Математика является символом мудрости науки ,

образцом научной строгости и простоты ,

эталоном совершенства и красоты в науке.

Российский философ, профессор А.В. Волошинов

Неравенства с модулем

Наиболее сложно решаемыми задачами школьной математики являются неравенства , содержащие переменные под знаком модуля. Для успешного решения таких неравенств необходимо хорошо знать свойства модуля и иметь навыки их использования.

Основные понятия и свойства

Модуль (абсолютная величина) действительного числа обозначается и определяется следующим образом:

К простым свойствам модуля относятся следующие соотношения:

И .

Отметим , что последние два свойства справедливы для любой четной степени.

Кроме того , если , где , то и

Более сложные свойства модуля , которые можно эффективно использовать при решении уравнений и неравенств с модулями , формулируются посредством следующих теорем:

Теорема 1. Для любых аналитических функций и справедливо неравенство .

Теорема 2. Равенство равносильно неравенству .

Теорема 3. Равенство равносильно неравенству .

Наиболее распространенными в школьной математике неравенствами , содержащие неизвестные переменные под знаком модуля , являются неравенства вида и , где некоторая положительная константа.

Теорема 4. Неравенство равносильно двойному неравенству , а решение неравенства сводится к решению совокупности неравенств и .

Данная теорема является частным случаем теорем 6 и 7.

Более сложными неравенствами , содержащие модуль, являются неравенства вида , и .

Методы решения таких неравенств можно сформулировать посредством следующих трех теорем.

Теорема 5. Неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств

И (1)

Доказательство. Так как , то

Отсюда вытекает справедливость (1).

Теорема 6. Неравенство равносильно системе неравенств

Доказательство. Так как , то из неравенства следует , что . При таком условии неравенство и при этом вторая система неравенств (1) окажется несовместной.

Теорема доказана.

Теорема 7. Неравенство равносильно совокупности одного неравенства и двух систем неравенств

И (3)

Доказательство. Поскольку , то неравенство всегда выполняется , если .

Пусть , тогда неравенство будет равносильно неравенству , из которого вытекает совокупность двух неравенств и .

Теорема доказана.

Рассмотрим типовые примеры решения задач на тему «Неравенства , содержащие переменные под знаком модуля».

Решение неравенств с модулем

Наиболее простым методом решения неравенств с модулем является метод , основанный на раскрытии модулей. Этот метод является универсальным , однако в общем случае его применение может привести к весьма громоздким вычислениям. Поэтому учащиеся должны знать и другие (более эффективные) методы и приемы решения таких неравенств. В частности , необходимо иметь навыки применения теорем , приведенных в настоящей статье.

Пример 1. Решить неравенство

. (4)

Решение. Неравенство (4) будем решать «классическим» методом – методом раскрытия модулей. С этой целью разобьем числовую ось точками и на интервалы и рассмотрим три случая.

1. Если , то , , , и неравенство (4) принимает вид или .

Так как здесь рассматривается случай , то является решением неравенства (4).

2. Если , то из неравенства (4) получаем или . Так как пересечение интервалов и является пустым , то на рассматриваемом интервале решений неравенства (4) нет.

3. Если , то неравенство (4) принимает вид или . Очевидно , что также является решением неравенства (4).

Ответ: , .

Пример 2. Решить неравенство .

Решение. Положим , что . Так как , то заданное неравенство принимает вид или . Поскольку , то и отсюда следует или .

Однако , поэтому или .

Пример 3. Решить неравенство

. (5)

Решение. Так как , то неравенство (5) равносильно неравенствам или . Отсюда , согласно теореме 4 , имеем совокупность неравенств и .

Ответ: , .

Пример 4. Решить неравенство

. (6)

Решение. Обозначим . Тогда из неравенства (6) получаем неравенства , , или .

Отсюда , используя метод интервалов , получаем . Так как , то здесь имеем систему неравенств

Решением первого неравенства системы (7) является объединение двух интервалов и , а решением второго неравенства – двойное неравенство . Отсюда следует , что решение системы неравенств (7) представляет собой объединение двух интервалов и .

Ответ: ,

Пример 5. Решить неравенство

. (8)

Решение. Преобразуем неравенство (8) следующим образом:

Или .

Применяя метод интервалов , получаем решение неравенства (8).

Ответ: .

Примечание. Если в условии теоремы 5 положить и , то получим .

Пример 6. Решить неравенство

. (9)

Решение. Из неравенства (9) следует . Преобразуем неравенство (9) следующим образом:

Или

Так как , то или .

