Главная

11 класс

Основные свойства функции y x 2. Разложение в ряд

Функции и их свойства

Функция - одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: y = f ( x ). (Читают: у равно f от х .) Символом f ( x ) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х .

Все значения независимой переменной образуют область определения функции . Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции .

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Способы задания функции:

1.аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы;

2.табличный способ (функция задается с помощью таблицы)

3.описательный способ (функция задается словесным описанием)

4.графический способ (функция задается с помощью графика).

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

1. Нули функции

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю .

2. Промежутки знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

3. Возрастание (убывание) функции.

Возрастающая в некотором промежутке функция - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Функция у = f ( x ) называется возрастающей на интервале (а; b ), если для любых x 1 и x 2 из этого интервала таких, что x 1 < x 2 , справедливо неравенство f ( x 1 )< f ( x 2 ).

Убывающая в некотором промежутке функция - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Функция у = f ( x ) называется убывающей на интервале (а; b ) , если для любых x 1 и x 2 из этого интервала таких, что x 1 < x 2 , справедливо неравенство f ( x 1 )> f ( x 2 ).

4. Четность (нечетность) функции

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f (- x ) = f ( x ) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Например, у = х 2 - четная функция.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f (- x ) = - f (x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Например: у = х 3 - нечетная функция .

Функция общего вида не является четной или нечетной (у = х 2 +х ).

Свойства некоторых функций и их графики

1. Линейной функцией называется функция вида , где k и b – числа.

Область определения линейной функции – множество R действительных чисел.

Графиком линейной функции у = kx + b ( k ≠ 0) является прямая проходящая через точку (0; b ) и параллельная прямой у = kx .

Прямая, не параллельная оси Оу, является графиком линейной функции.

Свойства линейной функции.

1. При k > 0 функция у = kx + b

2. При k < 0 функция у = kx + b убывающая в области определения.

y = kx + b ( k ≠ 0 ) является вся числовая прямая, т.е. множество R действительных чисел.

При k = 0 множество значений функции у = kx + b состоит из одного числа b .

3. При b = 0 и k = 0 функция не является ни четной, ни нечетной.

При k = 0 линейная функция имеет вид у = b и при b ≠ 0 она является четной.

При k = 0 и b = 0 линейная функция имеет вид у = 0 и являете одновременно четной и нечетной.

Графиком линейной функции у = b является прямая, проходящая через точку (0; b ) и параллельная оси Ох. Заметим, что при b = 0 график функции у = b совпадаете осью Ох .

5. При k > 0 имеем, что у > 0, если и у < 0, если . При k < 0 имеем, что у > 0, если и у < 0, если .

2. Функция y = x 2

R действительных чисел.

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x 2 , изображаем график функции.

График функции y = x 2 называется параболой.

Свойства функции у = х 2 .

1. Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат.

2. Если х ≠ 0 , то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3. Множеством значений функции у = х 2 является промежуток функция у = х 2 убывает.

3.Фунуция

Область определения этой функции - промежуток функция y = | x | убывает.

7. Наименьшее значение функция принимает в точке х, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

6. Функция

Область определения функции: .

Область значений функции: .

График - гипербола.

1. Нули функции.

у ≠ 0, нулей нет.

2. Промежутки знакопостоянства,

Если k > 0, то у > 0 при х > 0; у < 0 при х < О.

Если k < 0, то у < 0 при х > 0; у > 0 при х < 0.

3. Промежутки возрастания и убывания.

Если k > 0, то функция убывает при .

Если k < 0, то функция возрастает при .

4. Четность (нечетность) функции.

Функция нечетная.

Квадратный трехчлен

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a , b и с - некоторые числа, причем а≠ 0, называется квадратным.

В квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент а называется первым коэффициентом, b - вторым коэффициентам, с - свободным членом.

Формула корней квадратного уравнения имеет вид:

Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается через D .

Если D = 0, то существует только одно число, удовлетворяющее уравнению ax 2 + bx + c = 0. Однако условились говорить, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных действительных корня, а само число называют двукратным корнем.

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Так как а≠ 0, то, разделив обе части данного уравнения на а, получим уравнение . Полагая и , приходим к уравнению , в котором первый коэффициент равен 1. Такое уравнение называется приведенным.

Формула корней приведенного квадратного уравнения имеет вид:

Уравнения вида

а x 2 + bx = 0, ax 2 + с = 0, а x 2 = 0

называются неполными квадратными уравнениями. Неполные квадратные уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.

Теорема Виета .

Сумма корней квадратного уравнения равна взятому с противоположным знаком отношению второго коэффициента к первому, а произведение корней - отношению свободного члена к первому коэффициенту, т.е.

Обратная теорема.

