Пифагоровы тройки примеры. Пифагоровы тройки и их количество

Пифагоровы тройки чисел

Творческая работа

ученика 8 ”A” класса

МАОУ «Гимназия №1»

Октябрьского района г. Саратова

Панфилова Владимира

Руководитель – учитель математики высшей категории

Гришина Ирина Владимировна

Содержание

Введение……………………………………………………………………………………3

Теоретическая часть работы

Нахождение основного Пифагорова треугольника

(формулы древних индусов)………………………………………………………………4

Практическая часть работы

Составление пифагоровых троек различными способами……………………........6

Важное свойство пифагоровых треугольников……………………………………...8

Заключение………………………………………………………………………………....9

Литература….……………………………………………………………………………...10

Введение

В этом учебном году на уроках математики мы изучили одну из самых популярных теорем геометрии – теорему Пифагора. Теорема Пифагора применяется в геометрии на каждом шагу, она нашла широкое применение в практике и обыденной жизни. Но, кроме самой теоремы, мы изучили также и теорему, обратную к теореме Пифагора. В связи с изучением уже этой теоремы, у нас состоялось знакомство с пифагоровыми тройками чисел, т.е. с наборами из 3-х натуральных чисел a , b и c , для которых справедливо соотношение: = + . К таким наборам относят, например, следующие тройки:

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

У меня сразу возникли вопросы: а сколько пифагоровых троек можно придумать? А как их составлять?

В нашем учебнике геометрии после изложения теоремы, обратной теореме Пифагора, было сделано важное замечание: можно доказать, что катеты а и b и гипотенуза с прямоугольных треугольников, длины сторон которых выражаются натуральными числами, можно находить по формулам:

а = 2kmn b = k( - ) c = k( + , (1)

где k , m , n – любые натуральные числа, причем m > n .

Естественно, возникает вопрос – как доказать данные формулы? И только ли по этим формулам можно составлять пифагоровы тройки?

В своей работе я осуществил попытку ответить на возникшие у меня вопросы.

Теоретическая часть работы

Нахождение основного Пифагорова треугольника (формулы древних индусов)

Сначала докажем формулы (1):

Обозначим длины катетов через х и у , а длину гипотенузы через z . По теореме Пифагора имеем равенство: + = .(2)

Данное уравнение называют уравнением Пифагора. Исследование пифагоровых треугольников сводится к решению в натуральных числах уравнения (2).

Если каждую сторону некоторого пифагорова треугольника увеличить в одно и то же число раз, то получим новый прямоугольный треугольник, подобный данному со сторонами, выраженными натуральными числами, т.е. снова пифагоров треугольник.

Среди всех подобных треугольников существует наименьший, легко догадаться, что это будет треугольник, стороны которого х и у выражаются взаимно простыми числами

(НОД ( х,у )=1).

Такой пифагоров треугольник назовем основным .

Отыскание основных пифагоровых треугольников.

Пусть треугольник (x , y , z ) – основной пифагоров треугольник. Числа х и у – взаимно простые, и потому не могут быть оба четными. Докажем, что они не могут быть оба и нечетными. Для этого заметим, что квадрат нечетного числа при делении на 8 дает в остатке 1. В самом деле, любое нечетное натуральное число можно представить в виде 2 k -1 , где k принадлежит N .

Отсюда: = -4 k +1 = 4 k ( k -1)+1.

Числа ( k -1) и k – последовательные, одно из них обязательно четное. Тогда выражение k ( k -1) делится на 2 , 4 k ( k -1) делится на 8, а значит, число при делении на 8 дает в остатке 1.

Сумма квадратов двух нечетных чисел дает при делении на 8 в остатке 2, следовательно, сумма квадратов двух нечетных чисел есть число четное, но не кратное 4, а потому это число не может быть квадратом натурального числа.

Итак, равенство (2) не может иметь места, если x и у оба нечетны.

Таким образом, если пифагоров треугольник (х, у, z ) - основной, то среди чисел х и у одно должно быть четным, а другое – нечетным. Пусть число у является четным. Числа х и z нечетны (нечетность z следует из равенства (2)).

Из уравнения + = получаем, что = ( z + x )( z - x ) (3).

Числа z + x и z - x как сумма и разность двух нечетных чисел – числа четные, а потому (4):

z + x = 2 a , z - x = 2 b , где а и b принадлежат N .

z + x =2 a , z - x = 2 b ,

z = a+b , x = a - b. (5)

Из этих равенств следует, что a и b – взаимно простые числа.

Докажем это, рассуждая от противного.

Пусть НОД ( a , b )= d , где d >1 .

Тогда d z и x , а следовательно, и чисел z + x и z - x . Тогда на основании равенства (3) было бы делителем числа . В таком случае d был бы общим делителем чисел у и х , но числа у и х должны быть взаимно простыми.

