Главная
11 класс
Видеоурок «Рациональные уравнения. Задачи для самостоятельного решения

Видеоурок «Рациональные уравнения. Задачи для самостоятельного решения

1. Общие положения

1.1. С целью поддержания деловой репутации и обеспечения выполнения норм федерального законодательства ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика» (далее – Компания) считает важнейшей задачей обеспечение легитимности обработки и безопасности персональных данных субъектов в бизнес-процессах Компании.

1.2. Для решения данной задачи в Компании введена, функционирует и проходит периодический пересмотр (контроль) система защиты персональных данных.

1.3. Обработка персональных данных в Компании основана на следующих принципах:

Законности целей и способов обработки персональных данных и добросовестности;

Соответствия целей обработки персональных данных целям, заранее определенным и заявленным при сборе персональных данных, а также полномочиям Компании;

Соответствия объема и характера обрабатываемых персональных данных, способов обработки персональных данных целям обработки персональных данных;

Достоверности персональных данных, их актуальности и достаточности для целей обработки, недопустимости обработки избыточных по отношению к целям сбора персональных данных;

Легитимности организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных;

Непрерывности повышения уровня знаний работников Компании в сфере обеспечения безопасности персональных данных при их обработке;

Стремления к постоянному совершенствованию системы защиты персональных данных.

2. Цели обработки персональных данных

2.1. В соответствии с принципами обработки персональных данных, в Компании определены состав и цели обработки.

Цели обработки персональных данных:

Заключение, сопровождение, изменение, расторжение трудовых договоров, которые являются основанием для возникновения или прекращения трудовых отношений между Компанией и ее работниками;

Предоставление портала, сервисов личного кабинета для учеников, родителей и учителей;

Хранение результатов обучения;

Исполнение обязательств, предусмотренных федеральным законодательством и иными нормативными правовыми актами;

3. Правила обработки персональных данных

3.1. В Компании осуществляется обработка только тех персональных данных, которые представлены в утвержденном Перечне персональных данных, обрабатываемых в ФГАУ ГНИИ ИТТ «Информика»

3.2. В Компании не допускается обработка следующих категорий персональных данных:

Расовая принадлежность;

Политические взгляды;

Философские убеждения;

О состоянии здоровья;

Состояние интимной жизни;

Национальная принадлежность;

Религиозные убеждения.

3.3. В Компании не обрабатываются биометрические персональные данные (сведения, которые характеризуют физиологические и биологические особенности человека, на основании которых можно установить его личность).

3.4. В Компании не осуществляется трансграничная передача персональных данных (передача персональных данных на территорию иностранного государства органу власти иностранного государства, иностранному физическому лицу или иностранному юридическому лицу).

3.5. В Компании запрещено принятие решений относительно субъектов персональных данных на основании исключительно автоматизированной обработки их персональных данных.

3.6. В Компании не осуществляется обработка данных о судимости субъектов.

3.7. Компания не размещает персональные данные субъекта в общедоступных источниках без его предварительного согласия.

4. Реализованные требования по обеспечению безопасности персональных данных

4.1. С целью обеспечения безопасности персональных данных при их обработке в Компании реализуются требования следующих нормативных документов РФ в области обработки и обеспечения безопасности персональных данных:

Федеральный закон от 27.07.2006 г. № 152-ФЗ «О персональных данных»;

Постановление Правительства Российской Федерации от 1 ноября 2012 г. N 1119 "Об утверждении требований к защите персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Постановление Правительства Российской Федерации от 15.09.2008 г. №687 «Об утверждении Положения об особенностях обработки персональных данных, осуществляемой без использования средств автоматизации»;

Приказ ФСТЭК России от 18.02.2013 N 21 "Об утверждении Состава и содержания организационных и технических мер по обеспечению безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных";

Базовая модель угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 15.02.2008 г.);

Методика определения актуальных угроз безопасности персональных данных при их обработке в информационных системах персональных данных (утверждена заместителем директора ФСТЭК России 14.02.2008 г.).

4.2. Компания проводит оценку вреда, который может быть причинен субъектам персональных данных и определяет угрозы безопасности персональных данных. В соответствии с выявленными актуальными угрозами Компания применяет необходимые и достаточные организационные и технические меры, включающие в себя использование средств защиты информации, обнаружение фактов несанкционированного доступа, восстановление персональных данных, установление правил доступа к персональным данным, а также контроль и оценку эффективности применяемых мер.

4.3. В Компании назначены лица, ответственные за организацию обработки и обеспечения безопасности персональных данных.

4.4. Руководство Компании осознает необходимость и заинтересовано в обеспечении должного как с точки зрения требований нормативных документов РФ, так и обоснованного с точки зрения оценки рисков для бизнеса уровня безопасности персональных данных, обрабатываемых в рамках выполнения основной деятельности Компании.


Продолжаем разговор про решение уравнений . В этой статье мы подробно остановимся на рациональных уравнениях и принципах решения рациональных уравнений с одной переменной. Сначала разберемся, уравнения какого вида называются рациональными, дадим определение целых рациональных и дробных рациональных уравнений, приведем примеры. Дальше получим алгоритмы решения рациональных уравнений, и, конечно же, рассмотрим решения характерных примеров со всеми необходимыми пояснениями.

Навигация по странице.

Отталкиваясь от озвученных определений, приведем несколько примеров рациональных уравнений. Например, x=1 , 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0 , , - это все рациональные уравнения.

Из показанных примеров видно, что рациональные уравнения, как, впрочем, и уравнения других видов, могут быть как с одной переменной, так и с двумя, тремя и т.д. переменными. В следующих пунктах мы будем говорить о решении рациональных уравнений с одной переменной. Решение уравнений с двумя переменными и их большим числом заслуживают отдельного внимания.

