Чему равна серединная линия трапеции. Свойство диагоналей равнобедренной трапеции

Понятие средней линии трапеции

Для начала вспомним, какую фигуру называют трапецией.

Определение 1

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные -- боковыми сторонами трапеции.

Определение 2

Средняя линия трапеции -- это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема о средней линии трапеции

Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем её вектор ным методом.

Теорема 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ -- средняя линия этой трапеции (рис. 1).

Рисунок 1. Средняя линия трапеции

Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что

С другой стороны

Сложим два последних равенства, получим

Так как $M$ и $N$ - середины боковых сторон трапеции, то будем иметь

Получаем:

Следовательно

Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$.

Теорема доказана.

Примеры задач на понятие средней линии трапеции

Пример 1

Боковые стороны трапеции равны $15\ см$ и $17\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $52\ см$. Найти длину средней линии трапеции.

Решение.

Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.

Сумма боковых сторон равна

Следовательно, так как периметр равен $52\ см$, сумма оснований равна

Значит, по теореме 1, получаем

Ответ: $10\ см$.

Пример 2

Концы диаметра окружности удалены от его касательной соответственно на $9$ см и $5$ см. Найти диаметр этой окружности.

Решение.

Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Проведем касательную $l$ и построим расстояния $AD=9\ см$ и $BC=5\ см$. Проведем радиус $OH$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Так как $AD$ и $BC$ - расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и так как $OH$ -- радиус, то $OH\bot l$, следовательно, $OH|\left|AD\right||BC$. Из этого всего получаем, что $ABCD$ - трапеция, а $OH$ - ее средняя линия. По теореме 1, получаем

Первый признак

Если две стороны и угол двум сторонам и углу

Второй признак

Если

Третий признак

Две окружности являются концентрическими

Доказательство.

Пусть A 1 A 2... A n – данный выпуклый многоугольник, и n >

Параллелограмм

Параллелограммом

Свойства параллелограмма

• противолежащие стороны равны;
• противоположные углы равны;

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).

Трапеция

Трапецией

основаниями, а непараллельные стороны - боковыми сторонами. средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой

прямоугольной.

Свойства трапеции

Признаки трапеции

Прямоугольник

Прямоугольником

Свойства прямоугольника

• все свойства параллелограмма;
• диагонали равны.

Признаки прямоугольника

1. Один из его углов прямой.

2. Его диагонали равны.

Ромб

Ромбом

Свойства ромба

• все свойства параллелограмма;
• диагонали перпендикулярны;

Признаки ромба

Квадрат

Квадратом

Свойства квадрата

• все углы квадрата прямые;

Признаки квадрата

Признаки параллелограмма

Средней линией

Теорема.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Медиана

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Формулы площади ромба

S = a 2 · sin α

Формулы площади трапеции

S = 1(a + b) · h

Формулы площади круга

Формула дуги окружности и ее длинны

L=2Пr L=Пr /180

Первый признак

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки.

Эта точка (О) называется центром окружности.

Расстояние (r) от точки окружности до ее центра называется радиусом окружности.

Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром.

Хорда - отрезок, соединяющий две точки окружности.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (d=2r).

Касательная - прямая (а), проходящая через точку (А) окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется.

При этом данная точка (А) окружности называется точкой касания.

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

Круговой сектор - часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла.

Круговой сегмент - общая часть круга и полуплоскости, граница которой содержит хорду этого круга.

Две окружности являются концентрическими (то есть имеющими общий центр) в том и только в том случае, когда и

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Теорема 1: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Теорема 2: если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Теорема 3: если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны:

Две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответствующие углы равны.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника

Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2).

Доказательство.

Для доказательства теоремы о сумме углов выпуклого многоугольника воспользуемся уже доказанной теоремой о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Пусть A 1 A 2... A n – данный выпуклый многоугольник, и n > 3. Проведем все диагонали многоугольника из вершины A 1. Они разбивают его на n – 2 треугольника: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а число треугольников – (n – 2). Поэтому сумма углов выпуклого n -угольника A 1 A 2... A n равна 180° (n – 2).

Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.

Доказательство. Рассмотрим треугольник ABC и проведем через вершину B прямую, параллельную AC (см рис). Имеем ÐKBM = ÐBAC, поскольку эти углы являются соответственными, образованными при пересечении параллельных CA и BM секущей AB. Равными являются также углы ACB и CBM, так как угол, вертикальный к ÐCBM, является соответственным для Ð ACB (здесь секущей является CB). Таким образом, Ð CAB + Ð ACB + Ð ABC = Ð MBK + ÐMBC + Ð ABC = 180°.

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы

Теорема. Внешний угол всякого треугольника больше каждого внутреннего угла треугольника, не смежного с ним.

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

• противолежащие стороны равны;
• противоположные углы равны;
• диагонали точкой пересечения делятся пополам;
• сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
• сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).

Трапеция

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны - боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой ), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции

• ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
• если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;
• если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;
• если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Признаки трапеции

Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

• все свойства параллелограмма;
• диагонали равны.

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если:

1. Один из его углов прямой.

2. Его диагонали равны.

Ромб

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба

• все свойства параллелограмма;
• диагонали перпендикулярны;
• диагонали являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба

1. Параллелограмм является ромбом, если:

2. Две его смежные стороны равны.

