Методы математического моделирования. Моделирование как метод обучения дошкольников математике

Определить доминирующие признаки классификации объекта локализации и разработать математическую модель под задачи анализа изображений мимики.

Задачи

Поиск и анализ способов локализации лица, определение доминирующих признаков классификации, разработка математической модели оптимальной под задачи распознавания движения мимики.

Тема

Помимо определения оптимального цветового пространства для построения выделяющихся объектов на заданном классе изображения, которая проводилась на предыдущем этапе исследования, немаловажное значение также играет определение доминирующих признаков классификации и разработка математической модели изображений мимики.

Для решения данной задачи необходимо, прежде всего, задать системе особенности модификации задачи обнаружения лица видеокамерой, а затем уже проводить локализацию движения губ.

Что касается первой задачи, то следует выделить две их разновидности:
Локализация лица (Face localization);
Отслеживание перемещения лица (Face tracking) .
Так как перед нами стоит задача разработки алгоритма распознавания мимики, то логично предположить, что данную систему будет использовать один пользователь, который не слишком активно будет двигать головой. Следовательно, для реализации технологии распознавания движения губ необходимо взять за основу упрощенный вариант задачи обнаружения, где на изображении присутствует одно и только одно лицо.

А это значит, что поиск лица можно будет проводить сравнительно редко (порядка 10 кадров/сек. и даже менее). Вместе с тем, движения губ говорящего во время разговора являются достаточно активными, а, следовательно, оценка их контура должна проводиться с большей интенсивностью.

Задача поиска лица на изображении может быть решена существующими средствами. Сегодня имеются несколько методов обнаружения и локализации лица на изображении, которые можно разделить на 2 категории:
1. Эмпирическое распознавание;
2. Моделирование изображения лица. .

К первой категории относятся методы распознавания «сверху-вниз» на основе инвариантных свойств (invariant features) изображений лица, опираясь на предположение, что существуют некоторые признаки присутствия лиц на изображении инвариантные относительно условий съемки. Данные методы можно разделить на 2 подкатегории:
1.1. Обнаружение элементов и особенностей (features), которые характерны для изображения лица (края, яркость, цвет, характерная форма черт лица и др.) , .;
1.2. Анализ обнаруженных особенностей, вынесение решения о количестве и расположении лиц (эмпирический алгоритм, статистика взаимного расположения признаков, моделирование процессов визуальных образов, применение жестких и деформируемых шаблонов и т.д.) , .

Для корректной работы алгоритма необходимо создание базы данных особенностей лица с последующим тестированием. Для более точной реализации эмпирических методов могут быть использованы модели, которые позволяют учесть возможности трансформации лица, а, следовательно, имеют либо расширенный набор базовых данных для распознавания, либо механизм, позволяющий моделировать трансформацию на базовых элементах. Сложности с построением базы данных классификатора ориентированных на самый различный спектр пользователей с индивидуальными особенностями, чертами лица и так далее, способствует снижению точности распознавания данного метода.

Ко второй категории относятся методы математической статистики и машинного обучения. Методы этой категории опираются на инструментарий распознавания образов, рассматривая задачу обнаружения лица, как частный случай задачи распознавания. Изображению ставится некий вектор признаков, который используется для классификации изображений на два класса: лицо/не лицо. Самый распространенный способ получения вектора признаков это использование самого изображения: каждый пиксель становится компонентом вектора, превращая изображение n×m в вектор пространства R^(n×m), где n и m – целые положительные числа. . Недостатком такого представления является чрезвычайно высокая размерность пространства признаков. Достоинство этого метода стоит в исключении из всей процедуры построение классификатора участия человека, а также возможность тренировки самой системы под конкретного пользователя. Поэтому использование методов моделирования изображения для построения математической модели локализации лица является оптимальным для решения нашей задачи.