Помимо деления рациональных уравнений по количеству неизвестных переменных, их еще разделяют на целые и дробные. Дадим соответствующие определения.

Определение.

Рациональное уравнение называют целым , если и левая, и правая его части являются целыми рациональными выражениями.

Определение.

Если хотя бы одна из частей рационального уравнения является дробным выражением, то такое уравнение называется дробно рациональным (или дробным рациональным).

Понятно, что целые уравнения не содержат деления на переменную, напротив, дробные рациональные уравнения обязательно содержат деление на переменную (или переменную в знаменателе). Так 3·x+2=0 и (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5 – это целые рациональные уравнения, обе их части являются целыми выражениями. А и x:(5·x 3 +y 2)=3:(x−1):5 – примеры дробных рациональных уравнений.

Завершая этот пункт, обратим внимание на то, что известные к этому моменту линейные уравнения и квадратные уравнения являются целыми рациональными уравнениями.

Решение целых уравнений

Одним из основных подходов к решению целых уравнений является их сведение к равносильным алгебраическим уравнениям . Это можно сделать всегда, выполнив следующие равносильные преобразования уравнения :

  • сначала выражение из правой части исходного целого уравнения переносят в левую часть с противоположным знаком, чтобы получить нуль в правой части;
  • после этого в левой части уравнения образовавшееся стандартного вида.

В результате получается алгебраическое уравнение, которое равносильно исходному целому уравнению. Так в самых простых случаях решение целых уравнений сводятся к решению линейных или квадратных уравнений, а в общем случае – к решению алгебраического уравнения степени n . Для наглядности разберем решение примера.

Пример.

Найдите корни целого уравнения 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3 .

Решение.

Сведем решение этого целого уравнения к решению равносильного ему алгебраического уравнения. Для этого, во-первых, перенесем выражение из правой части в левую, в результате приходим к уравнению 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0 . И, во-вторых, преобразуем выражение, образовавшееся в левой части, в многочлен стандартного вида, выполнив необходимые : 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3·x+3)·(x−3)−2·x 2 +x+3= 3·x 2 −9·x+3·x−9−2·x 2 +x+3=x 2 −5·x−6 . Таким образом, решение исходного целого уравнения сводится к решению квадратного уравнения x 2 −5·x−6=0 .

Вычисляем его дискриминант D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49 , он положительный, значит, уравнение имеет два действительных корня, которые находим по формуле корней квадратного уравнения :

Для полной уверенности выполним проверку найденных корней уравнения . Сначала проверяем корень 6 , подставляем его вместо переменной x в исходное целое уравнение: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3 , что то же самое, 63=63 . Это верное числовое равенство, следовательно, x=6 действительно является корнем уравнения. Теперь проверяем корень −1 , имеем 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3 , откуда, 0=0 . При x=−1 исходное уравнение также обратилось в верное числовое равенство, следовательно, x=−1 тоже является корнем уравнения.

Ответ:

6 , −1 .

Здесь еще нужно заметить, что с представлением целого уравнения в виде алгебраического уравнения связан термин «степень целого уравнения». Дадим соответствующее определение:

Определение.

Степенью целого уравнения называют степень равносильного ему алгебраического уравнения.

Согласно этому определению целое уравнение из предыдущего примера имеет вторую степень.

На этом можно бы было закончить с решением целых рациональных уравнений, если бы ни одно но…. Как известно, решение алгебраических уравнений степени выше второй сопряжено со значительными сложностями, а для уравнений степени выше четвертой вообще не существует общих формул корней. Поэтому для решения целых уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней часто приходится прибегать к другим методам решения.

В таких случаях иногда выручает подход к решению целых рациональных уравнений, основанный на методе разложения на множители . При этом придерживаются следующего алгоритма:

  • сначала добиваются, чтобы в правой части уравнения был нуль, для этого переносят выражение из правой части целого уравнения в левую;
  • затем, полученное выражение в левой части представляют в виде произведения нескольких множителей, что позволяет перейти к совокупности нескольких более простых уравнений.

Приведенный алгоритм решения целого уравнения через разложение на множители требует детального разъяснения на примере.

Пример.

Решите целое уравнение (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2·x·(x 2 −10·x+13) .

Решение.

Сначала как обычно переносим выражение из правой части в левую часть уравнения, не забыв изменить знак, получаем (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2·x·(x 2 −10·x+13)=0 . Здесь достаточно очевидно, что не целесообразно преобразовывать левую часть полученного уравнения в многочлен стандартного вида, так как это даст алгебраическое уравнение четвертой степени вида x 4 −12·x 3 +32·x 2 −16·x−13=0 , решение которого сложно.

С другой стороны, очевидно, что в левой части полученного уравнения можно x 2 −10·x+13 , тем самым представив ее в виде произведения. Имеем (x 2 −10·x+13)·(x 2 −2·x−1)=0 . Полученное уравнение равносильно исходному целому уравнению, и его, в свою очередь, можно заменить совокупностью двух квадратных уравнений x 2 −10·x+13=0 и x 2 −2·x−1=0 . Нахождение их корней по известным формулам корней через дискриминант не составляет труда, корни равны . Они являются искомыми корнями исходного уравнения.

Ответ:

Для решения целых рациональных уравнений также бывает полезен метод введения новой переменной . В некоторых случаях он позволяет переходить к уравнениям, степень которых ниже, чем степень исходного целого уравнения.

Пример.

Найдите действительные корни рационального уравнения (x 2 +3·x+1) 2 +10=−2·(x 2 +3·x−4) .

Решение.

Сведение данного целого рационального уравнения к алгебраическому уравнению является, мягко говоря, не очень хорошей идеей, так как в этом случае мы придем к необходимости решения уравнения четвертой степени, не имеющего рациональных корней. Поэтому, придется поискать другой способ решения.

