Соотношения между сторонами и углами треугольника: система уроков с применением уровневой дифференциации.

Главная

11 класс

Вариант № 1.

1. Чему равны значения синуса и косинуса угла, равного 135°.

2. Найдите угол , если его косинус равен -.

3. Найдите угол , если его синус равен. Сколько решений имеет задача?

4. Стороны прямоугольного треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Найти синус косинус и тангенс меньшего острого угла этого треугольника.

5. Катет прямоугольного треугольника равен 6 дм, а прилежащий угол равен 60º. Найдите гипотенузу этого треугольника.

. Верны ли его вычисления?

. б) cos α, если sin α = . в)tg α, если cos α = .

); б) В(7;3); в) С ().

9. Угол между лучом ОМ, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью ОХ равен α. Найдите координаты точки М, если: а) ОМ = 4; α = 60º. б) ОМ = 8; α = 150º.

10. Для треугольника АВС справедливо равенство: а) АВ² = ВС² + АС² -2 ВС· АС· cos
ВСА;

б) ВС² = АВ² + АС² -2 АВ· АС· cos
АВС; в) АС² = АВ² + ВС² -2 АВ· ВС· cos
АСВ.

11.Площадь треугольника MNK равна: а) MN · MK · sin
MNK; б) MК · NK · sin
MNK;

в) MN · NK · sin
MNK.

12.Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то эта сторона лежит против: а) тупого угла; б) прямого угла; в) острого угла.

13.В треугольнике АВС известны длины сторон АВ и ВС. Чтобы найти сторону АС, необходимо знать величину: а) угла А; б) угла В; в) угла С.

14. Треугольник со сторонами 5; 6 и 7 см: а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный.

15. В треугольнике АВС
А = 30°, ВС = 3. Радиус описанной около АВС окружности равен:

а) 1,5; б)
; в) 3.

16. Если в треугольнике MNK
M= 76º ,
N = 60º, то наименьшей стороной треугольника является сторона: а) MN; б) NK; в) MK.

17. В треугольнике CDE: а) CD · sin C = DE · sin E; б) CD · sin Е= DE · sinС; в) CD · sin D = DE · sin E.

18. По теореме синусов: а) Стороны треугольника обратно пропорциональны синусам противолежащих углов; б) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов; в) Стороны треугольника пропорциональны синусам прилежащих углов.

19. В треугольнике АВС АВ= 10 см, ВС = 5 см. Найти отношение синуса А к синусу С: а) ; б) 5; в) 2.

20. Найдите площадь треугольника, если
А = 45º, АВ = 4, АС = 7.

21. В треугольнике MNK
N = 60º, NP- биссектриса, MN = NK, MN =2. Вычислите скалярное произведение векторов: а)
; б)
; в)
.

и
.

23. Найдите y, если известно, что
и
перпендикулярны.

, если
а угол между ними равен 120º

25.Скалярное произведение векторов положительное число, что можно сказать об угле между ними?

, если векторы противоположно направлены и
.

Зачёт по геометрии в 9 классе.

Тема: «Соотношение между сторонами и углами треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов. Скалярное произведение векторов».

Вариант № 2.

1. Чему равны значения синуса и косинуса угла, равного 150°.

2. Найдите угол , если его косинус равен.

3. Найдите угол , если его синус равен -. Сколько решений имеет задача?

4. Стороны прямоугольного треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Найти синус косинус и тангенс большего острого угла этого треугольника.

5. Катет прямоугольного треугольника равен 8 см, а противолежащий угол равен 45º. Найдите гипотенузу этого треугольника.

6. Вычисляя синус острого угла, ученик получил число
. Верны ли его вычисления?

7. Найдите а) sin α, если cos α = . б) cos α, если sin α = . в) в)tg α, если cos α = .

8. Проверьте, лежат ли на единичной окружности точки: А (
); б) В(2;3); в) С (
).

9. Угол между лучом ОР, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью ОХ равен α. Найдите координаты точки Р, если: а) ОР = 6; α = 30º. б) ОР = 8; α = 120º.

10. Для треугольника MNK справедливо равенство: а) MN² = MK² + NK² -2 MK· NK· cos
MKN;

б) MK² = MN² + NK² -2 MN· NK· cos
MKN; в) NK² = MN² + MK² -2 MN· MK· cos
MKN.

11.Площадь треугольника CDE равна: а) CD · DE · sin
CDE; б) CD · DE;

в) CD · DE · sin
CDE.

12.Если квадрат стороны треугольника больше суммы квадратов двух других его сторон, то эта сторона лежит против: а) острого угла; б) прямого угла; в) тупого угла

13.В треугольнике MNK известны длина стороны MN и величина угла К. Чтобы найти сторону NK, необходимо знать: а) величину угла M; б) длину стороны MK; в) значение периметра MNK.

14. Треугольник со сторонами 2; 3 и 4 см: а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный.

15. В треугольнике MNK
K = 60°, MN = 2. Радиус описанной около MNK окружности равен:

а)4; б); в) 2.

16. Если в треугольнике АВС
А = 48º ,
В = 72º, то наибольшей стороной треугольника является сторона: а) АВ; б) АС; в) ВС.

17. В треугольнике АВС: а) АВ · sin C = АС · sin С; б) АВ · sin В= АС · sinС; в) АВ · sin А = ВС · sin В.

18. По теореме о площади треугольника: а) Площадь треугольника равна произведению двух его сторон на синус угла между ними; а) Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на угол между ними; в) Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

19. В треугольнике АВС АВ= 6 см, ВС = 2 см. Найти отношение синуса А к синусу С: а) ; б); в) 3.

20. Найдите площадь треугольника АВС, если
С = 60º, АС =6, ВС = 8.

21. В треугольнике АВС
В = 90º, АВ = ВС, ВD – медиана треугольника, АС =
. Вычислите скалярное произведение векторов: а)
; б)
; в)
.

22. Вычислите косинус угла между векторами
и
.

23. Найдите х, если известно, что
и
перпендикулярны.

24. Вычислите скалярное произведение векторов
, если
а угол между ними равен135º

25.Скалярное произведение векторов отрицательное число, что можно сказать об угле между ними?

26. Найдите скалярное произведение векторов
, если векторы сонаправлены и

Вариант 1

Выступление на кафедре естественнонаучного цикла.
Тема:
«Технология уровневой дифференциации в личностно ориентированном обучении математике»

Под дифференциацией понимают систему обучения, при которой каждый ученик, овладевая некоторым минимумом общеобразовательной подготовки, являющейся общезначимой и обеспечивающей возможность адаптации в постоянно изменяющихся жизненных условиях, право и гарантированную возможность уделять преимущест-венное внимание тем направлениям, которые в наибольшей степени отвечают его склонностям.
Различают два вида дифференциации: уровневая дифференциация и профильная дифференциация.
Уровневая дифференциация выражается в том, что, обучаясь в одном классе, по одной программе и учебнику. Дети могут усваивать материал на различных уровнях. Определяющим при этом является уровень обязательной подготовки. Его достижение свидетельствует о выполнении учеником минимально необходимых требований к усвоению содержания. На его основе формируются более высокие уровни овладения материалом. Учитывая свои способности, интересы, потребности, ученик получает возможность выбирать объём и глубину усвоения учебного материала, обязательных результатов обучения становится тем объективным критерием, на основе которого может видоизменяться ближайшая цель каждого ученика и перестраиваться содержание его работы: либо его усилия направляются на овладения материалом на более высоком уровне, либо продолжается работа по формированию важнейших опорных знаний и умений.
Группы могут формироваться для работы на уроках, на дополнительных занятиях. В процессе самостоятельной деятельности учащихся не стоит ограничиваться лишь дифференцированным подходом, следует варьировать индивидуальную, фронтальную формы работы в зависимости от этапа изучения темы, от потребности учащихся в помощи учителю.
Важно, что дети могут оценить собственные силы и выбрать для себя уровень целей, соответствующий их потребностям и возможностям в данный момент, а со временем – перейти на более высокий уровень.