Что касается сегментирования профиля лица и отслеживания положение точек губ по последовательности кадров, то для решения данной задачи также следует использовать математические методы моделирования. Имеются несколько способов определения движения мимики, самыми известными из них являются использование математической модели на основе активных контурных моделей:

Локализация области мимики на основе математической модели активных контурных моделей

Активный контур (змейка) – это деформирующаяся модель, шаблон которой задан в форме параметрической кривой, инициализированный вручную набором контрольных точек, лежащих на открытой или замкнутой кривой на входном изображении.

Для адаптации активного контура к изображению мимики необходимо провести соответствующую бинариризацию исследуемого объекта, то есть его преобразование в разновидность цифровых растровых изображений, а затем уже следует проводить соответствующую оценку параметров активного контура и вычисление вектора признаков.

Активная контурная модель определяется как:
Множество точек N;
Внутренних областей энергии интереса (internal elastic energy term);
Внешних областей энергии интереса (external edge based energy term).

Для улучшения качества распознавания выделяются два цветовых класса – кожа и губы. Функция принадлежности цветовому классу имеет значение в диапазоне от 0 до 1.

Уравнение активной контурной модели (змейки) представляется выражающейся формулой v(s) как:

Где E – это энергия змейки (активной контурной модели). Первые два терма описывают энергию регулярности активной контурной модели (змейки). В нашей полярной координатной системе v(s) = , s от 0 до 1. Третье слагаемое – энергия, относящаяся ко внешней силе, полученной из изображения, четвертое – с силой давления.

Внешняя сила определяется, исходя из вышеописанных характеристик. Она способна сдвинуть контрольные точки к некоторому значению интенсивности. Она вычисляется как:

Множитель градиента (производная) вычисляется в точках змейки вдоль соответствующей радиальной линии. Сила увеличивается, если градиент отрицательный и уменьшается в обратном случае. Коэффициент перед градиентом – это весовой фактор, зависящий от топологии изображения. Сжимающая сила – это просто константа, используется ½ от минимального весового коэффициента. Наилучшая форма змейки получается при минимизации энергетического функционала после некоторого числа итераций.

Рассмотрим основные операции обработки изображения более подробно. Для простоты предположим, что мы уже каким-то образом выделили область рта диктора. В этом случае основные операции по обработке полученного изображения, которые нам необходимо выполнить, представлены на рис. 3.

Заключение

Для определения доминирующих признаков классификации изображения в ходе проведения исследовательской работы было выявлены особенности модификации задачи обнаружения лица видеокамерой. Среди всех методов локализации лица и обнаружения исследуемой области мимики наиболее подходящими под задачи создания универсальной системы распознавания для мобильных устройств являются методы моделирования изображения лица.
Разработка математической модели изображений движения мимики основана на системе активных контурных моделей бинаризации исследуемого объекта. Так как данная математическая модель позволяет после смены цветового пространства с RGB в цветовую модель YCbCr осуществлять эффективное преобразование интересуемого объекта, для последующего его анализа на основе активных контурных моделей и выявления четких границ мимики после соответствующих итераций изображения.

Список использованных источников

1. Вежневец В., Дягтерева А. Обнаружение и локализация лица на изображении. CGM Journal, 2003
2. Там же.
3. E. Hjelmas and B.K. Low, Face detection: A survey, Journal of Computer vision and image understanding, vol.83, pp. 236-274, 2001.
4. G. Yang and T.S. Huang, Human face detection in complex background, Pattern recognition, vol.27, no.1, pp.53-63, 1994
5. K. Sobottka and I. Pitas, A novel method for automatic face segmentation, facial feature extraction and tracking, Signal processing: Image communication, Vol. 12, №3, pp. 263-281, June, 1998
6. F. Smeraldi, O. Cormona, and J.Big.un., Saccadic search with Gabor features applied to eye detection and real-time head tracking, Image Vision Comput. 18, pp. 323-329, 200
7. Гомозов А.А., Крюков А.Ф. Анализ эмпирических и математических алгоритмов распознавания человеческого лица. Network-journal. Московский энергетический институт (Технический университет). №1 (18), 2011

Продолжение следует

Татьяна Портнова

Я представляю опыт работы ДОУ №17 "Рождественский" г. Петровска по теме метод моделирования как способ обучения дошкольников математики .

