Предмет изучения теории вероятностей. Примеры случайных явлений

Главная

9 класс

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Условимся, что мы будем понимать под «случайным явлением».

При научном исследовании различных физических и технических задач часто приходится встречаться с особого типа явлениями, которые принято называть случайными. Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

Приведем примеры случайных явлений.

1. Производится стрельба из орудия, установленного под заданным углом к горизонту (рис. 1.1.1).

Пользуясь методами внешней баллистики (науки о движении снаряда в воздухе), можно найти теоретическую траекторию снаряда (кривая на рис. 1.1.1). Эта траектория вполне определяется условиями стрельбы: начальной скоростью снаряда , углом бросания и баллистическим коэффициентом снаряда . Фактическая траектория каждого отдельного снаряда неизбежно несколько отклоняется от теоретической за счет совокупного влияния многих факторов. Среди этих факторов можно, например, назвать: ошибки изготовления снаряда, отклонение веса заряда от номинала, неоднородность структуры заряда, ошибки установки ствола в заданное положение, метеорологические условия и т.д. Если произвести несколько выстрелов при неизменных основных условиях (,, ), мы получим не одну теоретическую траекторию, а целый пучок или «сноп» траекторий, образующих так называемое «рассеивание снарядов».

2. Одно и то же тело несколько раз взвешивается на аналитических весах; результаты повторных взвешиваний несколько отличаются друг от друга. Эти различия обусловлены влиянием многих второстепенных факторов, сопровождающих операцию взвешивания, таких, как положение тела на чашке весов, случайные вибрации аппаратуры, ошибки отсчета показаний приборов и т.д.

3. Самолет совершает полет на заданной высоте; теоретически он летит горизонтально, равномерно и прямолинейно. Фактически полет сопровождается отклонениями центра массы самолета от теоретической траектории и колебаниям самолета около центра массы. Эти отклонения и колебания являются случайными и связаны с турбулентностью атмосферы; от раза к разу они не повторяются.

4. Производится ряд подрывов осколочного снаряда в определенном положении относительно цели. Результаты отдельных подрывов несколько отличаются друг от друга: меняются общее число осколков, взаимное расположение их траекторий, вес, форма и скорость каждого отдельного осколка. Эти изменения являются случайными и связаны с влиянием таких факторов, как неоднородность металла корпуса снаряда, неоднородность взрывчатого вещества, непостоянство скорости детонации и т.п. В связи с этим различные подрывы, осуществленные, казалось бы, в одинаковых условиях, могут приводить к различным результатам: в одних подрывах цель будет поражена осколками, в других – нет.

Все приведенные примеры рассмотрены здесь под одним и тем же углом зрения: подчеркнуты случайные вариации, неодинаковые результаты ряда опытов, основные условия которых остаются неизменными. Эти вариации всегда связаны с наличием каких-то второстепенных факторов, влияющих на исход опыта, но не заданных в числе его основных условий. Основные условия опыта, определяющие в общих и грубых чертах его протекание, сохраняются неизменными; второстепенные – меняются от опыта к опыту и вносят случайные различия в их результаты.

Совершенно очевидно, что в природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повторении опыта результаты полностью и в точности совпадали.

Случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому закономерному явлению. Тем не менее, в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления его упрощенную схему, «модель», и предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определенным образом. При этом из бесчисленного множества факторов, влияющих на данное явление, выделяются самые главные, основные, решающие; влиянием остальных, второстепенных факторов просто пренебрегают. Такая схема изучения явлений постоянно применяется в физике, механике, технике. При пользовании этой схемой для решения любой задачи прежде всего выделяется основной круг учитываемых условий и выясняется, на какие параметры задачи они влияют; затем применяется тот или иной математический аппарат (например, составляются и интегрируются дифференциальные уравнения, описывающие явление); таким образом выявляется основная закономерность, свойственная данному явлению и дающая возможность предсказать результат опыта по его заданным условиям. По мере развития науки число учитываемых факторов становится все больше; явление исследуется подробнее; научный прогноз становится точнее.

Однако для решения ряда вопросов описанная схема – классическая схема так называемых «точных наук» - оказывается плохо приспособленной. Существуют такие задачи, где интересующий нас исход опыта зависит от столь большого числа факторов, что практически невозможно зарегистрировать и учесть все эти факторы. Это – задачи, в которых многочисленные второстепенные, тесно переплетающиеся между собой случайные факторы играют заметную роль, а вместе с тем число их так велико и влияние столь сложно, что применение классических методов исследования себя не оправдывает.

