Задание по геометрии - вектора.
Решение заданий 4 ВЕКТОРЫ по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2015 года МБОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный учитель математики Е.Ю. Семёнова
По правилу треугольника: Прототип задания B5 (27709) Две стороны прямоугольника ABCD равны 60 и 45. Найдите длину разности векторов и. Ответ: 75. А С В D Решение.
Т.к. векторы, то их скалярное произведение Прототип задания B5 (27710) Две стороны прямоугольника ABCD равны 17 и 26. Найдите скалярное произведение векторов и. Ответ: 0. А С В D Решение.
Прототип задания B5 (27711) Две стороны прямоугольника равны 15 и 23. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину суммы векторов и. Ответ: 15. А С В D О По правилу треугольника: Решение.
Прототип задания B5 (27712) Две стороны прямоугольника равны 13 и 25. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину разности векторов и. Ответ: 25. А С В D О По правилу треугольника: Решение.
Прототип задания B5 (27722) Стороны правильного треугольника ABC равны 18. Найдите скалярное произведение векторов и. Ответ: 162. А С В По определению скалярного произведения, имеем: Решение °
1) координаты вектора: 0 Прототип задания B5 (00000) Дан вектор. Найдите: 1) координаты вектора; 2) длину вектора. Решение. x 9 y Ответ: 1) {8; 6}; 2) 10. 2) длина вектора: или: 9 – 1 8 – 2
Координаты векторов и: 1) скалярное произведение: 2) длины векторов: 0 Прототип задания B5 (00000) Даны векторы и. Найдите: 1) скалярное произведение; 2) длины векторов. Решение. x 8 y Ответ: 1) 40; 2) 40; 80.
Координаты векторов и: 1) сумма координат вектора: 2) квадрат длины вектора: 0 Прототип задания B5 (00000) Даны векторы и. Найдите: 1) сумму координат вектора; 2) найдите квадрат длины вектора. Решение. x 8 y Ответ: 1) 20; 2)) сумма векторов: сумма координат вектора:
Используемые материалы Материалы открытого банка заданий по математике 2015 года
Задачи с векторами на ЕГЭ. Дорогие друзья! Вы знаете, что в состав экзамена по математике входят такие задания. Не факт, что такая задача попадёт именно вам, но готовиться к этому и понимать тему в любом случае нужно. На блоге мы несколько задач на сумму (разность) векторов, длину вектора, в этой же статье есть необходимая теория. Посмотрите её, прежде чем рассматривать задачи представленные ниже.
Также на блоге. Если нужно вспомнить, что такое абсцисса и ордината точки, тогда посмотрите . Кратко повторим:
Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты начала:
Формула для определения длины вектора, если известны координаты его начала и конца:
Формула для определения длины вектора, если известны его координаты:
27725. Вектор АВ с началом в точке A (2;4) имеет координаты (6;2). Найдите ординату точки B .
Как уже сказано координаты вектора находятся следующим образом: и з соответствующих координат конца вычитаются координаты начала вектора. То есть:
Координаты вектора нам даны, координаты его начала тоже, значит:
Следовательно можем найти координаты точки В:
х 2 – 2 = 6 у 2 – 4 = 2
х 2 = 8 у 2 = 6
Таким образом, ордината точки В равна 6.
Ответ: 6
27726. Вектор АВ с началом в точке A (3;6) имеет координаты (9;3). Найдите сумму координат точки B.
Задача по процессу решения такая же как и предыдущая, но иначе поставлен вопрос. Вычисления так же находятся в пределах устного счёта. Ещё раз запишем координаты вектора, когда известны координаты его начала и конца:
Координаты вектора и координаты его начала даны, значит:
Можем найти координаты точки В:
х 2 – 3 = 9 у 2 – 6 = 3
х 2 = 12 у 2 = 9
Таким образом, сумма координат точки В равна 21.
Ответ: 21
27727. Вектор АВ с концом в точке B (5;3) имеет координаты (3;1). Найдите абсциссу и ординату точки A , также сумму её координат.
