Осевая симметрия в пространстве рисунки. Симметрия в пространстве
Цели урока :
Познакомить учащихся с понятием симметрия в пространстве.
Рассмотреть понятие симметрия, используя содержательные связи математики, физики, химии и биологии.
Рассмотреть следующие виды симметрии: центральная, осевая, зеркальная, поворотная, винтовая.
Повышать у учащихся мотивацию изучения математики.
Развивающие:
1. Содействовать развитию познавательной активности.
2. Содействовать развитию воображения.
3. Содействовать развитию коммуникативных умений, умения работать в команде.
Воспитательные:
Содействовать развитию эстетического восприятия учащихся.
Содействовать расширению кругозора у учащихся.
Вид урока : изучение нового материала.
За 2 недели до проведения этого урока учитель должен разделить класс на команды. Каждая команда готовит сообщение по одной из следующих тем: «Симметрия», «Симметрия у растений», «Симметрия у животных», «Симметрия у человека», «Симметрия в химии». Разделение на команды происходит с учетом наличия интереса учащихся к тем или иным предметам. Интерес определяется учителем на основе личных наблюдений и бесед с учащимися.
Каждая команда получает ориентировочный план, в соответствии с которым необходимо подготовить сообщение по предложенной теме. Те пункты, которые указаны в плане, обязательно должны быть освещены.
Например, команда, которая готовит рассказ о симметрии у растений, получает следующий план:
1) вертикальная симметрия;
поворотная симметрия;
винтовая симметрия.
На первой неделе подготовки учащиеся сами ищут необходимую литературу и отбирают материал. В результате у каждого участника команды должен появиться конспект. Если у команды возникают затруднения с поиском материала, то учитель предлагает учащимся список литературы. Кроме того, учитель проводит консультации для тех команд, которые самостоятельно не справляются с подготовкой к уроку.
Можно предложить учащимся разделить обязанности внутри команды. Тогда кто-то из учащихся будет отвечать за поиск и подбор материала, кто-то - за изготовление (поиск) наглядных пособий, кто-то - за изложение материала на уроке, кто-то - за разработку и создание презентации. Однако все учащиеся должны знать материал, с которым работает их команда, и иметь конспект. После выступления каждой команды учитель может задать каждому ее участнику небольшой вопрос по изложенному материалу.
Команды выступают по очереди. Во время выступления команды все остальные учащиеся слушают и заполняют следующую таблицу:
Ход урока :
1. Создание учебной доминанты:
Учащимся предлагается следующее задание: заполните свободные части рисунков числами и фигурами, учитывая вид симметрии.
2. Вводное слово учителя:
Среди бесконечного многообразия форм живой и неживой природы в изобилии встречаются такие совершенные образцы, чей вид неизменно привлекает наше внимание. К числу таких образцов относятся некоторые кристаллы и микробы, многие животные и растения. Мы постоянно любуемся прелестью каждого отдельного цветка, мотылька или раковины и всегда пытаемся проникнуть в тайну красоты. Нас удивляет и архитектура пчелиных сот, и расположение семян на шляпке подсолнечника, и винтообразное расположение листьев на стебле растения.
Внимательное наблюдение обнаруживает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия, точнее, все ее виды - от простейших до самых сложных.
Симметрия (от греческого symmetria - "соразмерность") - соразмерность, полное соответствие в расположении частей целого относительно средней линии, центра; строгая правильность в расположении, размещении чего-либо.
3. Каждая команда выступает со своим докладом.
4. Заключительное слово учителя:
По справедливому замечанию Г.Вейля, у истоков симметрии лежит математика. Вместе с тем симметрия воспринимается нами как элемент красоты вообще и красоты природы в частности. Сегодня мы рассмотрели симметрию с точки зрения математики, биологии, физики и химии. Кроме этого, симметрия широко используется в искусстве, в частности, в архитектуре.
5. Домашнее задание: найти и сделать копии (ксерокопии, фотографии и др.) изображений, раскрывающих тему «Симметрия в архитектуре нашего города». (Можно будет устроить выставку, используя полученные работы).
6. Теперь каждый из вас напишет небольшой синквейн (белый стих), посвященный теме нашего урока. Правила написания синквейна: в первой строке пишется тема (существительное), во второй строке: описание темы двумя прилагательными, в третьей строке: описание действий (три глагола), в четвертой строке: фраза из 4 слов, выражающих отношение к теме, пятая строка: слово, которое раскрывает суть темы, отмеченной в первой строке.
