Числовым рядом называется. Свойства числовых рядов
Пусть задана бесконечная последовательность чисел u1, u2, u3…
Выражение u1+ u2+ u3…+ un (1) называется числовым рядом, а числа его составляющие- членами ряда.
Сумма конечно числа n первых членов ряда называется n-ной частичной суммой ряда: Sn = u1+..+un
Если сущ. конечный предел: , то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится, если такого предела не существует, то говорят что ряд расходится и суммы не имеет.
2 Геометрический и арифметический ряды
Ряд
состоящий из членов бесконечной
геометрической прогрессии наз.
геометрическим:
или
а+ аq +…+aq n -1
a
0 первый член q
– знаменатель. Сумма ряда:
следовательно конечный предел последовательности частных сумм ряда зависит от величины q
Возможны случаи:
1
|q|<1
т.
е. ряд схд-ся и его сумма
2
|q|>1
и предел суммы так же равен бесконечности
т. е. ряд расходится.
3
при q
= 1 получается ряд: а+а+…+а… Sn
= na
ряд расходится
4 при q1 ряд имеет вид: а-а+а … (-1) n -1 a Sn=0 при n четном, Sn=a при n нечетном предела частных суммы не существует. ряд расходится.
Рассмотрим
ряд из бесконечных членов арифметической
прогрессии:
u
– первый член, d
– разность. Сумма ряда
при
любых u1
и d
одновременно
0 и ряд всегда расходится.
3 С-ва сходящихся рядов
Пусть
даны два ряда: u1+u2+…un
=
(1)
иv1+v2+…vn
=
(2)
Произведением
ряда (1) на число
R
наз ряд: u1+u2+…un
=
(3)
Суммой рядов (1) и (2) наз ряд:
(u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn)
=
(для разности там только - появица)
Т1 Об общем множителе
Если
ряд (1) сходится и его сумма = S,
то для любого числа
ряд
=
тоже сходится и его суммаS’
= S
Если ряд (1) расходится и
0, то и ряд
тоже расходится. Т. е. общий множитель
не влияет на расходимости ряда.
Т2
Если ряды (1) и (2) сходятся, а их суммы =
соотв S
и S’,
то и ряд:
тоже сходится и если
его сумма, то
= S+S’.
Т. е. сходящиеся ряды можно почленно
складывать и вычитать. Если ряд (1)
сходится, а ряд (2) расходится, то их
сумма(или разность) тоже расходится. А
вот если оба ряда расходятся. то ихняя
сумма (или разность)может как расходится
(если un=vn)
так и сходиться (если un=vn)
Для
ряда (1) ряд
называетсяn
– ным остатком ряда. Если нный остаток
ряда сходится, то его сумму будем
обозначать: r n
=
Т3 Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится, если какой либо остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд. Причем полная сумма = частичная сумма ряда Sn + r n
Изменение, а также отбрасывание или добавление конечного числа членов не влияет на сходимость (расходимость) ряда.
4 Необходимый признак сходимости рядов
Если
ряд сходится, то предел его общего члена
равен нулю:
Док-во:
Sn-1\u1+u2+…+un-1
un=Sn-Sn-1, поэтому:
Сей признак является только необходимым, но не является достаточным., т. е. если предел общегоь члена и равен нулю совершенно необязательно чтобы ряд при этом сходился. Следовательно, вот сие условие при его невыполнении является зато достаточным условием расходимости ряда.
5 Интегральный признак сходимости ряда. Ряд Дирихле
Т1
Пущай дан рядт
(1),
члены которого неотрицательны, и не
возрастают:u1>=u2>=u3…>=un
Если
существует ф-ция f(x) неотрицательная,
непрерывная и не возрастающая на
такая, что f(n)
= Un,
n
N,
то для сходимости ряда (1) необходимо
унд достаточно, чтобы сходился
несобственный интеграл:
,
а для расходимости достаточно и необходимо
чтобы сей интеграл наоборот расходился
(ВАУ!).