Нам известны координаты вектора и координаты его конца, значит:
Можем найти координаты точки А:
5 – х 1 = 3 3 – у 1 = 1
х 1 = 2 у 1 = 2
Таким образом, абсцисса точки А равна двум, ордината тоже равна двум, а сумма координат равна 2+2 = 4.
27731 Найдите квадрат длинны вектора a +b .
В данной задаче необходимо найти координаты вектора, который является суммой указанных векторов, затем найти его длину и возвести её в квадрат. Запишем формулу длины вектора, если известны его координаты:
Или в другой форме:
Найдём координаты вектора, который является суммой данных векторов. Для этого сначала найдём координаты данных векторов.
Рассмотрим вектор:
Рассмотрим вектор:
*Можно было глядя на эскиз сразу их записать, так как точки их начал совпадают с началом координат.
Теперь найдём координаты вектора являющегося их суммой:
(2 + 8; 6 + 4) = (10;10)
Таким образом, длина вектора являющегося суммой векторов a и b равна:
Следовательно квадрат длины будет равен 200.
*Имея опыт в решении подобных задач, можно сразу записывать:
Как видите, вычисления можно осуществить устно. Здесь для вас умышленно представлено подробное решение.
Ответ: 200
27733. Найдите квадрат длины вектора a – b .
Задача аналогична предыдущей. Необходимо найти координаты вектора, который является разностью представленных векторов, затем найти его длину и результат возвести в квадрат.
Координаты данных векторов нам уже известны (из предыдущей задачи):
Теперь найдём координаты вектора, который является их разностью:
(2 – 8; 6 – 4) = (–6;2)
Таким образом, длина вектора, который является разностью векторов
Следовательно квадрат её длины будет равен 40.
*Можно сразу записывать и вычислять:
Решение задач. геометрия по теме Векторы
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ
Прототип задания B3
1.Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора.
Решение.
По правилу треугольника:
Найдём длину AD из п/у ∆AOD
(т.к. ABCD – ромб, то АС ⊥ BD
и ВО = ОD = 6, АО = ОС = 8)
Прототип задания B3
Две стороны прямоугольника ABCD
Прототип задания B3
Две стороны прямоугольника ABCD равны 60 и 45
Решение.
По правилу треугольника:
Прототип задания B3
О
Прототип задания B3
Две стороны прямоугольника равны 15 и 23. Диагонали пересекаются в точке О . Найдите длину суммы векторов и.
Решение.
По правилу треугольника:
Прототип задания B3
О . Найдите длину разности векторов и.
Прототип задания B3
Две стороны прямоугольника равны 13 и 25. Диагонали пересекаются в точке О . Найдите длину разности векторов и.
Решение.
По правилу треугольника:
Прототип задания B3
Диагонали ромба ABCD
Прототип задания B3
Диагонали ромба ABCD равны 54 и 72. Найдите длину вектора.
Решение.
Найдём длину из п/у ∆AOB
(т.к. ABCD – ромб, то АС ⊥ BD
и ВО = ОD = 27, АО = ОС = 36)
Прототип задания B3
Диагонали ромба ABCD
Прототип задания B3
Диагонали ромба ABCD равны 44 и 66. Найдите длину вектора.
Решение.
По правилу параллелограмма
Прототип задания B3
ABC
Прототип задания B3
Стороны правильного треугольника ABC равны. Найдите длину вектора.
Решение.
По правилу параллелограмма:
где АО – высота, медиана,
биссектриса р/с ∆ АВС
Ответ: 135.
Прототип задания B3 ЕГЭ
Стороны правильного треугольника ABC
Прототип задания B3 ЕГЭ
Стороны правильного треугольника ABC равны 18. Найдите скалярное произведение векторов и.
Решение.
По определению скалярного
произведения, имеем:
60 °
Ответ: 162.
Дан вектор.
Прототип задания B3(2018 ЕГЭ и задание19 ОГЭ)
Дан вектор.
Найдите: 1) координаты вектора; 2) длину вектора.