Пособия: таблицы и наглядные пособия по биологии, химии, физике; презентации в Power Point.
Конспект урока по геометрии 10 класс
Тема: Симметрия в пространстве. Симметрия в природе и на практике.
Бурганова Лилия Фаритовна,ГБПОУ «Атнинский сельскохозяйственный техникум им.Габдуллы Тукая»,
с.Большая Атня Атнинского района Республики Татарстан
Описание работы : Конспект урока по дисциплине Математика для 10 класса на тему: Симметрия в пространстве. Симметрия в природе и на практике
Назначение материала: Данный конспект разработан для проведения урока математики в 10-11 классе, материал будет полезен учителям математики старших классов при планировании уроков.
Цель:
Познавательная: обобщение и систематизация знаний по теме «Симметрия на плоскости»; усвоение обучающимися знаний о симметрии в пространстве, преобразования симметрии в пространстве.
Воспитательная: пробуждение устойчивого интереса к предмету и активизации познавательной деятельности обучающихся;
воспитание интереса к своей профессии;
Развивающая: развитие любознательности учащихся, познавательного интереса; развитие памяти; развитие способности обобщать.
Задачи: формировать интерес к изучаемой дисциплине,развивать
общеинтеллектуальные умения: сравнение, анализ, обобщение.
Дидактический материал и оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, учебник В.А.Гусев «Математика», А.Н.Погорелов «Геометрия», раздаточные материалчы (тесты)
Ход урока.
I.Организационный момент. Настрой на урок.Проверка готовности группы к уроку и приветствие всех присутствующих.II.Актуализация знаний учащихся. Ознакомление с порядком проведения урока, рекомендации обучающимся, на что необходимо обратить особое внимание, что следует записать в рабочую тетрадь.
Преподаватель предлагает угадать тему урока, ответив на вопросы (ответ: симметрия).
1.Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. (Стереометрия)
2.Преобразование пространства, сохраняющее расстояние между соответствующими точками.(Изометрия)
3.Фигура, образованная простой замкнутой ломаной и ограниченной ею частью плоскости, называется…(Многоугольник)
4.«Геометрическое тело», поверхность которого состоит из многоугольников называется…(Многогранником)
5.Через две пересекающиеся прямые проходит…плоскость.(единственная)
6.Утверждения, которые необходимо доказать, называются…(Теорема)
7.Как называются два двугранных угла, если они имеют одну и ту же величину?(равными)
8.Плоскости, которые… хотя бы одну общую точку, называются пересекающимися.(имеют)
9.Что вы видите на рисунке? (Прямая)
Преподаватель: «Наш урок посвящен интересной и увлекательной теме раздела геометрии «Симметрия в пространстве». Мы с вами рассмотрим сегодня также симметрию в природе и на практике.
Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека, и употреблялось скульпторами ещё в V веке до н. э.
Слово «симметрия» греческое. Оно означает «соразмерность», «пропорциональность», одинаковость в расположении частей. Его широко используют все без исключения направления современной науки.
Об этой закономерности задумывались многие великие люди. Например, Л.Н.Толстой говорил: «Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражён мыслью: почему симметрия приятна глазу? Что такое симметрия? Это врождённое чувство. На чём же оно основано?»
Сегодня на уроке постараемся ответить на вопросы, которые поставил перед нами Толстой.
Для начала вспомним с вами из курса основной школы такие понятия, как симметрия относительно точки, симметрия относительно прямой, симметрия относительно оси.
Далее рассмотрим симметрию в пространстве, в природе и на практике.
1. Две точки называются симметричными относительно данной точки (центра симметрии) или центрально симметричными, если данная точка является серединой соединяющего их отрезка.
Центральная симметрия - отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно данного центра О.
Примеры центральной симметрии
Геометрические фигуры, обладающие центральной симметрией
Точки А1 и А2 пространства называются симметричными относительно прямой l, если прямая l проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку.
Прямая l при этом называется осью симметрии точек А1 и А2
Фигура называется симметричной относительно прямой l, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой l также принадлежит этой фигуре. Прямая l называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.