Рассмотрим пример. Производится стрельба по некоторой цели Ц из орудия, установленного под углом к горизонту (рис. 1.1.2). Траектории снарядов, как было указано выше, не совпадают между собой; в результате точки падения снарядов на земле рассеиваются. Если размеры цели велики по сравнению с областью рассеивания, то этим рассеиванием, очевидно, можно пренебречь: при правильной установке орудия любой выпущенный снаряд попадает в цель. Если же (как обычно и бывает на практике) область рассеивания снарядов превышает размеры цели, то некоторые из снарядов в связи с влиянием случайных факторов в цель не попадут. Возникает ряд вопросов, например: какой процент выпущенных снарядов в среднем попадает в цель? Сколько нужно потратить снарядов для того, чтобы достаточно надежно поразить цель? Какие следует принять меры для уменьшения расхода снарядов?

Чтобы ответить на подобные вопросы, обычная схема точных наук оказывается недостаточной. Эти вопросы органически связаны со случайной природой явления; для того, чтобы на них ответить, очевидно, нельзя просто пренебречь случайностью, - надо изучить случайное явление рассеивания снарядов с точки зрения закономерностей, присущих ему именно как случайному явлению. Надо исследовать закон, по которому распределяются точки падения снарядов; нужно выяснить случайные причины, вызывающие рассеивание, сравнить их между собой по степени важности и т.д.

Рассмотрим другой пример. Некоторое техническое устройство, например, система автоматического управления, решает определенную задачу в условиях, когда на систему непрерывно воздействуют случайные помехи. Наличие помех приводит к тому, что система решает задачу с некоторой ошибкой, в ряде случаев выходящей за пределы допустимой. Возникают вопросы: как часто будут появляться такие ошибки? Какие следует принять меры для того, чтобы практически исключить их возможность?

Чтобы ответить на такие вопросы, необходимо исследовать природу и структуру случайных возмущений, воздействующих на систему, изучить реакцию системы на такие возмущения, выяснить влияние конструктивных параметров системы на вид этой реакции.

Все подобные задачи, число которых в физике и технике чрезвычайно велико, требуют изучения не только основных, главных закономерностей, определяющих явление в общих чертах, но и анализа случайных возмущений и искажений, связанных с наличием второстепенных факторов и придающих исходу опыта при заданных условиях элемент неопределенности.

Какие же существуют пути и методы для исследования случайных явлений?

С чисто теоретической точки зрения те факторы, которые мы условно назвали «случайными», в принципе ничем не отличаются от других, которые мы выделили в качестве «основных». Теоретически можно неограниченно повышать точность решения каждой задачи, учитывая все новые и новые группы факторов: от самых существенных до самых ничтожных. Однако практически такая попытка одинаково подробно и тщательно проанализировать влияние решительно всех факторов, от которых зависит явление, привела бы только к тому, что решение задачи, в силу непомерной громоздкости и сложности, оказалось бы практически неосуществимым и к тому же не имело бы никакой познавательной ценности.

Например, теоретически можно было бы поставить и решить задачу б определении траектории вполне определенного снаряда, с учетом всех конкретных погрешностей его изготовления, точного веса и конкретной структуры данного, вполне определенного порохового заряда при точно определенных метеорологических данных (температура, давление, влажность, ветер) в каждой точке траектории. Такое решение не только было бы необозримо сложным, но и не имело бы никакой практической ценности, так как относилось бы только к данному конкретному снаряду и заряду в данных конкретных условиях, которые практически больше не повторятся.

Очевидно, должна существовать принципиальная разница в методах учета основных, решающих факторов, определяющих в главных чертах течение явления, и вторичных, второстепенных факторов, влияющих на течение явления в качестве «погрешностей» или «возмущений». Элемент неопределенности, сложности, многопричинности, присущий случайным явлениям, требует создания специальных методов для изучения этих явлений.

Такие методы и разрабатываются в теории вероятностей. Её предметом являются специфические закономерности, наблюдаемые в случайных явлениях.

Практика показывает, что, наблюдая в совокупности массы однородных случайных явлений, мы обычно обнаруживаем в них вполне определенные закономерности, своего рода устойчивости, свойственные именно массовым случайным явлениям.