Применим
сей признак для исследования ряда
Дирихле: Вот он:
,
R
Сей ряд называют обобщенным гармоническим
рядом, при
>0 общий член оного un=1/n
0
и убывает поэтому можно воспользоваться
интегральным признаком, функцией здеся
будет ф-ция f(x)=1/x
(x>=1)сия
ф-ция удовлетворяет условиям теоремы
1 поэтому сходимость (расходимости) ряда
Дирихле равнозначна сходимости
расходимости интеграла:
Возможны три случая:
1
>1,
Интеграл а потому и ряд сходится.
Интеграл и ряд расходится
Интеграл и ряд расходится
Основные определения.
Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называетсячисловым рядом .
При
этом числа
будем называть членами ряда, аu
n
– общим членом ряда.
Определение.
Суммы
,n
= 1, 2, …
называются частными
(частичными) суммами
ряда.
Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S 1 , S 2 , …, S n , …
Определение.
Ряд
называетсясходящимся
,
если сходится последовательность его
частных сумм. Сумма
сходящегося ряда
– предел последовательности его частных
сумм.
Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.
Свойства рядов.
1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.
2)
Рассмотрим два ряда
и
,
где С – постоянное число.
Теорема.
Если ряд
сходится
и его сумма равна
S
,
то ряд
тоже
сходится, и его сумма равна С
S
.
(C
0)
3)
Рассмотрим два ряда
и
.Суммой
или разностью
этих рядов будет называться ряд
,
где элементы получены в результате
сложения (вычитания) исходных элементов
с одинаковыми номерами.
Теорема.
Если ряды
и
сходятся
и их суммы равны соответственно
S
и
,
то ряд
тоже сходится и его сумма равна
S
+
.
Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.
Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.
О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.
При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.
Критерий Коши.
(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)
Для
того, чтобы последовательность
была
сходящейся, необходимо и достаточно,
чтобы для любого
существовал такой номер
N
,
что при
n
>
N
и любом
p
> 0, где р – целое число, выполнялось
бы неравенство:
.
Доказательство. (необходимость)
Пусть
,
тогда для любого числа
найдется
номер N
такой, что неравенство
выполняется
при n>N.
При n>N
и любом целом p>0
выполняется также неравенство
.
Учитывая оба неравенства, получаем:
Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.
Сформулируем критерий Коши для ряда.
Для
того, чтобы ряд
был
сходящимся необходимо и достаточно,
чтобы для любого
существовал номер
N
такой, что при
n
>
N
и любом
p
>0
выполнялось бы неравенство
.
Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:
1)
Если ряд
сходится,
то необходимо, чтобы общий член u
n
стремился к нулю. Однако, это условие
не является достаточным. Можно говорить
только о том, что если общий член не
стремится к нулю, то ряд точно расходится.
Например, так называемый гармонический
ряд
является расходящимся, хотя его общий
член и стремится к нулю.
Пример.
Исследовать сходимость ряда
Найдем
- необходимый признак сходимости не
выполняется, значит ряд расходится.
2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.
Однако, этот признак также не является достаточным.
Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что
Однако,
при этом последовательность частных
сумм ограничена, т.к.
при любомn
.
Ряды с неотрицательными членами.
При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.
Теорема.
Для сходимости
ряда
с
неотрицательными членами необходимо
и достаточно, чтобы частные суммы ряда
были ограничены
.
Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.
Пусть
даны два ряда
и
приu
n
,
v
n
0
.
Теорема.
Если u
n
v
n
при любом n
,
то из сходимости ряда
следует
сходимость ряда
,
а из расходимости ряда
следует
расходимость ряда
.
Доказательство.
Обозначим через S
n
и
n
частные суммы рядов
и
.
Т.к. по условию теоремы ряд
сходится,
то его частные суммы ограничены, т.е.
при всехn
n
M,
где М – некоторое число. Но т.к. u
n
v
n
,
то S
n
n
то частные суммы ряда
тоже
ограничены, а этого достаточно для
сходимости.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
Т.к.
,
а гармонический ряд
расходится, то расходится и ряд
.
Пример.
Т.к.
,
а ряд
сходится (как убывающая геометрическая
прогрессия), то ряд
тоже сходится.
Также используется следующий признак сходимости:
Теорема.