Ответ: .

Пример 7. Решить неравенство

. (10)

Решение. Так как и , то или .

В этой связи и неравенство (10) принимает вид

Или

. (11)

Отсюда следует, что или . Так как , то и из неравенства (11) вытекает или .

Ответ: .

Примечание. Если к левой части неравенства (10) применить теорему 1 , то получим . Отсюда и из неравенства (10) следует , что или . Так как , то неравенство (10) принимает вид или .

Пример 8. Решить неравенство

. (12)

Решение. Так как , то и из неравенства (12) следует или . Однако , поэтому или . Отсюда получаем или .

Ответ: .

Пример 9. Решить неравенство

. (13)

Решение. Согласно теореме 7 решением неравенства (13) являются или .

Пусть теперь . В таком случае и неравенство (13) принимает вид или .

Если объединить интервалы и , то получим решение неравенства (13) вида .

Пример 10. Решить неравенство

. (14)

Решение. Перепишем неравенство (14) в равносильном виде: . Если к левой части данного неравенства применить теорему 1, то получим неравенство .

Отсюда и из теоремы 1 следует , что неравенство (14) выполняется для любых значений .

Ответ: любое число.

Пример 11. Решить неравенство

. (15)

Решение. Применяя теорему 1 к левой части неравенства (15) , получаем . Отсюда и из неравенства (15) вытекает уравнение , которое имеет вид .

Согласно теореме 3 , уравнение равносильно неравенству . Отсюда получаем .

Пример 12. Решить неравенство

. (16)

Решение . Из неравенства (16), согласно теореме 4, получаем систему неравенств

При решении неравенства воспользуемся теоремой 6 и получим систему неравенств из которой следует .

Рассмотрим неравенство . Согласно теореме 7 , получаем совокупность неравенств и . Второе неравенство совокупности справедливо для любого действительного .

Следовательно , решением неравенства (16) являются .

Пример 13. Решить неравенство

. (17)

Решение. Согласно теореме 1 можно записать

(18)

Принимая во внимание неравенство (17), делаем вывод о том, что оба неравенства (18) обращаются в равенства, т.е. имеет место система уравнений

По теореме 3 данная система уравнений равносильна системе неравенств

или

Пример 14. Решить неравенство

. (19)

Решение. Так как , то . Умножим обе части неравенства (19) на выражение , которое для любых значений принимает только положительные значения. Тогда получим неравенство, которое равносильно неравенству (19), вида

Отсюда получаем или , где . Так как и , то решением неравенства (19) являются и .

Ответ: , .

Для более глубокого изучения методов решения неравенств с модулем можно посоветовать обратиться к учебным пособиям , приведенных в списке рекомендованной литературы.

1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование , 2013. – 608 с.

2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: методы решения и доказательства неравенств. – М.: Ленанд / URSS , 2018. – 264 с.

3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2017. – 296 с.

Остались вопросы?

Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.

Например, модулем числа 6 является 6, модулем числа -6 тоже является 6.

То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака.

Обозначается так: |6|, |х |, |а | и т.д.

(Подробнее - в разделе «Модуль числа»).

Уравнения с модулем.

Пример 1 . Решить уравнение |10 х - 5| = 15.

Решение .

В соответствии с правилом, уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

10х - 5 = 15
10х - 5 = -15

Решаем:

10х = 15 + 5 = 20
10х = -15 + 5 = -10

х = 20: 10
х = -10: 10

х = 2
х = -1

Ответ : х 1 = 2, х 2 = -1.

Пример 2 . Решить уравнение |2 х + 1| = х + 2.

Решение .

Поскольку модуль - число неотрицательное, то х + 2 ≥ 0. Соответственно:

х ≥ -2.

Составляем два уравнения:

2х + 1 = х + 2
2х + 1 = -(х + 2)

Решаем:

2х + 1 = х + 2
2х + 1 = -х - 2

2х - х = 2 - 1
2х + х = -2 - 1

х = 1
х = -1

Оба числа больше -2. Значит, оба являются корнями уравнения.

Ответ : х 1 = -1, х 2 = 1.

Пример 3 . Решить уравнение

|х + 3| - 1
————— = 4
х - 1

Решение .

Уравнение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю - значит, если х ≠ 1. Учтем это условие. Наше первое действие простое - не просто освобождаемся от дроби, а преобрахуем ее так, чтобы получить модуль в чистом виде:

|х + 3| - 1 = 4 · (х - 1),

|х + 3| - 1 = 4х - 4,

|х + 3| = 4х - 4 + 1,

|х + 3| = 4х - 3.