Здесь несложно заметить, что можно ввести новую переменную y , и заменить ею выражение x 2 +3·x . Такая замена приводит нас к целому уравнению (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , которое после переноса выражения −2·(y−4) в левую часть и последующего преобразования образовавшегося там выражения, сводится к квадратному уравнению y 2 +4·y+3=0 . Корни этого уравнения y=−1 и y=−3 легко находятся, например, их можно подобрать, основываясь на теореме, обратной теореме Виета .

Теперь переходим ко второй части метода введения новой переменной, то есть, к проведению обратной замены. Выполнив обратную замену, получаем два уравнения x 2 +3·x=−1 и x 2 +3·x=−3 , которые можно переписать как x 2 +3·x+1=0 и x 2 +3·x+3=0 . По формуле корней квадратного уравнения находим корни первого уравнения . А второе квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Ответ:

Вообще, когда мы имеем дело с целыми уравнениями высоких степеней, всегда надо быть готовым к поиску нестандартного метода или искусственного приема для их решения.

Решение дробно рациональных уравнений

Сначала будет полезно разобраться, как решать дробно рациональные уравнения вида , где p(x) и q(x) – целые рациональные выражения. А дальше мы покажем, как свести решение остальных дробно рациональных уравнений к решению уравнений указанного вида.

В основе одного из подходов к решению уравнения лежит следующее утверждение: числовая дробь u/v , где v – отличное от нуля число (иначе мы столкнемся с , которое не определено), равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, то есть, тогда и только тогда, когда u=0 . В силу этого утверждения, решение уравнения сводится к выполнению двух условий p(x)=0 и q(x)≠0 .

Этому заключению соответствует следующий алгоритм решения дробно рационального уравнения . Чтобы решить дробное рациональное уравнение вида , надо

  • решить целое рациональное уравнение p(x)=0 ;
  • и проверить, выполняется ли для каждого найденного корня условие q(x)≠0 , при этом
    • если выполняется, то этот корень является корнем исходного уравнения;
    • если не выполняется, то этот корень – посторонний, то есть, не является корнем исходного уравнения.

Разберем пример применения озвученного алгоритма при решении дробного рационального уравнения.

Пример.

Найдите корни уравнения .

Решение.

Это дробно рациональное уравнение, причем вида , где p(x)=3·x−2 , q(x)=5·x 2 −2=0 .

Согласно алгоритму решения дробно рациональных уравнений этого вида, нам сначала надо решить уравнение 3·x−2=0 . Это линейное уравнение, корнем которого является x=2/3 .

Осталось выполнить проверку для этого корня, то есть проверить, удовлетворяет ли он условию 5·x 2 −2≠0 . Подставляем в выражение 5·x 2 −2 вместо x число 2/3 , получаем . Условие выполнено, поэтому x=2/3 является корнем исходного уравнения.

Ответ:

2/3 .

К решению дробного рационального уравнения можно подходить с немного другой позиции. Это уравнение равносильно целому уравнению p(x)=0 на переменной x исходного уравнения. То есть, можно придерживаться такого алгоритма решения дробно рационального уравнения :

  • решить уравнение p(x)=0 ;
  • найти ОДЗ переменной x ;
  • взять корни, принадлежащие области допустимых значений, - они являются искомыми корнями исходного дробного рационального уравнения.

Для примера решим дробное рациональное уравнение по этому алгоритму.

Пример.

Решите уравнение .

Решение.

Во-первых, решаем квадратное уравнение x 2 −2·x−11=0 . Его корни можно вычислить, используя формулу корней для четного второго коэффициента , имеем D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12 , и .

Во-вторых, находим ОДЗ переменной x для исходного уравнения. Ее составляют все числа, для которых x 2 +3·x≠0 , что то же самое x·(x+3)≠0 , откуда x≠0 , x≠−3 .

Остается проверить, входят ли найденные на первом шаге корни в ОДЗ. Очевидно, да. Следовательно, исходное дробно рациональное уравнение имеет два корня .

Ответ:

Отметим, что такой подход выгоднее первого, если легко находится ОДЗ, и особенно выгоден, если еще при этом корни уравнения p(x)=0 иррациональные, например, , или рациональные, но с довольно большим числителем и/или знаменателем, к примеру, 127/1101 и −31/59 . Это связано с тем, что в таких случаях проверка условия q(x)≠0 потребует значительных вычислительных усилий, и проще исключить посторонние корни по ОДЗ.

В остальных случаях при решении уравнения , особенно когда корни уравнения p(x)=0 целые, выгоднее использовать первый из приведенных алгоритмов. То есть, целесообразно сразу находить корни целого уравнения p(x)=0 , после чего проверять, выполняется ли для них условие q(x)≠0 , а не находить ОДЗ, после чего решать уравнение p(x)=0 на этой ОДЗ. Это связано с тем, что в таких случаях сделать проверку обычно проще, чем найти ОДЗ.

Рассмотрим решение двух примеров для иллюстрации оговоренных нюансов.

Пример.

Найдите корни уравнения .

Решение.

Сначала найдем корни целого уравнения (2·x−1)·(x−6)·(x 2 −5·x+14)·(x+1)=0 , составленного с использованием числителя дроби. Левая часть этого уравнения – произведение, а правая – нуль, поэтому, согласно методу решения уравнений через разложение на множители, это уравнение равносильно совокупности четырех уравнений 2·x−1=0 , x−6=0 , x 2 −5·x+14=0 , x+1=0 . Три из этих уравнений линейные и одно – квадратное, их мы умеем решать. Из первого уравнения находим x=1/2 , из второго – x=6 , из третьего – x=7 , x=−2 , из четвертого – x=−1 .