Если
и существует предел
,
где
h
– число, отличное от нуля, то ряды
и
ведут
одинаково в смысле сходимости.
Признак Даламбера.
(Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французский математик)
Если
для ряда
с положительными членами существует
такое число
q
<1,
что для всех достаточно больших
n
выполняется неравенство
то
ряд
сходится, если же для всех достаточно
больших
n
выполняется условие
то
ряд
расходится.
Предельный признак Даламбера.
Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера.
Если
существует предел
,
то при
< 1 ряд сходится, а при
> 1 – расходится. Если
= 1, то на вопрос о сходимости ответить
нельзя.
Пример.
Определить сходимость ряда
.
Вывод: ряд сходится.
Пример.
Определить сходимость ряда
Вывод: ряд сходится.
Признак Коши. (радикальный признак)
Если
для ряда
с
неотрицательными членами существует
такое число
q
<1,
что для всех достаточно больших
n
выполняется неравенство
,
то
ряд
сходится,
если же для всех достаточно больших
n
выполняется неравенство
то
ряд
расходится.
Следствие.
Если существует предел
,
то при<1
ряд сходится, а при >1
ряд расходится.
Пример.
Определить сходимость ряда
.
Вывод: ряд сходится.
Пример.
Определить сходимость ряда
.
Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю.
,
таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.
Интегральный признак Коши.
Если
(х)
– непрерывная положительная функция,
убывающая на промежутке
и
то интегралы
и
ведут себя одинаково в смысле сходимости.
Знакопеременные ряды.
Знакочередующиеся ряды.
Знакочередующийся ряд можно записать в виде:
где
Признак Лейбница.
Если
у знакочередующегося ряда
абсолютные величины
u
i
убывают
и общий член стремится к нулю
,
то ряд сходится.
Абсолютная и условная сходимость рядов.
Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).
(1)
и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):
(2)
Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого >0 существует число N, такое, что при n>N и любом целом p>0 верно неравенство:
По свойству абсолютных величин:
То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).
Определение.
Ряд
называетсяабсолютно
сходящимся
,
если сходится ряд
.
Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.
Определение.
Ряд
называетсяусловно
сходящимся
,
если он сходится, а ряд
расходится.
Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.
Пусть
-
знакопеременный ряд.
Признак
Даламбера.
Если существует предел
,
то при<1
ряд
будет абсолютно сходящимся, а при>
Признак
Коши.
Если
существует предел
,
то при<1
ряд
будет абсолютно сходящимся, а при>1
ряд будет расходящимся. При =1
признак не дает ответа о сходимости
ряда.
Свойства абсолютно сходящихся рядов.
1)
Теорема.
Для абсолютной
сходимости ряда
необходимо
и достаточно, чтобы его можно было
представить в виде разности двух
сходящихся рядов с неотрицательными
членами
.
Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами.
2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда.
3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.
Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.
4) Теорема. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда .
5)
Если ряды
и
сходятся абсолютно и их суммы равны
соответственноS
и ,
то ряд, составленный из всех произведений
вида
взятых в каком угодно порядке, также
сходится абсолютно и его сумма равнаS
- произведению сумм перемножаемых рядов.
Если же производить перемножение условно сходящихся рядов, то в результате можно получить расходящийся ряд.
Функциональные последовательности.
Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х , то ряд называется функциональным .
Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х , при которых ряд сходится.
Совокупность таких значений называется областью сходимости .
Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:
Определение. Последовательность {f n (x ) } сходится к функции f (x ) на отрезке , если для любого числа >0 и любой точки х из рассматриваемого отрезка существует номер N = N(, x), такой, что неравенство
выполняется при n>N.
При выбранном значении >0 каждой точке отрезка соответствует свой номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка , будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка , т.е. будет общим для всех точек.
Определение. Последовательность {f n (x ) } равномерно сходится к функции f (x ) на отрезке , если для любого числа >0 существует номер N = N(), такой, что неравенство
выполняется при n>N для всех точек отрезка .
Пример.
Рассмотрим последовательность
Данная последовательность сходится на всей числовой оси к функции f (x )=0 , т.к.
Построим графики этой последовательности:
sinx
Как видно, при увеличении числа n график последовательности приближается к оси х .