Число у , как известно, четное, поэтому у = 2с , где с – натуральное число. Равенство (3) на основании равенства (4) принимает следующий вид: =2а*2 b , или =ab.

Из арифметики известно, что если произведение двух взаимно простых чисел является квадратом натурального числа, то каждое из этих чисел также является квадратом натурального числа.

Значит, а = и b = , где m и n – взаимно простые числа, т.к. они являются делителями взаимно простых чисел а и b .

На основании равенства (5) имеем:

z = + , x = - , = ab = * = ; с = mn

Тогда у = 2 mn .

Числа m и n , т.к. являются взаимно простыми, не могут быть одновременно четными. Но и нечетными одновременно быть не могут, т.к. в этом случае х = - было бы четным, что невозможно. Итак, одно из чисел, m или n четно, а другое нечетно. Очевидно, у = 2 mn делится на 4. Следовательно, в каждом основном пифагоровом треугольнике хотя бы один из катетов делится на 4. Отсюда следует, что нет пифагоровых треугольников, все стороны которого были бы простыми числами.

Полученные результаты можно выразить в виде следующей теоремы:

Все основные треугольники, в которых у является четным числом, получаются из формулы

х = - , y =2 mn , z = + ( m > n ), где m и n – все пары взаимно простых чисел, из которых одно является четным, а другое нечетным (безразлично, какое). Каждая основная пифагорова тройка (х, у, z ), где у – четное,- определяется этим способом однозначно.

Числа m и n не могут быть оба четными или оба нечетными, т.к. в этих случаях

х = были бы четными, что невозможно. Итак, одно из чисел m или n четно, а другое нечетно (y = 2 mn делится на 4).

Практическая часть работы

Составление пифагоровых троек различными способами

В формулах индусов m и n – взаимно простые, но могут быть числами произвольной четности и составлять пифагоровы тройки по ним достаточно тяжело. Поэтому попробуем найти другой подход к составлению пифагоровых троек.

= - = ( z - y )( z + y ), где х – нечетное, y – четное, z – нечетное

v = z - y , u = z + y

= uv , где u – нечетное, v – нечетное (взаимно простые)

Т.к. произведение двух нечетных взаимно простых чисел является квадратом натурального числа, то u = , v = , где k и l – взаимно простые, нечетные числа.

z - y = z + y = k 2 , откуда, складывая равенства и вычитая из одного другое, получаем:

2 z = + 2 y = - то есть

z = y = x = kl

k

l

x

y

z

37

9

1

9

40

41 (s нулей )*(100…0 (s нулей ) +1)+1 =200…0 (s-1 нулей ) 200…0 (s-1 нулей ) 1

Важное свойство пифагоровых треугольников

Теорема

В основном пифагоровом треугольнике один из катетов обязательно делится на 4, один из катетов обязательно делится на 3 и площадь пифагорова треугольника обязательно кратна 6.

Доказательство

Как нам известно, во всяком пифагоровом треугольнике хотя бы один из катетов делится на 4.

Докажем, что один из катетов делится и на 3.

Для доказательства предположим, что в пифагоровом треугольнике (x , y , z x или y кратно 3.

Теперь докажем, что площадь пифагорова треугольника делится на 6.

Всякий пифагоров треугольник имеет площадь, выражаемую натуральным числом, кратным 6. Это следует из того, что хотя бы один из катетов делится на 3 и хотя бы один из катетов делится на 4. Площадь треугольника, определяемая полупроизведением катетов, должна выражаться числом, кратным 6.

Заключение

В работе

- доказаны формулы древних индусов

-проведено исследование на количество пифагоровых троек (их бесконечно много)

-указаны способы нахождения пифагоровых троек

-изучены некоторые свойства пифагоровых треугольников

Для меня это была очень интересная тема и находить ответы на мои вопросы стало очень интересным занятием. В дальнейшем я планирую рассмотреть связь пифагоровых троек с последовательностью Фибоначчи и теоремой Ферма и узнать еще много свойств пифагоровых треугольников.

Литература

Л.С. Атанасян “Геометрия.7-9 классы” М.: Просвещение, 2012.

В. Серпинский “Пифагоровы треугольники” М.:Учпедгиз, 1959.

Саратов

2014

Свойства

Поскольку уравнение x 2 + y 2 = z 2 однородно , при домножении x , y и z на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной , если она не может быть получена таким способом, то есть - взаимно простые числа .