Одним из наиболее перспективных методов математического развития дошкольников является моделирование . МОДЕЛИРОВАНИЕ для дошкольников позволяет одновременно решить сразу несколько задач, главные из которых – это привить детям основы логического мышления, научить простому счету, облегчить ребенку познание. В результате знания ребенка поднимаются на более высокий уровень обобщения, приближаются к понятиям.

В своей работе я опиралась на метод моделирования , разработанный Д. Б. Элькониным, Л. А. Венгером, Н. А. Ветлугиной, он заключается в том, что мышление ребенка развивают с помощью специальных схем, моделей , которые в наглядной и доступной для него форме воспроизводят скрытые свойства и связи того или иного объекта.

Использование моделирования в развитии математических представлений дошкольников дает ощутимые положительные результаты, а именно :

Позволяет выявить скрытые связи между явлениями и сделать их доступными пониманию ребенка;

Улучшает понимание ребенком структуры и взаимосвязи составных частей объекта или явления;

Повышает наблюдательность ребенка, дает ему возможность заметить особенности окружающего мира;

В своей работе я использую четырех ступенчатую последовательность применения метода моделирования .

Первый этап предполагает знакомство со смыслом арифметических действий.

Второй - обучение описанию этих действий на языке математических знаков и символов .

Третий - обучение простейшим приемам арифметических вычислений

Четвертый этап - обучение способам решения задач

Слайд 5 (фото дети модели делают )

Чтобы овладеть моделированием как методом научного познания , необходимо создавать модели . Создавать вместе с детьми и следить, чтобы дети принимали в изготовлении моделей непосредственное и активное участие. Продумывая разнообразные модели вместе с детьми , я придерживалась следующих требований :

Модель должна отображать обобщенный образ и подходить к группе объектов.

Раскрывать существенное в объекте.

Замысел по созданию модели следует обсудить с детьми, чтобы она была им понятна.

Моделирование как новый вид работы дает простор для творчества и фантазии детей, обеспечивая развитие их мышления.

Созданные нами модели многофункциональны . На основе моделей создаем разнообразные дидактические игры. При помощи картинок-моделей организовываем различные виды ориентированной деятельности детей. Модели использую на занятиях, в совместной с воспитателем и самостоятельной детской деятельности.

К созданию моделей подключаю родителей , которым даю задания по изготовлению несложных моделей (родители дома вместе с ребенком создают модель ) .

Таким образом, осуществляется взаимосвязь трех сторон :

родитель

и ребенок.

Хочу познакомить с моделями , которые я использую в работе с детьми.

Наглядная плоскостная модель "От секунды до года"

Цель применения :

Дать детям представления о временных отношениях, их взаимосвязи ;

Закрепить представления детей об отношении целого и части, научить обозначать в пространстве отношения во времени; совершенствовать счет.

Описание работы с моделью :

Знакомлю детей с моделью постепенно . Сначала знакомлю с самими терминами (секунда, минута, час, сутки, неделя, месяц, год) . Что по временным меркам больше, а что меньше, что во что входит.

Далее даю более четкие, узкие представления. Например, секунда - это почти самая маленькая временная единица, но если их 60, то они будут составлять большую временную единицу - минуту, и таким образом провожу работу до тех пор, пока дети не усвоят все термины, все взаимосвязи временных отношений, начиная от секунды и заканчивая годом.

Наглядная плоскостная модель

"Домик, где знаки и числа живут"

Цель применения :

Закрепить умения детей составлять числа из двух меньших; складывать и вычитать числа;

Дать детям представления о неизменности числа, величины при условии различий в суммировании;

Учить или закреплять умение сравнивать числа (больше, меньше, равно) .

Структура модели : модель представляет собой 4-этажный домик, на каждом этаже расположено разное количество окошек, где будут жить знаки и цифры, но так как домик волшебный, то поселяться в домик знаки и цифры могут только с помощью детей. Окна в домике располагаются следующим образом :

Описание работы с моделью :

первый и второй этажи будут использоваться для решения задачи, которая состоит в том, чтобы дать детям представления о неизменности числа, величины при условии различий в суммировании. Например : 4 = 1 + 1 + 1 + 1; 4 = 2 + 2.