С найденными корнями достаточно легко выполнить их проверку на предмет того, не обращается ли при них в нуль знаменатель дроби, находящейся в левой части исходного уравнения, а определить ОДЗ, напротив, не так просто, так как для этого придется решать алгебраическое уравнение пятой степени. Поэтому, откажемся от нахождения ОДЗ в пользу проверки корней. Для этого по очереди подставляем их вместо переменной x в выражение x 5 −15·x 4 +57·x 3 −13·x 2 +26·x+112 , получающихся после подстановки, и сравниваем их с нулем: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0 ;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Таким образом, 1/2 , 6 и −2 являются искомыми корнями исходного дробно рационального уравнения, а 7 и −1 – посторонние корни.

Ответ:

1/2 , 6 , −2 .

Пример.

Найдите корни дробного рационального уравнения .

Решение.

Сначала найдем корни уравнения (5·x 2 −7·x−1)·(x−2)=0 . Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: квадратного 5·x 2 −7·x−1=0 и линейного x−2=0 . По формуле корней квадратного уравнения находим два корня , а из второго уравнения имеем x=2 .

Проверять, не обращается ли в нуль знаменатель при найденных значениях x , достаточно неприятно. А определить область допустимых значений переменной x в исходном уравнении достаточно просто. Поэтому, будем действовать через ОДЗ.

В нашем случае ОДЗ переменной x исходного дробно рационального уравнения составляют все числа, кроме тех, для которых выполняется условие x 2 +5·x−14=0 . Корнями этого квадратного уравнения являются x=−7 и x=2 , откуда делаем вывод про ОДЗ: ее составляют все такие x , что .

Остается проверить, принадлежат ли найденные корни и x=2 области допустимых значений. Корни - принадлежат, поэтому, они являются корнями исходного уравнения, а x=2 – не принадлежит, поэтому, это посторонний корень.

Ответ:

Еще полезным будет отдельно остановиться на случаях, когда в дробном рациональном уравнении вида в числителе находится число, то есть, когда p(x) представлено каким-либо числом. При этом

  • если это число отлично от нуля, то уравнение не имеет корней, так как дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю;
  • если это число нуль, то корнем уравнения является любое число из ОДЗ.

Пример.

Решение.

Так как в числителе дроби, находящейся в левой части уравнения, отличное от нуля число, то ни при каких x значение этой дроби не может равняться нулю. Следовательно, данное уравнение не имеет корней.

Ответ:

нет корней.

Пример.

Решите уравнение .

Решение.

В числителе дроби, находящейся в левой части данного дробного рационального уравнения, находится нуль, поэтому значение этой дроби равно нулю для любого x , при котором она имеет смысл. Другими словами, решением этого уравнения является любое значение x из ОДЗ этой переменной.

Осталось определить эту область допустимых значений. Она включает все такие значения x , при которых x 4 +5·x 3 ≠0 . Решениями уравнения x 4 +5·x 3 =0 являются 0 и −5 , так как, это уравнение равносильно уравнению x 3 ·(x+5)=0 , а оно в свою очередь равносильно совокупности двух уравнений x 3 =0 и x+5=0 , откуда и видны эти корни. Следовательно, искомой областью допустимых значений являются любые x , кроме x=0 и x=−5 .

Таким образом, дробно рациональное уравнение имеет бесконечно много решений, которыми являются любые числа, кроме нуля и минус пяти.

Ответ:

Наконец, пришло время поговорить о решении дробных рациональных уравнений произвольного вида. Их можно записать как r(x)=s(x) , где r(x) и s(x) – рациональные выражения, причем хотя бы одно из них дробное. Забегая вперед, скажем, что их решение сводится к решению уравнений уже знакомого нам вида .

Известно, что перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком приводит к равносильному уравнению, поэтому уравнению r(x)=s(x) равносильно уравнение r(x)−s(x)=0 .

Также мы знаем, что можно любое , тождественно равную этому выражению. Таким образом, рациональное выражение в левой части уравнения r(x)−s(x)=0 мы всегда можем преобразовать в тождественно равную рациональную дробь вида .

Так мы от исходного дробного рационального уравнения r(x)=s(x) переходим к уравнению , а его решение, как мы выяснили выше, сводится к решению уравнения p(x)=0 .

Но здесь обязательно надо учитывать тот факт, что при замене r(x)−s(x)=0 на , и дальше на p(x)=0 , может произойти расширение области допустимых значений переменной x .

Следовательно, исходное уравнение r(x)=s(x) и уравнение p(x)=0 , к которому мы пришли, могут оказаться неравносильными, и, решив уравнение p(x)=0 , мы можем получить корни, которые будут посторонними корнями исходного уравнения r(x)=s(x) . Выявить и не включать в ответ посторонние корни можно, либо выполнив проверку, либо проверив их принадлежность ОДЗ исходного уравнения.

Обобщим эту информацию в алгоритм решения дробного рационального уравнения r(x)=s(x) . Чтобы решить дробное рациональное уравнение r(x)=s(x) , надо

  • Получить справа нуль с помощью переноса выражения из правой части с противоположным знаком.
  • Выполнить действия с дробями и многочленами в левой части уравнения, тем самым преобразовав ее в рациональную дробь вида .
  • Решить уравнение p(x)=0 .
  • Выявить и исключить посторонние корни, что делается посредством их подстановки в исходное уравнение или посредством проверки их принадлежности ОДЗ исходного уравнения.

Для большей наглядности покажем всю цепочку решения дробных рациональных уравнений:
.

Давайте рассмотрим решения нескольких примеров с подробным пояснением хода решения, чтобы прояснить приведенный блок информации.

Пример.

Решите дробное рациональное уравнение .

Решение.

Будем действовать в соответствии с только что полученным алгоритмом решения. И сначала перенесем слагаемые из правой части уравнения в левую, в результате переходим к уравнению .

На втором шаге нам нужно преобразовать дробное рациональное выражение в левой части полученного уравнения к виду дроби . Для этого выполняем приведение рациональных дробей к общему знаменателю и упрощаем полученное выражение: . Так мы приходим к уравнению .