3. Его диагонали перпендикулярны.

4. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадрат

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

• все углы квадрата прямые;
• диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки квадрата

Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если:

1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.

2. Противоположные стороны попарно равны.

3. Противоположные углы попарно равны.

4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий средины двух его сторон.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединящий середины боковых сторон трапеции.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Геометрическим местом точек, обладающих определенным свойством, называется множество всех точек, которые обладают этим свойством.

Отрезок прямой, соединяющей середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции. О том, как найти среднюю линию трапеции и как она соотносится с другими элементами этой фигуры, мы расскажем ниже.

Теорема о средней линии

Нарисуем трапецию, в которой AD - большее основание, BC - меньшее основание, EF - средняя линия. Продолжим основание AD за точку D. Проведём линию BF и продолжим её до пересечения с продолжением основания AD в точке О. Рассмотрим треугольники ∆BCF и ∆DFO. Углы ∟BCF = ∟DFO как вертикальные. CF = DF, ∟BCF = ∟FDО, т.к. ВС // АО. Следовательно, треугольники ∆BCF = ∆DFO. Отсюда стороны BF = FO.

Теперь рассмотрим ∆АВО и ∆EBF. ∟ABO общий для обоих треугольников. BE/AB = ½ по условию, BF/BO = ½, поскольку ∆BCF = ∆DFO. Следовательно, треугольники ABO и EFB подобны. Отсюда отношение сторон EF/AO = ½, как и отношение других сторон.

Находим EF = ½ AO. По чертежу видно, что AO = AD + DO. DO = BC как стороны равных треугольников, значит, AO = AD + BC. Отсюда EF = ½ АО = ½ (AD + BC). Т.е. длина средней линии трапеции равна полусумме оснований.

Всегда ли средняя линия трапеции равна полусумме оснований?

Предположим, что существует такой частный случай, когда EF ≠ ½ (AD + BC). Тогда ВС ≠ DO, следовательно, ∆BCF ≠ ∆DCF. Но это невозможно, поскольку у них равны два угла и стороны между ними. Следовательно, теорема верна при всех условиях.

Задача о средней линии

Предположим, в нашей трапеции АВСD АD // ВС, ∟A=90°, ∟С = 135°, АВ = 2 см, диагональ АС перпендикулярна боковой стороне. Найдите среднюю линию трапеции EF.

Если ∟А = 90°, то и ∟В = 90°, значит, ∆АВС прямоугольный.

∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90° по условию, следовательно, ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°.

Если в прямоугольном треугольнике ∆АВС один угол равен 45°, значит, катеты в нём равны: АВ = ВС = 2 см.

Гипотенуза АС = √(АВ² + ВС²) = √8 см.

Рассмотрим ∆ACD. ∟ACD = 90° по условию. ∟CAD = ∟BCA = 45° как углы, образованные секущей параллельных оснований трапеции. Следовательно, катеты AC = CD = √8.

Гипотенуза AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 см.

Средняя линия трапеции EF = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 см.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Понятие средней линии трапеции

Для начала вспомним, какую фигуру называют трапецией.

Определение 1

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

При этом параллельные стороны называются основаниями трапеции, а не параллельные -- боковыми сторонами трапеции.

Определение 2

Средняя линия трапеции -- это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема о средней линии трапеции

Теперь введем теорему о средней линии трапеции и докажем её вектор ным методом.

Теорема 1

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство.

Пусть нам дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD\ и\ BC$. И пусть $MN$ -- средняя линия этой трапеции (рис. 1).

Рисунок 1. Средняя линия трапеции

Докажем, что $MN||AD\ и\ MN=\frac{AD+BC}{2}$.

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{MN}$. Используем далее правило многоугольника для сложения векторов. С одной стороны получим, что

С другой стороны

Сложим два последних равенства, получим

Так как $M$ и $N$ - середины боковых сторон трапеции, то будем иметь

Получаем:

Следовательно

Из этого же равенства (так как $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ сонаправлены, а, следовательно, коллинеарны) получаем, что $MN||AD$.

Теорема доказана.

Примеры задач на понятие средней линии трапеции

Пример 1

Боковые стороны трапеции равны $15\ см$ и $17\ см$ соответственно. Периметр трапеции равен $52\ см$. Найти длину средней линии трапеции.

Решение.

Обозначим среднюю линию трапеции через $n$.

Сумма боковых сторон равна

Следовательно, так как периметр равен $52\ см$, сумма оснований равна

Значит, по теореме 1, получаем

Ответ: $10\ см$.

Пример 2

Концы диаметра окружности удалены от его касательной соответственно на $9$ см и $5$ см. Найти диаметр этой окружности.

Решение.

Пусть нам дана окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Проведем касательную $l$ и построим расстояния $AD=9\ см$ и $BC=5\ см$. Проведем радиус $OH$ (рис. 2).

Рисунок 2.

Так как $AD$ и $BC$ - расстояния до касательной, то $AD\bot l$ и $BC\bot l$ и так как $OH$ -- радиус, то $OH\bot l$, следовательно, $OH|\left|AD\right||BC$. Из этого всего получаем, что $ABCD$ - трапеция, а $OH$ - ее средняя линия. По теореме 1, получаем