Осевая симметрия вокруг нас
Фигуры, обладающие осевой симметрией-Геометрические фигуры, симметричные относительно оси:
(угол, равнобедренный треугольник, прямоугольник, ромб, равносторонний треугольник, квадрат, окружность)
Объяснение новой темы
Используя перпендикулярность прямой и плоскости, введем важное понятие симметрии относительно плоскости, или зеркальной симметрии
Роль плоскости симметрии выполняет зеркало, поэтому такая симметрия и получила название зеркальной.
При зеркальной симметрии каждая точка одной фигуры переходит в симметричную ей точку другой фигуры относительно данной плоскости.
Определение: Точки А и А1 называются симметричными относительно плоскости, если прямая АА1 перпендикулярна плоскости в точке О и ОМ=ОМ1
Пусть у нас есть фигура А и плоскость. Если построить точки, симметричные точкам фигуры А относительно плоскости, мы получим фигуру А1, симметричную фигуре А относительно плоскости.
Определение : Симметрией относительно плоскости называется преобразование пространства, при котором все точки переходят в симметричные им относительно этой плоскости точки.
Говорят, что точка А при симметрии относительно плоскости перешла в точку А1.
Перечислим свойства симметрии относительно плоскости:
1.Зеркальная симметрия является геометрическим преобразованием.
2.При зеркальной симметрии расстояния между соответствующими точками фигур сохраняются.
3.Симметрия относительно плоскости является изометрией.
4.Каждая фигура при зеркальной симметрии переходит в равную ей фигуру.
Мир зеркальной симметрии. Симметрия в природе и на практике.
Отражение в воде – хороший пример зеркальной симметрии в природе.
Мы любуемся пейзажами художников, удачными снимками. Горы красиво отражаются на поверхности озера, придавая снимку законченность. Поверхность озера играет роль зеркала, и воспроизводит отражение с геометрической точностью. Поверхность воды есть плоскость симметрии...
Примерами зеркальных отражений одна другой могут служить рука человека. Эффект зеркальной симметрии часто используют на практике. Так, в обувных магазинах на витрину иногда ставят только одну туфлю. Туфля отражается в зеркале, и зрительно нам кажется, будто мы видим пару туфель.
Герман Вейль сказал: «Симметрия является той идеей, по средствам которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Герман Вейль – это немецкий математик. Его деятельность приходится на I половину XX века.
Именно он сформулировал определение симметрии, установил, по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае
Действительно, симметричность приятна глазу.
Кто не любовался симметричностью творений природы: листьями, цветами, птицами, животными; или творениями человека: зданиями, техникой, - всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии.
В окружающем нас мире много фигур (объектов), имеющих плоскость симметрии. Плоскости симметрии имеют многие инструменты (рубанки, молотки, лопаты). Симметричны относительно плоскости трубы, подшипники, автомобили
а) Архитектурные произведения отражают исключительные свойства симметрии. Большинство зданий зеркально симметричны
б) Узоры на коврах тоже симметричны
в) Симметрия широко встречается в прикладном искусстве. Орнаменты, карнизы имеют в своей основе периодически повторяющийся узор.
г) в быту.
Симметрия в природе
Вопрос: Назовите фигуры или предметы, симметричные относительно плоскости у нас в кабинете.
Давайте послушаем выступление на данную тему (выступление заранее подготовленного обучающегося)
IV. Закрепление знаний.
1.Как вы думаете, где применяется симметрия у вас в профессии? Рассмотрим на примерах.
2.Решение задач.
а) Являются ли точки симметричными относительно данной точки
б) Какие из следующих букв имеют центр симметрии
в) Какие из следующих букв имеют ось симметрии:
г) Являются ли данные точки симметричными относительно оси?
3. Решение ребусов для логического мышления
4.Выполнение тестовой работы в 2 вариантах.
5. Задача по учебнику А.В.Погорелова «Геометрия» №16,17,18
V. Домашняя работа.
1.Ответить на вопросы по учебнику В.А.Гусев «Математика» п.22.2-22.3 стр.261
2.Подготовить презентацию на тему:«Симметрия в природе»
VI. Рефлексия
Что мы с вами проходили на этом уроке?
Перечислите виды симметрий в пространстве?
Зачем нужно знать человеку о симметрии?
VII. Заключение урока, выставление оценок.
. Правильные многогранники.
Определение . Выпуклый многогранник называется правильным , если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер.