Примеры

Некоторые пифагоровы тройки (отсортированы по возрастанию максимального числа, выделены примитивные):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Основываясь на свойствах чисел Фибоначчи , можно составить из них, например, такие пифагоровы тройки:

История

Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

См. также

Ссылки

• Е. А. Горин Степени простых чисел в составе пифагоровых троек // Математическое просвещение . - 2008. - В. 12. - С. 105-125.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Пифагоровы числа" в других словарях:

Тройки таких натуральных чисел, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным, напр. тройка чисел: 3, 4, 5 … Большой Энциклопедический словарь

Тройки таких натуральных чисел, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным, например тройка чисел: 3, 4, 5. * * * ПИФАГОРОВЫ ЧИСЛА ПИФАГОРОВЫ ЧИСЛА, тройки таких натуральных чисел, что… … Энциклопедический словарь

Тройки натуральных чисел таких, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным. По теореме, обратной теореме Пифагора (см. Пифагора теорема), для этого достаточно, чтобы они… …

Тройки целых положительных чисел х, у,z, удовлетворяющих уравнению x2+у 2=z2. Все решения этого уравнения, а следовательно, и все П. ч. выражаются формулами х=а 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, где а, b произвольные целые положительные числа (а>b). П. ч … Математическая энциклопедия

Тройки таких натуральных чисел, что треугольник, длины сторон к рого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным, напр. тройка чисел: 3, 4, 5 … Естествознание. Энциклопедический словарь

В математике пифагоровыми числами (пифагоровой тройкой) называется кортеж из трёх целых чисел удовлетворяющих соотношению Пифагора: x2 + y2 = z2. Содержание 1 Свойства 2 Примеры … Википедия

Фигурные числа общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам. Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: «Возвести число в квадрат или в куб». Содержание… … Википедия

Фигурные числа общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам. Различают следующие виды фигурных чисел: Линейные числа числа, не разлагающиеся на сомножители, то есть их… … Википедия

- «Парадокс числа пи» шутка на тему математики, имевшая хождение в среде студентов до 80 х годов (фактически, до массового распространения микрокалькуляторов) и была связана с ограниченной точностью вычислений тригонометрических функций и… … Википедия

- (греч. arithmetika, от arithmys число) наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Владение достаточно развитым понятием натурального числа и умение… … Большая советская энциклопедия

Книги

• Архимедово лето, или История содружества юных математиков. Двоичная система счисления , Бобров Сергей Павлович. Двоичная система счисления, "Ханойская башня", ход коня, магические квадраты, арифметический треугольник, фигурные числа, сочетания, понятие о вероятностях, лента Мёбиуса и бутылка Клейна.…

Дальше рассмотрим известные способы генерации эффективных пифагоровых троек. Ученики Пифагора были первыми, кто изобрели простой способ генерации пифагоровых троек, используя формулу, части которой представляют пифагорову тройку:

m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ((m 2 + 1)/2) 2 ,

Где m — непарное, m >2. Действительно,

4m 2 + m 4 − 2m 2 + 1
m 2 + ((m 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((m 2 + 1)/2) 2 .
4

Аналогичную формулу предложил древнегреческий философ Платон:

(2m ) 2 + (m 2 − 1) 2 = (m 2 + 1) 2 ,

Где m — любое число. Для m = 2,3,4,5 генерируются следующие тройки:

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Как видим, эти формулы не могут дать все возможные примитивные тройки.

Россмотрим следующий полином, который разкладывается на суму полиномов:

(2m 2 + 2m + 1) 2 = 4m 4 + 8m 3 + 8m 2 + 4m + 1 =
=4m 4 + 8m 3 + 4m 2 + 4m 2 + 4m + 1 = (2m (m +1)) 2 + (2m +1) 2 .

Отсюда следующие формулы для получения примитивных троек:

a = 2m +1 , b = 2m (m +1) = 2m 2 + 2m , c = 2m 2 + 2m + 1.

Эти формулы генерируют тройки, в которых среднее число отличается от наибольшего ровно на единицу, то есть также генерируются не все возможные тройки. Тут первые тройки равняются: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Чтобы определить способ генерации всех примитивных троек, следует исследовать ихние свойства. Во-первых, если (a,b,c ) — примитивная тройка, то a и b , b и c , а и c — должны быть взаимно простыми. Пусть a и b делятся на d . Тогда a 2 + b 2 — также делится на d . Соответственно, c 2 и c должны делиться на d . То есть, это не есть примитивная тройка.

Во-вторых, среди чисел a , b одно должно быть парным, а другое — непарным. Действительно, если a и b — парные, то и с будет парным, и числа можно поделить по крайней мере на 2. Если они оба непарные, то их можно представить как 2k +1 i 2l +1, где k ,l — некоторые числа. Тогда a 2 + b 2 = 4k 2 +4k +1+4l 2 +4l +1, то есть, с 2 , как и a 2 + b 2 , при делении на 4 имеет остаток 2.

Пусть с — любое число, то есть с = 4k +i (i =0,…,3). Тогда с 2 = (4k +i ) 2 имеет остаток 0 или 1 и не может иметь остаток 2. Таким образом, a и b не могут быть непарными, то есть a 2 + b 2 = 4k 2 +4k +4l 2 +4l +1 и остаток от деления с 2 на 4 должен быть 1, что значит, что с должно быть непарным.