Технология уровневой дифференциации.
Цели.
Организовать учебный процесс на основе учёта индивидуальных особенностей личности, т.е. на уровне возможностей и способностей.
Основная задача: увидеть индивидуальность ученика и сохранить её, помочь ребёнку поверить в свои силы, обеспечить его максимальное развитие в комфортных, безкофликтных и безопасных условиях.
Описание порядка использования (применения) технологии.
По своим природным способностям, уровню восприятия, по специфике мыслительной деятельности учащиеся сильно отличаются друг от друга. Нередко в одном классе можно наблюдать школьников с противоположными друг другу уровнями развития. Данная проблема в технологии уровневой дифференциации решается введением базового уровня.
Дифференциация осуществляется не за счёт того, что одним ученикам дают меньший объём материала, а другим больший, а за счёт того, что, предлагая учащимся одинаковый его объём, учитель ориентирует их на различные уровни требований к его освоению.
Формы дифференциации:
- внешняя: осуществляется в рамках селективной системы (отбора группы учащихся для более глубокого изучения материала);
- внутренняя: основана на учёте индивидуальных особенностей учащихся класса (вариативность темпа изучения материала, дифференциация учебных заданий, выбор различных видов деятельности, степень помощи учителя).
Уровни знаний по В.П.Беспалько.
1. Фактологический уровень знаний: узнавание, называние, различение, определение по памяти (соответствует оценке «3»).
2. Описательный уровень знаний: фактологический уровень + выделение составных частей или этапов, описание на основе выделения наиболее очевидных признаков (не всегда существенных), сравнение, аналогии, свои примеры (соответствует оценке «4»).
3. Доказательный уровень знаний: фактологический уровень+ описательный уровень+
+ выделение существенных признаков объектов и явлений, установление причинно-следственных связей, прогнозирование развития событий в новых условиях, аргументация своего мнения, своя формулировка определения (соответствует оценке «5»).
4. Творческий уровень знаний: фактологический уровень+ описательный уровень+
+ доказательный уровень + применение знаний в новых условиях, собственный взгляд на новые знания, включение их в общую систему знаний каждого учащегося (уровень олимпиадных заданий).
Данная технология обеспечивает определенный уровень овладения знаниями, умениями и навыками, определенную степень самостоятельности детей в учении.
При повторении материала применяется методика свободного выбора разноуровневых заданий.
При контроле знаний дифференциация углубляется и переходит в индивидуализацию.
Переход к новому материалу осуществляется только после овладения учащимися общим для всех уровнем образовательного стандарта.
Технология уровневой дифференциации направлена не только на детей, испытывающих трудности в обучении, но и на одарённых детей.
Результат использования технологии.
1.Обеспечение определённого уровня овладения знаниями, умениями и навыками (от репродуктивного до творческого).
2.Обеспечение определённой степени самостоятельности детей в учении (от постоянной помощи со стороны учителя - работа по образцу, инструктаж и т.д. до полной самостоятельности).
3. Учащиеся получают право выбирать тот уровень усвоения, который соответствует их потребностям, интересам и способностям.
Методическая разработка урока геометрии в 9 классе по теме: «Синус, косинус, и тангенс угла» с использованием технологии уровневой дифференциации.

Цели урока:
- Совершенствование умений находить синусы, косинусы, тангенсы для углов от 00 до 1800.
- Применять основное тригонометрическое тождество и вычислять координаты точки.

План урока:
1. Организационный момент.
3. Вывод формулы для вычисления координат точки.
4. Решение задач (закрепление формулы для вычисления координат точки, не лежащей на единичной полуокружности).
5. Самостоятельная работа.
6. Подведение итогов урока. Домашняя работа.

Ход урока
2. Актуализация знаний учащихся.
а) Индивидуальная работа по карточкам.

1 уровень (фактологический)
карточка №1
1. Выясните, принадлежат ли единичной полуокружности точки:

А, В
3. Найдите синусы, косинусы углов АОВ, если О – начало координат, а координаты точек:
А (1;0) ; В; С.

2 уровень (описательный)
карточка№2
1. Найдите угол ВОС, если О – начало координат, а координаты точек: В; С
2. Найдите: sin α, если cos α = .
3. Вычислите синусы, косинусы, тангенсы углов 450, 1200.
Доказательный уровень
б) Решение задач на готовых чертежах с последующей самопроверкой.
1. Найти: х; у.
У
В(х; 1/2) А(1/2; у)
х
-1 0 1
2. Найти:
у
С() D
х
-1 о 1
3. Найти: координаты точек А, В. АО = , ОВ = 2, = 900.

У
В
А
х
-1 0 1

На доске зафиксировать все формулы, используемые при решении задач.
sin α = у; 0 ≤ sin α ≤ 1 cos α = х; -1 ≤ cos α ≤ 1
sin2 α + cos2 α = 1
Точка А лежит на ед. полуокр. Если: 1. -1 ≤ х ≤ 1;
2. 0 ≤ у ≤ 1;
3. х2 + у2 = 1
(При решении задачи №3 возникает вопрос найти координаты точки, не лежащей на единичной полуокружности).
3. Вывод формулы для вычисления координат точки не лежащей на единичной полуокружности.

4. Решить самостоятельно.
(группа 1). Найти: S АВО, если В, А()
В

(группа 2). Разобрать решение задачи №1018.
5. Самостоятельная работа с последующей самопроверкой.
1 вариант.
1 УРОВЕНЬ
Уметь применять основное тригонометрическое тождество для нахождения sinα cosα tgα 1. Sinα , если cosα = - .

а) В б)А (2;3) в) С

Уметь находить координаты точки. 3.Угол между лучом ОР,пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен α. Найдите координаты точки М,если ОР= 6 , α= 300
II УРОВЕНЬ
Уметь находить координаты точки. 1.Найдите угол между лучом ОР,пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох,если точка.

Cos2450 – sin1500+cos1200

1 вариант.
1 УРОВЕНЬ
Уметь применять основное тригонометрическое тождество для нахождения sinα cosα tgα 1. Sinα , если cosα = .

Знать условия принадлежности точки с координатами (х;у) единичной полуокружности 2.Проверьте,лежат ли на единичной окружности точки:
а) В б) А (7;2) в) С

Уметь находить координаты точки. 3.Угол между лучом ОМ,пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен α. Найдите координаты точки М,если ОМ= 4 , α= 600
II УРОВЕНЬ
Уметь находить координаты точки. 1.Найдите угол между лучом ОМ,пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох,если точка М(-4;4).
Уметь применять формулы приведения для нахождения значений синуса косинуса тангенса для углов 1200 ,1350,1500. 2Упростите выражение:
Cos1200 – 2sin2 1350+cos600

Ответы внести в оценочный лист (листы сдаются учителю).
Ф.И.______________________________________КЛАСС__________ ВАРИАНТ______

1 УРОВЕНЬ 2 УРОВЕНЬ
№ 1 2 3 1 2
ОТВЕТЫ

А)
б)
в)

6. Домашняя работа: Анализ самостоятельной работы.

МОУ « Свердловская основная общеобразовательная школа»

Ленинск – Кузнецкий район

Кемеровская область.

Соотношения между сторонами

и углами треугольника :

система уроков с применением уровневой дифференциации.

Составиль:

учитель математики

Воробьева Вера Анатольевна.

2010 год.

Аннотация _______________________________________________________ 3

Пояснительная записка_____________________________________4 - 5

Технологическая карта темы_________________________________6

Конспект 1 _______________________________________________7 – 11

Конспект 2_______________________________________________ 12 – 15

Конспект 3_______________________________________________ 16 – 19

Конспект 4_______________________________________________ 20 – 22

Конспект 5_______________________________________________ 23 - 26

Аннотация.