Например, если много раз подряд бросить монету, частота появления герба (отношение числа появившихся гербов к общему числу бросаний) постепенно стабилизируется, приближаясь к вполне определенному числу, именно, к ½. Такое же свойство «устойчивости частот» обнаруживается и при многократном повторении любого другого опыта, исход которого представляется заранее неопределенным, случайным. Так, при увеличении числа выстрелов частота попадания в некоторую цель тоже стабилизируется, приближаясь к некоторому постоянному числу.

Рассмотрим другой пример. В сосуде заключен какой-то объем газа, состоящий из весьма большого числа молекул. Каждая молекула за секунду испытывает множество столкновений с другими молекулами, многократно меняет скорость и направление движения; траектория каждой отдельной молекулы случайна. Известно, что давление газа на стенку сосуда обусловлено совокупностью ударов молекул об эту стенку. Казалось бы, если траектория каждой отдельной молекулы случайна, то и давление на стенку сосуда должно было бы изменяться случайным и неконтролируемым образом; однако это не так. Если число молекул достаточно велико, то давление газа практически не зависит от траекторий отдельных молекул и подчиняется вполне определенной и очень простой закономерности. Случайные особенности, свойственные движению каждой отдельной молекулы, в массе взаимно компенсируются; в результате, несмотря на сложность и запутанность отдельного случайного явления, мы получаем весьма простую закономерность, справедливую для массы случайных явлений. Отметим, что именно массовость случайных явлений обеспечивает выполнение этой закономерности; при ограниченном числе молекул начинают сказываться случайные отклонения от закономерности, так называемые флуктуации.

Рассмотрим еще один пример. По некоторой мишени производится один за другим ряд выстрелов; наблюдается распределение точек попадания на мишени. При ограниченном числе выстрелов точки попадания распределяются по мишени в полном беспорядке, без какой-либо видимой закономерности. По мере увеличения числа выстрелов в расположении точек начинает наблюдаться некоторая закономерность; эта закономерность проявляется тем отчетливее, чем большее количество выстрелов произведено. Расположение точек попадания оказывается приблизительно симметричным относительно некоторой центральной точки: в центральной области группы пробоин они расположены гуще, чем по краям; при этом густота пробоин убывает по вполне определенному закону (так называемый «нормальный закон» или «закон Гаусса», которому будет уделено большое внимание в данном курсе).

Подобные специфические, так называемые «статистические», закономерности наблюдаются всегда, когда мы имеем дело с массой однородных случайных явлений. Закономерности, проявляющиеся в этой массе, оказываются практически независимыми от индивидуальных особенностей отдельных случайных явлений, входящих в массу. Эти отдельные особенности в массе как бы взаимно погашаются, нивелируются, и средний результат массы случайных явлений оказывается практически уже не случайным. Именно эта многократно подтвержденная опытом устойчивость массовых случайных явлений и служит базой для применения вероятностных (статистических) методов исследования. Методы теории вероятностей по природе приспособлены только для исследования массовых случайных явлений; они не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений, предсказать средний исход массы аналогичных опытов, конкретный исход каждого из которых остается неопределенным, случайным.

Чем большее количество однородных случайных явлений участвует в задаче, тем определеннее и отчетливее проявляются присущие им специфические законы, тем с большей уверенностью и точностью можно осуществить научный прогноз.

Во всех случаях, когда применяются вероятностные методы исследования, цель их в том, чтобы, минуя слишком сложное (и зачастую практически невозможное) изучение отдельного явления, обусловленного слишком большим количеством факторов, обратиться непосредственно к законам, управляющим массами случайных явлений. Изучение этих законов позволяет не только осуществлять научный прогноз в своеобразной области случайных явлений, но в ряде случаев помогает целенаправленно влиять на ход случайных явлений, контролировать их, ограничивать сферу действия случайности, сужать её влияние на практику.

Вероятностный, или статистический, метод в науке не противопоставляет себя классическому, обычному методу точных наук, а является его дополнением, позволяющим глубже анализировать явление с учетом присущих ему элементов случайности.

Характерным для современного этапа развития естественных и технических наук является весьма широкое и плодотворное применение статистических методов во всех областях знания. Это вполне естественно, так как при углубленном изучении любого круга явлений неизбежно наступает этап, когда требуется не только выявление основных закономерностей, но и анализ возможных отклонений от них. В одних науках, в силу специфики предмета и исторических условий, внедрение статистических методов наблюдается раньше, в других – позже. В настоящее время нет почти ни одной естественной науки, в которой, так или иначе, не применялись бы вероятностные методы. Целые разделы современной физики (в частности, ядерная физика) базируются на методах теории вероятностей. Все шире применяются вероятностные методы в современной электротехнике т радиотехнике, метеорологии и астрономии, теории автоматического регулирования и машинной математике.