Достаточно легко доказать, что правильных многогранников существует всего 5: правильный тетраэдр, правильный гексаэдр, правильный октаэдр, правильный икосаэдр, правильный додекаэдр. Этот поразительный факт дал повод древним мыслителям соотнести правильные многогранники и первоэлементы бытия.
Есть много интересных приложений теории многогранников. Одним из выдающихся результатов в данной области является теорема Эйлера , справедливая не только для правильных, но и для всех выпуклых многогранников.
Теорема : для выпуклых многогранников справедливо соотношение: Г + В – Р = 2 , где В – число вершин, Г – число граней, Р – число ребер.
|
Название многогранника |
Количество граней (Г) |
Количество вершин (В) |
Количество рёбер (Р) |
Первоэлемент бытия |
|
|
тетраэдр | |||||
|
гексаэдр | |||||
|
икосаэдр | |||||
|
додекаэдр |
Вселенная |
||||
|
четырехугольная пирамида | |||||
|
n – угольная пирамида | |||||
|
треугольная призма | |||||
|
n – угольная призма |
Правильные многогранники обладают многими интересными свойствами. Одним из самых поразительных свойств является их двойственность: если соединить отрезками центры граней правильного гексаэдра (куба), то получится правильный октаэдр; и, наоборот, если соединить отрезками центры граней правильного октаэдра, то получится куб. Аналогично, двойственны правильные икосаэдр и додекаэдр. Правильный тетраэдр двойственен сам себе, т.е. если соединить отрезками центры граней правильного тетраэдра, то снова получится правильный тетраэдр.
. Симметрия в пространстве.
Определение . Точки А и В называются симметричными относительно точки О (центр симметрии), если О – середина отрезка АВ . Точка О считается симметричной самой себе.
Определение . Точки А и В называются симметричными относительно прямой а (ось симметрии), если прямая а АВ и перпендикулярна этому отрезку. Каждая точка прямой а
Определение . Точки А и В называются симметричными относительно плоскости β (плоскости симметрии), если плоскость β проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна этому отрезку. Каждая точка плоскости β считается симметричной самой себе.
Определение . Точка (прямая, плоскость) называются центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно неё некоторой точке той же фигуры.
Если фигура имеет центр (ось, плоскость) симметрии, то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией. Центр, ось и плоскости симметрии многогранника называются элементами симметрии этого многогранника.
Пример . Правильный тетраэдр:
– не имеет центра симметрии;
– имеет три оси симметрии – прямые, проходящие через середины двух противоположных рёбер;
Имеет шесть плоскостей симметрии – плоскости, проходящие через ребро перпендикулярно противоположному (скрещивающемуся с первым) ребру тетраэдра.
|
Вопросы и задачи |
Сколько центров симметрии имеет:
а) параллелепипед;
б) правильная треугольная призма;
в) двугранный угол;
г) отрезок;
Сколько осей симметрии имеет:
а) отрезок;
б) правильный треугольник;
Сколько плоскостей симметрии имеет:
а) правильная четырёхугольная призма, отличная от куба;
б) правильная четырёхугольная пирамида;
в) правильная треугольная пирамида;
Сколько и каких элементов симметрии имеют правильные многогранники:
а) правильный тетраэдр;
б) правильный гексаэдр;
в) правильный октаэдр;
г) правильный икосаэдр;
д) правильный додекаэдр?
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
СИММЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ А А 1 О Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О (центр симметрии), если О – середина отрезка АА1 . Точка О считается симметричной самой себе.
СИММЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой (ось симметрии), если прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе. Лист, снежинка, бабочка – примеры осевой симметрии. А 1 А а
СИММЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Точки А и А 1 называются симметричными относительно плоскости (плоскость симметрии), если эта плоскость проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна этому отрезку. Каждая точка плоскости считается симметричной самой себе. А А 1
Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет центр (ось, плоскость) симметрии, то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией. А 1 А О А 1 А О
С симметрией мы часто встречаемся в природе, архитектуре, технике, быту. Так, многие здания симметричны относительно плоскости, например главное здание Московского государственного университета, некоторые виды деталей имеют ось симметрии. Почти все кристаллы, встречающиеся в природе, имеют центр, ось или плоскость симметрии. В геометрии центр, оси и плоскости симметрии многогранника называются элементами симметрии этого многогранника.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Методическое обоснование урока. Использование знаний из физики, астрономии, МХК, биологии на уроке геометрии при обобщении систематизации сведений по теме: «Симметрия в пространстве. Правил...