В данной работе представлена система уроков по теме «Соотношения между

сторонами и углами треугольника» с применением уровневой дифференциации. В основу разработок этой системы уроков положен играющий ведущую роль в современной педагогической психологии личностно- деятельностный подход к обучению. Личностно - деятельностный подход к обучению предполагает, что все воздействия на учащегося как на субъект обучения с целью управления его учебной деятельностью преломляются через призму личности обучаемого, его индивидуально-психологические и психофизиологические особенности. Из этого следует, что достигнуть оптимальных результатов обучения каждого учащегося можно лишь в том случае, если преподавание предмета вести на нескольких уровнях сложности, обеспечивающих постепенный переход от уровня актуального развития к зоне ближайшего развития. Система уроков состоит из пяти конспектов. На каждом уроке проводится самостоятельная работа по уровням, причем каждый учащийся начинает с решения задач по индивидуальному варианту первого уровня сложности, однотипных с теми, которые рассматривались на предыдущем этапе, решаются специально составленные учебные задачи. Содержание этих задач диктуется, с одной стороны, требованием доступности для всех учащихся, а с другой - требованием отразить в них наиболее существенные связи и отношения между элементами изучаемых геометрических объектов. Доступность задач обеспечивается небольшим числом умозаключений, требующихся для их решения, правилами построения чертежей, а также опорой на хорошо известные учащимся ранее изученных теорем, определений и свойств треугольника. Все это позволяет вести на данном этапе фронтальную работу с классом, вовлекая в обсуждение решения задач как сильных, так и слабых учащихся. Практически в каждом конспекте присутствуют задачи на готовых чертежах, наличие которых помогает учителю наиболее рационально использовать время на уроке. Тестовые задания позволяют своевременно выявить пробелы в знаниях учащихся, экономя при этом время учителя. На пятом уроке проводится дифференцированная лабораторная работа по определению вида треугольника, которая проверяет знания у учащихся всей теории данной темы. Задание на дом дается учащимся дифференцировано.

Пояснительная записка.

Согласно деятельностному аспекту данного подхода, обучение - это двустороннее единство деятельности обучаемого и обучающего по созданию условий для формирования у учащегося структуры обобщенных умственных действий, направленных на приобретение им заданной системы знаний, умений и навыков. Со стороны учащегося процесс обучения выступает в форме учебной деятельности, которая определяется психологами как специфическая деятельность субъекта по его саморазвитию на основе решения специально поставленных учителем учебных задач. Со стороны учителя - это организация учебной деятельности учащегося, состоящая из двух взаимосвязанных компонентов: формирования ориентировочной основы действий, составляющих содержание учебной деятельности, и целенаправленного управления этой деятельностью в процессе самостоятельной работы учащегося.

Следующий этап в изучении темы - самостоятельная работа учащихся, которая проводится дифференцированно на двух или трех уровнях сложности - в зависимости от объема темы.. Самостоятельная работа каждого учащегося начинается с решения по индивидуальному варианту задач первого уровня сложности, однотипных с теми, которые рассматривались на предыдущем этапе. Однако функция этих задач в процессе обучения изменяется: если на предыдущем этапе они служили для раскрытия деятельности, формирования ориентировочной основы составляющих ее умственных действий, то теперь выступают как средство усвоения этой деятельности.

Сильные учащиеся, справившиеся с набором задач первого уровня сложности, переходят к самостоятельной работе второго, более высокого уровня сложности. Слабым учащимся время, отведенное на самостоятельную работу, полностью предоставляется для решения задач первого уровня.

Образовательные цели данных уроков:

Изучение и первичное закрепление понятий синуса, косинуса и тангенса (урок 1);

Изучение и закрепление теоремы о площади треугольника (урок 2);

Изучение и закрепление теорем синусов и косинусов (урок 3);

Решение треугольников с помощью теорем синусов и косинусов (уроки 4-5).

Изложение материала ведется с опорой на уже имеющиеся у учащихся знания соотношений между сторонами и углами прямоугольного треугольника, теоремы о сумме углов треугольника, теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Ниже приведена технологическая карта темы и подробные конспекты пяти уроков.

Предлагаемая система уроков геометрии ориентирована на работу по учебнику Л.С.Атанасяна. (Геометрия: Учебник для 7-9 классов» (М.: Просвещение, 2009); в разработке все ссылки даны на теоремы, номера задач и т.д. этого учебника

Технологическая карта темы

«Соотношения между сторонами и углами треугольника».

Что должен знать ученик, приступая к изучению темы:

Теорема : Сумма углов треугольника равна 180 0 .

Теорема : В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол;

2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Следствие 1 : В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Следствие 2 : Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Определение 1 : Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется

отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Определение 2 : Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется

отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Определение 3 : Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется

отношение противолежащего катета к прилежащему.

Таблица значений синусов, косинусов и тангенсов некоторых углов:

30 0

45 0

60 0

90 0

sin α

cos α

tg α

Что должен узнать ученик в процессе изучения темы:

Определение 1 : Для любого острого угла α из промежутка 0 0 ≤ α ≤ 180 0 синусом

угла α называется ордината (у ) точки М, а косинусом угла α –

абсцисса (х) точки М.

Определение 2 : Тангенсом угла α (α ≠ 90 0 )называется отношение

Теорема : Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на

синус угла между ними.

Теорема (синусов) : Стороны треугольника пропорциональны синусам

противолежащих углов.

Теорема (косинусов) :

других его сторон минус удвоенное произведение этих

сторон на косинус угла между ними.

Конспект 1.

Тема: Синус, косинус и тангенс угла.

Тип урока:

Цели урока :

Ввести понятия синуса, косинуса и тангенса для углов от 0° до 180°.

Вывести основное тригонометрическое тождество и формулы для вычисления координат точки.

Рассмотреть формулы приведения sin (90° - α), cos (90° - α), sin (180° - α),

cos (180° - α)

Ход урока.

I . Организационный момент

II .Актуализация знаний учащихся.

Теоретический опрос

Что называется синусом острого угла прямоугольного треугольника?

Что называется косинусом острого угла прямоугольного треугольника?

Что называется тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

ПI . Математический диктант.

1 вариант

1. Найдите синус угла А. А

2. Найдитетангенс угла В . 8

3. Чему равен косинус 60 0 ? В 6 С

4. Найдите cos α, если sin α = .

5. Найдите tg α, если cos α = .

6. В треугольнике АВС < С = 90 0 , sin А = . Найдите sin В:

7. Упростите выражение: sin 30 0 cos 45 0 tg 60 0

2 вариант. В

1. Найдитекосинус угла В.

2. Тангенс угла А равен:

12 13

3. Синус 30 0 равен:

С 5 А

4. Найдите sin α, если cos α = .

5. Найдите tg α если sin α = .

6. В треугольнике АВС < С= 90 0 , sin А = . Найдите cos В:

7. Упростите выражение: sin 45 0 cos 60 0 tg 30 0

Ввести понятия синуса, косинуса, тангенса для углов от 0 0 до 180 0 , используя

единичную полуокружность.

sin α =
= = у
sin α = у;

0 ≤ sin α ≤ 1.

cos α =
= = х
cos α = х;

1 ≤ cos α ≤ 1

tg α =
(α ≠ 90 0 )

∆ОММ 1 - прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора: OM 1 2 + MM 1 2 = ОМ 2

x 2 + у 2 = 1 2

Основное тригонометрическое тождество:

сos 2 α + sin 2 α= 1

2. Формулы приведения:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

sin (180° - α) = sin α

cos (180° - α) = -cos α

З. Составить таблицу значений синуса, косинуса и тангенса для углов 0°, 30 о, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°,150°, 180°.