На следующем этапе нам нужно решить уравнение −2·x−1=0 . Находим x=−1/2 .

Остается проверить, не является ли найденное число −1/2 посторонним корнем исходного уравнения. Для этого можно сделать проверку или найти ОДЗ переменной x исходного уравнения. Продемонстрируем оба подхода.

Начнем с проверки. Подставляем в исходное уравнение вместо переменной x число −1/2 , получаем , что то же самое, −1=−1 . Подстановка дает верное числовое равенство, поэтому, x=−1/2 является корнем исходного уравнения.

Теперь покажем, как последний пункт алгоритма выполняется через ОДЗ. Областью допустимых значений исходного уравнения является множество всех чисел, кроме −1 и 0 (при x=−1 и x=0 обращаются в нуль знаменатели дробей). Найденный на предыдущем шаге корень x=−1/2 принадлежит ОДЗ, следовательно, x=−1/2 является корнем исходного уравнения.

Ответ:

−1/2 .

Рассмотрим еще пример.

Пример.

Найдите корни уравнения .

Решение.

Нам требуется решить дробно рациональное уравнение, пройдем все шаги алгоритма.

Во-первых, переносим слагаемое из правой части в левую, получаем .

Во-вторых, преобразуем выражение, образовавшееся в левой части: . В результате приходим к уравнению x=0 .

Его корень очевиден – это нуль.

На четвертом шаге остается выяснить, не является ли найденный корень посторонним для исходного дробно рационального уравнения. При его подстановке в исходное уравнение получается выражение . Очевидно, оно не имеет смысла, так как содержит деление на нуль. Откуда заключаем, что 0 является посторонним корнем. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.

7 , что приводит к уравнению . Отсюда можно заключить, что выражение в знаменателе левой части должно быть равно из правой части, то есть, . Теперь вычитаем из обеих частей тройки: . По аналогии , откуда , и дальше .

Проверка показывает, что оба найденных корня являются корнями исходного дробного рационального уравнения.

Ответ:

Список литературы.

  • Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
  • Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Урок – практикум по алгебре в 8 классе «Решение дробных рациональных уравнений»

Цели урока:

образовательная – повторение, обобщение и систематизация материала темы; совершенствование графической культуры; контроль усвоения знаний и умений.

развивающая - развитие математического и общего кругозора, внимания, умений сравнивать, классифицировать, проводить анализ и самоанализ.

воспитательная - воспитание интереса к математике, ее истории и приложениям; воспитание активности, общей культуры.

Оборудование: м/медиапроектор, презентация, ПК, «Историческое сообщение», опорные конспекты-задания, таблицы-заготовки с графиками на доске.

    Мотивационно - ориентировочный этап

Актуализация знаний

Из предложенных заданий на доске выберите те, которые позволяют повторить:

а) допустимые значения переменной;

б) выделение полного квадрата двучлена;

в) расположение в системе координат графика пропорциональности;

г) вертикальные и горизонтальные асимптоты графика функции;

д) способы решения дробных рациональных уравнений (способы записать на доске, когда дети их назовут):

1) графический;

2) с помощью пропорции – по основному свойству пропорции;

3) преобразование уравнения с использованием условия равенства дроби нулю;

4) условие равенства дробей, у которых одинаковые знаменатели.

Задания на слайде (устная работа)

1. При каких значениях переменной существует данная дробь

а) б)
?

2. Разложите на множители

а) 16x 2 +8xy+y 2 б) x 2 -6x+9

3. Каково расположение графиков функций в системе координат и чем оно определяется

а)
б)

4. Решите уравнение

а)
б)

5. Составьте задачу по рисунку и уравнение:


6. Проведите классификацию уравнений по способам решения

а) х 2 – 11х + 30 = 0;

б). 8х 2 - 7х = 0;

в). х 2 - 4 = 0;

г). х(4х + 9) = 0.;

д)
;

е)
;

ж)
;

II . Основной этап

а) Тренировочные задания (5 человек у доски, остальные в тетради, фронтальная проверка)

Решить на два варианта с «тихим» контролем у доски (графики заготовить).

Вариант 1

1. Решить графически уравнение

Вариант 2

        Решить графически уравнение

Ответ: -3; 2

2. Решить уравнение

2. Решить уравнение

Ответ: 0

Ответ: любое число, кроме 0.

Ответ: любое число, кроме 0.

б) Исторический материал об Омаре Хайяме . (Приложение 3)

Задача. Решить уравнение.

Ешение х

, где
,

в) Дифференцированная работа по группам с элементами самоконтроля на 3 варианта- по уровням.

Я предлагаю вам побывать в роли учителя математики и откорректировать предложенные вам решения уравнений, причем задание у всех разное. Не забудьте отметить выполнение на опорном конспекте по уроку.

Самопроверка по решению у доски (3 ученика)- от каждой группы выходит 1 человек

III.ФИЗМИНУТКА

Упражнения для глаз с использованием геометрических фигур, расположенных на стене классной комнаты.

Цель: расширение зрительной активности, снятие утомления на уроке.

На листе ватмана изображаются различные цветные фигуры (квадрат, круг, ромб и.т.д.), вырезаются и размещаются на стене в кабинете.

Во время физминутки дается задание последовательно перемещать взгляд с одной фигуры на другую (самостоятельно) или по названию фигуры (цвета) учителем. Упражнение можно выполнять сидя и стоя.

Упражнения: «8», «знак бесконечности», «геометрическая зарядка».

Цель: снятие зрительного напряжения.

Задание 1: нарисуйте движениями глаз на доске цифру 8 .

Задание 2: нарисуйте движениями глаз на доске знак бесконечности ∞ .