Теперь у нас в левой части уравнения только выражение под модулем. Идем дальше.
Модуль числа есть неотрицательное число - то есть он должен быть больше нуля или равен нулю. Соответственно, решаем неравенство:

4х - 3 ≥ 0

4х ≥ 3

х ≥ 3/4

Таким образом, у нас появилось второе условие: корень уравнения должен быть не меньше 3/4.

В соответствии с правилом, составляем совокупность двух уравнений и решаем их:

х + 3 = 4х - 3
х + 3 = -(4х - 3)

х + 3 = 4х - 3
х + 3 = -4х + 3

х - 4х = -3 - 3
х + 4х = 3 - 3

х = 2
х = 0

Мы получили два ответа. Проверим, являются ли они корнями исходного уравнения.

У нас было два условия: корень уравнения не может быть равен 1, и он должен быть не меньше 3/4. То есть х ≠ 1, х ≥ 3/4. Обоим этим условиям соответствует только один из двух полученных ответов - число 2. Значит, только оно и является корнем исходного уравнения.

Ответ : х = 2.

Неравенства с модулем.

Пример 1 . Решить неравенство | х - 3| < 4

Решение .

Правило модуля гласит:

|а | = а , если а ≥ 0.

|а | = -а , если а < 0.

Модуль может иметь и неотрицательное, и отрицательное число. Значит, мы должны рассмотреть оба случая: х - 3 ≥ 0 и х - 3 < 0.

1) При х - 3 ≥ 0 наше исходное неравенство остается как есть, только без знака модуля:
х - 3 < 4.

2) При х - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(х - 3) < 4.

Раскрыв скобки, получаем:

-х + 3 < 4.

Таким образом, от этих двух условий мы пришли к объединению двух систем неравенств:

х - 3 ≥ 0
х - 3 < 4

х - 3 < 0
-х + 3 < 4

Решим их:

х ≥ 3
х < 7

х < 3
х > -1

Итак, у нас в ответе объединение двух множеств:

3 ≤ х < 7 U -1 < х < 3.

Определяем наименьшее и наибольшее значения. Это -1 и 7. При этом х больше -1, но меньше 7.
Кроме того, х ≥ 3. Значит, решением неравенства является все множество чисел от -1 до 7, исключая эти крайние числа.

Ответ : -1 < х < 7.

Или: х ∈ (-1; 7).

Дополнения .

1) Есть более простой и короткий способ решения нашего неравенства - графический. Для этого надо нарисовать горизонтальную ось (рис.1).

Выражение |х - 3| < 4 означает, что расстояние от точки х до точки 3 меньше четырех единиц. Отмечаем на оси число 3 и отсчитываем влево и вправо от от него 4 деления. Слева мы придем к точке -1, справа - к точке 7. Таким образом, точки х мы просто увидели, не вычисляя их.

При этом, согласно условию неравенства, сами -1 и 7 не включены во множество решений. Таким образом, получаем ответ:

1 < х < 7.

2) Но есть еще одно решение, которое проще даже графического способа. Для этого наше неравенство надо представить в следующем виде:

4 < х - 3 < 4.

Ведь так оно и есть по правилу модуля. Неотрицательное число 4 и аналогичное отрицательное число -4 являются границами решения неравенства.

4 + 3 < х < 4 + 3

1 < х < 7.

Пример 2 . Решить неравенство | х - 2| ≥ 5

Решение .

Этот пример существенно отличается от предыдущего. Левая часть больше 5 либо равна 5. С геометрической точки зрения, решением неравенства являются все числа, которые от точки 2 отстоят на расстоянии 5 единиц и больше (рис.2). По графику видно, что это все числа, которые меньше или равны -3 и больше или равны 7. А значит, мы уже получили ответ.

Ответ : -3 ≥ х ≥ 7.

Попутно решим это же неравенство способом перестановки свободного члена влево и вправо с противоположным знаком:

5 ≥ х - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ х ≥ 5 + 2

Ответ тот же: -3 ≥ х ≥ 7.

Или: х ∈ [-3; 7]

Пример решен.

Пример 3 . Решить неравенство 6 х 2 - | х | - 2 ≤ 0

Решение .