30 О

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

sin α

c osα

t gα

Значения синуса, косинуса, тангенса для углов от 0° до 90° учащиеся заполняют самостоятельно (это материал 8 класса). Значения синуса, косинуса, тангенса для углов 120°, 135°, 150°, 180° заполняют с помощью учителя, используя формулы приведения, единичную полуокружность и формулы sin α = у, cos α = х , t g α =

Например:

а ) sin 120° = sin(180° - 60°) = sin 60° = .

б ) tg150 0 =
= : (- ) = - = -

в) sin 180° = О (ордината точки М при повороте радиуса ОМ на 180° от

положительной полуоси Ох равна о).

4. Вывести формулы для вычисления координат точки.

ОМ cos α ; sin α

ОА = ОА ОМ

х = ОА cos α ; у = ОА sin α

ОА ОА cos α ; ОА sin α

IV . Закрепление нового материала.

1.Разобрать решение задач №30 (а), 31 (а,в) из рабочей тетради.

2.Самостоятельно решить всем сидящим на 1 варианте задачу №30 (б), на 2 варианте – №31 (б) из рабочей тетради с последующей взаимопроверкой между парой, сидящей за одной партой

Задача №30.

Найдите по рисунку синус, косинус и тангенс угла:

а) АОМ;

б) АОК;

Решение:

а) Угол АОМ образован лучом ОМ и положительной полуосью абсцисс, точка М лежит на единичной полуокружности. Значит, синус угла АОМ равен ординате точки М, т. е. sin AOM = 0,6. Косинус угла АОМ равен абсциссе точки М, т. е.

cos AOM = 0,8.

Тангенс вен
, т . е . tg AOM = AM: ОА =

б) Синус угла ОАК равен ординате точки К, т. е.

sin AOK = 0,8.

Косинус угла АОК равен абc циссе точки К, т. е. cos AOK = - 0,6.

Тангенс угла АОК равен co s AOK , т. е. tg AOK = -

Ответ:

а ) sinAOM = 0,6; cos AOM = 0,8; tg AOM = .

б ) sin O AK= 0,8; cos AOK =- 0,6 ; tg AOK=-

Задача № 31.

Принадлежит ли единичной полуокружности точка:

а) Р (- 0,6 ; 0,8) ; б) Т (; ) ; в) H ( ; ) .

Решение:

Точка с координатами (х; у) принадлежит единичной полуокружности, если выполнены два условия: 1) -1 ≤ х ≤ 1, 0 ≤ у ≤1 и 2) х 2 + у 2 = 1.

Рассмотрим данные точки.

а) Точка Р: х = - 0,6, у = 0,8 удовлетворяют первому условию:

1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1; х 2 + у 2 =(-0,6) 2 + 0,8 2 = 0,36 + 0,64 = 1,

следовательно, выполнено второе условие. Поэтому точка Р принадлежит единичной полуокружности.

б) Точка Т: х =, у = , следовательно, -1 ≤ х ≤ 1, 0 ≤ у ≤ 1.

() 2 + () 2 = ; ≠ 1

Следовательно, второе условие не выполнено. Поэтому точка Т не принадлежит единичной полуокружности.

в) Точка Н: х = - , у = - значит, - 1 ≤ х ≤ 1, 0 ≤ у ≤ 1. Итак,

первое условие не выполнено. х 2 + у 2 =
+
= ; ≠ 1

Следовательно, второе условие не выполнено. Поэтому точка Н не принадлежит единичной полуокружности.

Ответ:

а) принадлежит;

б) не принадлежит;

в) не принадлежит.

3. Решить самостоятельно задачи № 1012, 1015 (а, б).

Задача № 1012.

Решение:

Точка с координатами (х; у ) принадлежит единичной полуокружности, если выполняются условия: -1≤ х ≤ 1, 0 ≤ у ≤ 1 и х 2 + у 2 = 1. Точка М 1 (0; 1) удовлетворяет всем условиям она лежит на единичной полуокружности.

Точка М 2 ( ; ) удовлетворяет всем условиям, следовательно она лежит на единичной полуокружности.

Точки М 3 ( ; ) ; М 4 (- ; ) ; А (1 ; 0) ; В (- 1 ; 0) также лежат на

единичной полуокружности.

Синус < АОМ – это ордината точки М. Косинус < АОМ – это абсцисса точки М. Тангенс < АОМ равен отношению синуса к его косинусу.

М 1 (0;1)
sin АОМ 1 = 1, cos AOM 1 = 0, tg AOM 1 = 0.

М 2 ( ; ) sin АОМ 2 = , cos AOM 2 = , tg AOM 2 = : =

М 3 (; ) sin АОМ 3 = , cos AOM 3 = , tg AOM 3 = : = 1

М 4 (- ; ) sin АОМ 4 = , cos AOM 4 = - , tg AOM 4 = : (- ) = -

Задача № 1015.

Решение: а) cos α = 1 sin α =
=
= 0.

tg α = sin α : cos α = 0: 1 = 0.

б ) sin α = cos α = +
= +
= + .

Так как 0 0 < α < 90 0 cos α > 0 cos α = .

tg α = sin α : cos α = : = 1.

Ответ: а) 0 ; б) 1.

V . Подведение итогов урока.

а)

б) Провести рефлексию на уровень сложности учебного материала:

Легкий материал.

Средней трудности материал.

Трудный материал.

Домашнее задание

пп. 93 – 95, вопросы 1 – 6.

Решить задачи:

1 уровень - № 32 (из рабочей тетради), №1011, 1015 (в, г).

2 уровень - № 1011, 1015 (в, г), дополнительную задачу.

Дополнительная задача:

Точка В единичной окружности имеет координаты:

а) - ; ; б) - ; ; в) - ;

Найдите угол, который образует луч ОВ с положительной полуосью Ох.

Конспект 2.

Тема: Теорема о площади треугольника

Тип урока: Урок сообщения новых знаний.

Цели урока :

Рассмотреть теорему о площади треугольника.

Научить учащихся решать задачи на применение теоремы о площади треугольника.

Развивать умение пользоваться основным тригонометрическим тождеством и находить координаты точки.

Ход урока.

I . Организационный момент.

II . Актуализация знаний. Повторение теории .

Теоретический опрос

Что называется синусом угла α из промежутка 0 ≤ α ≤ 180 0 ?

Что называется косинусом угла α из промежутка 0 ≤ α ≤ 180 0 ?

Что называется тангенсом угла α?

Для какого значения α тангенс не определен и почему?

Какое равенство называется основным тригонометрическим тождеством?

Самостоятельная работа.

1 уровень .

Найти:

а) sinα , если cosα = - .

б) cosα ., если sinα = .

в) tgα , если cosα = .

Проверьте лежат ли на единичной окружности точки:

а) А (;
)

б) В (7; 3)

в) С (; )

Угол между лучом ОМ, пересекающих единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен α. Найдите координаты точки М, если

а) ОМ = 4; α = 60 ° б) ОМ= 8; α = 150 °

2 уровень.

1. Найти синус, косинус и тангенс угла АОМ, если О – начало координат, а точка

А (1; 0), М (- ; у) лежат на единичной полуокружности.

2. Упростите выражения:

а) sin 60° · cos 135° · tg 120°

б) cos 60° - 2sin 135° + cos 2 120°

3. Найти угол между лучом ОМ и положительной полуосью Ох, если точка М

имеет координаты:

а) (- 4; 4)

б) (3
; 3)

3 уровень.

В (5; 5), О начало координат.

III . Изучение нового материала.

Вывод формулы о площади треугольника можно получить в процессе решения задачи в творческих группах с последующим обсуждением всех вариантов решения.

Задача.

В треугольнике АВС ВС = а, АС = b , < С = α. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:

Координаты точки В равны:

х = а cos α , у = а sin α.

Высота МВС, проведенная к стороне А С, равна BH .

С другой стороны, ВН - это ордината точки В,

т. е. ВН = а sin α.

S ABC = АС· ВН = b ( а sin α) = а b sin α.