Такие требования к элементам пифагоровой тройки удовлетворяют следующие числа:

a = 2mn , b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 , m > n , (2)

Где m и n — взаимно простые с разной парностью. Впервые эти зависимости стали известными из трудов Эвклида, который жил 2300 р. назад.

Докажем справедливость зависимостей (2). Пусть а — парное, тогда b и c — непарные. Тогда c + b i c − b — парные. Их можно представить как c + b = 2u и c − b = 2v , где u ,v — некоторые целые числа. Поэтому

a 2 = с 2 − b 2 = (c + b )(c − b ) = 2u ·2v = 4uv

И поэтому (a /2) 2 = uv .

Можно доказать от противного, что u и v — взаимно простые. Пусть u и v — делятся на d . Тогда (c + b ) и (c − b ) делятся на d . И поэтому c и b должны делиться на d , а это противоречит условию к пифагоровой тройке.

Так как uv = (a /2) 2 и u и v — взаимно простые, то несложно доказать, что u и v должны быть квадратами каких-то чисел.

Таким образом, есть положительные целые числа m и n , такие что u = m 2 и v = n 2 . Тогда

а 2 = 4uv = 4m 2 n 2 , так что
а = 2mn ; b = u − v = m 2 − n 2 ; c = u + v = m 2 + n 2 .

Так как b > 0, то m > n .

Осталось показать, что m и n имеют разную парность. Если m и n — парные, то u и v должны быть парными, а это невозможно, так как они взаимно простые. Если m и n — непарные, то b = m 2 − n 2 и c = m 2 + n 2 были бы парными, что невозможно, так как c и b — взаимно простые.

Таким образом, любая примитивная пифагорова тройка должна удовлетворять условия (2). При этом числа m и n называются генерирующими числами примитивных троек. Например, пусть имеем примитивную пифагорову тройку (120,119,169). В этом случае

а = 120 = 2·12·5, b = 119 = 144 − 25, и c = 144+25=169,

Где m = 12, n = 5 — генерирующие числа, 12 > 5; 12 и 5 — взаимно простые и разной парности.

Можно доказать обратное, что числа m , n по формулам (2) дают примитивную пифагорову тройку (a,b,c). Действительно,

а 2 + b 2 = (2mn ) 2 + (m 2 − n 2) 2 = 4m 2 n 2 + (m 4 − 2m 2 n 2 + n 4) =
= (m 4 + 2m 2 n 2 + n 4) = (m 2 + n 2) 2 = c 2 ,

То есть (a ,b ,c ) — пифагорова тройка. Докажем, что при этом a ,b ,c — взаимно простые числа от противного. Пусть эти числа делятся на p > 1. Так как m и n имеют разную парность, то b и c — непарные, то есть p ≠ 2. Так как р делит b и c , то р должно делить 2m 2 и 2n 2 , а это невозможно, так как p ≠ 2. Поэтому m , n — взаимно простые и a ,b ,c — тоже взаимно простые.

В таблице 1 показаны все примитивные пифагоровы тройки, сгенерированые по формулам (2) для m ≤10.

Таблица 1. Примитивные пифагоровы тройки для m ≤10

Анализ этой таблицы показывает наличие следующего ряда закономерностей:

• или a , или b делятся на 3;
• одно из чисел a ,b ,c делится на 5;
• число а делится на 4;
• произведение a ·b делится на 12.

В 1971 г. американские математики Тейган и Хедвин для генерации троек предложили такие малоизвестные параметры прямоугольного треугольника, как его рост (height) h = c − b и избыток (success) е = a + b − c . На рис.1. показаны эти величины на некотором прямоугольном треугольнике.

Рисунок 1. Прямоугольный треугольник и его рост и избыток

Название “избыток” является производным от того, что это добавочное расстояние, которое необходимо пройти по катетам треугольника из одной вершины в противоположную, если не идти по его диагонали.

Через избыток и рост стороны пифагорового треугольника можно выразить как:

e 2 e 2
a = h + e , b = e + ——, c = h + e + ——, (3)
2h 2h

Не все комбинации h и e могут отвечать пифагоровым треугольникам. Для заданого h возможные значения e — это произведения некоторого числа d . Это число d имеет название прироста и относится к h следующим образом: d — это наименьшее положительное целое число, квадрат которого делится на 2h . Так как e кратное d , то оно записывается как e = kd , где k — положительное целое.

С помощью пар (k ,h ) можно сгенерировать все пифагоровы треугольники, включая непримитивные и обобщенные, следующим образом:

(dk ) 2 (dk ) 2
a = h + dk , b = dk + ——, c = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Причем тройка является примитивной, если k и h — взаимно простые и если h =±q 2 при q — непарном.
Кроме того, это будет именно пифагорова тройка, если k > √2·h /d и h > 0.

Чтобы найти k и h из (a ,b ,c ), выполняют следующие действия:

• h = c − b ;
• записывают h как h = pq 2 , где p > 0 и такое, что не является квадратом;
• d = 2pq если p — непарное и d = pq , если p — парное;
• k = (a − h )/d .