Число х может быть и положительным числом, и отрицательным, и нулем. Поэтому нам надо учесть все три обстоятельства. Как вы знаете, они учитываются в двух неравенствах: х ≥ 0 и х < 0. При х ≥ 0 мы просто переписываем наше исходное неравенство как есть, только без знака модуля:

6х 2 - х - 2 ≤ 0.

Теперь о втором случае: если х < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6х 2 - (-х ) - 2 ≤ 0.

Раскрываем скобки:

6х 2 + х - 2 ≤ 0.

Таким образом, мы получили две системы уравнений:

6х 2 - х - 2 ≤ 0
х ≥ 0

6х 2 + х - 2 ≤ 0
х < 0

Надо решить неравенства в системах - а это значит, надо найти корни двух квадратных уравнений. Для этого приравняем левые части неравенств к нулю.

Начнем с первого:

6х 2 - х - 2 = 0.

Как решается квадратное уравнение - см. раздел «Квадратное уравнение». Мы же сразу назовем ответ:

х 1 = -1/2, х 2 = 2/3.

Из первой системы неравенств мы получаем, что решением исходного неравенства является все множество чисел от -1/2 до 2/3. Пишем объединение решений при х ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Теперь решим второе квадратное уравнение:

6х 2 + х - 2 = 0.

Его корни:

х 1 = -2/3, х 2 = 1/2.

Вывод: при х < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Объединим два ответа и получим итоговый ответ: решением является все множество чисел от -2/3 до 2/3, включая и эти крайние числа.

Ответ : -2/3 ≤ х ≤ 2/3.

Или: х ∈ [-2/3; 2/3].

Данная статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем . (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение |x 2 − 5x + 4| = 4.

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

x 2 − 5x + 4 = 4 или x 2 − 5x + 4 = −4.

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Ответ: 0; 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

1. |2 − x | = 5 − 4x

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: x = 1. У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

2 . x 2 + 4|x − 3| − 7x + 11 = 0.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число x 2 , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число x 1 . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, x 1 больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Второй случай : x < 3. Снимаем модуль:

Число x 3 больше, чем , и потому не удовлетворяет условию x < 3. Проверим x 4:

Значит, x 4 является корнем исходного уравнения.

3. |2x 2 − 3x − 4| = 6x − 1.

Снимать модуль по определению? Страшно даже подумать об этом, ведь дискриминант - не точный квадрат. Давайте лучше воспользуемся следующим соображением: уравнение вида |A| = B равносильно совокупности двух систем:

То же самое, но немного по-другому:

Иными словами, мы решаем два уравнения, A = B и A = −B, а потом отбираем корни, удовлетворяющие условию B ≥ 0.

Приступаем. Сначала решаем первое уравнение:

Затем решаем второе уравнение:

Теперь в каждом случае проверяем знак правой части:

Стало быть, годятся лишь x 1 и x 3 .

Квадратные уравнения с заменой |x | = t

Решим уравнение: x 2 + 2|x | − 3 = 0.

Поскольку x 2 = |x | 2 , удобно сделать замену |x | = t . Получаем:

Ответ: ±1.

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это - подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: |3x 2 + 5x − 9| = |6x + 15|. Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Решим уравнение: |x − 1| − 2|x − 2| + 3|x − 3| = 4.

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению - слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ - метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая - когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1 : x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2 : 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится - оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3 : 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка служат решениями данного уравнения.

Случай 4 : x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Ответ: ∪ {5}.

Модуль в модуле

Решим уравнение: ||3 − x | − 2x + 1| = 4x − 10.

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

2) x ≥ 3. Имеем:

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Так решаются все задачи данного типа - раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Неравенства с модулем

Никаких принципиально новых идей здесь не возникает. Всеми необходимыми знаниями вы уже владеете. Поэтому мы разберём лишь две задачи. Остальное - на занятиях и в домашних заданиях.

1. 2|x − 4| + |3x + 5| ≥ 16.

1) x ≥ 4. Имеем:

Полученное неравенство выполняется при всех рассматриваемых x ≥ 4. Иными словами, все числа из промежутка .

3) . Имеем:

Так как − , то все значения x из полученного промежутка служат решениями исходного неравенства.

Остаётся объединить множества решений, полученные в трёх рассмотренных случаях.

2. |x 2 − 2x − 3| < 3x − 3.

Это задача №6 теоретической части урока 8 книги В. В. Ткачука «Математика - абитуриенту». Автор решает её методом интервалов. Обязательно разберите авторское решение!

