Признаки правильной треугольной пирамиды. Основные свойства правильной пирамиды

Главная

11 класс

Определение

Пирамида – это многогранник, составленный из многоугольника $A_1A_2...A_n$ и $n$ треугольников с общей вершиной $P$ (не лежащей в плоскости многоугольника) и противолежащими ей сторонами, совпадающими со сторонами многоугольника.
Обозначение: $PA_1A_2...A_n$ .
Пример: пятиугольная пирамида $PA_1A_2A_3A_4A_5$ .

Треугольники $PA_1A_2, \ PA_2A_3$ и т.д. называются боковыми гранями пирамиды, отрезки $PA_1, PA_2$ и т.д. – боковыми ребрами , многоугольник $A_1A_2A_3A_4A_5$ – основанием , точка $P$ – вершиной .

Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Пирамида, в основании которой лежит треугольник, называется тетраэдром .

Пирамида называется правильной , если в ее основании лежит правильный многоугольник и выполнено одно из условий:

$(a)$ боковые ребра пирамиды равны;

$(b)$ высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;

$(c)$ боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.

$(d)$ боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.

Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, все грани которой – равные равносторонние треугольники.

Теорема

Условия $(a), (b), (c), (d)$ эквивалентны.

Доказательство

Проведем высоту пирамиды $PH$ . Пусть $\alpha$ – плоскость основания пирамиды.

1) Докажем, что из $(a)$ следует $(b)$ . Пусть $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ .

Т.к. $PH\perp \alpha$ , то $PH$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, значит, треугольники – прямоугольные. Значит, эти треугольники равны по общему катету $PH$ и гипотенузам $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ . Значит, $A_1H=A_2H=...=A_nH$ . Значит, точки $A_1, A_2, ..., A_n$ находятся на одинаковом расстоянии от точки $H$ , следовательно, лежат на одной окружности с радиусом $A_1H$ . Эта окружность по определению и есть описанная около многоугольника $A_1A_2...A_n$ .

2) Докажем, что из $(b)$ следует $(c)$ .

$PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$ прямоугольные и равны по двум катетам. Значит, равны и их углы, следовательно, $\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH$ .

3) Докажем, что из $(c)$ следует $(a)$ .

Аналогично первому пункту треугольники $PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$ прямоугольные и по катету и острому углу. Значит, равны и их гипотенузы, то есть $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ .

4) Докажем, что из $(b)$ следует $(d)$ .

Т.к. в правильном многоугольнике совпадают центры описанной и вписанной окружности (вообще говоря, эта точка называется центром правильного многоугольника), то $H$ – центр вписанной окружности. Проведем перпендикуляры из точки $H$ на стороны основания: $HK_1, HK_2$ и т.д. Это – радиусы вписанной окружности (по определению). Тогда по ТТП ($PH$ – перпендикуляр на плоскость, $HK_1, HK_2$ и т.д. – проекции, перпендикулярные сторонам) наклонные $PK_1, PK_2$ и т.д. перпендикулярны сторонам $A_1A_2, A_2A_3$ и т.д. соответственно. Значит, по определению $\angle PK_1H, \angle PK_2H$ равны углам между боковыми гранями и основанием. Т.к. треугольники $PK_1H, PK_2H, ...$ равны (как прямоугольные по двум катетам), то и углы $\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...$ равны.

5) Докажем, что из $(d)$ следует $(b)$ .

Аналогично четвертому пункту треугольники $PK_1H, PK_2H, ...$ равны (как прямоугольные по катету и острому углу), значит, равны отрезки $HK_1=HK_2=...=HK_n$ . Значит, по определению, $H$ – центр вписанной в основание окружности. Но т.к. у правильных многоугольников центры вписанной и описанной окружности совпадают, то $H$ – центр описанной окружности. Чтд.

Следствие

Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.

Определение

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой .
Апофемы всех боковых граней правильной пирамиды равны между собой и являются также медианами и биссектрисами.

Важные замечания

1. Высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения высот (или биссектрис, или медиан) основания (основание – правильный треугольник).

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – квадрат).

3. Высота правильной шестиугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – правильный шестиугольник).