Например, для тройки (8,15,17) имеем h = 17−15 = 2·1, так что p = 2 и q = 1, d = 2, и k = (8 − 2)/2 = 3. Так что эта тройка задается как (k ,h ) = (3,2).

Для тройки (459,1260,1341) имеем h = 1341 − 1260 = 81, так что p = 1, q = 9 и d = 18, отсюда k = (459 − 81)/18 = 21, так что код этой тройки равняется (k ,h ) = (21, 81).

Задание троек с помощью h и k имеет ряд интересных свойств. Параметр k равняется

k = 4S /(dP ), (5)

Где S = ab /2 — площадь треугольника, а P = a + b + c — его периметр. Это следует из равенства eP = 4S , которое выходит из теоремы Пифагора.

Для прямоугольного треугольника e равняется диаметру вписаной в треугольник окружности. Это выходит из того, что гипотенуза с = (а − r )+(b − r ) = a + b − 2r , где r — радиус окружности. Отсюда h = c − b = а − 2r и е = a − h = 2r .

Для h > 0 и k > 0, k является порядковым номером троек a -b -c в последовательности пифагоровых треугольников с ростом h . Из таблицы 2, где представлено несколько вариантов троек, сгенерированых парами h , k , видно, что с увеличением k возрастают величины сторон треугольника. Таким образом, в отличии от классической нумерации, нумерация парами h , k имеет больший порядок в последовательностях троек.

Таблица 2. Пифагоровы тройки, сгенерированые парами h, k.

Для h > 0, d удовлетворяет неравенство 2√h ≤ d ≤ 2h , в котором нижняя граница достигается при p = 1, а верхняя — при q = 1. Поэтому значение d относительно 2√h — это мера того, насколько число h отдаленное от квадрата некоторого числа.

Червяк Виталий

Скачать:

Предварительный просмотр:

Конкурс научных проектов школьников

В рамках краевой научно-практической конференции «Эврика»

Малой академии наук учащихся Кубани

Исследование пифагоровых чисел

Секция математика.

Червяк Виталий Геннадиевич, 9 класс

МОБУ СОШ №14

Кореновский район

Ст. Журавская

Научный руководитель:

Манько Галина Васильевна

Учитель математики

МОБУ СОШ №14

Кореновск 2011 г

Червяк Виталий Геннадиевич

Пифагоровы числа

Аннотация.

Тема исследования: Пифагоровы числа

Цели исследования:

Задачи исследования:

• Выявление и развитие математических способностей;
• Расширение математического представления по данной теме;
• Формирование устойчивого интереса к предмету;
• Развитие коммуникативных и общеучебных навыков самостоятельной работы, умение вести дискуссию, аргументировать и т.д.;
• Формирование и развитие аналитического и логического мышления;

Методы исследования:

• Использование ресурсов сети Интернет;
• Обращение к справочной литературе;
• Проведение эксперимента;

Вывод:

• Эта работа может быть использована на уроке геометрии как дополнительный материал, для проведения элективных курсов или факультативов по математике, а также во внеклассной работе по математике;

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

1. Введение…………………………………………………………………3
2. Основная часть

2.1 Историческая страничка……………………………………………………4

2.2 Доказательство чётности и нечётности катетов……….............................5-6

2.3 Вывод закономерности для нахождения

Пифагоровых чисел……………………………………………………………7

2.4 Свойства пифагоровых чисел ……………………………………………… 8

3. Заключение……………………………………………………………………9

4.Список использованных источников и литературы…………………… 10

Приложения.........................................................................................................11

Приложение I……………………………………………………………………11

Приложение II…………………………………………………………………..13

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Введение

О Пифагоре и его жизни я услышал в пятом классе на уроке математики, и меня заинтересовало высказывание «Пифагоровы штаны во все стороны равны». При изучении теоремы Пифагора меня заинтересовали пифагоровы числа.Я поставил цель исследования : узнать больше о теореме Пифагора и «пифагоровых числах».

Актуальность темы . Ценность теоремы Пифагора и пифагоровых троек доказана многими учёнными мира на протяжении многих веков. Проблема, о которой пойдёт речь в моей работе выглядит довольно простой потому, что в основе её лежит математическое утверждение, которое всем известно, - теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах. Теперь тройки натуральных чисел x, y, z, для которых x 2 + y 2 = z 2 , принято называть пифагоровыми тройками . Оказывается, пифагоровы тройки знали уже в Вавилоне. Постепенно нашли их и греческие математики.

Цель данной работы

1. Исследовать пифагоровы числа;
2. Понять, как получаются пифагоровы числа;
3. Выяснить, какими свойствами обладают пифагоровы числа;
4. Опытно-экспериментальным путём построить перпендикулярные прямые на местности, используя пифагоровы числа;

В соответствии с целью работы поставлен ряд следующих задач :

1. Глубже изучить историю теоремы Пифагора;

2. Анализ универсальных свойств пифагоровых троек.