Данное упражнение можно разнообразить в виде стихотворной инструкции:

Нарисуй глазами треугольник.
Теперь его переверни вершиной вниз.
И вновь глазами ты по периметру веди.
Рисуй восьмерку вертикально.
Ты головою не крути,
А лишь глазами осторожно
Ты вдоль по линиям води.
И на бочок ее клади.
Теперь следи горизонтально,
И в центре ты остановись.
Зажмурься крепко, не ленись.
Глаза открываем мы, наконец.
Зарядка окончилась. Ты – молодец

IV.ТВОРЧЕСКАЯ работа в парах: Нарисовать условие задачи, составить уравнение к задаче:

1. Расстояние между городами скорый поезд, идущий со скоростью 90 км/ч, проходит на 1,5 ч быстрее товарного, который идет со скоростью 60 км/ч. Каково расстояние между городами.

2. Катер прошел 40 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки 3 км/ч?

3. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 15 км/ч, прошла по течению реки 35 км, а против течения 25 км. На путь по течению реки она затратила столько же времени, сколько на путь против течения. Какова скорость течения реки?

5. Турист проплыл на лодке против течения реки 6 км и по озеру 15 км, затратив на путь по озеру на 1 ч больше, чем на путь по реке. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найти скорость лодки при движении по озеру.

6. Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошел 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Найти скорость течения реки.

7. Моторная лодка курсирует между двумя пристанями, расстояние между которыми по реке равно 4 км. На путь по течению у нее уходит на 3 мин меньше, чем на путь против течения. Чему равна скорость течения реки, если известно, что скорость лодки в стоячей воде равна 18 км/ч?

V.Закрепление изученного

А)№695 (а)- у доски с развернутым объяснением

Б) Самостоятельная работа в форме теста (2 варианта). Проверка по ключу на слайде.

А. 2х + 5 = 3(8 - х); Б.
В.
Г.

2. Даны выражения: 1)
2)
3)
. Какие из них не имеют смысл при у = 2?

А. 1 и 2; Б. 1 и 3; В. только 1; Г. 1, 2 и 3.

3. Уравнение
имеет корни:

А. 13; Б. -2 и 4; В. 13, -2 и 4; Г. нет решений.

4. Расстояние по реке между двумя деревнями равно 2 км. На путь туда и обратно моторная лодка затратила 22 мин. Чему равна собственная скорость лодки, если скорость течения реки равна 1 км/ч?

Пусть х км/ч – собственная скорость лодки. Какое из уравнений соответствует условию задачи?

А. 2(х + 1) + 2(х – 1) = 22; Б.
В.

Г.

5. Уравнение
имеет корни:

А. 2,5 и -5; Б. 2,5; В. -5 и 5; Г. 5, -5 и 2,5.

1. Какие из уравнений являются дробными рациональными?

А. 8х + 24 = 3(8 – х 2); Б. В. Г.

2. Даны выражения: 1)
2)
3)
Какие из них не имеют смысл при х = 0?

А. только 1; Б. только 2; В. 2 и 3; Г. 1, 2 и 3.

3. Уравнение
имеет корни:

А. 1 и 3; Б. -1, -3 и 11; В. 11; Г. нет решений.

4. Моторная лодка курсирует между двумя пристанями, расстояние между которыми по реке равно 4 км. На путь по течению у нее уходит на 3 мин меньше, чем на путь против течения. Чему равна скорость течения реки, если известно, что скорость лодки в стоячей воде равна 18 км/ч?

Пусть х км/ч – скорость течения реки. Какое из уравнений соответствует условию задачи?

А.
Б.
В.

Г. 4(18 + х) – 4(18 – х) = 3.

5. Уравнение
имеет корни:

А. 1 и 2; Б. 1; В. -2 и 2; Г. 2, -2 и 1.

Ключ к тесту:

№ варианта

VI.Домашнее задание: №690 (сильным – все, слабым 1 столбик, составить задачу, уравнение к ней и кто смогут -решить по рисунку) ПОДГОТОВИТЬСЯ К ПРОВЕРОЧНОЙ РАБОТЕ

Обратить внимание, что 4 варианта проверочной работы к следующему уроку на ЭЖ.

Закончить предложения с опорного конспекта:

Сегодня на уроке я…

Я понял, что…

Мне бы хотелось…

Я убедился в том, что…

VIII.ОЦЕНИВАНИЕ

ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ

Затрудняюсь

Знаю ли я АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ?

Умею ли я применять его при решении уравнений?

Смогу ли решать уравнения самостоятельно?

Как я оцениваю свою работу на уроке :

Устная работа

Найди ошибку в уравнении

Рисунок и уравнение к задаче

Я ставлю себе за урок

IX.Дополнительно:

Время интересной задачи: Земной шар опоясали ленточкой по экватору. Затем эту ленточку удлинили на 1 м и равномерно распределяли опять вокруг экватора. Пролезет ли в образовавшийся зазор кошка? /Длина экватора, радиус Земли в справочнике по физике/.

Решение. Пусть радиус Земли R см, тогда длина обруча, стягивающего его экватор, равна С = 2 П R см. Когда длину обруча увеличили на 1 м = 100 см, то длина нового обруча оказалась равной С 1 = 2 П R + 100 см, или
С 1 = 2 П R 1 см, где R 1 см - длина радиуса нового обруча. Здесь предполагается, что зазор на каждом участке экватора один и тот же и равен R 1 – R см.по формулам корней квадратного уравнения ; овладение навыками решения рациональных уравнений ... Урок -практикум . На уроке ...

Цели урока:

Обучающая:

  • формирование понятия дробных рационального уравнения;
  • рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
  • рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
  • обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
  • проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.

Развивающая:

  • развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
  • развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций - анализ, синтез, сравнение и обобщение;
  • развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
  • развитие критического мышления;
  • развитие навыков исследовательской работы.