4. Высота пирамиды перпендикулярна любой прямой, лежащей в основании.

Определение

Пирамида называется прямоугольной , если одно ее боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Важные замечания

1. У прямоугольной пирамиды ребро, перпендикулярное основанию, является высотой пирамиды. То есть $SR$ – высота.

2. Т.к. $SR$ перпендикулярно любой прямой из основания, то $\triangle SRM, \triangle SRP$ – прямоугольные треугольники.

3. Треугольники $\triangle SRN, \triangle SRK$ – тоже прямоугольные.
То есть любой треугольник, образованный этим ребром и диагональю, выходящей из вершины этого ребра, лежащей в основании, будет прямоугольным.

\[{\Large{\text{Объем и площадь поверхности пирамиды}}}\]

Теорема

Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды: \

Следствия

Пусть $a$ – сторона основания, $h$ – высота пирамиды.

1. Объем правильной треугольной пирамиды равен $V_{\text{прав.треуг.пир.}}=\dfrac{\sqrt3}{12}a^2h$ ,

2. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен $V_{\text{прав.четыр.пир.}}=\dfrac13a^2h$ .

3. Объем правильной шестиугольной пирамиды равен $V_{\text{прав.шест.пир.}}=\dfrac{\sqrt3}{2}a^2h$ .

4. Объем правильного тетраэдра равен $V_{\text{прав.тетр.}}=\dfrac{\sqrt3}{12}a^3$ .

Теорема

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему.

\[{\Large{\text{Усеченная пирамида}}}\]

Определение

Рассмотрим произвольную пирамиду $PA_1A_2A_3...A_n$ . Проведем через некоторую точку, лежащую на боковом ребре пирамиды, плоскость параллельно основанию пирамиды. Данная плоскость разобьет пирамиду на два многогранника, один из которых – пирамида ($PB_1B_2...B_n$ ), а другой называется усеченная пирамида ($A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n$ ).

Усеченная пирамида имеет два основания – многоугольники $A_1A_2...A_n$ и $B_1B_2...B_n$ , которые подобны друг другу.

Высота усеченной пирамиды – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки верхнего основания к плоскости нижнего основания.

Важные замечания

1. Все боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.

2. Отрезок, соединяющий центры оснований правильной усеченной пирамиды (то есть пирамиды, полученной сечением правильной пирамиды), является высотой.

Пирамида — это многогранник , у которого одна грань — основание пирамиды — произвольный многоугольник, а остальные — боковые грани — треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр опущенный из вершины пирамиды на ее основание, называется высотой пирамиды . Пирамида называется треугольной, четырехугольной, и т.д., если основанием пирамиды является треугольник, четырехугольник и т.д. Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр. Четырехугольная — пятигранник и т.д.

Пирамида , Усеченная Пирамида

Правильная пирамида

Если основание пирамиды — правильный многоугольник , а высота опускается в центр основания, то — пирамида правильная. В правильной пирамиде все боковые ребра равны, все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Высота треугольника боковой грани правильной пирамиды называется — апофема правильной пирамиды .

Усеченная пирамида

Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части. Часть пирамиды между ее основанием и этим сечением — это усеченная пирамида . Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований. Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды. Усеченная пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена, была правильной. Все боковые грани правильной усеченной пирамиды — это равные равнобокие трапеции. Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды называется — апофема правильной усеченной пирамиды .

Определение. Боковая грань - это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).

Определение. Боковые ребра - это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.

Определение. Высота пирамиды - это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.

Определение. Апофема - это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.

Определение. Диагональное сечение - это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.

Определение. Правильная пирамида - это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.

Объём и площадь поверхности пирамиды

Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту:

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).

Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.

Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.

Свойства правильной пирамиды

1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.

2. Все боковые ребра равны.

3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.

4. Апофемы всех боковых граней равны.

5. Площади всех боковых граней равны.

6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.

7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.

8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.

9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n , где n - это количество углов в основании пирамиды.

Связь пирамиды со сферой

Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.

Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.

В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Связь пирамиды с конусом

Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.

Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.

Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.

Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Связь пирамиды с цилиндром

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.

Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Определение. Усеченная пирамида (пирамидальная призма) - это многогранник, который находится между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом пирамида имеет большую основу и меньшую основу, которая подобна большей. Боковые грани представляют собой трапеции.

Определение. Треугольная пирамида (четырехгранник) - это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками.

В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.

Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол .

Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).

Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).

Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.

Определение. Наклонная пирамида - это пирамида в которой одно из ребер образует тупой угол (β) с основанием.

Определение. Прямоугольная пирамида - это пирамида в которой одна из боковых граней перпендикулярна к основанию.

Определение. Остроугольная пирамида - это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.

Определение. Тупоугольная пирамида - это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.

Определение. Правильный тетраэдр - четырехгранник у которого все четыре грани - равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.

Определение. Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.

Определение. Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание - правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.

Определение. Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.

Определение. Звездная пирамида называется многогранник у которого основой является звезда.

Определение. Бипирамида - многогранник, состоящий из двух различных пирамид (также могут быть срезаны пирамиды), имеющих общую основу, а вершины лежат по разные стороны от плоскости основания.

Как можно построить пирамиду? На плоскости р построим какой-либо многоугольник, например пятиугольник ABCDE. Вне плоскости р возьмем точку S. Соединив точку S отрезками со всеми точками многоугольника, получим пирамиду SABCDE (рис.).

Точка S называется вершиной , а многоугольник ABCDE - основанием этой пирамиды. Таким образом, пирамида с вершиной S и основанием ABCDE - это объединение всех отрезков , где М ∈ ABCDE.

Треугольники SAB, SBC, SCD, SDE, SEA называются боковыми гранями пирамиды, общие стороны боковых граней SA, SB, SC, SD, SE - боковыми ребрами .

Пирамиды называются треугольными, четырехугольными, п-угольными в зависимости от числа сторон основания. На рис. даны изображения треугольной, четырехугольной и шестиугольной пирамид.

Плоскость, проходящая через вершину пирамиды и диагональ основания, называется диагональной , а полученное сечение - диагональным. На рис. 186 одно из диагональных сечений шестиугольной пирамиды заштриховано.

Отрезок перпендикуляра, проведенного через вершину пирамиды к плоскости ее основания, называется высотой пирамиды (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Пирамида называется правильной , если основание пирамиды-правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в его центр.

Все боковые грани правильной пирамиды - конгруэнтные равнобедренные треугольники. У правильной пирамиды все боковые ребра конгруэнтны.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой пирамиды. Все апофемы правильной пирамиды конгруэнтны.

Если обозначить сторону основания через а , а апофему через h , то площадь одной боковой грани пирамиды равна 1 / 2 ah .

Сумма площадей всех боковых граней пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды и обозначается через S бок.

Так как боковая поверхность правильной пирамиды состоит из n конгруэнтных граней, то

S бок. = 1 / 2 ahn = Ph / 2 ,

где Р - периметр основания пирамиды. Следовательно,

S бок. = Ph / 2

т. е. площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле

S = S ocн. + S бок. .

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания S ocн. на высоту Н:

V = 1 / 3 S ocн. Н.

Вывод этой и некоторых других формул будет дан в одной из последующих глав.

Построим теперь пирамиду другим способом. Пусть дан многогранный угол, например, пятигранный, с вершиной S (рис.).

Проведем плоскость р так, чтобы она пересекала все ребра данного многогранного угла в разных точках А, В, С, D, Е (рис.). Тогда пирамиду SABCDE можно рассматривать как пересечение многогранного угла и полупространства с границей р , в котором лежит вершина S.

Очевидно, что число всех граней пирамиды может быть произвольным, но не меньшим четырех. При пересечении трехгранного угла плоскостью получается треугольная пирамида, у которой четыре грани. Любую треугольную пирамиду иногда называют тетраэдром , что означает четырехгранник.

Усеченную пирамиду можно получить, если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания.

На рис. дано изображение четырехугольной усеченной пирамиды.

Усеченные пирамиды также называются треугольными, четырехугольными, n-угольными в зависимости от числа сторон основания. Из построения усеченной пирамиды следует, что она имеет два основания: верхнее и нижнее. Основания усеченной пирамиды - два многоугольника, стороны которых попарно параллельны. Боковые грани усеченной пирамиды - трапеции.