3. Анализ практического применения пифагоровых троек.

Объект исследования : пифагоровы тройки.

Предмет исследования : математика .

Методы исследования : - Использование ресурсов сети Интернет; -Обращение к справочной литературе; -Проведение эксперимента;

Теоретическая значимость: роль, которую играет открытие пифагоровых троек в науке; практическое применение открытия Пифагора в жизнедеятельности человека.

Прикладная ценность исследования заключается в анализе литературных источников и систематизации фактов.

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Из истории пифагоровых чисел.

• Древний Китай:

Математическая книга Чу-пей: [ 2]

"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

• Древний Египет: [ 2]

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты , или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3; 4 и 5.

• Вавилония: [ 3 ]

«Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."

• История теоремы Пифагора: ,

Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него.

В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора.

По-видимому, он первым нашёл её доказательство. В связи с этим была сделана следующую запись: «… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста».

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Исследование Пифагоровых чисел.

• Каждый треугольник, стороны относятся как 3:4:5, согласно общеизвестной теореме Пифагора, - прямоугольный, так как

3 2 + 4 2 = 5 2.

• Кроме чисел 3,4 и 5 , существует, как известно, бесконечное множество целых положительных чисел а, в и с, удовлетворяющих соотношению
• А 2 + в 2 = с 2.
• Эти числа называются пифагоровыми числами

Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древнелесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н.э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей. [ 1 ]

Прямоугольный треугольник, с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называется египетским треугольником. Площадь этого треугольника равна совершенному числу 6. Периметр равен 12 – числу, которое считалось символом счастья и достатка.

С помощью верёвки разделенной узлами на 12 равных частей древние египтяне строили прямоугольный треугольник и прямой угол. Удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий. Необходимо взять шнур и три колышка, шнур располагают треугольником так, чтобы одна сторона состояла из 3 частей, вторая из 4 долей и последняя из пяти таких долей. Шнур расположится треугольником, в котором есть прямой угол.

Этот древний способ, по-видимому, применявшийся ещё тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся как 3:4:5, согласно теореме Пифагора, прямоугольный.

Нахождением пифагоровых троек занимались Евклид, Пифагор, Диофант и многие другие. [ 1]

Ясно, что если (x, y, z ) – пифагорова тройка, то для любого натурального k тройка (kx, ky, kz ) также будет пифагоровой тройкой. В частности, (6, 8, 10), (9, 12, 15) и т.д. являются пифагоровыми тройками.

По мере того, как числа возрастают, пифагоровы тройки встречаются всё реже и находить их становится все труднее и труднее. Пифагорейцы изобрели метод отыскания

таких троек и, пользуясь им, доказали, что пифагоровых троек существует бесконечно много.

Тройки, не имеющие общих делителей, больших 1, называются простейшими.

Рассмотрим некоторые свойства пифагоровых троек. [ 1]

Согласно теореме Пифагора эти числа могут служить длинами некоторого прямоугольного треугольника; поэтому а и в называют «катетами»,а с – « гипотенузой».
Ясно, что если а,в,с есть тройка пифагоровых чисел, то и ра,рв,рс, где р- целочисленный множитель,- пифагоровы числа.
Верно и обратное утверждение!
Поэтому будем вначале исследовать лишь тройки взаимно простых пифагоровых чисел (остальные получаются из них умножением на целочисленный множитель р).

Покажем, что в каждой из таких троек а,в,с один из «катетов»должен быть чётным, а другой нечётным. Будем рассуждать «от противного». Если оба «катета» а и в чётны, то чётным будет число а 2 + в 2 , а значит и «гипотенуза». Но это противоречит тому, что числа а,в и с не имеют общих множителей, так как три чётных числа имеют общий множитель 2. Таким образом хоть один из « катетов» а и в нечётен.

Остаётся ещё одна возможность: оба «катета» нечётные, а «гипотенуза» чётная. Нетрудно доказать, что этого не может быть, так как если «катеты» имеют вид 2 х + 1 и 2у+1, то сумма их квадратов равна

4х 2 + 4х + 1 + 4у 2 + 4у +1 = 4 (х 2 + х + у 2 + у) +2, т.е. представляет собой число, которое при делении на 4 даёт в остатке 2. Между тем квадрат всякого чётного числа должен делиться на 4 без остатка.

Значит, сумма квадратов двух нечётных чисел не может быть квадратом чётного числа; иначе говоря, наши три числа - не пифагоровы.

ВЫВОД:

Итак, из « катетов» а, в один чётный, а другой нечётный. Поэтому число а 2 + в 2 нечётно, а значит, нечётна и « гипотенуза» с.

Пифагор нашёл формулы, которые в современной символике могут быть записаны так: a=2n+1, b=2n(n+1), c=2 n 2 +2n+1, где n – целое число.