Если сумма каких-нибудь двух чисел х 1 и х 2 равна , а их произведение равно , то эти числа являются корнями квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0.

Функция вида ах 2 + b х + с называется квадратным трехчленом. Корни этой функции являются корнями соответствующего квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0.

Если дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, то этот трехчлен можно представить в виде:

ах 2 + b х + с =а(х-х 1 )(х-х 2 )

где х 1 и х 2 - корни трехчлена

Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен можно представить в виде:

ах 2 + b х + с =а(х-х 1 ) 2

где х 1 - корень трехчлена.

Например, 3х 2 - 12х + 12 = 3(х - 2) 2 .

Уравнение вида ах 4 + b х 2 + с = 0 называется биквадратным. С помощью замены переменной по формуле х 2 = y оно приводится к квадратному уравнению а y 2 + by + с = 0.

Квадратичная функция

Квадратичной функцией называется функция, которую можно записать формулой вида y = ax 2 + bx + c , где x – независимая переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Свойства функции и вид ее графика определяются, в основном, значениями коэффициента a и дискриминанта .

Свойства квадратичной функции

Область определения: R ;

Область значений:

при а > 0 [- D /(4 a ); ∞)

при а < 0 (-∞; - D /(4 a )];

Четность, нечетность:

при b = 0 функция четная

при b ≠ 0 функция не является ни четной, ни нечетной

при D > 0 два нуля: ,

при D = 0 один нуль:

при D < 0 нулей нет

Промежутки знакопостоянства:

если, а > 0, D > 0, то

если, а > 0, D = 0, то

e сли а > 0, D < 0, то

если а < 0, D > 0, то

если а < 0, D = 0, то

если а < 0, D < 0, то

- Промежутки монотонности

при а > 0

при а < 0

Графиком квадратичной функции является парабола – кривая, симметричная относительно прямой , проходящей через вершину параболы (вершиной параболы называется точка пересечения параболы с осью симметрии).

Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:

1) найти координаты вершины параболы и отметить ее в координатной плоскости;

2) построить еще несколько точек, принадлежащих параболе;

3) соединить отмеченные точки плавной линией.

Координаты вершины параболы определяются по формулам:

; .

Преобразование графиков функции

1. Растяжение графика у = х 2 вдоль оси у в |а| раз (при |а| < 1 - это сжатие в 1/ |а| раз).

Если, а < 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика относительно оси х (ветви параболы будут направлены вниз).

Результат: график функции у = ах 2 .

2. Параллельный перенос графика функции у = ах 2 вдоль оси х на | m | (вправо при

m > 0 и влево при т < 0).

Результат: график функции у = а(х - т) 2 .

3. Параллельный перенос графика функции вдоль оси у на | n | (вверх при п > 0 и вниз при п < 0).

Результат: график функции у = а(х - т) 2 + п.

Квадратичные неравенства

Неравенства вида ах 2 + b х + с > 0 и ах 2 + bх + с < 0, где х - переменная, a , b и с - некоторые числа, причем, а≠ 0, называют неравенствами второй степени с одной переменной.

Решение неравенства второй степени с одной переменной можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.

Для решения неравенств вида ах 2 + bх + с > 0 и ах 2 + bх + с < 0 поступают следующим образом:

1) находят дискриминант квадратного трехчлена и выясняют, имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси х и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при а > 0 или вниз при а < 0; если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при а > 0 или в нижней при а < 0;

3) находят на оси х промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси х (если решают неравенство ах 2 + bх + с > 0) или ниже оси х (если решают неравенство ах 2 + bх + с < 0).

Пример:

Решим неравенство .

Рассмотрим функцию

Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т. к. ).

Выясним, как расположен график относительно оси х. Решим для этого уравнение . Получим, что х = 4. Уравнение имеет единственный корень. Значит, парабола касается оси х.

Изобразив схематически параболу, найдем, что функция принимает отрицательные значения при любом х, кроме 4.

Ответ можно записать так: х - любое число, не равное 4.

Решение неравенств методом интервалов

схема решения

1. Найти нули функции, стоящей в левой части неравенства.

2. Отметить положение нулей на числовой оси и определить их кратность (если k i четное, то нуль четной кратности, если k i нечетное - то нечетной).

3. Найти знаки функции в промежутках между ее нулями, начиная с крайнего правого промежутка: в этом промежутке функция в левой части неравенства всегда положительна для приведенного вида неравенств. При переходе справа налево через нуль функции от одного промежутка к соседнему следует учитывать:

если нуль нечетной кратности, знак функции изменяется,

если нуль четной кратности, знак функции сохраняется.

4. Записать ответ.

Пример:

(х + 6) (х + 1) (х - 4) < 0.

Найден нули функции. Они равны: х 1 = -6; х 2 = -1; х 3 = 4.