Высотой усеченной пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из любой точки верхнего основания к плоскости нижнего.

Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и плоскостью сечения, параллельной основанию. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды (трапеции) называется апофемой .

Можно доказать, что у правильной усеченной пирамиды боковые ребра конгруэнтны, все боковые грани конгруэнтны, все апофемы конгруэнтны.

Если в правильной усеченной n -угольной пирамиде через а и b n обозначить длины сторон верхнего и нижнего оснований, а через h - длину апофемы, то площадь каждой боковой грани пирамиды равна

1 / 2 (а + b n ) h

Сумма площадей всех боковых граней пирамиды называется площадью ее боковой поверхности и обозначается S бок. . Очевидно, что для правильной усеченной n -угольной пирамиды

S бок. = n 1 / 2 (а + b n ) h .

Так как па = Р и nb n = Р 1 - периметры оснований усеченной пирамиды, то

S бок. = 1 / 2 (Р + Р 1) h ,

т. е. площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна половине произведения суммы периметров ее оснований на апофему.

Сечение, параллельное основанию пирамиды

Теорема. Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то:

1) боковые ребра и высота разделятся на пропорциональные части;

2) в сечении получится многоугольник, подобный основанию;

3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Теорему достаточно доказать для треугольной пирамиды.

Так как параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым, то (АВ) || (А 1 В 1), (BС) ||(В 1 C 1), (AС) || (A 1 С 1) (рис.).

Параллельные прямые рассекают стороны угла на пропорциональные части, и поэтому

$$ \frac{\left|{SA}\right|}{\left|{SA_1}\right|}=\frac{\left|{SB}\right|}{\left|{SB_1}\right|}=\frac{\left|{SC}\right|}{\left|{SC_1}\right|} $$

Следовательно, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 и

$$ \frac{\left|{AB}\right|}{\left|{A_{1}B_1}\right|}=\frac{\left|{SB}\right|}{\left|{SB_1}\right|} $$

ΔSBC ~ ΔSB 1 C 1 и

$$ \frac{\left|{BC}\right|}{\left|{B_{1}C_1}\right|}=\frac{\left|{SB}\right|}{\left|{SB_1}\right|}=\frac{\left|{SC}\right|}{\left|{SC_1}\right|} $$

Таким образом,

$$ \frac{\left|{AB}\right|}{\left|{A_{1}B_1}\right|}=\frac{\left|{BC}\right|}{\left|{B_{1}C_1}\right|}=\frac{\left|{AC}\right|}{\left|{A_{1}C_1}\right|} $$

Соответственные углы треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 конгруэнтны, как углы с параллельными и одинаково направленными сторонами. Поэтому

ΔABC ~ ΔA 1 B 1 C 1

Площади подобных треугольников относятся, как квадраты соответствующих сторон:

$$ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1 B_1 C_1}}=\frac{\left|{AB}\right|^2}{\left|{A_{1}B_1}\right|^2} $$

$$ \frac{\left|{AB}\right|}{\left|{A_{1}B_1}\right|}=\frac{\left|{SH}\right|}{\left|{SH_1}\right|} $$

Следовательно,

$$ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1 B_1 C_1}}=\frac{\left|{SH}\right|^2}{\left|{SH_1}\right|^2} $$

Теорема. Если две пирамиды с равными высотами рассечены на одинаковом расстоянии от вершины плоскостями, параллельными основаниям, то площади сечений пропорциональны площадям оснований.

Пусть (черт. 84) В и В 1 - площади оснований двух пирамид, H - высота каждой из них, b и b 1 - площади сечений плоскостями, параллельными основаниям и удалёнными от вершин на одно и то же расстояние h .

Согласно предыдущей теореме мы будем иметь:

$$ \frac{b}{B}=\frac{h^2}{H^2}\: и \: \frac{b_1}{B_1}=\frac{h^2}{H^2} $$
откуда
$$ \frac{b}{B}=\frac{b_1}{B_1}\: или \: \frac{b}{b_1}=\frac{B}{B_1} $$

Следствие. Если В = В 1 , то и b = b 1 , т. е. если у двух пирамид с равными высотами основания равновелики, то равновелики и сечения, равноотстоящие от вершины.