Воспитывающая:

  • воспитание познавательного интереса к предмету;
  • воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
  • воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока : урок – объяснение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

  1. Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными .)
  2. Как называется уравнение №1? (Линейное .) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель ).
  3. Как называется уравнение №3? (Квадратное. ) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия .)
  4. Что такое пропорция? (Равенство двух отношений .) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов .)
  5. Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному .)
  6. Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю .)

3. Объяснение нового материала.

Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

Ответ : 10.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

(х-2)(х-4) = (х+2)(х+3)

х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6

х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

Ответ : 1,5.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

х 2 -7х+12 = 0

D=1›0, х 1 =3, х 2 =4.

Ответ : 3;4.

Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.

(х 2 -2х-5)х(х-5)=х(х-5)(х+5)

(х 2 -2х-5)х(х-5)-х(х-5)(х+5)=0

х 2 -2х-5=х+5

х(х-5)(х 2 -2х-5-(х+5))=0

х 2 -2х-5-х-5=0

х(х-5)(х 2 -3х-10)=0

х=0 х-5=0 х 2 -3х-10=0

х 1 =0 х 2 =5 D=49

х 3 =5 х 4 =-2

х 3 =5 х 4 =-2

Ответ : 0;5;-2.

Ответ : 5;-2.

Объясните, почему так получилось? Почему в одном случае три корня, в другом – два? Какие же числа являются корнями данного дробно-рационального уравнения?

До сих пор учащиеся с понятием посторонний корень не встречались, им действительно очень трудно понять, почему так получилось. Если в классе никто не может дать четкого объяснения этой ситуации, тогда учитель задает наводящие вопросы.

  • Чем отличаются уравнения № 2 и 4 от уравнений № 5,6,7? (В уравнениях № 2 и 4 в знаменателе числа, № 5-7 – выражения с переменной .)
  • Что такое корень уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство .)
  • Как выяснить является ли число корнем уравнения? (Сделать проверку .)

При выполнении проверки некоторые ученики замечают, что приходится делить на нуль. Они делают вывод, что числа 0 и 5 не являются корнями данного уравнения. Возникает вопрос: существует ли способ решения дробных рациональных уравнений, позволяющий исключить данную ошибку? Да, это способ основан на условие равенства дроби нулю.

х 2 -3х-10=0 , D=49 , х 1 =5 , х 2 =-2.

Если х=5, то х(х-5)=0, значит 5- посторонний корень.

Если х=-2, то х(х-5)≠0.

Ответ : -2.

Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данным способом. Дети сами формулируют алгоритм.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

  1. Перенести все в левую часть.
  2. Привести дроби к общему знаменателю.
  3. Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
  4. Решить уравнение.
  5. Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни.
  6. Записать ответ.

Обсуждение: как оформить решение, если используется основное свойство пропорции и умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель. (Дополнить решение: исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель).

4. Первичное осмысление нового материала.

Работа в парах. Учащиеся выбирают способ решения уравнения самостоятельно в зависимости от вида уравнения. Задания из учебника «Алгебра 8», Ю.Н. Макарычев,2007: № 600(б,в,и); № 601(а,д,ж). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Самопроверка: ответы записаны на доске.

б) 2 – посторонний корень. Ответ:3.

в) 2 – посторонний корень. Ответ: 1,5.

а) Ответ: -12,5.

ж) Ответ: 1;1,5.

5. Постановка домашнего задания.

  1. Прочитать п.25 из учебника, разобрать примеры 1-3.
  2. Выучить алгоритм решения дробных рациональных уравнений.
  3. Решить в тетрадях № 600(а,г,д); №601(г,з).
  4. Попробовать решить №696(а)(по желанию).

6. Выполнение контролирующего задания по изученной теме.

Работа выполняется на листочках.

Пример задания:

А) Какие из уравнений являются дробными рациональными?

Б) Дробь равна нулю, когда числитель ______________________ , а знаменатель _______________________ .

В) Является ли число -3 корнем уравнения №6?

Г) Решить уравнение №7.

Критерии оценивания задания:

  • «5» ставится, если ученик выполнил правильно более 90% задания.
  • «4» - 75%-89%
  • «3» - 50%-74%
  • «2» ставится учащемуся, выполнившему менее 50% задания.
  • Оценка 2 в журнал не ставится, 3 - по желанию.

7. Рефлексия.

На листочках с самостоятельной работой поставьте:

  • 1 – если на уроке вам было интересно и понятно;
  • 2 – интересно, но не понятно;
  • 3 – не интересно, но понятно;
  • 4 – не интересно, не понятно.

8. Подведение итогов урока.

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами, проверили свои знания с помощью обучающей самостоятельной работы. Результаты самостоятельной работы вы узнаете на следующем уроке, дома у вас будет возможность закрепить полученные знания.

Какой метод решения дробных рациональных уравнений, по Вашему мнению, является более легким, доступным, рациональным? Не зависимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?

Всем спасибо, урок окончен.

МОУ «Ракитянская средняя общеобразовательная школа № 3

имени Н.Н. Федутенко»

Урок алгебры

«Решение дробных рациональных уравнений»

8 класс

Участник конкурса

Учитель математики

Цецорина С.Н.

п. Ракитное – 1

Тип урока: Закрепление знаний и способов действий

Формы работы: Парная, индивидуальная,групповая

Оборудование: 1. Презентация урока

2. Тексты заданий к проверке домашнего задания, работе

в группах, рефлекия

3. Оценочный лист

4. Открытки – мозаика

5. Отрывок песни «Русскому солдату»

Цели урока:

    Способствовать выработке умений и навыков решать дробные рациональные уравнения, созданию условий для взаимоконтроля, самоконтроля усвоения знаний и умений;

    способствовать закреплению навыка решения линейных уравнений и квадратных уравнений по формуле;

    применять приемы: обобщения, сравнения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти;

    содействовать воспитанию интереса к математике, активности, организованности, умения общаться, любви к родному краю.