Обширно поле применения находит теория вероятностей в разнообразных областях военной техники: теория стрельбы и бомбометания, теория боеприпасов, теория прицелов и приборов управления огнем, аэронавигация, тактика и множество других разделов военной науки широко пользуются методами теории вероятностей и её математическим аппаратом.

Математические законы теории вероятностей – отражение реальных статистических законов, объективно существующих в массовых случайных явлениях природы. К изучению этих явлений теория вероятностей применяет математический метод и по своему методу является одним из разделов математики, столь же логически точным и строгим, как другие математические науки.

Математическая наука, изучающая общие закономерности случайных массовых явлений независимо от их конкретной природы и дающая методы количественной оценки влияния различных случайных факторов на рассматриваемые явления называется теорией вероятностей.

На основе наблюдений и опыта наука приходит к формулировке закономерностей, которым подчиняется течение изучаемых ею явлений. Простейшая и наиболее распространенная схема устанавливаемых закономерностей такова:

Предложение 1. При каждом осуществлении определенного комплекса условий происходит событие А.

Так, например, если вода при атмосферном давлении в 760 мм нагревается выше 100° по Цельсию (комплекс условий), то она превращается в пар (событие А). Или другой пример: при любых химических реакциях каких угодно веществ, без обмена с окружающей средой (комплекс условий) общее количество вещества (материи) остается неизменным (событие А). Последнее утверждение носит название закона сохранения материи. Читатель легко может самостоятельно указать примеры других подобных закономерностей, заимствованных из физики, химии, биологии и других наук.

Определение 1.Событие, которое неизбежно происходит при каждой реализации комплекса условий, называется достоверным.

Определение 2.Если событие A заведомо не может произойти при осуществлении комплекса условий, то оно называется невозможным.

Определение 3. Событие А, которое при реализации комплекса условий может произойти, а может и не произойти, называется случайным.

Из этих определений ясно, что, говоря о достоверности, невозможности, случайности какого-либо события, мы всегда будем иметь в виду его достоверность, невозможность или случайность по отношению к какому-либо определенному комплексу условий.

Простое утверждение о случайности события имеет очень ограниченный познавательный интерес: оно сводится лишь к указанию на то, что комплекс условий не отражает всей совокупности причин, необходимых и достаточных для появления события А. Такое указание нельзя считать совершенно бессодержательным, так как оно может послужить стимулом к дальнейшему изучению условий появления события А, но само по себе оно еще не дает нам положительного знания.

Имеется, однако, широкий круг явлений, когда при многократном осуществлении комплекса условий доля той части случаев, когда событие А происходит, лишь изредка уклоняется сколько-нибудь значительно от некоторой средней цифры, которая, таким образом, может служить характерным показателем массовой операции, (многократного повторения комплекса) по отношению к событию A.

Для указанных явлений возможно не только простое констатирование случайности события А, но и количественная оценка возможности его появления. Эта оценка выражается предложением вида:

Предложение 2. Вероятность того, что при осуществлении комплекса условий произойдет событие А, равна р.

Закономерности этого второго рода называются вероятностными или стохастическими закономерностями.

Вероятностные закономерности играют большую роль в самых различных областях науки.

Несомненно, что понятие математической вероятности заслуживает углубленного философского изучения. И основная специфическая философская проблема, выдвигаемая самим существованием теории вероятностей и успешным ее применением к реальным явлениям, состоит в следующем: при каких условиях имеет объективный смысл количественная оценка вероятности случайного события А при помощи определенного числа Р(A), называемого математической вероятностью события А, и каков объективный смысл этой оценки. Ясное понимание взаимоотношения между философскими категориями случайного и необходимого является неизбежным предварительным условием успешного анализа понятия математической вероятности, но этот анализ не может быть полным без ответа на поставленный нами вопрос о том, при каких условиях случайность допускает количественную оценку в виде числа вероятности.