Функциональные ряды.
Определение.
Частными
(частичными) суммами
функционального ряда
называются функции
Определение.
Функциональный ряд
называетсясходящимся
в точке (х=х
0
),
если в этой точке сходится последовательность
его частных сумм. Предел последовательности
называетсясуммой
ряда
в точкех
0
.
Определение.
Совокупность всех значений х
,
для которых сходится ряд
называетсяобластью
сходимости
ряда.
Определение.
Ряд
называетсяравномерно
сходящимся
на отрезке ,
если равномерно сходится на этом отрезке
последовательность частных сумм этого
ряда.
Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)
Для
равномерной сходимости ряда
необходимо
и достаточно, чтобы для любого числа
>0
существовал такой номер
N
(
),
что при
n
>
N
и любом целом
p
>0
неравенство
выполнялось бы для всех х на отрезке [ a , b ].
Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)
(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)
Ряд
сходится
равномерно и притом абсолютно на отрезке
[
a
,
b
],
если модули его членов на том же отрезке
не превосходят соответствующих членов
сходящегося числового ряда с положительными
членами:
т.е. имеет место неравенство:
.
Еще
говорят, что в этом случае функциональный
ряд
мажорируется
числовым
рядом
.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
.
Так
как
всегда, то очевидно, что
.
При
этом известно, что общегармонический
ряд
при=3>1
сходится, то в соответствии с признаком
Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно
сходится и притом в любом интервале.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
.
На
отрезке [-1,1] выполняется неравенство
т.е. по признаку Вейерштрасса на этом
отрезке исследуемый ряд сходится, а на
интервалах (-,
-1)
(1, )
расходится.
Свойства равномерно сходящихся рядов.
1) Теорема о непрерывности суммы ряда.
Если
члены ряда
- непрерывные на отрезке [
a
,
b
]
функции и ряд сходится равномерно, то
и его сумма
S
(x
)
есть непрерывная функция на отрезке
[
a
,
b
].
2) Теорема о почленном интегрировании ряда.
Равномерно сходящийся на отрезке [ a , b ] ряд с непрерывными членами можно почленно интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [ a , b ] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку .
3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.
Если
члены ряда
сходящегося на отрезке [
a
,
b
]
представляют собой непрерывные функции,
имеющие непрерывные производные, и ряд,
составленный из этих производных
сходится
на этом отрезке равномерно, то и данный
ряд сходится равномерно и его можно
дифференцировать почленно.
На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х , можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.
На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.
Степенные ряды.
Определение. Степенным рядом называется ряд вида
.
Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
Применяем признак Даламбера:
.
Получаем,
что этот ряд сходится при
и
расходится при
.
Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.
При
х = 1:
ряд сходится по признаку Лейбница (см.
Признак
Лейбница.
).
При
х = -1:
ряд расходится (гармонический ряд).
Теоремы Абеля.
(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)
Теорема.
Если степенной
ряд
сходится при
x
=
x
1
, то он сходится и притом абсолютно для
всех
.
Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то
где k - некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:
Из
этого неравенства видно, что при x
<
x
1
численные величины членов нашего ряда
будут меньше (во всяком случае не больше) соответствующих членов ряда правой
части записанного выше неравенства,
которые образуют геометрическую
прогрессию. Знаменатель этой прогрессии
по условию теоремы меньше единицы,
следовательно, эта прогрессия представляет
собой сходящийся ряд.
Поэтому
на основании признака сравнения делаем
вывод, что ряд
сходится, а значит ряд
сходится абсолютно.
Таким
образом, если степенной ряд
сходится
в точкех
1
,
то он абсолютно сходится в любой точке
интервала длины 2
с центром в точкех
= 0.
Следствие.
Если при х =
х
1
ряд расходится, то он расходится для
всех
.
Таким
образом, для каждого степенного ряда
существует такое положительное число
R,
что при всех х
таких, что
ряд абсолютно сходится, а при всех
ряд
расходится. При этом числоR
называется радиусом
сходимости
.
Интервал (-R,
R)
называется интервалом
сходимости
.
Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.
Радиус сходимости может быть найден по формуле:
Пример.