Третий этаж будет использоваться, чтобы научить детей (или закрепить умение) составлять числа из двух меньших, а также вычитать числа. Например, 3 + 5 = 8 или 7 - 4 = 3 и т. п.

Последний, четвертый, этаж будет использоваться, чтобы научить детей (или закрепить умение) сравнивать числа между собой, с помощью знаков "меньше", "больше" или "равно".

Модель можно использовать в любых видах деятельности : на занятиях, в свободной деятельности детей, при индивидуальной работе с детьми и т. д.

Слайд 11-12

Наглядная плоскостная модель "Солнечная система"

Только для детей старшей и подготовительной группы.

Цели применения :

Дать (или закрепить) представления детей о геометрических телах и фигурах (сравнивая круг, шар с другими геометрическими телами и фигурами) ;

Научить детей определять и отражать в речи основания группировки, классификации, связи и зависимости полученной группы (солнечная система) ;

Научить (или закрепить) умение детей определять последовательность ряда предметов по размеру ;

Развивать понимание пространственных отношений, определять местонахождение одних объектов относительно других;

Совершенствовать порядковый и количественный счет;

Закрепить умение пользоваться условной меркой для измерения расстояний;

Закрепить умение решать арифметические задачи.

Структура модели :

модель представляет собой наглядную плоскостную схему, на которой изображена солнечная система. В дополнение к схеме имеется специальная карточка, которая предназначается для взрослого, где запечатлена информация о солнечной системе (небольшой рассказ о солнечной системе, размеры планет) . К модели прилагается комплекс смоделированных планет , при этом необходимо соблюдать пропорциональность их размеров друг к другу.

Описание работы с моделью :

Для решения задачи, необходимо объяснить детям, что все планеты солнечной системы и само солнце, конечно, - это одна целая группа (семья) . "У нашей звезды Солнце есть своя семья. В нее входит 9 планет, которые вращаются вокруг Солнца, то есть все эти 10 космических тел объединены в одну группу. Задания для детей :

1. разложить планеты в ряд, по мере увеличения размера планет или, наоборот, от самой большой планеты к самой маленькой.

2. определить местонахождение одной планеты относительно другой, ориентируясь по схеме : планета Земля находится левее планеты Юпитер и т. п.

3. Можно использовать условную мерку, например любую веревочку, линейку и т. д для измерения расстояний между планетами и звездой, между планетами и т. д.

4. Планеты можно пересчитывать как в прямом, так и в обратном порядке, можно составлять разного вида задачи и решать их, в солнечной системе крупных планет только 3, включая звезду, сколько тогда маленьких и т. п.

Слайд 13-14

Наглядная плоскостная модель "Счетный торт"

Цель применения :

Учить детей решать арифметические задачи и развивать познавательные способности ребенка;

Учить выделять математические отношения между величинами, ориентироваться в них.

Структура модели ,

модель включает в себя :

1. Пять наборов "сладких счетных частей", каждый из которых разделен на части (как на равные, так и на разные части) . Каждый счетный торт в виде круга, имеет свой цвет.

2. Овалы, вырезанные из белого картона, которые обозначают "целое" и "часть". В игровой ситуации они будут называться тарелочками, куда дети будут раскладывать куски счетного.

Описание работы с моделью :

в арифметической задаче математические отношения можно рассматривать как "целое" и "часть".

Сначала необходимо дать детям представления о понятии "целое" и "часть".

Положите перед детьми на тарелочку обозначающую "целое", счетный торт (все его части, скажите, что торт целый мама испекла и что мы его кладем строго на тарелочку, которая обозначает "целое". Теперь мы разрежем торт на две части, каждую из них назовем "часть". Объясните, что теперь, когда целое (целый торт) разделили на части (на 2 кусочка) то целого теперь нет, a есть только 2 части. Которые не могут оставаться на чужой тарелочке и их необходимо переложить на свои места - тарелочки, обозначающие "часть". Одну часть на одну тарелку, другую часть на другую тарелку. Затем соедините 2 куска опять вместе и покажите, что опять получилось целое. Таким образом, мы продемонстрировали, что соединение частей дает целое, а вычитание части из целого дает часть.