Число различных определений математической вероятности, предложенное теми или иными авторами, очень велико. Мы не станем сейчас разбираться во всех логических тонкостях этих многочисленных определений. Всякое научное определение такого рода основных понятий, как понятие вероятности, является лишь утонченной логической обработкой некоторого запаса очень простых наблюдений и оправдавших себя долгим успешным применением практических приемов. Интерес к логически безупречному «обоснованию» теории вероятностей возник исторически позднее, чем умение определять вероятности различных событий, производить вычисления с этими вероятностями, а также использовать результаты произведенных вычислений в практической деятельности и в научных исследованиях. Поэтому в основе большинства попыток научного определения общего понятия вероятности легко рассмотреть те или иные стороны конкретного познавательного процесса, приводящего в каждом отдельном случае к фактическому определению вероятности того или иного события, будь то вероятность выпадения хотя бы одной шестерки при четырех бросаниях игральной кости, или вероятность радиоактивного распада, или вероятность попадания в цель.

С очерченной сейчас точки зрения большинство определений математической вероятности может быть разделено на три группы:

1. Определения математической вероятности как количественной меры «степени уверенности» познающего субъекта – субъективная вероятность.

2. Определения, сводящие понятие вероятности к понятию «равновозможности» как к более примитивному понятию (так называемое «классическое» определение вероятности).

3. Определения, отправляющиеся от «частоты» появления события в большом количестве испытаний («статистическое» определение).

Указанные группы по отдельности обладают существенными недостатками и полное понимание природы вероятности требует их разумного синтеза.

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Приведем примеры случайных явлений:

1) Одно и то же тело несколько раз взвешивается на аналитических весах; результаты повторных взвешиваний несколько отличаются друг от друга. Эти различия обусловлены влиянием многих второстепенных факторов, сопровождающих операцию взвешивания, таких, как положение тела на чашке весов, случайные вибрации аппаратуры, ошибки отсчета показаний приборов и т.д.

2) Самолет совершает полет на заданной высоте; теоретически он летит горизонтально, равномерно и прямолинейно. Фактически полет сопровождается отклонениями центра массы самолета от теоретической траектории и колебаниям самолета около центра массы. Эти отклонения и колебания являются случайными и связаны с турбулентностью атмосферы; от раза к разу они не повторяются.

3) Производится ряд подрывов осколочного снаряда в определенном положении относительно цели. Результаты отдельных подрывов несколько отличаются друг от друга: меняются общее число осколков, взаимное расположение их траекторий, вес, форма и скорость каждого отдельного осколка. Эти изменения являются случайными и связаны с влиянием таких факторов, как неоднородность металла корпуса снаряда, неоднородность взрывчатого вещества, непостоянство скорости детонации и т.п. В связи с этим различные подрывы, осуществленные, казалось бы, в одинаковых условиях, могут приводить к различным результатам: в одних подрывах цель будет поражена осколками, в других – нет.

3. Основные понятия теории вероятностей: опыт, исходы опыта, пространство элементарных исходов. Примеры.

Под испытанием (опытом) в теории вероятностей принято понимать наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного комплекса условий, который должен каждый раз строго выполняться при повторении данного испытания. Если то же самое явление наблюдается при другом комплексе условий, то это уже другое испытание.

Исход опыта – результат испытания.
Опр.: Совокупность всех возможных результатов опыта в теории вероятности называется пространством элементарных исходов, мы будем обозначать это пространство греческой буквой W. Элементарные исходы обозначаются как , где i может принимать значения от одного до максимума по числу возможных вариантов результата опыта. Для наглядности W изображают в виде некоторой области на плоскости, а элементарные исходы - точками в этой области. Мы будем также пользоваться математическим обозначением W={ , i=1, ...} для описания того факта, что пространство элементарных исходов W образуется совокупностью всех элементарных исходов .

Пример: При падении монеты существует два элементарных исхода: выпадет герб или выпадет решетка. Оба результата равновероятны, т.е. вероятности того, что монета останется лежать гербом вверх равна 50% (или 1/2), с такой же вероятностью выпадет другая сторона. Какой бы результат не загадал игрок как благоприятный для себя, его шанс выиграть и вероятность проиграть одинаковы.