Найти область сходимости ряда
Находим
радиус сходимости
.
Следовательно, данный ряд сходится прилюбом значении х . Общий член этого ряда стремится к нулю.
Теорема.
Если степенной ряд
сходится для положительного значениях=х
1
, то он сходится равномерно в любом
промежутке внутри
.
Действия со степенными рядами.
1. Если сходится а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…=, то сходится и ряд а m+1 +а m+2 +а m+3 +…, полученный из данного ряда отбрасыванием первых m членов. Этот полученный ряд называется m-ым остатком ряда. И, наоборот: из сходимости m-го остатка ряда вытекает сходимость данного ряда. Т.е. сходимость и расходимость ряда не нарушается, если прибавить или отбросить конечное число его членов.
2 . Если ряд а 1 +а 2 +а 3 +… сходится и его сумма равна S, то ряд Са 1 +Са 2 +…, где С= так же сходится и его сумма равна СS.
3. Если ряды а 1 +а 2 +… и b 1 +b 2 +… сходятся и их суммы равны соответственно S1 и S2, то ряды (а 1 +b 1)+(а 2 +b 2)+(а 3 +b 3)+… и (а 1 -b 1)+(а 2 -b 2)+(а 3 -b 3)+… также сходятся. Их суммы соответственно равны S1+S2 и S1-S2.
4. а). Если ряд сходится, то его n-ый член стремится к 0 при неограниченном возрастании n (обратное утверждение неверно).
-
необходимый
признак (условие)
сходимости
ряда
.
б).
Если
то ряд расходящийся –достаточное
условие
расходимости
ряда
.
-ряды
такого вида исследуются только по 4
свойству. Это расходящиеся
ряды.
Знакоположительные ряды.
Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.
Знакоположительные ряды это ряды, все члены которых положительные. Эти признаки сходимости и расходимости мы будем рассматривать для знакоположительных рядов.
1. Первый признак сравнения.
Пусть
даны два знакоположительных ряда
а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…=
(1)
иb 1 +b 2 +b 3 +…+b n +…=
(2).
Если
члены ряда (1) не
больше
b n
и ряд
(2) сходится
,
то и ряд (1) также сходится.
Если
члены ряда (1) не
меньше
соответствующих членов ряда (2), т.е.
а n
b n
и ряд
(2) расходится
,
то и ряд (1) также расходится.
Этот признак сравнения справедлив, если неравенство выполняется не для всех n, а лишь начиная с некоторого.
2. Второй признак сравнения.
Если
существует конечный и отличный от нуля
предел
,
то оба ряда сходятся или расходятся
одновременно.
-ряды
такого вида расходятся
по второму признаку сравнения. Их надо
сравнивать с гармоническим рядом.
3. Признак Даламбера.
Если
для знакоположительного ряда
(а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…=
)
существует
(1),
то ряд сходится, если q<1,
расходится, если
q>
4. Признак Коши радикальный.
Если
для знакоположительного ряда существует
предел
(2),
то ряд сходится, еслиq<1,
расходится, если
q>1.
Если
q=1
то вопрос остается открытым.
5. Признак Коши интегральный.
Вспомним несобственные интегралы.
Если
существует предел
.
Это есть несобственный интеграл и
обозначается
.
Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Ряд, соответственно, сходится или расходится.
Пусть
ряд а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…=
-
знакоположительный ряд.
Обозначим a n =f(x) и рассмотрим функцию f(x). Если f(x)- функция положительная, монотонно убывающая и непрерывная, то, если несобственный интеграл сходится, то и данный ряд сходится. И наоборот: если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.
Если ряд конечен, то он сходится.
Очень
часто встречаются ряды
-ряд
Дерихле
.
Он сходится, если p>1,
расходится p<1.
Гармонический ряд является рядом Дерихле
при р=1.
Сходимость
и расходимость данного ряда легко
доказать с помощью интегрального
признака Коши.
Ответ : ряд расходится.