Итак, S ABC = а b sin α, где а, b - стороны треугольника, α - угол между ними.

Для более глубокого усвоения вывода формулы о площади треугольника желательно задать следующие вопросы контролирующего характера (опрос начинать с менее подготовленных учащихся):

Для чего проведена высота МВС?

Почему координаты точки В равны (а cos α; а sin α)?

Почему ВН = а sin α ?

В формуле S ∆ = a b sin α где по отношению к сторонам а и b треугольника

расположен угол α ?

I V. Закрепление изученного материала.

1. Решить самостоятельно 1 варианту задачу № 38, 2 варианту - №39 из рабочей тетради с последующей взаимопроверкой между парой, сидящей за одной партой. Предварительно решение обсудить со всем классом.

№ 38 :

Лежит ли угол В между сторонами АВ и ВС треугольника АВС?

Какую формулу вы использовали для вычисления площади треугольника АВС?

Можно ли площадь треугольника АВС вычислить другим способом?

Какой из этих способов наиболее рациональный?

Вопросы для обсуждения задачи № 39 :

Какая зависимость существует между площадью треугольника, двумя его сторонами и углом, заключенным между этими сторонами?

Объясните, почему в данной задаче S ∆ = BE 2 sin E ?

2. Решить самостоятельно задачи:

1 уровень - № 1020 (а), 1022, дополнительные задачи № 1, 2.

II уровень - № 1022, 1024, дополнительные задачи № 1, 2.

Задача № 1020 (а)

Решение :

АВ = 6
см, А С = 4 см, = 60 0 , тогда

S ABC = АВ ·АС· sin 60° = 6
·4 = 12
(см 2 )

Ответ: 12
см 2 .

Задача №1022

Решение :

S ABC = АВ · АС sin A

S ABC =60см 2 , AC =15 c м, < A =30 0 , следовательно, A В=
= 16(см).

Ответ: 16 см.

Задача №1024

Решение:

а) Из ∆АВМ si n α = ВМ: АВ => AB=

Из ∆АКС s in α =КС: АС => AC=

S ABC = АВ АС sin α ;

S ABC =
· sin α =

б) Из прямоугольного ∆ АВН sin α =
=> АВ =

в прямоугольном ∆ СВН

= 180 0 - (+ = 180 0 – (α + β) =>

sin C = sin(l80° - (α + β)) = sin(α + β). sinC= ВН: BC,

ВС= h : sin (а + β).

S ABC = BA BC sin β =

· sin β =

Ответ : а )
; б )

Дополнительные задачи:

Задача 1

Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом при основании 15 0 и боковой стороной, равной 5 см.

Задача 2

В ∆АВС АВ= 4, ВС= 6, BD - биссектриса, =45 0 . Найдите: площади треугольников ABD и CBD.

Задача 3

В треугольнике МNK МК = 12, NK = 16, = а , ММ 1 и NN 1 - медианы, пересекающиеся в точке О. Найти площадь четырехугольника N 1 OM 1 K.

V . Подведение итогов урока.

а) Подвести итоги по достижению цели урока.

б) Провести рефлексию на уровень удовлетворенности уроком:

Домашнее задание.

п.96, вопрос 7.

Решить задачи:

1 уровень - № 40 из рабочей тетради, № 1020 (б, в), 1021, 1023.

2 уровень - № 1021, 1023, дополнительные задачи №2,3.

Конспект 3.

Тема : Теоремы синусов и косинусов.

Тип урока: Урок сообщения новых знаний.

Цели урока:

Рассмотреть теоремы синусов и косинусов.

Развить умения и навыки их применения при решении задач.

Закрепить теорему о площади треугольника и совершенствовать навыки решения задач на ее применение.

Ход урока.

I . Организационный момент.

II . Актуализация знаний учащихся.

1.Теоретический опрос.

Подготовить у доски доказательство теоремы о площади треугольника, а затем заслушать ответ всем классом.

2 . Проверка домашнего задания.

Индивидуально проверить домашние задачи № 40 (из рабочей тетради),№ 1023; дополнительные задачи № 3, № 2.

3.Работа по индивидуальным карточкам

1 уровень (карточка № 1)

1. Площадь равностороннего треугольника равна 24
. Найдите сторону этого треугольника.

2. В параллелограмме один из углов равен 45 0 , а его стороны равны 5 см и 8 см. Найдите его площадь.

3. В прямоугольнике диагональ равна 12 см, а угол между диагоналями 30 0 . Найдите площадь прямоугольника.

2 уровень (карточка № 2)

1. Найдите площадь параллелограмма, если его диагонали равны 6
см и 7см, а угол между ними равен 45 0 .

2. В треугольнике MNK = 150 0 , МN = 4 см, NK = 6см, NE биссектриса треугольника. Найдите площадь треугольников MNE и NKE.

3. Медианы МВС пересекаются в точке О, = 30 0 , АВ = 4 см,

ВС = 6 см. Найдите произведение площадей треугольников АОС, ВОС, ВОА.

3уровень (карточка №3)

1. Трапеция ABCD вписана в окружность так, что основание AD - диаметр окружности. Диагональ трапеции равна 16 см, а ее площадь - 64 см 2 . Найдите углы трапеции.

2. В равнобедренной трапеции ABCD основание AD равно 8 см, диагональ BD перпендикулярна боковой стороне АВ, а угол при основании AD равен 60 0 . Найдите площадь трапеции.

3. В треугольнике МNK медианы ММ 1 и КК 1 пересекаются в точке О, ММ 1 = 4,5, КК 1 = 6. Найдите угол МОК, если известно, что площадь треугольника S MNK = 9.

III . Решение задач на готовых чертежах.

Решить самостоятельно задачи на готовых чертежах с последующей самопроверкой и обсуждением решения тех из них, с которыми не справились большинство учащихся.

При обсуждении задач обратить внимание на следующие формулы:

S парал-ма = а b sin α, где а, b - стороны параллелограмма, α - угол между ними.

S прям-ка = d 2 sin α, где d - диагональ прямоугольника, α - угол между диагоналями.

S парал-ма = d 2 d 1 sin α, где d 1 и d 2 - диагонали параллелограмма, α - угол между

ними.

1. Рис. 1. Найти: S.

2. Рис. 2. ABCD-параллелограмм. ВD = 6, АС= 10.

Найти: S.

3. Рис. 3. ABCD - параллелограмм.

Найти: S.

4. Рис. 4. ABCD - прямоугольник. АС = 12.

Найти: S.

рис.1 рис.2 рис.3 рис.4

IV . Изучение нового материала.

1. Теорема синусов : Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов.

Дано: ∆АВС

Доказать:
=
=

Доказательство проводится в виде беседы учителя с учащимися:

Вопрос: Какая формула выражает зависимость между сторонами треугольника и синусами его углов?

Ответ: Формула для вычисления площади треугольника:

S АВС = АВ ВС sinB (1) S АВС = AC ВС sinC (2)

S АВС = A В АС sin А (3)

Вопрос: Приравняем равенства 1 и 2. Чему равно отношение
?

Ответ: АВ ВС sinB = AC ВС sinС, АВ sinB = АС sinС,

=
(4)

Как можно получить равенство
=

Ответ: Приравняем равенства 2 и 3:

AC ВС sin C = A В АС sin А

ВС sin С = АВ sin А,
=
(5)

Верно ли равенство
=
=
? Почему? (Верно, это следует из

равенств 4 и 5).

2. Очень часто в треугольнике известны две стороны и угол между ними и необходимо найти третью его сторону. Справиться с этой задачей нам позволяет теорема косинусов.

Теорема косинусов : Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух

других его сторон без удвоенного про изведения этих сторон на

косинус угла между ними.

Дано: ∆ АВС, АВ = с, ВС = а, СА = b .

Доказать: а 2 = b 2 + с 2 – 2 bc cosA.