Слайд 15-16

Наглядная объемная модель "песочные часы"

Цель применения :

научить детей измерять время при помощи модели песочных часов ; активно включаться в процесс экспериментирования.

Структура модели :

модель объемная , трехмерная.

Чтобы можно было измерять время, необходимо открыть крышечку донца одной из бутылок и насыпать туда песка ровно столько, сколько его необходимо, чтобы за 1 минуту песок из одного отсека часов перешел в другой. Сделать это нужно путем экспериментирования.

писание работы с моделью :

с помощью модели песочных часов можно сначала провожу познавательное ознакомительное занятие. Показываю детям картинки с изображением разных песочных часов, потом демонстрирую модель , рассказываю о происхождения песочных часов, зачем они нужны, как ими пользоваться, как они работают. Затем вместе с детьми проводим эксперименты : например, эксперимент, доказывающий точность часов.

Таким образом, моделирование является важным учебным средством и действием, с помощью которого можно осуществлять различные учебные и развивающие цели и задачи,

Все формы использования моделирования дают положительные результаты в практическом применении, активизируя познавательную деятельность детей.

Математическая модель - приближенное описание объекта моделирования, выраженное с помощью математической символики .

Математические модели появились вместе с математикой много веков назад. Огромный толчок развитию математического моделирования придало появление ЭВМ. Применение вычислительных машин позволило проанализировать и применить на практике многие математические модели, которые раньше не поддавались аналитическому исследованию. Реализованная на компьютере математическая модель называется компьютерной математической моделью , а проведение целенаправленных расчетов с помощью компьютерной модели называется вычислительным экспериментом .

Этапы компьютерного математического моделирования изображены на рисунке. Первый этап - определение целей моделирования . Эти цели могут быть различными:

1) модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание);

2) модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);

3) модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).

Поясним на примерах. Пусть объект исследования - взаимодействие потока жидкости или газа с телом, являющимся для этого потока препятствием. Опыт показывает, что сила сопротивления потоку со стороны тела растет с ростом скорости потока, но при некоторой достаточно высокой скорости эта сила скачком уменьшается с тем, чтобы с дальнейшим увеличением скорости снова возрасти. Что же вызвало уменьшение силы сопротивления? Математическое моделирование позволяет получить четкий ответ: в момент скачкообразного уменьшения сопротивления вихри, образующиеся в потоке жидкости или газа позади обтекаемого тела, начинают отрываться от него и уноситься потоком.

Пример совсем из другой области: мирно сосуществовавшие со стабильными численностями популяции двух видов особей, имеющих общую кормовую базу, “вдруг” начинают резко менять численность. И здесь математическое моделирование позволяет (с известной долей достоверности) установить причину (или по крайней мере опровергнуть определенную гипотезу).

Выработка концепции управления объектом - другая возможная цель моделирования. Какой режим полета самолета выбрать для того, чтобы полет был безопасным и экономически наиболее выгодным? Как составить график выполнения сотен видов работ на строительстве большого объекта, чтобы оно закончилось в максимально короткий срок? Множество таких проблем систематически возникает перед экономистами, конструкторами, учеными.

Наконец, прогнозирование последствий тех или иных воздействий на объект может быть как относительно простым делом в несложных физических системах, так и чрезвычайно сложным - на грани выполнимости - в системах биолого-экономических, социальных. Если ответить на вопрос об изменении режима распространения тепла в тонком стержне при изменениях в составляющем его сплаве относительно легко, то проследить (предсказать) экологические и климатические последствия строительства крупной ГЭС или социальные последствия изменений налогового законодательства несравненно труднее. Возможно, и здесь методы математического моделирования будут оказывать в будущем более значительную помощь.

Второй этап : определение входных и выходных параметров модели; разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений на выходные. Такой процесс называется ранжированием, или разделением по рангам (см. “Формализация и моделирование ”).