Пример №3
Найти сумму ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:
$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac{2}{3\cdot 5}+\frac{2}{5\cdot 7}+\frac{2}{7\cdot 9}+\frac{2}{9\cdot 11}+\ldots+\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}. $$
Почему я пишу именно $\frac{2}{3\cdot 5}$, а не $\frac{2}{15}$, будет ясно из дальнейшего повествования. Однако запись частичной суммы ни на йоту не приблизила нас к цели. Нам ведь нужно найти $\lim_{n\to\infty}S_n$, но если мы просто запишем:
$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3\cdot 5}+\frac{2}{5\cdot 7}+\frac{2}{7\cdot 9}+\frac{2}{9\cdot 11}+\ldots+\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}\right), $$
то эта запись, совершенно верная по форме, ничего нам не даст по сути. Чтобы найти предел, выражение частичной суммы предварительно нужно упростить.
Для этого есть стандартное преобразование, состоящее в разложении дроби $\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$, которая представляет общий член ряда, на элементарные дроби. Вопросу разложения рациональных дробей на элементарные посвящена отдельная тема (см., например, пример №3 на этой странице). Раскладывая дробь $\frac{2}{(2n+1)(2n+3)}$ на элементарные дроби, будем иметь:
$$ \frac{2}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{A}{2n+1}+\frac{B}{2n+3}=\frac{A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)}. $$
Приравниваем числители дробей в левой и правой частях полученного равенства:
$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$
Чтобы найти значения $A$ и $B$ есть два пути. Можно раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые, а можно просто подставить вместо $n$ некие подходящие значения. Сугубо для разнообразия в этом примере пойдём первым путём, а следующем - будем подставлять частные значения $n$. Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получим:
$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$
В левой части равенства перед $n$ стоит ноль. Если угодно, левую часть равенства для наглядности можно представить как $0\cdot n+ 2$. Так как в левой части равенства перед $n$ стоит ноль, а в правой части равества перед $n$ стоит $2A+2B$, то имеем первое уравнение: $2A+2B=0$. Сразу разделим обе части этого уравнения на 2, получив после этого $A+B=0$.
Так как в левой части равенства свободный член равен 2, а в правой части равенства свободный член равен $3A+B$, то $3A+B=2$. Итак, имеем систему:
$$ \left\{\begin{aligned} & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end{aligned}\right. $$
Доказательство будем проводить методом математической индукции. На первом шаге нужно проверить, выполнено ли доказываемое равенство $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ при $n=1$. Мы знаем, что $S_1=u_1=\frac{2}{15}$, но даст ли выражение $\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ значение $\frac{2}{15}$, если подставить в него $n=1$? Проверим:
$$ \frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2\cdot 1+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15}. $$
Итак, при $n=1$ равенство $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ выполнено. На этом первый шаг метода математической индукции закончен.
Предположим, что при $n=k$ равенство выполнено, т.е. $S_k=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}$. Докажем, что это же равенство будет выполнено при $n=k+1$. Для этого рассмотрим $S_{k+1}$:
$$ S_{k+1}=S_k+u_{k+1}. $$
Так как $u_n=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$, то $u_{k+1}=\frac{1}{2(k+1)+1}-\frac{1}{2(k+1)+3}=\frac{1}{2k+3}-\frac{1}{2(k+1)+3}$. Согласно сделанному выше предположению $S_k=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}$, поэтому формула $S_{k+1}=S_k+u_{k+1}$ примет вид:
$$ S_{k+1}=S_k+u_{k+1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{2k+3}-\frac{1}{2(k+1)+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2(k+1)+3}. $$
Вывод: формула $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ верна при $n=k+1$. Следовательно, согласно методу математической индукции, формула $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$ верна при любом $n\in N$. Равенство доказано.
В стандартном курсе высшей математики обычно довольствуются "вычёркиванием" сокращающихся слагаемых, не требуя никаких доказательств. Итак, мы получили выражение для n-й частичной суммы: $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$. Найдём значение $\lim_{n\to\infty}S_n$:
Вывод: заданный ряд сходится и сумма его $S=\frac{1}{3}$.
Второй способ упрощения формулы для частичной суммы.