Заметим, что метод интервалов здесь проходит весьма безболезненно по той причине, что корни квадратного трёхчлена под модулем - целые числа. А если дискриминант не будет точным квадратом? Замените, например, под модулем −3 на −5. Объём вычислительной работы тогда существенно возрастёт.

Мы покажем вам другой способ решения этой задачи, не зависящий от капризов дискриминанта.

Наше неравенство имеет вид |A| < B. Очевидны следующие утверждения.

Если B ≤ 0, то неравенство не имеет решений.

Если B > 0, то неравенство равносильно двойному неравенству −B < A < B или, что то же самое, системе

Иными словами, мы берём пересечение множества решений данной системы с множеством решений неравенства B > 0, то есть решаем систему

В нашей задаче получаем:

Изобразим множества решений этих неравенств на рисунке. Чёрным цветом показаны решения первого (двойного) неравенства; зелёный цвет - решения совокупности; синий цвет - решения последнего неравенства системы.

Решением системы служит пересечение этих множеств, т. е. множество, над которым присутствуют линии всех трёх цветов. Оно заштриховано.

Уравнения и неравенства с модулем.

Пояснительная записка.

Данный курс посвящен систематическому изложению учебного материала, связанного с понятием модуля числа и аспектами его применения. В нем рассматриваются различные методы решения уравнений и неравенств с модулем, основанные на его определении, свойствах и графической интерпретации.

Для курса характерна практическая направленность. Его основное содержание составляют учебные задачи. Часть из них приводится с полным решением, иллюстрирующим тот или иной метод. Другие прилагаются для самостоятельной работы. Изложение практических приемов решения сопровождается необходимыми теоретическими сведениями.

Курс направлен на формирование у школьников более широкого представления о модуле. Кроме того, задания единого экзамена по математике предполагают умение оперировать с модулем. Таким образом, основная роль курса состоит в подготовке учащихся к успешной сдаче ЕГЭ.

Учебно-тематический план

Материал для занятий

Занятие 1. Определение модуля числа и его применение при решении уравнений.

Определение . Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: | x | = х ; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: | x | = - x .

Короче это записывают так:

|x | =

Термин «модуль» (от лат. modulus – мера) ввел английский математик Р. Кортес (1682-1716), а знак модуля немецкий математик К. Вейерштрасс (1815-1897) в 1841г. Пользуясь приведенным определением, можно решать уравнения и неравенства, содержащие модуль. Теперь рассмотрим несколько простых примеров.

Пример 1. Решить уравнение |3-3х|= -1.

Решение. По свойству модуля выражение | 3-3x | неотрицательно, поэтому никогда не может быть равно (-1).

Ответ. Нет решений.

Пример 2. Решить уравнение | 3x -x 2 -2 | = 3x -x 2

Решение. Не станем решать это уравнение традиционными способами, а заметим, что оно имеет следующий вид:

|A | = A .

Заметим, что, по определению модуля, это равенство обязательно выполнено при А>0, а при А <0 оно не может быть верным. Поэтому исходное уравнение равносильно квадратному неравенству 3х – х 2 - 2 > 0, решать которое мы уже умеем.

Ответ. .

Пример 3. Решить уравнение | x + 2 | = | 2x – 1 |.

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат. Это делать можно, поскольку обе части исходного уравнения неотрицательны. Получим

| x + 2 | 2 = | 2x – 1 | 2 .

Очевидно, в этом уравнении можно убрать модули и записать равносильное квадратное уравнение

(х + 2) 2 = (2х – 1) 2 ,

Преобразовывая которое, получим

х 2 + 4х + 4 = 4х 2 – 4х + 1, 3х 2 – 8х – 3 = 0.

Ответ. { -1/3 ,3}.

Теперь перейдем к более традиционным задачам.

Главный прием при решении уравнений и неравенств, содержащих выражение |f (x )|, состоит в раскрытии модуля по определению, а именно, всю область допустимых значений М разбивают на два подмножества М 1 и М 2 таких, что

f (x )>0 для всех х М 1 , тогда |f (x )| = f (x )

f (x )<0 для всех х ∊ М 2 ,тогда |f (x )| = - f (x )

Пример 4. Решить уравнение | 2x – 3 | = 3x – 7.

Решение. Рассмотреть случаи: 1. 2х – 3 >0, 2х – 3 = 3х – 7, х = 4

2. 2х - 3 <0, -2х + 3 = 3х- 7, х=2-не является корнем, т.к. при х=2 2х-3>0. Ответ: 4.