Пример: При бросании игральной кости существует уже шесть возможных элементарных исходов (количество выпавших очков может меняться от 1 до 6). Если игральная кость имеет правильную форму, все шесть результатов равновероятны. Другими словами, вероятность того, что при единственном выбрасывании кости выпадет, например, шесть очков, равна 1/6. Если только эта цифра считается выигрышем при данном броске, шансов выиграть у игрока в три раза меньше, чем в прошлый раз. Если мы хотим "уровнять" шансы при бросании игральной кости с шансом выиграть при бросании монеты, нам надо изменить правила игры, например, считать выигрышем выпадение любого четного числа. Поскольку игральная кость имеет три грани с четными числами и три грани с нечетными, шансы выиграть и проиграть при единственном броске у нас будут одинаковыми (вероятностью выигрыша станет 1/2, т.е. такой же, как при бросании монеты).

При изучении химии, биологии, математики, физики в средней школе в основном рассматривались такие явления и процессы, в которых можно было точно предсказать результат по заданным начальным условиям. Так, например, при нормальном атмосферном давлении 760 мм рт. ст. температура кипения химически чистой воды равна 100 С; дальность полета тела, брошенного с начальной скоростью v под углом  к горизонту, составляла . Однако в реальной жизни, обществе существует много явлений, в которых невозможно заранее предсказать результат при известных начальных условиях. Так, например, неизвестно заранее, попадет или нет снаряд в цель, выпущенный из орудия с известной начальной скоростью, если цель располагается достаточно далеко. Неизвестно, пойдет или не пойдет дождь завтра, если сегодня мы точно знаем состояние погоды. Неизвестно, состоится или нет дорожно-транспортное происшествие на определенном участке дороги. Неизвестно, сколько завтра произойдет преступлений в городе или в каком-то его районе, хотя все криминологические данные на сегодня известны. Неизвестно, сколько раз попадет в «десятку» спортсмен на соревнованиях из произведенных ста выстрелов.

На все эти вопросы невозможно дать точного ответа, поскольку процессы, описанные в них, лишены полной определенности. В этих явлениях необходимо учитывать не только основные факторы, но и множество второстепенных, приводящих к случайным возмущениям и искажениям результата. Мы знаем дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, однако при моделировании полета снаряда необходимо учитывать не только действие силы тяжести, но и силу сопротивления воздуха, воздействие на снаряд ветра, небольшие отклонения начальной скорости снаряда от заданной и т.д. Безопасность дорожного движения зависит не только от точного выполнения предписанных правил всеми его участниками, но и от огромного числа причин: погоды, состояния дорожного покрытия, освещенности, взаимного расположения автомобилей на дороге, психологического состояния водителей и пешеходов, технического состояния транспортных средств, опыта водителей и многих других. Такие явления называются случайными .

Элемент неопределенности, свойственный случайным явлениям и обусловленный второстепенными факторами, требует специальных методов их изучения. Разработкой таких методов, изучением специфических закономерностей, наблюдаемых в случайных явлениях, и занимается теория вероятностей.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Теория вероятностей не может, да и не ставит задачу ответить на вопрос, произойдет или нет какое-то конкретное, уникальное случайное явление. Однако, если случайные события могут наблюдаться многократно при осуществлении одних и тех же условий (такие случайные события называются массовыми однородными случайными событиями), то, оказывается, существуют определенные закономерности, которым они подчиняются. Установлением таких закономерностей и занимается теория вероятностей.

Итак, предметом изучения теории вероятностей являются закономерности массовых однородных случайных событий. Знание этих закономерностей позволяет прогнозировать характеристики процессов и явлений, в которых присутствуют случайные события. Например, хотя нельзя определить попадет или нет снаряд в конкретном выстреле в определенных условиях, можно предсказать, сколько снарядов попадут в цель, если произведено достаточно много выстрелов, или дать рекомендации, сколько выстрелов необходимо сделать для поражения цели с заданной надежностью.

Теория вероятностей также позволяет по данным вероятностям одних случайных событий находить вероятности других событий, связанных каким-либо образом с первыми. Одна из задач теории вероятностей состоит в выяснении закономерностей, возникающих при взаимодействии большого числа случайных факторов.

Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, принадлежали Л. Пачоли («Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности», 1487г.), Дж. Кардано (рукопись «Книга об игре в кости», датированная 1526г., но изданная лишь в 1563г.), Н. Тарталья («Общий трактат о мере и числе», 1556г.), Галилео Галилею (работа «О выходе очков при игре в кости», изданная в 1718г.), Х. Гюйгенсу (трактат «О расчетах в азартных играх», 1656г.). Становление теории вероятностей как математической науки относится к середине XVII века и связано с попытками создания теории азартных игр. Основателями науки о вероятностях считаются Б. Паскаль и П. Ферма, в переписке которых решена задача о разделе ставок двух и более игроков при неоконченной игре, состоящей из нескольких партий. На развитие теории вероятностей значительное влияние оказали исследования Дж. Граунта и В. Петти по демографии или, как говорили в то время, по политической арифметике. К концу XVII века накопились обширные сведения о случайных событиях, описание решений многих задач теории вероятностей. Однако классическое понятие вероятности было введено лишь в XVIII веке в трактате Я. Бернулли «Искусство предположений» (1713г.), хотя и в далеко несовершенной форме. В трактате Бернулли присутствуют классическая и статистическая концепции вероятности.

Дальнейшее развитие теории вероятностей связано с потребностями развития естествознания и общественной практики (теория ошибок наблюдений, задачи теории стрельбы, проблемы статистики народонаселения). Значительную роль в развитии методов теории вероятностей сыграли А. Муавр, П. Лаплас, К. Гаусс, С. Пуассон, и др. (XVII- XIX вв), русские математики П.Л. Чебышев, А.М. Ляпунов и А.А. Марков (XIX - начало XX в.). В данный период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Значительный вклад в современное развитие этой науки был сделан такими математиками, как С.Н. Бернштейн, В.И. Романовский, АН. Колмогоров, А.Я. Хинчин, Ю.В. Линник, Б.В. Гнеденко, Н.В. Смирнов, Ю.В. Прохоров, Стьюдент (псевдоним В. Госсета), Р. Фишер, Э. Пирсон, Е. Нейман, А. Вальд и др.

В настоящее время математический аппарат теории вероятностей широко используется при изучении массовых явлений в науке, технике, обществе. Методы теории вероятностей играют важную роль при обработке статистических данных.

Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей - математическая наука, занимающаяся изучением закономерностей в случайных явлениях массового характера.

Под случайным принято понимать явление, которое при многократном наблюдении (воспроизведении одного и того же комплекса условий проведения эксперимента) протекает каждый раз по-разному.

Например, в 1827 г. ботаник Р. Броун открыл явление, которое впоследствии было названо броуновским движением. Наблюдая под микроскопом частицы пыльцы, он заметил, что они находятся в непрерывном беспорядочном движении, которое не удается прекратить. Вскоре было обнаружено, что это движение - общее свойство любых мелких частиц, взвешенных в жидкости. Интенсивность движения зависит только от температуры и вязкости жидкости и от размеров частиц. Каждая частица движется по своей собственной траектории, не похожей на траектории других частиц, так что близкие частицы очень быстро становятся удаленными.

Приведем другой пример. Производится стрельба из артиллерийского орудия. С помощью методов баллистики при определенных исходных данных (начальной скорости движения снаряда V 0 , угле бросания © 0 , баллистическом коэффициенте

Рис. 1.1

При реальных стрельбах траектория полета каждого отдельного снаряда будет отклоняться от расчетной. При проведении нескольких выстрелов при одних и тех же исходных данных (V 0 , © 0 , С) будем наблюдать рассеивание траектории полета снарядов относительно расчетной. Это обусловлено действием большого числа второстепенных факторов, влияющих на траекторию полета, но не заданных в числе исходных данных. К таким факторам следует отнести: ошибки при изготовлении снаряда, отклонение веса снаряда от номинального значения, неоднозначность структуры заряда, ошибки в установке угла наклона ствола орудия, метеорологические условия и т. д.

Основные факторы, учитываемые при наблюдении случайного явления, определяют его протекание в общих чертах, и от наблюдения (опыта) к наблюдению не меняются. Второстепенные факторы вызывают различия в их результатах.

Вполне очевидно, что в природе нет ни одного явления, в котором точно и полно учтены факторы, определяющие явление. Невозможно достигнуть того, чтобы при многократных наблюдениях результаты полностью и в точности совпадали.

Иногда при решении практических задач случайными отклонениями пренебрегают, рассматривая не само реальное явление, а его упрощенную схему (модель), полагая, что в данных условиях наблюдения явление протекает вполне определенным образом.

При этом из всей совокупности факторов, влияющих на явление, выделяются основные, наиболее существенные. Влиянием остальных, второстепенных, факторов просто пренебрегают.

