a = 1
, где а - любое рациональное число.

Зависимости между результатами умножения и деления, известные для положительных чисел, сохраняются и для всех рациональных чисел (кроме числа нуль):
. если a . b = с; a = с: b; b = с: a;
. если a: b = с; a = с. b; b = a: c
Данные зависимости используются для нахождения неизвестного множителя, делимого и делителя (при решении уравнений), а также для проверки результатов умножения и деления.

Пример нахождения неизвестного.
x . (- 5) = 10

x = 10: (- 5)

x = - 2

Знак «минус» в дробях
Разделим число (- 5) на 6 и число 5 на (- 6).

Напоминаем, что черта в записи обыкновенной дроби - это тот же знак деления, и запишем частное каждого из этих действий в виде отрицательной дроби.

Таким образом знак "минус" в дроби может находиться:
. перед дробью;
. в числителе;
. в знаменателе.

При записи отрицательных дробей знак «минус» можно ставить перед дробью, переносить его из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель.

Это часто используется при выполнении действий с дробями, облегчая вычисления.

Пример. Обратите внимание, что после вынесения знака «минуса» перед скобкой мы из большего модуля вычитаем меньший по правилам сложения чисел с разными знаками.

Используя описанное свойство переноса знака в дроби, можно действовать, не выясняя, модуль какого из данных дробных чисел больше.

Разделы