Другие материалы

Решая задачу C2 методом координат, многие ученики сталкиваются с одной и той же проблемой. Они не могут рассчитать координаты точек , входящих в формулу скалярного произведения. Наибольшие трудности вызывают пирамиды . И если точки основания считаются более-менее нормально, то вершины - настоящий ад.

Сегодня мы займемся правильной четырехугольной пирамидой. Есть еще треугольная пирамида (она же - тетраэдр ). Это более сложная конструкция, поэтому ей будет посвящен отдельный урок.

Для начала вспомним определение:

Правильная пирамида - это такая пирамида, у которой:

В основании лежит правильный многоугольник: треугольник, квадрат и т.д.;

Высота, проведенная к основанию, проходит через его центр.

В частности, основанием четырехугольной пирамиды является квадрат . Прямо как у Хеопса, только чуть поменьше.

Ниже приведены расчеты для пирамиды, у которой все ребра равны 1. Если в вашей задаче это не так, выкладки не меняются - просто числа будут другими.

Вершины четырехугольной пирамиды

Итак, пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD , где S - вершина, основание ABCD - квадрат. Все ребра равны 1. Требуется ввести систему координат и найти координаты всех точек. Имеем:

Вводим систему координат с началом в точке A :

Ось OX направлена параллельно ребру AB ;
Ось OY - параллельно AD . Поскольку ABCD - квадрат, AB ⊥ AD ;
Наконец, ось OZ направим вверх, перпендикулярно плоскости ABCD .

Теперь считаем координаты. Дополнительное построение: SH - высота, проведенная к основанию. Для удобства вынесем основание пирамиды на отдельный рисунок. Поскольку точки A , B , C и D лежат в плоскости OXY , их координата z = 0. Имеем:

A = (0; 0; 0) - совпадает с началом координат;
B = (1; 0; 0) - шаг на 1 по оси OX от начала координат;
C = (1; 1; 0) - шаг на 1 по оси OX и на 1 по оси OY ;
D = (0; 1; 0) - шаг только по оси OY .
H = (0,5; 0,5; 0) - центр квадрата, середина отрезка AC .

Осталось найти координаты точки S . Заметим, что координаты x и y точек S и H совпадают, поскольку они лежат на прямой, параллельной оси OZ . Осталось найти координату z для точки S .

Рассмотрим треугольники ASH и ABH :

AS = AB = 1 по условию;
Угол AHS = AHB = 90°, поскольку SH - высота, а AH ⊥ HB как диагонали квадрата;
Сторона AH - общая.

Следовательно, прямоугольные треугольники ASH и ABH равны по одному катету и гипотенузе. Значит, SH = BH = 0,5 · BD . Но BD - диагональ квадрата со стороной 1. Поэтому имеем:

Итого координаты точки S :

В заключение, выпишем координаты всех вершин правильной прямоугольной пирамиды:

Что делать, когда ребра разные

А что, если боковые ребра пирамиды не равны ребрам основания? В этом случае рассмотрим треугольник AHS :

Треугольник AHS - прямоугольный , причем гипотенуза AS - это одновременно и боковое ребро исходной пирамиды SABCD . Катет AH легко считается: AH = 0,5 · AC . Оставшийся катет SH найдем по теореме Пифагора . Это и будет координата z для точки S .

Задача. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD , в основании которой лежит квадрат со стороной 1. Боковое ребро BS = 3. Найдите координаты точки S .

Координаты x и y этой точки мы уже знаем: x = y = 0,5. Это следует из двух фактов:

Проекция точки S на плоскость OXY - это точка H ;
Одновременно точка H - центр квадрата ABCD , все стороны которого равны 1.

Осталось найти координату точки S . Рассмотрим треугольник AHS . Он прямоугольный, причем гипотенуза AS = BS = 3, катет AH - половина диагонали. Для дальнейших вычислений нам потребуется его длина:

Теорема Пифагора для треугольника AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Имеем:

Итак, координаты точки S :

Разделы