Данная схема изучения явлений часто применяется в механике, технике, психологии, экономике и других отраслях знаний. При таком подходе к изучению явлений выявляется основная закономерность, присущая данному явлению и дающая возможность предсказать результат наблюдения при определенных исходных данных. По мере развития науки число учитываемых факторов увеличивается, явление исследуется подробнее, научный прогноз становится точнее. Описанная схема изучения явлений получила название классической схемы, так называемых точных наук.

Однако при решении многих практических задач классическая схема “точных наук” неприменима. Существуют задачи, результат решения которых зависит от достаточно большого числа факторов, зарегистрировать и учесть которые практически невозможно.

Например, производится обстрел объекта из артиллерийского орудия с целью его поражения. Как было отмечено выше, при стрельбе из артиллерийского орудия имеет место рассеивание точек падения снарядов. Если размеры объекта существенно превышают размеры зоны рассеивания, то этим рассеиванием можно пренебречь, поскольку выпущенный снаряд попадет в цель. Если размер объекта меньше размеров зоны рассеивания, то некоторая часть снарядов в цель не попадет. В этих условиях приходится решать задачи, например, по определению среднего числа снарядов, попавших в цель, требуемого числа снарядов для надежного поражения цели и др. При решении таких задач классическая схема “точных наук” оказывается недостаточной. Эти задачи связаны со случайной природой рассеивания снарядов, и при их решении случайностью этого явления пренебрегать нельзя. Необходимо изучить рассеивание снарядов как случайное явление с точки зрения присущих ему закономерностей. Надо исследовать закон распределения координат точек падения снарядов, выяснить источники, вызывающие рассеивание, и т. д.

Рассмотрим еще пример. Система автоматического управления функционирует в условиях непрерывно воздействующих помех. Действие помех приводит к отклонению управляемых параметров от расчетных значений. При исследовании процесса функционирования системы необходимо установить природу и структуру случайных возмущений, выяснить влияние конструктивных параметров системы на вид этой реакции и т. п.

Все подобные задачи, а число их в природе чрезвычайно велико, требуют изучения не только основных закономерностей, определяющих явление в общих чертах, но и анализа случайных возмущений и исключений, связанных с наличием второстепенных факторов и придающих результату наблюдений при заданных исходных данных элемент неопределенности.

С теоретической точки зрения второстепенные (случайные) факторы ничем не отличаются от основных (наиболее существенных). Точность решения задачи можно повышать за счет учета большого числа факторов, от самых существенных до самых ничтожных. Однако это может привести к тому, что решение поставленной задачи ввиду сложности и громоздкости будет практически неосуществимым и не будет представлять никакой ценности.

Очевидно, должна существовать принципиальная разница в методах учета основных факторов, определяющих явление в главных чертах, и второстепенных факторов, влияющих на явление в качестве возмущений. Элементы неопределенности, сложности, присущие случайным явлениям, требуют создания специальных методов для изучения этих явлений.

Такие методы и разрабатываются в теории вероятностей. Ее предметом являются специфические закономерности, наблюдаемые в случайных явлениях. При многократных наблюдениях однородных случайных явлений обнаруживаются в них вполне определенные закономерности, своего рода устойчивости, свойственные именно массовым случайным явлениям.

Например, если много раз подряд бросать монету, то частота появления цифры (отношение числа бросаний, при которых появилась цифра, к общему числу бросаний) постепенно стабилизируется, приближаясь к числу, равному 0,5. Такое же свойство “устойчивости частоты” обнаруживается и при многократном повторении любого другого опыта, исход которого представляется заранее неопределенным (случайным).

Закономерности в случайных явлениях появляются всегда, когда имеют дело с массой однородных случайных явлений. Они оказываются практически независимыми от индивидуальных особенностей отдельных случайных явлений, входящих в массу. Эти отдельные особенности в массе как бы взаимно погашаются, а средний результат массы случайных явлений оказывается практически уже неслучайным.

Методы теории вероятностей приспособлены только для исследования массовых случайных явлений. Они не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но позволяют предсказать средний случайный результат массы однородных случайных явлений, предсказать средний исход массы аналогичных опытов, конкретный исход каждого из которых остается неопределенным (случайным).

Вероятностные методы не противопоставляют себя классическим методам “точных наук”, а являются их дополнением, позволяющим глубже анализировать явление с учетом присущих ему элементов случайности.

В зависимости от сложности случайного явления для его описания используют следующие понятия: случайное событие, случайная величина, случайная функция (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Именно в такой последовательности и будем рассматривать закономерности в случайных явлениях.

Разделы