Третий этап : построение математической модели. На этом этапе происходит переход от абстрактной формулировки модели к формулировке, имеющей конкретное математическое представление.

Математическая модель - это уравнения, системы уравнений, системы неравенств, дифференциальные уравнения или системы таких уравнений и пр.

Четвертый этап : выбор метода исследования математической модели. Чаще всего здесь используются численные методы, которые хорошо поддаются программированию. Как правило, для решения одной и той же задачи подходит несколько методов, различающихся точностью, устойчивостью и т.д. От верного выбора метода часто зависит успех всего процесса моделирования.

Пятый этап : разработка алгоритма, составление и отладка программы для ЭВМ - трудно формализуемый процесс. Из языков программирования многие профессионалы для математического моделирования предпочитают FORTRAN: как в силу традиций, так и в силу непревзойденной эффективности компиляторов (для расчетных работ) и наличия написанных на нем огромных, тщательно отлаженных и оптимизированных библиотек стандартных программ математических методов. В ходу и такие языки, как PASCAL, BASIC, C, - в зависимости от характера задачи и склонностей программиста.

Шестой этап : тестирование программы. Работа программы проверяется на тестовой задаче с заранее известным ответом. Это - лишь начало процедуры тестирования, которую трудно описать формально исчерпывающим образом. Обычно тестирование заканчивается тогда, когда пользователь по своим профессиональным признакам сочтет программу верной.

Седьмой этап : собственно вычислительный эксперимент, в процессе которого выясняется, соответствует ли модель реальному объекту (процессу). Модель достаточно адекватна реальному процессу, если некоторые характеристики процесса, полученные на ЭВМ, совпадают с экспериментально полученными характеристиками с заданной степенью точности. В случае несоответствия модели реальному процессу возвращаемся к одному из предыдущих этапов.

Классификация математических моделей

В основу классификации математических моделей можно положить различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.). Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.). Наконец, если исходить из общих задач моделирования в разных науках безотносительно к математическому аппарату, наиболее естественна такая классификация:

· дескриптивные (описательные) модели;

· оптимизационные модели;

· многокритериальные модели;

· игровые модели.

Поясним это на примерах.

Дескриптивные (описательные) модели . Например, моделирование движения кометы, вторгшейся в Солнечную систему, производится с целью предсказания траектории ее полета, расстояния, на котором она пройдет от Земли, и т.д. В этом случае цели моделирования носят описательный характер, поскольку нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то в нем изменить.

Оптимизационные модели используются для описания процессов, на которые можно воздействовать, пытаясь добиться достижения заданной цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, можно задаться целью подобрать такой режим, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т.е. оптимизировать процесс хранения.

Многокритериальные модели . Нередко приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам одновременно, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, нужно организовать питание больших групп людей (в армии, детском летнем лагере и др.) физиологически правильно и, одновременно с этим, как можно дешевле. Ясно, что эти цели совсем не совпадают, т.е. при моделировании будет использоваться несколько критериев, между которыми нужно искать баланс.

Игровые модели могут иметь отношение не только к компьютерным играм, но и к весьма серьезным вещам. Например, полководец перед сражением при наличии неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и т.д., учитывая и возможную реакцию противника. Есть специальный раздел современной математики - теория игр, - изучающий методы принятия решений в условиях неполной информации.

В школьном курсе информатики начальное представление о компьютерном математическом моделировании ученики получают в рамках базового курса. В старших классах математическое моделирование может глубоко изучаться в общеобразовательном курсе для классов физико-математического профиля, а также в рамках специализированного элективного курса.

Основными формами обучения компьютерному математическому моделированию в старших классах являются лекционные, лабораторные и зачетные занятия. Обычно работа по созданию и подготовке к изучению каждой новой модели занимает 3–4 урока. В ходе изложения материала ставятся задачи, которые в дальнейшем должны быть решены учащимися самостоятельно, в общих чертах намечаются пути их решения. Формулируются вопросы, ответы на которые должны быть получены при выполнении заданий. Указывается дополнительная литература, позволяющая получить вспомогательные сведения для более успешного выполнения заданий.