Этот способ не является единственным. При решении уравнения вида

| f (x ) | = g (x )

Наиболее широко используют следующие два способа.

Первый, стандартный, основан на раскрытии модуля, исходя из его определения, и заключается в переходе к равносильной совокупности систем

| f(x) | = g(x)

Второй способ состоит в переходе от исходного уравнения к равносильной ему системе

| f (x ) | = g (x )

Первый способ следует применять в случае сложного выражения для функции g (x ) и не очень сложного – для функции f (x ); второй, напротив, лучше использовать, если выражение для g (x ) несложно.

Пример 5. Решить уравнение |x | = x - √2x +1 + 1 (Используя первый способ)

Пример 6. Решить уравнение 3|x 2 -2x -1| = 5x +1 (Используя второй способ)

Неравенство вида | f (x ) | < g (x ) гораздо удобнее решать, перейдя двойному неравенству или к равносильной ему системе двух неравенств

| f(x) | g(x) -g(x) f(x) g(x)

Аналогично, неравенство вида

| f (x ) | g (x )

Решите уравнения

3|y 2 – 6y + 7| = 5y – 9 |x | - |x – 1| = 1 |x 2 – 1| = (x – 1)

x 2 + |x – 1| = 1 |x 2 + 2x – 3| = x 2 + x – 20

Решите неравенства

|2x – 5| < 3 |x 2 – 2x – 3| < 3x - 3

x 2 – 6 > |x | |3 - |x – 2| | < 1

Занятие 2. Метод интервалов для решения уравнений и неравенств, содержащих модуль.

Решить уравнение | x -2| + |2x -3| = 5. Раскрывая последовательно модули, входящие в рассматриваемое уравнение, нам придется рассматривать четыре системы и заведомо негодный случай. А если в уравнении будет три и более модулей, число систем еще более возрастет. Поэтому для решения задач, в которые входят два и более модулей, рациональнее использовать метод интервалов.

Для применения метода интервалов при решении уравнений с модулями числовую ось надо разбить на промежутки таким образом, чтобы на каждом из них все подмодульные выражения сохраняли постоянные знаки и, следовательно, на каждом промежутке все модули раскрывались определенным образом.

Пример 1. Решить уравнение | 3x +4| + 2|x -3| = 16

Отметим на числовой оси точки х = - 4/3 и х = 3, в которых подмодульные выражения обращаются в нуль. Определим знаки подмодульных выражений на трех образовавшихся промежутках.

Случай 1. При х>3 оба модуля раскрываются со знаком «+». Получаем систему

x >3,

3х+4+2(х-3) = 16 х=18/5 (18/5>3)

Случай 2. При -4/3

4/3

3х+4+2(-х+3) = 16.

Уравнение данной системы имеет корень х=6, который не удовлетворяет неравенству системы, следовательно, он не является корнем заданного уравнения.

Случай3. При х< -4/3 оба модуля раскрываются со знаком «-«, получаем

x < -4/3,

3х-4+(-х+3) = 16.

Эта система имеет единственное решение х = -14/5.

Ответ:{-14/5; 18/5}.

Решение неравенств, содержащих модуль, в большинстве случаев строится аналогично решению соответствующих уравнений. Основное отличие состоит в том, что после освобождения от модулей требуется решить, естественно, не уравнение, а неравенство.

Есть и еще одно отличие. Если при решении уравнений можно широко пользоваться проверкой полученных решений, то для случая неравенств отбросить посторонние решения проверкой может быть затруднительно. Это означает, что при решении неравенств стараются использовать, в основном, равносильные переходы.

Пример 2. Решить неравенство |x – 4| + |x + 1|<7

Решение. На числовой прямой необходимо отметить числа х=-1 и х=4, при которых выражения, стоящие под знаками модулей обращаются в нуль. Затем на трех получившихся промежутках расставляем знаки выражений

(х-4) и (х+1). __________________________

Полученные наборы знаков и указывают нам, какие случаи надо рассмотреть. В результате раскрытия модулей в этих трех случаях получаем три системы.

Решив эти системы и объединив ответы, получим

Ответ: (-2;5).

Упражнения для самостоятельной работы

Решите уравнения:

| x – 1| + |x – 2| + |x – 3| = 4

|6 – 2x | + |3x + 7| - 2|4x + 11| = x – 3 | |3x – 1| - |2x + 1| | = 1

Решите неравенства:

|x – 1| + |x + 2| < 3

|x – 1| < |2x – 3| - |x – 2| |x 2 – 3| + x 2 + x < 7.