Ход урока

    Организационный момент

Ребята, сегодня урок алгебры буду вести я. Меня зовут Светлана Николаевна. Я надеюсь, что урок пройдет в теплой дружеской атмосфере и мы, не смотря на все трудности, вместе добьемся цели.

«Уравнение – это золотой ключ,

открывающий все математические

сезамы» (С. Коваль)

И вы наверное поняли, чтобы проникнуть во все математические сезамы, необходимо научиться решать уравнения.

Ребята, тема урока «Дробные рациональные уравнения». Основными задачами являются:

1. Закрепление решения дробных рациональных уравнений, попутно повторить решение квадратных и линейных уравнений.

Я предлагаю следующую последовательность урока:

1. На этапе проверки домашнего задания проведем тестирование по теории и практике.

2. Актуализация знаний пройдет в форме фронтального опроса.

3. Затем Вас ожидает разноуровневая самостоятельная работа.

4. Итогом урока является оформление оценочного листа и выставление полученных Вами оценок.

    Проверка домашнего задания.

Для проверки домашнего задания я предлагаю вам ТЕСТ , в котором вы проверите себя по основным правилам. (работа в парах). Каждой паре предлагается 1 задание. Букву правильного ответа вписываем на доске в таблицу.

ТЕСТ

    Укажите правильный ответ на вопрос: «Из каких чисел можно извлечь точный квадратный корень?»

а) 64; 0,25; - 4; 7; 1.

с) 64; 0,25; 1.

    Укажите квадратное уравнение, записанное в стандартном виде:

а) ах 2 + b х + с = 0;

б) b х + ах 2 + с = 0.

3. Назовите коэффициенты квадратного уравнения 5х 2 – 13х + 9 = 0

х) a = 5 , b = - 13 , c = 9

б) a = 5 , b = 9 , c = - 13

4. Правильно ли составлено уравнение, у которого первый коэффициент

3 , второй коэффициент (- 5) , свободный член 17:

б) - 5х 2 + 3х + 17 = 0;

а) 3х 2 – 5х + 17 = 0

5. Какое из уравнений является дробным рациональным:

р)
.

6. Каков общий знаменатель у дробей:
и

а) (х + 2); б) (х – 2); н) (х + 2) (х – 2)

7. Какова область допустимых значений выражения

а) х
б) х
и х

8. Каковы корни уравнения х (х + 4) = 0

б) х = 0 и х = 4; я) х = 0 и х = - 4.

Задания при проверке показывают на экране.

Учащиеся работают в тетрадях. Получилось слово «Сахарная». Может кто –то знает эту улицу? Сейчас это улица Федутенко в поселке Ракитное -1 (Сахзавод), она получила это название в 1985 году к 40 –летию Победы в ВОВ, в честь Героя Советского Союза, летчицы, Надежды Никифоровны Федутенко, которая жила на этой улице, училась в нашей школе и в 2008 году школе присвоено ее имя. Я рассказала вам об этом не только потому, что я живу на этой улице, работаю в этой школе. А может вы скажите почему я об этом заговорила? Потому, что в этом году будет праздноваться 65 – летие Победы в ВОВ. Я очень хотела бы, чтобы вы об этом вспомнили и не забыли поздравить ветеранов, живущих рядом с вами..

    Актуализация опорных знаний

Чтобы успешно справиться со следующим заданием давайте напомним алгоритм решения квадратных уравнений. (Фронтальный опрос)

Памятка для решения дробных рациональных уравнений

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений

    Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

    Задать ОДЗ (область допустимых значений). Для этого приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение.

    Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

    Найти дополнительные множители к дробям.

    Решить получившееся целое уравнение.

    Исключить из корней те, которые обращают общий знаменатель в нуль.

В. Для вычисления квадратов чисел от 10 до 99 какой таблицей будем пользоваться?

О. Таблицей квадратов натуральных чисел, которая находится на форзаце учебника

    Работа в группах

У вас на столе находятся карточки с заданиями разных уровней: красный цвет – 5; зеленый – 4; желтый – 3. Вы выбираете сами себе уравнение. Решаете его самостоятельно. Можно в группе решить уравнение и другого уровня. Итог этой работы заключается в следующем: группой решить все уравнения и по ответам собрать свою мозаику. Приклеить ее на лист. Т.к. вы работаете в группах, то друг другу помогаете и по ответам, полученным при решении уравнений вы должны собрать мозаику, где обозначены пейзажи нашего поселка.

Карточка 1 (красная)

=

=

Карточка 2 (зеленая)

а)
=

=

б)
=

=

Карточка 3 (желтая)

а)
=

=
Учащиеся подсчитывают количество баллов и поставьте оценку в оценочный лист. Эти листы сдается учителю.

Оценка «5» - от 8 баллов и выше

Оценка «4» - 7 баллов

Оценка «3» - 4 – 6 баллов

Урок подходит к концу. Спасибо огромное за работу. Мне было легко работать с вами. А что вы можете сказать об уроке, о вашем состоянии на уроке? Прошу найти на столе карточки с рефлексией и назвать одним предложением ваше настроение. Достигли ли мы целей урока, все ли было понятно, и т.д. (по 1 ученику от группы)

    Рефлексия

    Я успеваю улыбнуться

    Сколько слов и надежд

    Давайте горевать и плакать откровенно

    Ой, как хорошо, хоть песни пой

    Доволен я своей судьбой

    Неприятность эту мы переживём

    Ах, зачем же этот день кончается

    Не надо зла таить

    Всё пока ещё в полном порядке

    Кап-кап-кап из глаз на платье

Оценочный лист

Ф.И.

Проверка домашнего задания

Фронтальный опрос

Работа по карточкам

Итог урока

Разделы