Доказательство проводится в виде ответов на вопросы учеников:

Вопрос: Поместим ∆АВС в прямоугольную систему

Координат так, чтобы точка А совпадала с началом

координат, точка В лежала на положительной полуоси Ох, а точка С располагалась в 1 координатной четверти.

Чему равны координаты вершин В и С треугольника?

Ответ: Т. к. АВ = с и точка В лежит на положительной полуоси Ох, то В (с; 0).

Если из точки С опустить перпендикуляр СН , то sin α =
,

cos α =
т . е . CH=AC sin α = b sin α ,

АН= AC cos α= b cos α.

Но СН - это ордината точки С, АН - абсцисса точки С, поэтому С (b cos α; b sin α).

Вопрос: Чему равно расстояние между точками В и С, если В (с; 0),

С (b cos α; b sin α) ?

Ответ : ВС 2 = (х C – х В ) 2 + (у С – у В ) 2 = (b cos α – с) 2 + (b sin α – 0) 2 = b 2 cos 2 α –

- 2 b с cos α + с 2 + b 2 sin 2 α = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) + с 2 - 2 b с cos α = b 2 + с 2 - 2 b с cos α,

т.е а 2 = b 2 + с 2 - 2 b с cos А.

V . Закрепление изученного материала.

1. Выполнить устно задания:

- Запишите теорему синусов для треугольника MNK:

Ответ :
=
=

- Запишите теорему косинусов для вычисления стороны:

а) АВ в треугольнике АВС;

б) СЕ в треугольнике CDE.

Ответ: а) АВ 2 = ВС 2 + АС 2 - 2ВС АС cosC

б) СЕ 2 = CD 2 + DE 2 - 2CD DE cosD

2. Разобрать задачи №41, 44 из рабочей тетради.

Наводящие вопросы к задаче № 41:

- Какая сторона лежит против угла А? Какой угол лежит против стороны АС?

- Используя свойства пропорций, выразите ВС и найдите его значение. (ВС = 2 см.)

Наводящие вопросы к задаче № 44:

- Как запишется теорема косинусов для вычисления стороны АВ треугольника

АОВ?

- Чему равен угол ВОС? Почему?

- Как вычислить косинус 120 0 ?

- Чему равен периметр параллелограмма? (Р = 6 . (
+
) см.)

3. Самостоятельно решить задачи № 1025 (а, в, г, е, и)

VI . Подведение итогов урока.

а) Подвести итоги по достижению цели урока.

б) Провести рефлексию на уровень комфортности на уроке.

Комфортно чувствовал себя на уроке.

Нормально чувствовал себя на уроке.

Плохо чувствовал себя на уроке.

Домашнее задание.

пп. 97, 98; вопросы 8, 9.

Решить задачу № 42 из рабочей тетради, № 1025 (б, д, ж,).

Конспект 4.

Тема: Решение треугольников.

Тип урока: Урок сообщения новых знаний.

Цель урока:

Сформировать умения и навыки применения теоремы

синусов и теоремы косинусов к решению треугольников.

Развить логическое мышление учащихся при решении

треугольников.

Воспитывать усидчивость, сосредоточенность у учащихся.

Ход урока.

I . Организационный момент.

II . Актуализация знаний учащихся.

1. Теоретический опрос.

- Сформулировать теорему синусов.

- Сформулировать теорему косинусов.

2 . Устное решение задач на готовых чертежах.

а) По данным рисунка найдите значения синуса углов А и В треугольника АВС.

б) По данным рисунка назовите формулу для

нахождения сторон АВ и ВС треугольника АВС.

3 .Индивидуальная работа по карточкам.

1 уровень (карточка №1)

1. Дано: ∆АВС, <А = 45 0 , <С = 15 0 , ВС = 4
.

- Что значит «решить треугольник»?

- Перечислите три основные задачи на решение треугольников. - Составьте план решения треугольников:

а) по двум сторонам и углу между ними;

б) по стороне и прилежащим к ней углам;

в) по трем сторонам;

г) Объясните, почему задача имеет одно решение при решении треугольника:

- по двум сторонам и углу между ними;

- по стороне и прилежащим к ней углам;

- по трем сторонам.

- Дан треугольник АВС (подготовить чертеж на доске). Запишите формулу для вычисления:

а) ВС, если АВ = с, АС= b , = α;

б) АС, если ВС= а, = β, .

в) , если АВ 12

Т. к. cos С < 0 => - тупой, МВС - тупоугольный.

Ответ: тупоугольный.

V . Подведение итогов урока.

а) Подвести итоги по достижению цели урока.

б) Провести рефлексию на усвоение материала.

1. Хорошо усвоил материал урока.

2. Средне усвоил материал урока.

3. Не усвоил материал урока.

Домашнее задание.

П. 99; вопросы 10, 11. Решить задачи:

I уровень: № 45 из рабочей тетради; № 1027, 1028, 1031 (а, б).

II уровень: № 1027, 1028, 1031 (а, б), 1032.

Конспект 5.

Тема: Решение треугольников.

Тип урока: Урок закрепления новых знаний.

Цели урока:

Отрабатывать умение применять теоремы синусов и косинусов в решении задач на нахождение неизвестных элементов у треугольника.

Показать практическую направленность таких задач.

Развивать внимание, активность, самостоятельность.

Воспитывать ответственность, умение работать парами, дружеские отношения между ребятами.

Ход урока

I ) Организационный момент.

II ) Актуализация знаний учащихся.

а) Проверка письменного домашнего задания .

б) Теоретический опрос:

- Что значит «решить треугольник» ?

- Сформулируйте основные задачи на решение треугольников.

- Какие теоремы применяются для решения треугольников?

- Сформулируйте теоремы синусов и косинусов.

в) Устное решение задач на готовых чертежах .

Используя рисунки, составить план решения задач.

(при решении задач особое внимание уделять правильному выбору теоремы, т.е. той теоремы, которая позволяет более рационально решить задачу)

1. Найти: а, < В, < С. 2. Найти: < В, а, с. 3. Найти: < А, < В, < С.

Пока класс решает устно задачи двое учащихся на обратной стороне доски решают практические задачи, по окончанию устной работы учащиеся объясняют решения своих задач.

Задача 1.

Найти ширину озера, если (рис.1) АС = 120м, < А = 60° , < С = 45°.

Решение :

Задача 2 .

Измерим дальнометром расстояние СВ=62м, СА=80м. Угол между ними 60°.

Найти расстояние между двумя деревьями А и В (рис 2)

Решение :

АВ = СВ 2 + СА 2 – 2 · СВ · СА · cosC Определите вид треугольника, если две его стороны равны а = 10 см и в =15 см, а угол между ними равен ‹ γ =70 0 .

Задание 3 группы:

Определите вид треугольника, если две его стороны равны а = 12 см и в =14 см, а угол между ними равен ‹ γ =80 0 .

Выполнение работы:

Найдите длину стороны с , пользуясь теоремой косинусов.

Вычислите величину угла β, пользуясь теоремой синусов.

Вычислите величину угла α, используя свойство треугольника о сумме его углов.

Зная все углы треугольника, определите его вид.

Задание 1 группы:

Два парохода начинают движение одновременно из одного и того же пункта и двигаются равномерно по прямым, пересекающимся под углом 60 0 . Скорость первого парохода равна 70 км/ч, а второго – 60 км/ч. Исследуйте на каком расстоянии друг от друга будут находиться пароходы через 3 часа.

в) D К · sin К = . . . · sin Е

№3 . Закончить фразу. В треугольнике против большего угла лежит_______________ ________________________________.

№4. В треугольнике АВС АВ – наименьшая сторона. Определить наименьший угол этого треугольника. (Выбрать и подчеркнуть верный ответ)

а) < А; б) < В; в) < С;

№5 . Заполните пропуски.

Для того чтобы решить треугольник по стороне а и двум углам α и β, нужно:

. . . найти угол γ с помощью равенства ______________________________.