Занятие 4. Решение уравнений и неравенств с модулями на координатной прямой.

При изучении расстояния между двумя точками А(х 1) и В(х 2) координатной прямой выводится формула, согласно которой АВ = | x 1 - x 2 |. Используя эту формулу, можно решать уравнения и неравенства вида |x – a | = b , |x – a | = |x – b |, |x – a |

| x – a |>|x – b |, а также уравнения и неравенства, к ним сводимые.

Пример1. Решите уравнение |x – 3| = 1.

Решение. Переводя запись данного уравнения на «язык расстояний», получим предложение «расстояние от точки с координатой х до точки с координатой 3 равно 1». Следовательно, решение уравнения сводится к отысканию точек, удаленных от точки с координатой 3 на расстояние 1. Обратимся к геометрической иллюстрации.

_______________________________________________________

Корнями уравнения являются числа 2 и 4.

Пример2. Решите уравнение | 2x + 1 | = 3

Приведя данное уравнение к виду | x – (-1/2) | = 3/2, используем формулу расстояния.

Ответ: -2;1.

Пример 3. Решите уравнение |x + 2| = |x – 1|.

Решение. Запишем данное уравнение в виде |x – (-2)| = |x – 1|. Исходя из геометрических соображений, нетрудно понять, что корнем последнего уравнения является координата точки, равноудаленной от точек с координатами 1 и -2.

Ответ: -0,5.

Пример 4. Решите неравенство |x – 1|<2.

Решение. Исходя из геометрических представлений, приходим к выводу, что решениями данного неравенства являются координаты точек, удаленных от точки с координатой 1 на расстояние, меньшее 2.

Ответ: (-1;3)

Упражнения для самостоятельной работы

| x – 2| = 0,4 | 10 – x | < 7 | x + 4 | = | x – 4 |

| x + 3 | = 0,7 | x + 1 | > 1 | x + 2,5| = | x - 3,3|

| x – 2,5| < 0,5 | x + 8 | > 0,7 | x | > | x – 2 |

| x – 5 | < | x – 1 | .

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить уравнение или неравенство с модулями . Программа для решения уравнений и неравенств с модулями не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями , т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

|x| или abs(x) - модуль x

Введите уравнение или неравенство с модулями

Решить уравнение или неравенство

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Уравнения и неравенства с модулями

В курсе алгебры основной школы могут встретится простейшие уравнения и неравенства с модулями. Для их решения можно применять геометрический метод, основанный на том, что \(|x-a| \) - это расстояние на числовой прямой между точками x и a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Например, для решения уравнения \(|x-3|=2 \) нужно найти на числовой прямой точки, удалённые от точки 3 на расстояние 2. Таких точек две: \(x_1=1 \) и \(x_2=5 \).

Решая неравенство \(|2x+7|

Но основной способ решения уравнений и неравенств с модулями связан с так называемым «раскрытием модуля по определению»:
если \(a \geq 0 \), то \(|a|=a \);
если \(a Как правило, уравнение (неравенство) с модулями сводится к совокупности уравнений (неравенств), не содержащих знак модуля.

Кроме указанного определения, используются следующие утверждения:
1) Если \(c > 0 \), то уравнение \(|f(x)|=c \) равносильно совокупности уравнений: \(\left[\begin{array}{l} f(x)=c \\ f(x)=-c \end{array}\right. \)
2) Если \(c > 0 \), то неравенство \(|f(x)| 3) Если \(c \geq 0 \), то неравенство \(|f(x)| > c \) равносильно совокупности неравенств: \(\left[\begin{array}{l} f(x) c \end{array}\right. \)
4) Если обе части неравенства \(f(x) ПРИМЕР 1. Решить уравнение \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \).

Если \(x-1 \geq 0 \), то \(|x-1| = x-1 \) и заданное уравнение принимает вид
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Если же \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Таким образом, заданное уравнение следует рассмотреть по отдельности в каждом из двух указанных случаев.
1) Пусть \(x-1 \geq 0 \), т.е. \(x \geq 1 \). Из уравнения \(x^2 +2x -8 = 0 \) находим \(x_1=2, \; x_2=-4\). Условию \(x \geq 1 \) удовлетворяет лишь значение \(x_1=2\).
2) Пусть \(x-1 Ответ: \(2; \;\; 1-\sqrt{5} \)

ПРИМЕР 2. Решить уравнение \(|x^2-6x+7| = \frac{5x-9}{3} \).