8 – 2
Решение.
1) координаты вектора:
2) длина вектора:
9 – 1
Ответ: 1) {8; 6}; 2) 10.
Прототип задания B3(2018 ЕГЭ и задание19 ОГЭ)
Даны векторы и.
Найдите: 1) скалярное произведение; 2) длины векторов.
Решение.
Координаты векторов и:
1) скалярное произведение:
2) длины векторов:
Ответ: 1) 40; 2) √40; √80.
Прототип задания B3(2018 ЕГЭ и задание19ОГЭ
Даны векторы и.
Найдите: 1) сумму координат вектора;
2) найдите квадрат длины вектора.
Решение.
Координаты векторов и:
1) сумма координат вектора:
2) квадрат длины вектора:
1) сумма векторов:
сумма координат вектора:
Ответ: 1) 20; 2) 200.
Прототип задания B3(2018 ЕГЭ и задание19 ОГЭ)
Найдите угол между векторами и.
Ответ дайте в градусах.
Решение.
Координаты векторов и:
Найдём угол между ними через скалярное
произведение:
Прототип задания B3
Две стороны прямоугольника ABCD равны 17 и 26. Найдите скалярное произведение векторов и.
Решение.
Т.к. векторы ⊥ , то
их скалярное произведение
Векторы. Действия с векторами. В этой статье мы поговорим о том, что такое вектор, как находить его длину, и как умножать вектор на число, а также как находить сумму, разность и скалярное произведение двух векторов.
Как обычно, немного самой необходимой теории.
Вектор - это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец:
Здесь точка А - начало вектора, а точка В - его конец.
У вектора есть два параметра: его длина и направление.
Длина вектора - это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора обозначается
Два вектора называются равными , если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.
Два вектора называются сонаправленными , если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону: вектора и сонаправлены:
Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны: вектора и , а также и направлены в противоположные стороны:
Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными : вектора , и - коллинеарны.
Произведением вектора на число называется вектор, сонаправленный вектору , если title="k>0">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :
Чтобы сложить два вектора и , нужно начало вектора соединить с концом вектора . Вектор суммы соединяет начало вектора с концом вектора :
Это правило сложения векторов называется правилом треугольника .
Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма , нужно отложить вектора от одной точки и достроить до параллелограмма. Вектор суммы соединяет точку начала векторов с противоположным углом параллелограмма:
Разность двух векторов определяется через сумму: разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором даст вектор :
Отсюда вытекает правило нахождения разности двух векторов : чтобы из вектора вычесть вектор , нужно отложить эти вектора от одной точки. Вектор разности соединяет конец вектора с концом вектора (то есть конец вычитаемого с концом уменьшаемого):
Чтобы найти угол между вектором и вектором , нужно отложить эти вектора от одной точки. Угол, образованный лучами, на которых лежат вектора, называется углом между векторами:
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
Предлагаю вам решить задачи из Открытого банка заданий для , а затем сверить све решение с ВИДЕОУРОКАМИ:
1 . Задание 4 (№ 27709)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов и .
2 . Задание 4 (№ 27710)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).
3 . Задание 4 (№ 27711)
Две стороны прямоугольника ABCD O . Найдите длину суммы векторов и .
4 . Задание 4 (№ 27712)
Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O . Найдите длину разности векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).
5 . Задание 4 (№ 27713)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора .
6 . Задание 4 (№ 27714)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .
7 .Задание 4 (№ 27715)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .(чертеж из предыдущей задачи).
8 .Задание 4 (№ 27716)
Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .
9 . Задание 4 (№ 27717)
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .
10 . Задание 4 (№ 27718)
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .(чертеж из предыдущей задачи).
11 .Задание 4 (№ 27719)
Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов и .(чертеж из предыдущей задачи).
12 . Задание 4 (№ 27720)
ABC равны Найдите длину вектора +.
13 . Задание 4 (№ 27721)
Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора -.(чертеж из предыдущей задачи).
14 . Задание 4 (№ 27722)
Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).
Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачать
Firefox