Эти числа – пифагоровы тройки.

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Вывод закономерности для нахождения пифагоровых чисел.

Вот следующие пифагоровы тройки:

• 3, 4, 5; 9+16=25.
• 5, 12, 13; 25+144=225.
• 7, 24, 25; 49+576=625.
• 8, 15, 17; 64+225=289.
• 9, 40, 41; 81+1600=1681.
• 12, 35, 37; 144+1225=1369.
• 20, 21, 29; 400+441=881

Нетрудно заметить, что при умножении каждого из чисел пифагоровой тройки на 2, 3, 4, 5 и т.д., мы получим следующие тройки.

• 6, 8, 10;
• 9,12,15.
• 12, 16, 20;
• 15, 20, 25;
• 10, 24, 26;
• 18, 24, 30;
• 16, 30, 34;
• 21, 28, 35;
• 15, 36, 39;
• 24, 32, 40;
• 14, 48, 50;
• 30, 40, 50 и т.д.

Они так же являются Пифагоровыми числами/

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Свойства пифагоровых чисел.

• При рассмотрении пифагоровых чисел я увидел ряд свойств:
• 1) Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно трём;
• 2) Другое из них должно быть кратно четырём;
• 3) А третье из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти;

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Заключение.

Геометрия, как и другие науки, возникла из потребностей практики. Само слово «геометрия» - греческое, в переводе означает «землемерие».

Люди очень рано столкнулись с необходимостью измерять земельные участки. Уже за 3-4 тыс. лет до н.э. каждый клочок плодородной земли в долинах Нила, Ефрата и Тигра, рек Китая имел значение для жизни людей. Это требовало определённого запаса геометрических и арифметических знаний.

Постепенно люди начали измерять и изучать свойства более сложных геометрических фигур.

И в Египте и в Вавилоне сооружались колоссальные храмы, строительство которых могло производиться только на основе предварительных расчётов. Также строились водопроводы. Всё это требовало чертежей и расчётов. К этому времени были хорошо известны частные случаи теоремы Пифагора, уже знали, что если взять треугольники со сторонами x, y, z, где x, y, z – такие целые числа, что x 2 + y 2 = z 2 , то эти треугольники будут прямоугольными.

Все эти знания непосредственным образом применялись во многих сферах жизнедеятельности человека.

Так до сих пор великое открытие учёного и философа древности Пифагора находит прямое применение в нашей жизни.

Строительство домов, дорог, космических кораблей, автомобилей, станков, нефтепроводов, самолётов, тоннелей, метро и многое, многое другое. Пифагоровы тройки находят прямое применение в проектировании множества вещей, окружающих нас в повседневной жизни.

А умы учёных продолжают искать новые варианты доказательств теоремы Пифагора.

• В результате моей работы мне удалось:
• 1. Больше узнать о Пифагоре, его жизни, братстве Пифагорейцев.
• 2. Познакомится с историей теоремы Пифагора.
• 3. Узнать о пифагоровых числах, их свойствах, научиться их находить и применять в практической деятельности.

Червяк Виталий Геннадиевич

Краснодарский край, станица Журавская, МОБУ СОШ №14, 9 класс

Пифагоровы числа

Научный руководитель: Манько Галина Васильевна, учитель математики МОБУ СОШ №14

Литература.

1. Занимательная алгебра. Я.И. Перельман (с.117-120)
2. www.garshin.ru
3. image.yandex.ru

4. Аносов Д.В. Взгляд на математику и нечто из неё. – М.: МЦНМО, 2003.

5. Детская энциклопедия. – М.: Издательство Академии Педагогических Наук РСФСР, 1959.

6. Степанова Л.Л. Избранные главы элементарной теории чисел. – М.: Прометей, 2001.

7. В. Серпинский Пифагоровы треугольники. - М.: Учпедгиз, 1959. С.111

Ход исследования Историческая страничка; Теорема Пифагора; Доказать, что один из « катетов» должен быть чётным, а другой нечётным; Вывод закономерности для нахождения пифагоровых чисел; Выявить свойства пифагоровых чисел;

Введение О Пифагоре и его жизни я услышал в пятом классе на уроке математики, и меня заинтересовало высказывание «Пифагоровы штаны во все стороны равны». При изучении теоремы Пифагора меня заинтересовали пифагоровы числа. Я поставил цель исследования: узнать больше о теореме Пифагора и «пифагоровых числах».

Пр ебудет вечной истина, как скоро Её познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далёкий век

Из истории пифагоровых чисел. Древний Китай Математическая книга Чу-пей: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

Пифагоровы числа у древних египтян Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или " натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3; 4 и 5.

Теорема Пифагора в Вавилонии «Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."