Честно говоря, я сам предпочитаю именно этот способ:) Давайте запишем частичную сумму в сокращённом варианте:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)}. $$
Мы получили ранее, что $u_k=\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}$, поэтому:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)}=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right). $$
Сумма $S_n$ содержит конечное количество слагаемых, поэтому мы можем переставлять их так, как нам заблагорассудится. Я хочу сначала сложить все слагаемые вида $\frac{1}{2k+1}$, а уж затем переходить к слагаемым вида $\frac{1}{2k+3}$. Это означает, что частичную сумму мы представим в таком виде:
$$ S_n =\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\ldots+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}=\\ =\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{2n+1}-\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\ldots+\frac{1}{2n+3}\right). $$
Конечно, развёрнутая запись крайне неудобна, поэтому представленное выше равенство можно оформить более компактно:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}. $$
Теперь преобразуем выражения $\frac{1}{2k+1}$ и $\frac{1}{2k+3}$ к одному виду. Я полагаю удобным приводить к виду большей дроби (хотя можно и к меньшей, это дело вкуса). Так как $\frac{1}{2k+1}>\frac{1}{2k+3}$ (чем больше знаменатель, тем меньше дробь), то будем приводить дробь $\frac{1}{2k+3}$ к виду $\frac{1}{2k+1}$.
Выражение в знаменателе дроби $\frac{1}{2k+3}$ я представлю в таком виде:
$$ \frac{1}{2k+3}=\frac{1}{2k+2+1}=\frac{1}{2(k+1)+1}. $$
И сумму $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}$ теперь можно записать так:
$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$
Если равенство $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$ не вызывает вопросов, то пойдём далее. Если же вопросы есть, то прошу развернуть примечание.
Как мы получили преобразованную сумму? показать\скрыть
У нас был ряд $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}$. Давайте вместо $k+1$ введём новую переменную, - например, $t$. Итак, $t=k+1$.
Как изменялась старая переменная $k$? А изменялась она от 1 до $n$. Давайте выясним, как же будет изменяться новая переменная $t$. Если $k=1$, то $t=1+1=2$. Если же $k=n$, то $t=n+1$. Итак, выражение $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}$ теперь стало таким: $\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}$.
$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}. $$
У нас есть сумма $\sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}$. Вопрос: а не всё ли равно, какую букву использовать в этой сумме? :) Банально записывая букву $k$ вместо $t$, получим следующее:
$$ \sum\limits_{t=2}^{n+1}\frac{1}{2t+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$
Вот так и получается равенство $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2(k+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$.
Таким образом, частичную сумму можно представить в следующем виде:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}. $$
Заметьте, что суммы $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}$ и $\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$ отличаются лишь пределами суммирования. Сделаем эти пределы одинаковыми. "Забирая" первый элемент из суммы $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}$ будем иметь:
$$ \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{2\cdot 1+1}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}. $$
"Забирая" последний элемент из суммы $\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}$, получим:
$$\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}=\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2(n+1)+1}=\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}.$$
Тогда выражение для частичной суммы примет вид:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{2k+1}=\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}\right)=\\ =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2n+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$
Если пропустить все пояснения, то процесс нахождения сокращённой формулы для n-й частичной суммы примет такой вид:
$$ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{2}{(2k+1)(2k+3)} =\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)=\\ =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3} =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}-\left(\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2n+3}\right)=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$
Напомню, что мы приводили дробь $\frac{1}{2k+3}$ к виду $\frac{1}{2k+1}$. Разумеется, можно поступить и наоборот, т.е. представить дробь $\frac{1}{2k+1}$ в виде $\frac{1}{2k+3}$. Конечное выражение для частичной суммы не изменится. Процесс нахождения частичной суммы в этом случае я скрою под примечание.
Как найти $S_n$, если приводить к виду иной дроби? показать\скрыть
$$ S_n =\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3} =\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2k+3}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}=\\ =\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k+3}-\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{2n+3}\right) =\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}. $$
Итак, $S_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}$. Находим предел $\lim_{n\to\infty}S_n$:
$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}\right)=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}. $$
Заданный ряд сходится и сумма его $S=\frac{1}{3}$.
Ответ : $S=\frac{1}{3}$.
Продолжение темы нахождения суммы ряда будет рассмотрено во второй и третьей частях.