Формой организации занятий при изучении нового материала обычно служит лекция. После завершения обсуждения очередной модели учащиеся имеют в своем распоряжении необходимые теоретические сведения и набор заданий для дальнейшей работы. В ходе подготовки к выполнению задания учащиеся выбирают подходящий метод решения, с помощью какого-либо известного частного решения тестируют разработанную программу. В случае вполне возможных затруднений при выполнении заданий дается консультация, делается предложение более детально проработать указанные разделы в литературных источниках.

Наиболее соответствующим практической части обучения компьютерному моделированию является метод проектов. Задание формулируется для ученика в виде учебного проекта и выполняется в течение нескольких уроков, причем основной организационной формой при этом являются компьютерные лабораторные работы. Обучение моделированию с помощью метода учебных проектов может быть реализовано на разных уровнях.
Первый - проблемное изложение процесса выполнения проекта, которое ведет учитель.
Второй - выполнение проекта учащимися под руководством учителя.
Третий - самостоятельное выполнение учащимися учебного исследовательского проекта.

Результаты работы должны быть представлены в численном виде, в виде графиков, диаграмм. Если имеется возможность, процесс представляется на экране ЭВМ в динамике. По окончанию расчетов и получению результатов проводится их анализ, сравнение с известными фактами из теории, подтверждается достоверность и проводится содержательная интерпретация, что в дальнейшем отражается в письменном отчете.

Если результаты удовлетворяют ученика и учителя, то работа считается завершенной, и ее конечным этапом является составление отчета. Отчет включает в себя краткие теоретические сведения по изучаемой теме, математическую постановку задачи, алгоритм решения и его обоснование, программу для ЭВМ, результаты работы программы, анализ результатов и выводы, список использованной литературы.

Когда все отчеты составлены, на зачетном занятии учащиеся выступают с краткими сообщениями о проделанной работе, защищают свой проект. Это является эффективной формой отчета группы, выполняющей проект, перед классом, включая постановку задачи, построение формальной модели, выбор методов работы с моделью, реализацию модели на компьютере, работу с готовой моделью, интерпретацию полученных результатов, прогнозирование. В итоге учащиеся могут получить две оценки: первую - за проработанность проекта и успешность его защиты, вторую - за программу, оптимальность ее алгоритма, интерфейс и т.д. Учащиеся получают отметки и в ходе опросов по теории.

Существенный вопрос - каким инструментарием пользоваться в школьном курсе информатики для математического моделирования? Компьютерная реализация моделей может быть осуществлена:

· с помощью табличного процессора (как правило, MS Excel);

· путем создания программ на традиционных языках программирования (Паскаль, Бейсик и др.), а также на их современных версиях (Delphi, Visual Basic for Application и т.п.);

· с помощью специальных пакетов прикладных программ для решения математических задач (MathCAD и т.п.).

На уровне основной школы первое средство представляется более предпочтительным. Однако в старшей школе, когда программирование является, наряду с моделированием, ключевой темой информатики, желательно привлекать его в качестве инструмента моделирования. В процессе программирования учащимся становятся доступными детали математических процедур; более того, они просто вынуждены их осваивать, а это способствует и математическому образованию. Что же касается использования специальных пакетов программ, то это уместно в профильном курсе информатики в качестве дополнения к другим инструментам.

Развитие основных психических процессов - памяти, внимания, воображения, образного мышления, речи; перекодирование информации, т.е. преобразование из абстрактных символов в образы; формирование навыка самостоятельного моделирования; развитие мелкой моторики при частичном или полном графическом воспроизведении. Развитие у детей познавательного интереса к математике Значение моделирования в развитии дошкольников.