. . . найти сторону b с помощью равенства ___________________________.

. . . найти сторону с с помощью равенства ___________________________.

2 вариант (уровень 2).

№1 . Пусть а, b , c – длины сторон треугольника АВС. Найдите длину наибольшей стороны этого треугольника, если < А = 63 0 , < С = 57 0 . .

а) Подвести итоги по достижению цели урока.

б) Провести рефлексию на готовность к зачету.

1. Готов к зачету.

2. Почти готов к зачету

3. Не готов к зачету.

Домашнее задание: Подготовить доказательство задачи № 1033; решить задачи:

1 уровень - № 1034, № 47, № 48 (из рабочей тетради);

2 уровень - № 1033, № 1035, задачу № 7.

Организация обучения на уроках геометрии.

Представленная система уроков является частью разработанной технологии внутриклассной уровневой дифференциации учебной деятельности школьников в преподавании курса геометрии 9-х классов основной школы. В основу этой технологии положен играющий ведущую роль в современной педагогической психологии личностно- деятельностный подход к обучению.

Личностно - деятельностный подход к обучению предполагает, что все воздействия на учащегося как на субъект обучения с целью управления его учебной деятельностью преломляются через призму личности обучаемого, его индивидуально-психологические и психофизиологические особенности. Из этого следует, что достигнуть оптимальных результатов обучения каждого учащегося можно лишь в том случае, если преподавание предмета вести на нескольких уровнях сложности, обеспечивающих постепенный переход от уровня актуального развития к зоне ближайшего развития.

Структурной единицей учебного процесса в рассматриваемой технологии служит блок уроков, связанных одной темой. На первом уроке блока учащимся сообщается тема и ставятся цели ее изучения. Далее учитель переходит к этапу предварительного ознакомления учащихся с формируемой деятельностью. На этом этапе вводятся основные понятия изучаемой темы, решаются специально составленные учебные задачи. Содержание этих задач диктуется, с одной стороны, требованием доступности для всех учащихся, а с другой - требованием отразить в них наиболее существенные связи и отношения между элементами изучаемых геометрических объектов. Доступность задач обеспечивается небольшим числом умозаключений, требующихся для их решения, детальным рассмотрением моделей фигур и правил построения чертежей, а также опорой на хорошо известные учащимся ранее изученных теорем, определений и свойств треугольника. Все это позволяет вести на данном этапе фронтальную работу с классом, вовлекая в обсуждение решения задач как сильных, так и слабых учащихся. После того, как решение задачи осмыслено и понято всеми учащимися, оно под руководством учителя с подробными объяснениями записывается учащимися в их классные тетради. В целом этап предварительного ознакомления обеспечивает понимание учащимися основных понятий темы и содержания той деятельности, в которую они включены и которая приводит к решению рассматриваемого класса задач.

Следующий этап в изучении темы - самостоятельная работа учащихся, которая проводится дифференцированно на двух или трех уровнях сложности - в зависимости от объема темы. В соответствии с числом уровней на нее отводится в блоке два или три урока. Самостоятельная работа каждого учащегося начинается с решения по индивидуальному варианту задач первого уровня сложности, однотипных с теми, которые рассматривались на предыдущем этапе. Однако функция этих задач в процессе обучения изменяется: если на предыдущем этапе они служили для раскрытия деятельности, формирования ориентировочной основы составляющих ее умственных действий, то теперь выступают как средство усвоения этой деятельности. На первом уроке самостоятельной работы проводится также первый этап теоретического зачета, состоящий в индивидуальном опросе определений и формулировок теорем.

Сильные учащиеся, справившиеся с набором задач первого уровня сложности за один урок, переходят к самостоятельной работе второго, более высокого уровня сложности. Они получают специальные методические пособия, в которых рассматриваются дополнительные вопросы теории и методы решения задач, требующие более глубокого, чем на первом уровне, анализа и обобщения свойств изучаемых фигур. На уроке учащиеся самостоятельно разбираются в приведенных в пособии решениях задач. Работа учащихся по методическим пособиям сопровождается выполнением обязательного домашнего задания по решению двух или трех задач соответствующего уровня сложности. Слабым учащимся время, отведенное на самостоятельную работу, полностью предоставляется для решения задач первого уровня.

По окончании самостоятельной работы в специально отведенное время проводится второй этап теоретического зачета, к которому учащиеся должны подготовить доказательства тех теорем, которыми они пользовались при решении задач и формулировки которых они отвечали на первом этапе. Второй этап зачета не является обязательным и сдается по желанию теми учащимися, которые интересуются предметом и стремятся к более глубокому изучению материала.

Следует также обратить внимание на изменение функции отметки, происходящее при работе по рассматриваемой технологии. Отметка «3» за работу по теме выставляется тем учащимся, которые справились только с задачами первого уровня, отметки « 4 » и «5» - тем, кто успешно закончил работу на втором уровне. В результате оценка отражает не количество ошибок учащегося, как это происходит при работе по традиционной технологии, а освоенный им уровень сложности. Это вносит элемент состязательности в работу учащихся и служит дополнительным фактором повышения успеваемости.

На изучение темы «Соотношения между сторонами и углами треугольника» отводится 5 уроков. Этот блок обеспечивает усвоение учащимися теорем синусов и косинусов и способов деятельности, необходимых для решения задач, связанных с решением треугольников.

86 На рисунке даны прямая а и треугольник ABC. Постройте фигуру F, на которую отображается данный треугольник при осевой симметрии с осью а. Что представляет собой фигура F? Решение. Построим точки А, Вх, С, симметричные точкам А, В, С относительно прямой_а. и Прове- А С дем отрезки А В, В С и.1_ Так как при движении, в частности при осевой симметрии, треугольник отображается на равный ему треугольник_, то искомой Лигу- А В С рой является треугольник _" i 1_, равный треугольнику

14 Найдите координаты середины медианы AM треугольника ABC, если А (-2; 4), В (2; -1), С (6; 1). Решение. 1) Отрезок AM - медиана треугольника ABC у поэтому точка М -_половина_стороны ВС. По условию задачи В (2; -1), С (JL ; _1_), следовательно, М (_1_; 0)- 2) Пусть точка К - середина отрезка AM. Так как А (-2; 4), М; _0_), то К (JL ; Ответ. К (JL ; J_)

88- На рисунке даны точка О и треугольник ABC. Постройте фигуру F, на которую отображается треугольник ABC при центральной симметрии с центром О. Что представляет собой фигура F? Решение. Построим точки А1? В, и Cj, симметричные точкам А, В и С относительно точки Qf и проведем отрезки AjBx, BjCj и Так как при движении, в частности при центральной симметрии_? треугольник отображается на равный ему треугольник т0 иско. мой фигурой F является треугольник равный треугольнику

73 угольнике = _2- (угол (см). = л a2V3 48 V3 - 4 yfe = (см). Следовательно, R = а 8 л СМ. Найдите длину окружности, вписанной: а) в равносторонний треугольник со стороной а; б) в равнобедренный треугольник с углом 2а при вершине и боковой стороной а; в) в прямоугольный треугольник с острым углом а и противолежащим катетом а. Решение. а) На рисунке окружность с центром О и радиусом г вписана в равносторонний треугольник ABC со стороной AR = а. В прямоугольном треугольнике ADO катет OD = г, катет AD = ~, a Z. OAD = 30 t и следовательно, г = AT) tfl 30° „ q Я_tm_aS и о _ 3 _2д_о%"3 =_27iaN"3 3
б) На рисунке окружность с центром О и радиусом г вписана в равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ = ВС = а и Z. В = 2а. в прямоугольном треугольнике ABD с A D = 90° АВ = а, а A ABD = а, поэтому AD = а sina 2) В прямоугольном треуголь- нике AOD с прямым углом D A ОАО = А- = - (90°- JL), поэтому г - _ a sina sin L (90е - JL 2 = AD iHLOAD. Отсюда С = 2лг = 2л a sina sin ^ (90е-JL) в) На рисунке окружность с центром О и радиусом г вписана в треугольник ABC, в котором А С = 90°, А А = а, ВС = а. Поэтому АС = а: Мй., АВ = а: 1 а а - -^tggsina- 2 sina С другой стороны, SABC = - Р 1 + а + а = - --tga-sina- * sina + cosa + 1 /1 ь,0 к 1А D + cosa + 1 AC = г = г = _ a(_si 2sina Таким образом, J-, откуда 2к a coso. -sina) sina+coecx + l)¦ Ответ. я)271°^3;б) 2л a sina sin ^ (90е- JL)_; B) "кшга{ sina+coea +1