Первый способ (раскрытие модуля по определению).
Рассуждая, как в примере 1, приходим к выводу, что заданное уравнение нужно рассмотреть по отдельности при выполнении двух условий: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) или \(x^2-6x+7

1) Если \(x^2-6x+7 \geq 0 \), то \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) и заданное уравнение принимает вид \(x^2-6x+7 = \frac{5x-9}{3} \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Решив это квадратное уравнение, получим: \(x_1=6, \; x_2=\frac{5}{3} \).
Выясним, удовлетворяет ли значение \(x_1=6 \) условию \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Для этого подставим указанное значение в квадратное неравенство. Получим: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), т.е. \(7 \geq 0 \) - верное неравенство. Значит, \(x_1=6 \) - корень заданного уравнения.
Выясним, удовлетворяет ли значение \(x_2=\frac{5}{3} \) условию \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Для этого подставим указанное значение в квадратное неравенство. Получим: \(\left(\frac{5}{3} \right)^2 -\frac{5}{3} \cdot 6 + 7 \geq 0 \), т.е. \(\frac{25}{9} -3 \geq 0 \) - неверное неравенство. Значит, \(x_2=\frac{5}{3} \) не является корнем заданного уравнения.

2) Если \(x^2-6x+7 Значение \(x_3=3\) удовлетворяет условию \(x^2-6x+7 Значение \(x_4=\frac{4}{3} \) не удовлетворяет условию \(x^2-6x+7 Итак, заданное уравнение имеет два корня: \(x=6, \; x=3 \).

Второй способ. Если дано уравнение \(|f(x)| = h(x) \), то при \(h(x) \(\left[\begin{array}{l} x^2-6x+7 = \frac{5x-9}{3} \\ x^2-6x+7 = -\frac{5x-9}{3} \end{array}\right. \)
Оба эти уравнения решены выше (при первом способе решения заданного уравнения), их корни таковы: \(6,\; \frac{5}{3},\; 3,\; \frac{4}{3} \). Условию \(\frac{5x-9}{3} \geq 0 \) из этих четырёх значений удовлетворяют лишь два: 6 и 3. Значит, заданное уравнение имеет два корня: \(x=6, \; x=3 \).

Третий способ (графический).
1) Построим график функции \(y = |x^2-6x+7| \). Сначала построим параболу \(y = x^2-6x+7 \). Имеем \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). График функции \(y = (x-3)^2-2 \) можно получить из графика функции \(y = x^2 \) сдвигом его на 3 единицы масштаба вправо (по оси x) и на 2 единицы масштаба вниз (по оси y). Прямая x=3 - ось интересующей нас параболы. В качестве контрольных точек для более точного построения графика удобно взять точку (3; -2) - вершину параболы, точку (0; 7) и симметричную ей относительно оси параболы точку (6; 7).
Чтобы построить теперь график функции \(y = |x^2-6x+7| \), нужно оставить без изменения те части построенной параболы, которые лежат не ниже оси x, а ту часть параболы, которая лежит ниже оси x, отобразить зеркально относительно оси x.
2) Построим график линейной функции \(y = \frac{5x-9}{3} \). В качестве контрольных точек удобно взять точки (0; –3) и (3; 2).

Существенно то, что точка х = 1,8 пересечения прямой с осью абсцисс располагается правее левой точки пересечения параболы с осью абсцисс - это точка \(x=3-\sqrt{2} \) (поскольку \(3-\sqrt{2} 3) Судя по чертежу, графики пересекаются в двух точках - А(3; 2) и В(6; 7). Подставив абсциссы этих точек x = 3 и x = 6 в заданное уравнение, убеждаемся, что и при том и при другом значении получается верное числовое равенство. Значит, наша гипотеза подтвердилась - уравнение имеет два корня: x = 3 и x = 6. Ответ: 3; 6.

Замечание . Графический способ при всём своём изяществе не очень надёжен. В рассмотренном примере он сработал только потому, что корни уравнения - целые числа.

ПРИМЕР 3. Решить уравнение \(|2x-4|+|x+3| = 8 \)

Первый способ
Выражение 2x–4 обращается в 0 в точке х = 2, а выражение х + 3 - в точке х = –3. Эти две точки разбивают числовую прямую на три промежутка: \(x

Рассмотрим первый промежуток: \((-\infty; \; -3) \).
Если x Рассмотрим второй промежуток: \([-3; \; 2) \).
Если \(-3 \leq x Рассмотрим третий промежуток: \(}