Каждый треугольник, стороны относятся как 3:4:5, согласно общеизвестной теореме Пифагора, - прямоугольный, так как 3 2 + 4 2 = 5 2. Кроме чисел 3,4 и 5 , существует, как известно, бесконечное множество целых положительных чисел а, в и с, удовлетворяющих соотношению А 2 + в 2 = с 2. Эти числа называются пифагоровыми числами

Согласно теореме Пифагора эти числа могут служить длинами некоторого прямоугольного треугольника; поэтому а и в называют «катетами», а с – « гипотенузой». Ясно, что если а,в,с есть тройка пифагоровых чисел, то и ра,рв,рс, где р - целочисленный множитель,- пифагоровы числа. Верно и обратное утверждение! Поэтому будем вначале исследовать лишь тройки взаимно простых пифагоровых чисел (остальные получаются из них умножением на целочисленный множитель р)

Вывод! Итак из чисел а и в одно чётно, а другое нечётно, а значит нечётно и третье число.

Вот следующие Пифагоровы тройки: 3, 4, 5; 9+16=25 . 5, 12, 13; 25+144=169. 7, 24, 25; 49+576=625. 8, 15, 17; 64+225=289. 9, 40, 41; 81+1600=1681. 12, 35, 37; 144+1225=1369. 20, 21, 29; 400+441=841

Нетрудно заметить, что при умножении каждого из чисел пифагоровой тройки на 2, 3, 4, 5 и т.д., мы получим следующие тройки. 6, 8, 10; 9,12,15. 12, 16, 20; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 18, 24, 30; 16, 30, 34; 21, 28, 35; 15, 36, 39; 24, 32, 40; 14, 48, 50; 30, 40, 50 и т.д. Они так же являются Пифагоровыми числами

Свойства пифагоровых чисел При рассмотрении пифагоровых чисел я увидел ряд свойств: 1) Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно трём; 2) одно из них должно быть кратно четырём; 3) А другое из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти;

Практическое применение пифагоровых чисел

Вывод: В результате моей работы мне удалось 1. Больше узнать о Пифагоре, его жизни, братстве Пифагорейцев. 2. Познакомится с историей теоремы Пифагора. 3. Узнать о пифагоровых числах, их свойствах, научиться их находить. Опытно –экспериментальным путём откладывать прямой угол с помощью пифагоровых чисел.

Свойства

Поскольку уравнение x 2 + y 2 = z 2 однородно , при домножении x , y и z на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной , если она не может быть получена таким способом, то есть - взаимно простые числа .

Примеры

Некоторые пифагоровы тройки (отсортированы по возрастанию максимального числа, выделены примитивные):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

История

Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей.

X Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Санкт - Петербург, 19 мая 2009г.

Доклад: Алгоритм решения Диофантовых уравнений.

В работе рассмотрен метод исследования Диофантовых уравнений и представлены решенные этим методом: - великая теорема Ферма; - поиск Пифагоровых троек и тд. http://referats.protoplex.ru/referats_show/6954.html

Ссылки

• Е. А. Горин Степени простых чисел в составе пифагоровых троек // Математическое просвещение . - 2008. - В. 12. - С. 105-125.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Пифагоровы тройки" в других словарях:

В математике пифагоровыми числами (пифагоровой тройкой) называется кортеж из трёх целых чисел удовлетворяющих соотношению Пифагора: x2 + y2 = z2. Содержание 1 Свойства … Википедия

Тройки таких натуральных чисел, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным, напр. тройка чисел: 3, 4, 5 … Большой Энциклопедический словарь

Тройки натуральных чисел таких, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным. По теореме, обратной теореме Пифагора (см. Пифагора теорема), для этого достаточно, чтобы они… … Большая советская энциклопедия

Тройки целых положительных чисел х, у,z, удовлетворяющих уравнению x2+у 2=z2. Все решения этого уравнения, а следовательно, и все П. ч. выражаются формулами х=а 2 b2, y=2ab, z=a2+b2, где а, b произвольные целые положительные числа (а>b). П. ч … Математическая энциклопедия

Тройки таких натуральных чисел, что треугольник, длины сторон к рого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным, напр. тройка чисел: 3, 4, 5 … Естествознание. Энциклопедический словарь

Тройки таких натуральных чисел, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным, например тройка чисел: 3, 4, 5. * * * ПИФАГОРОВЫ ЧИСЛА ПИФАГОРОВЫ ЧИСЛА, тройки таких натуральных чисел, что… … Энциклопедический словарь

В математике пифагоровой тройкой называется кортеж из трёх натуральных чисел удовлетворяющих соотношению Пифагора: При этом числа, образующие пифагорову тройку, называются пифагоровыми числами. Содержание 1 Примитивные тройки … Википедия

Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Содержание 1 … Википедия

Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Содержание 1 Формулировки 2 Доказательства … Википедия

Это уравнение вида где P целочисленная функция (например, полином с целыми коэффициентами), а переменные принимают целые значения. Названы в честь древнегреческого математика Диофанта. Содержание 1 Примеры … Википедия