44 В параллелограмме ABCD диагонали АС = 12 м, BD = б м, Z. АОВ = 60°. Найдите периметр параллелограмма. Решение. В треугольнике АОВ по теореме косинусов получаем: АВ2 = = АО2 + в°2 - 2 АО ВО cos Z АОВ Так как диагонали параллелограмма jr> точкой пересечения делится_ пополам, то АО = 6 м> ВО = J*_м. Поэтому AR2=624- З2-2-6-3.| -Л_, АВ= ЗУЗ м. Аналогично в треугольнике ВОС получаем: ВС2 = ОВ2 + -_ ОВ_ОС_ . CosZ. ВОС. Так как / КОС=1ЯП°- / 60е т т0 cosZ ВОС = cos(180°- Z-AOB) = -cosZ. АОВ=_I__Следовательно, ВС2 = б2 + 32 +2-6-3.12_= _, ВС = ЗУ7 м. Итак, периметр параллелограмма равен: 2 (^jg + ВС_) = = зУз +3>/7) = 6 (Уз + л/7) (М). Ответ. Р = 6 (Уз + л/7)М

Открытый урок по геометрии в 9 классе

Тема: Теорема о площади треугольника.

Цели:

Доказать теорему о площади треугольника;

Научить учащихся решать задачи на применение теоремы о площади треугольника;

Активизировать познавательную деятельность учащихся, поддержать интерес к предмету;

Воспитывать уважение друг к другу, взаимопонимание, уверенность в себе.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Вступительное слово учителя.

Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человечества. Лучше ориентироваться в нем, открывать новое, понимать красоту и мудрость окружающего мира поможет нам хорошее знание такого предмета как геометрия.

И сегодня на уроке, тема которого «Теорема о площади треугольника» мы попытаемся выявить связи геометрии с различными областями человеческих знаний, в частности, на примере решения задач с практическим применением.

Сначала послушаем о том, как развивалась геометрия в России.

Выступает ученик.

Потребности земледелия, строительства и военного дела породили начала геометрии у всех народов, в том числе и у славян. Уже в старинных памятниках русской истории мы встречаем начальные сведения по геометрии.

Исконно русским руководством, излагавшим приемы измерения площадей, является «Книга сошного письма», самый древний экземпляр которой относится к 1629 году. Имеются сведения, что оригинал был составлен еще раньше, при Иване Грозном в 1556 году.

При вычислении площадей фигур рекомендуется в этой книге разбивать их на квадраты, прямоугольники, треугольники, трапеции. Площади квадрата и прямоугольника вычислялись по применяемым сейчас правилам. Площадь же треугольника находилась кА половина произведения основания на боковую сторону. Последнее правило, буквально понятое. Неверно, так как оно справедливо лишь для прямоугольного треугольника. Но этими же правилами когда-то пользовались древние египтяне.

Возможно. Что русская землемерная практика имела дело только с прямоугольными или почти прямоугольными треугольниками, и в таком случае мы не имеем основания делать упрек нашим предкам в незнании правил начальной геометрии. В те отдаленные времена земля не являлась предметом купли-продажи, и точность результата измерения играла незначительную роль.

Оказывается, что в южнорусских губерниях, где свободной земли было много и она поэтому не ценилась, такие приемы оценки площадей применялась еще в 19 веке.

При Иване Грозном было составлено и первое русское руководство по землемерию – книга «… глубокомудрая, дающая легкий способ измерять места самые недоступные, плоскости, дебри». А в середине 16 века была составлена первая общая карта Европейской России, которая вместе с «чертежами Сибирских земель» 1667 года считается замечательным памятником русской картографии. В одной из рукописей 16 века впервые упоминается «премудрый Клидас», то есть основоположник нашей современной геометрии – Евклид.

Задача.

Найдите площадь земельного участка, имеющего форму треугольника, у которого известны две стороны и угол между ними.

2. Актуализация знаний. Повторение теории

1. (Фронтальная работа с классом.)

1) Какие формулы используются для вычисления координат точки А?

(Ответ: х = ОА ∙ cosα; у = ОА ∙ sinα.)

2) Какие формулы используются для вычисления площади:

а) треугольника; б) параллелограмма?

Формулы площади треугольника:

S= ab, где а, b - катеты прямоугольного треугольника,

S= ah , где а - основание треугольника, h- высота,

Формула Герона:

S = , р = - полупериметр

а, b, с-стороны треугольника

2. Решение задач по готовым чертежам

Найдите площадь треугольника

Ответы: 6; 6; 28

3. Изучение нового материала

Вывод формулы о площади треугольника можно получить в процессе решения задачи в творческих группах с последующим обсуждением всех вариантов решений.

Задача:

Дано: Треугольник ABC, BC=a, CA=b, S-площадь треугольника.

Доказать : S= absinC

Доказательство: S= ah, h=bsinC.

Следовательно: S= absinC

Итак, мы доказали теорему о площади треугольника

Теорема: Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

При помощи данной теоремы решим нашу практическую задачу.

S = °= 5

4. Решение задач

1) № 1020(а)

Дано: АВС, АВ = 6 см, АС = 4 см, ˚

Найти: S = ?

Ответ: 12

2) № 1022

Дано: S = 60 см, АС = 15 см, ˚

Найти: АВ = ?

Ответ: 16 см.

3) Найти площадь равнобедренного треугольника с углом при основании 15˚ и боковой стороной, равной 5 см.

Ответ: см .

4) В параллелограмме АВСD АВ = 6, АD = 4, sinA = 0,8. Найдите большую высоту параллелограмма.

Ответ: 4,8

5) . Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону трапеции

Ответ: 5

5. Самостоятельная работа

1 вариант

1. Найдите:

а) sin α, если cos α = ;

б) cos α, если sin α = ;

в) tg α, если cos α =

а) А (); б) В(7; 3); в) С(; )

3. Стороны треугольника равны 5см и 6см, а угол между ними равен 30˚.

2 вариант

1. Найдите:

а) sin α, если cos α = ;

б) cos α, если sin α = ;

в) tg α, если cos α =

2. Проверьте, лежат ли на единичной полуокружности точки:

а) А(); б) В(; ); в) С(2;3)

3. Стороны треугольника равны 4см и 7см, а угол между ними равен 45˚.

2 уровень

1 вариант

1. Найдите:

а) sin α, если cos α = ;

б) cos α, если sin α = ;

в) tg α, если cos α =

2. Угол между лучом ОМ, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью ОХ равен α. Найдите координаты точки М, если:

а) ОМ = 4, α = 60˚; б) ОМ = 8, α = 150˚.

3. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона 10, а угол между ними 120˚.

2 вариант

1. Найдите:

а) sin α, если cos α = ;

б) cos α, если sin α = ;

в) tg α, если cos α =

2. Угол между лучом ОР, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью ОХ равен α. Найдите координаты точки Р, если:

а) ОР = 6, α = 30˚; б) ОР = 10, α = 120˚.

3. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона 8, а угол между ними 135˚.

3 уровень

1 вариант

2 вариант

Ответы к задачам самостоятельной работы

Разделы