Отметим на координатной прямой нули функции f ( x ) = (х + 6) (х + 1) (х - 4).

Найдем знаки этой функции в каждом из промежутков (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) и

Из рисунка видно, что множеством решений неравенства является объединение промежутков (-∞; -6) и (-1; 4).

Ответ: (-∞ ; -6) и (-1; 4).

Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.

Функция y=x^2 называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Квадратичная функция

Рис 1. Общий вид параболы

Как видно из графика, он симметричен относительно оси Оу. Ось Оу называется осью симметрии параболы. Это значит, что если провести на графике прямую параллельную оси Ох выше это оси. То она пересечет параболу в двух точках. Расстояние от этих точек до оси Оу будет одинаковым.

Ось симметрии разделяет график параболы как бы на две части. Эти части называются ветвями параболы. А точка параболы которая лежит на оси симметрии называется вершиной параболы. То есть ось симметрии проходит через вершину параболы. Координаты этой точки (0;0).

Основные свойства квадратичной функции

1. При х =0, у=0, и у>0 при х0

2. Минимальное значение квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.

3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке ; неравенству a <x <b – интервалом и обозначается () ; неравенствам и - полуинтервалами и обозначаются соответственно и . Также часто приходится иметь дело с бесконечными интервалами и полуинтервалами: , , , и . Все их удобно называть промежутками .

Интервал , т.е. множество точек удовлетворяющих неравенству (где ), называется -окрестностью точки a .

Понятие функции. Основные свойства функции

Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие единственный элемент y множества Y , то говорят, что на множестве X задана функция y =f (x ). При этом x называют независимой переменной или аргументом , а y – зависимой переменной или функцией , а f обозначает закон соответствия. Множество X называют областью определения функции, а множество Y – областью значений функции.

Существует несколько способов задания функций.

1) Аналитический способ – функция задается формулой вида y =f (x ).

2) Табличный способ – функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие им значения функции y =f (x ).

3) Графический способ – изображение графика функции, т.е. множества точек (x ; y ) координатной плоскости, абсциссы которых представляют значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции y =f (x ).

4) Словесный способ – функция описывается правилом ее составления. Например, функция Дирихле принимает значение 1, если x – рациональное число и 0, если x – иррациональное число.

Выделяют следующие основные свойства функций.

1 Четность и нечетность Функция y =f (x ) называется четной , если для любых значений x из области ее определения выполняется f (–x )=f (x ), и нечетной , если f (–x )=–f (x ). Если не выполняется ни одно из перечисленных равенств, то y =f (x ) называется функцией общего вида . График четной функции симметричен относительно оси Oy , а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2 Монотонность Функция y =f (x ) называется возрастающей (убывающей ) на промежутке X , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Пусть x 1 ,x 2 ÎX , x 2 >x 1 . Тогда функция возрастает на промежутке X , если f (x 2)>f (x 1), и убывает, если f (x 2)<f (x 1).

Наряду с возрастающими и убывающими функциями рассматривают неубывающие и невозрастающие функции. Функция называется неубывающей (невозрастающей ), если при x 1 ,x 2 ÎX , x 2 >x 1 выполняется неравенство f (x 2)≥f (x 1) (f (x 2)≤f (x 1)).

Возрастающие и убывающие функции, а также невозрастающие и неубывающие функции называют монотонными.

3 Ограниченность Функция y =f (x ) называется ограниченной на промежутке X , если существует такое положительное число M >0, что |f (x )|≤M для любого x ÎX . В противном случае функция называется неограниченной на X .

4 Периодичность Функция y =f (x ) называется периодической с периодом T ≠0, если для любых x из области определения функции f (x +T )=f (x ). В дальнейшем под периодом будем понимать наименьший положительный период функции.

Функция называется явной , если она задана формулой вида y =f (x ). Если функция задана уравнением F (x , y )=0, не разрешенным относительно зависимой переменной y , то ее называют неявной .

Пусть y =f (x ) есть функция от независимой переменной , определенная на множестве X с областью значений Y . Поставим в соответствие каждому y ÎY единственное значение x ÎX , при котором f (x )=y .Тогда полученная функция x =φ (y ), определенная на множестве Y с областью значений X , называется обратной и обозначается y =f –1 (x ). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первой и третьей координатных четвертей .

Пусть функция y =f (u ) есть функция переменной u , определенной на множестве U с областью значений Y , а переменная u в свою очередь является функцией u =φ (x ), определенной на множестве X с областью значений U . Тогда заданная на множестве X функция y =f (φ (x )) называется сложной функцией (композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции).