Использование моделирования в развитии математических представлений дошкольников дает ощутимые положительные результаты, а именно: -позволяет выявить скрытые связи между явлениями и сделать их доступными пониманию ребенка; -улучшает понимание ребенком структуры и взаимосвязи составных частей объекта или явления; - повышает наблюдательность ребенка, дает ему возможность заметить особенности окружающего мира;

Этапы работы с моделями Четырех ступенчатая последовательность применения метода моделирования. Первый этап предполагает знакомство со смыслом арифметических действий. Второй - обучение описанию этих действий на языке математических знаков и символов. Третий - обучение простейшим приемам арифметических вычислений Четвертый этап - обучение способам решения задач Этапы работы с моделями

Наглядная плоскостная модель "Домик, где знаки и числа живут" Цель применения: -закрепить умения детей составлять числа из двух меньших; складывать и вычитать числа; -дать детям представления о неизменности числа, величины при условии различий в суммировании; - учить или закреплять умение сравнивать числа (больше, меньше, равно).

Наглядная плоскостная модель "Солнечная система" Только для детей старшей и подготовительной группы. Цели применения: -дать (или закрепить) представления детей о геометрических телах и фигурах (сравнивая круг, шар с другими геометрическими телами и фигурами); -научить детей определять и отражать в речи основания группировки, классификации, связи и зависимости полученной группы (солнечная система); -научить (или закрепить) умение детей определять последовательность ряда предметов по размеру; -развивать понимание пространственных отношений, определять местонахождение одних объектов относительно других; -совершенствовать порядковый и количественный счет; -закрепить умение пользоваться условной меркой для измерения расстояний; - закрепить умение решать арифметические задачи.

Наглядная плоскостная модель "Счетный торт" Цель применения: -учить детей решать арифметические задачи и развивать познавательные способности ребенка; - учить выделять математические отношения между величинами, ориентироваться в них.

Для эффективного решения различных задач обработки И необходима их математическая постановка, которая прежде всего включает в себя математическое описание, т. е. модель И как объекта исследования. К настоящему времени разработан целый ряд таких моделей , некоторые из них рассматриваются в этой главе.

1.1. Случайные поля

Наиболее распространенными в настоящее время являются информационные комплексы, включающие в себя пространственные системы датчиков и цифровую вычислительную технику. Поэтому мы будем в основном рассматривать МИ с дискретными пространственными и временными переменными. Не ограничивая общности, будем считать, что МИ заданы на многомерных прямоугольных сетках с единичным шагом. На рис. 1.1,а и 1.1,б изображены двумерная и трехмерная сетки. В общем случае И задано в узлах n-мерной сетки .

В зависимости от физической природы значения И могут быть скалярными (например, яркость монохроматического изображения), векторными (поле скоростей, цветные изображения, поле смещений) и более сложнозначными (например, матричными). Если обозначить через значение И в узле (пикселе) , то И есть совокупность этих значений на сетке: .

Если данные представляют собой временную последовательность И, то иногда удобно считать эту последовательность одним И, увеличив размерность сетки на единицу. Например, последовательность из плоских И (рис. 1.1,а) можно рассматривать как одно трехмерное И (рис. 2.1,б).

Если требуется временную переменную выделить особо, то будем ее записывать сверху: . Это И задано на прямом произведении сеток и I, где I – множество значений временного индекса. Сечение , т.е. совокупность отсчетов И при фиксированном значении временного индекса i, называется i-м кадром И . Каждый кадр задан на сетке . Например, на рис. 1.1,б изображено три двухмерных кадра.

Таким образом, МИ можно рассматривать как некоторую функцию, определенную на многомерной сетке. Значение элементов И невозможно точно предсказать заранее (иначе система наблюдения была бы не нужна), поэтому естественно рассматривать эти значения как случайные величины (СВ), применяя аппарат теории вероятностей и математической статистики. Итак, приходим к основной модели МИ – системе СВ, заданных на многомерной сетке. Такие системы называются дискретными случайными полями (СП) или случайными функциями нескольких переменных.

Для описания СП, как и любой другой системы СВ, можно задать сов-местную функцию распределения вероятностей (ФР) его элементов или совместную плотность распределения вероятностей (ПРВ) . Однако И обычно состоит из очень большого количества элементов (тысячи и миллионы), поэтому ФР (или ПРВ) при таком количестве переменных становится необозримой и требуются другие, менее громоздкие методы описания СП.