Элементарные функции

К основным элементарным функциям относят:

степенную функцию y =x n ; y =x – n и y =x 1/ n ;
показательную функцию y =a x ;
логарифмическую функцию y =log a x ;
тригонометрические функции y =sin x , y =cos x , y =tg x и y =ctg x ;
обратные тригонометрические функции y = arcsin x , y =arccos x , y =arctg x и y =arcctg x .

Из основных элементарных функций новые функции могут быть получены при помощи алгебраических действий и суперпозицией функций.

Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций суперпозиции, называются элементарными .

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:

· целая рациональная функция (многочлен или полином)

· дробно-рациональная функция (отношение двух многочленов)

· иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной . К числу трансцендентных функций относятся показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.

Раздел содержит справочный материал по основным элементарным функциям и их свойствам. Приводится классификация элементарных функций. Ниже даны ссылки на подразделы, в которых рассматриваются свойства конкретных функций - графики, формулы, производные, первообразные (интегралы), разложения в ряды, выражения через комплексные переменные.

Страницы со справочным материалом по элементарным функциям

Классификация элементарных функций

Алгебраическая функция - это функция, которая удовлетворяет уравнению:
,
где - многочлен от зависимой переменной y и независимой переменной x . Его можно записать в виде:
,
где - многочлены.

Алгебраические функции делятся на многочлены (целые рациональные функции), рациональные функции и иррациональные функции.

Целая рациональная функция , которая также называется многочленом или полиномом , получается из переменной x и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания) и умножения. После раскрытия скобок, многочлен приводится к каноническому виду:
.

Дробно-рациональная функция , или просто рациональная функция , получается из переменной x и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания), умножения и деления. Рациональную функцию можно привести к виду
,
где и - многочлены.

Иррациональная функция - это алгебраическая функция, не являющаяся рациональной. Как правило, под иррациональной функцией понимают корни и их композиции с рациональными функциями. Корень степени n определяется как решение уравнения
.
Он обозначается так:
.

Трансцендентными функциями называются неалгебраические функции. Это показательные, тригонометрические, гиперболические и обратные к ним функции.

Обзор основных элементарных функций

Все элементарные функции можно представить в виде конечного числа операций сложения, вычитания, умножения и деления, произведенных над выражением вида:
z t .
Обратные функции могут выражаться также через логарифмы. Ниже перечислены основные элементарные функции.

Степенная функция :
y(x) = x p ,
где p - показатель степени. Она зависит от основания степени x .
Обратной к степенной функции является также степенная функция:
.
При целом неотрицательном значении показателя p она является многочленом. При целом значении p - рациональной функцией. При рациональном значении - иррациональной функцией.

Трансцендентные функции

Показательная функция :
y(x) = a x ,
где a - основание степени. Она зависит от показателя степени x .
Обратная функция - логарифм по основанию a :
x = log a y .

Экспонента, е в степени х :
y(x) = e x ,
Это показательная функция, производная которой равна самой функции:
.
Основанием степени экспоненты является число e :
≈ 2,718281828459045... .
Обратная функция - натуральный логарифм - логарифм по основанию числа e :
x = ln y ≡ log e y .

Тригонометрические функции :
Синус : ;
Косинус : ;
Тангенс : ;
Котангенс : ;
Здесь i - мнимая единица, i 2 = -1 .

Обратные тригонометрические функции :
Арксинус: x = arcsin y , ;
Арккосинус: x = arccos y , ;
Арктангенс: x = arctg y , ;
Арккотангенс: x = arcctg y , .

Нули функции
Нулём функции называется то значение х , при котором функция обращается в 0, то есть f(x)=0.

Нули – это точки пересечения графика функции с осью Ох.

Четность функции
Функция называется чётной, если для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x)

Четная функция симметрична относительно оси Оу

Нечетность функции
Функция называется нечётной, если для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = -f(x).

Нечетная функция симметрична относительно начала координат.
Функция которая не является ни чётной,ни нечётной называется функцией общего вида.

Возрастание функции
Функция f(x) называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е.

Убывание функции
Функция f(x) называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е.

Промежутки, на которых функция либо только убывает, либо только возрастает, называются промежутками монотонности . Функция f(x) имеет 3 промежутка монотонности:

Находят промежутки монотонности с помощью сервиса Интервалы возрастания и убывания функции

Локальный максимум
Точка х 0 называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х 0 выполняется неравенство: f(x 0) > f(x)

Локальный минимум
Точка х 0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х 0 выполняется неравенство: f(x 0) < f(x).

Точки локального максимума и точки локального минимума называются точками локального экстремума.

точки локального экстремума.

Периодичность функции
Функция f(x) называется периодичной, с периодом Т , если для любого х выполняется равенство f(x+T) = f(x) .

Промежутки знакопостоянства
Промежутки, на которых функция либо только положительна, либо только отрицательна, называются промежутками знакопостоянства.