Цели:

• образовательные:
  • дать представление о симметрии;
  • познакомить с основными видами симметрии на плоскости и в пространстве;
  • выработать прочные навыки построения симметричных фигур;
  • расширить представления об известных фигурах, познакомив со свойствами, связанных с симметрией;
  • показать возможности использования симметрии при решении различных задач;
  • закрепить полученные знания;
• общеучебные:
  • научить настраивать себя на работу;
  • научить вести контроль за собой и соседом по парте;
  • научить оценивать себя и соседа по парте;
• развивающие:
  • активизировать самостоятельную деятельность;
  • развивать познавательную деятельность;
  • учить обобщать и систематизировать полученную информацию;
• воспитательные:
  • воспитываать у учащихся “чувство плеча”;
  • воспитывать коммуникативность;
  • прививать культуру общения.

ХОД УРОКА

Перед каждым лежат ножницы и лист бумаги.

Задание 1 (3 мин).

– Возьмем лист бумаги, сложим его попалам и вырежем какую-нибудь фигурку. Теперь развернем лист и посмотрим на линию сгиба.

Вопрос: Какую функцию выполняет эта линия?

Предполагаемый ответ: Эта линия делит фигуру пополам.

Вопрос: Как расположены все точки фигуры на двух получившихся половинках?

Предполагаемый ответ: Все точки половинок находятся на равном расстоянии от линии сгиба и на одном уровне.

– Значит, линия сгиба делит фигурку пополам так, что 1 половинка является копией 2 половинки, т.е. эта линия непростая, она обладает замечательным свойством (все точки относительно ее находятся на одинаковом расстоянии), эта линия – ось симметрии.

Задание 2 (2 мин).

– Вырезать снежинку, найти ось симметрии, охарактеризовать ее.

Задание 3 (5 мин).

– Начертить в тетради окружность.

Вопрос: Определить, как проходит ось симметрии?

Предполагаемый ответ: По-разному.

Вопрос: Так сколько осей симметрии имеет окружность?

Предполагаемый ответ: Много.

– Правильно, окружность имеет множество осей симметрии. Такой же замечательной фигурой является шар (пространственная фигура)

Вопрос: Какие еще фигуры имеют не одну ось симметрии?

Предполагаемый ответ: Квадрат, прямоугольник, равнобедренный и равносторонний треугольники.

– Рассмотрим объемные фигуры: куб, пирамиду, конус, цилиндр и т.д. Эти фигуры тоже имеют ось симметрии.Определите, сколько осей симметрии у квадрата, прямоугольника, равностороннего треугольника и у предложенных объемных фигур?

Раздаю учащимся половинки фигурок из пластилина.

Задание 4 (3 мин).

– Используя полученную информацию, долепить недостающую часть фигурки.

Примечание: фигурка может быть и плоскостной, и объемной. Важно, чтобы учащиеся определили, как проходит ось симметрии, и долепили недостающий элемент. Правильность выполнения определяет сосед по парте, оценивает, насколько правильно проделана работа.

Из шнурка одного цвета на рабочем столе выложена линия (замкнутая, незамкнутая, с самопересечением, без самопересечения).

Задание 5 (групповая работа 5 мин).

– Определить визуально ось симметрии и относительно нее достроить из шнурка другого цвета вторую часть.

Правильность выполненной работы определяется самими учениками.

Перед учащимися представлены элементы рисунков

Задание 6 (2 мин).

– Найдите симметричные части этих рисунков.

Для закрепления пройденного материала предлагаю следующие задания, предусмотренные на 15 мин.:

Назовите все равные элементы треугольника КОР и КОМ. Каков вид этих треугольников?

2. Начертите в тетради несколько равнобедренных треугольников с общим основанием равным 6 см.

3. Начертите отрезок АВ. Постройте прямую перпендикулярную отрезку АВ и проходящую через его середину. Отметьте на ней точки С и D так, чтобы четырехугольник АСВD был симметричен относительно прямой АВ.

– Наши первоначальные представления о форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века – палеолита. В течение сотен тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях мало отличавшихся от жизни животных. Люди изготовляли орудия для охоты и рыболовства, вырабатывали язык для общения друг с другом, а в эпоху позднего палеолита украшали свое существование, создавая произведения искусства, статуэтки и рисунки, в которых обнаруживается замечательное чувство формы.
Когда произошел переход от простого собирания пищи к активному ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию, человечество вступает в новый каменный век, в неолит.
Человек неолита обладал острым чувством геометрической формы. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок, корзин, тканей, позже – обработка металлов вырабатывали представления о плоскостных и пространственных фигурах. Неолитические орнаменты радовали глаз, выявляя равенство и симметрию.
– А где в природе встречается симметрия?

Предполагаемый ответ: крылья бабочек, жуков, листья деревьев…

– Симметрию можно наблюдать и в архитектуре. Строя здания, строители четко придерживаются симметрии.

Поэтому здания получаются такие красивые. Также примером симметрии служит человек, животные.

Задание на дом:

1. Придумать свой орнамент, изобразить его на листе формат А4 (можно нарисовать в виде ковра).
2. Нарисовать бабочек, отметить, где присутствуют элементы симметрии.

• Центральная симметрия
• Осевая симметрия
• Заключение

Определение

Симметрия (от греч. Symmetria – соразмерность), в широком смысле – неизменность структуры материального объекта относительно его преобразований. Симметрия играет огромную роль в искусстве и архитектуре. Но ее можно заметить и в музыке, и в поэзии. Симметрия широко встречается в природе, в особенности у кристаллов, у растений и животных. Симметрия может встретиться и в других разделах математики, например при построении графиков функций.

Центральная симметрия

Две точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О , если О - середина отрезка АА 1. точка О считается симметричной самой себе.

Построение точки, центрально-симметричной данной

• Построить луч АО
• Измерить длину отрезка АО
• Точка А1 симметрична точке А относительно центра О.

А 1

Построение отрезка, центрально-симметричного данному

• Построить луч АО
• Измерить длину отрезка АО
• Отложить на луче АО по другую сторону от точки О отрезок ОА 1 , равный отрезку ОА.
• Построить луч ВО
• Измерить длину отрезка ВО
• Отложить на луче ВО по другую сторону от точки О отрезок ОВ 1 , равный отрезку ОВ.
• Соединить точки А 1 и В 1 отрезком

А 1

В 1

А 1

С 1

В 1

Центрально-симметричные фигуры равны

Построение фигуры, центрально-симметричной данной

Поворот точки А вокруг центра поворота О на 90 °

А 1

90 °

Повороты точек на различные углы

А 1

135 °

45 °

А 2

90 °

А 3

Осевая симметрия

Преобразование фигуры F в фигуру F 1, при котором каждая ее точка переходит в точку, симметричную относительно данной прямой, называется преобразованием симметрии относительно прямой а . Прямая а называется осью симметрии.

Построение точки, симметричной данной

2. АО=ОА ’

Построение отрезка, симметричного данному

• АА ’  с, АО=ОА ’ .
• ВВ ’  с, ВО ’ =О ’ В ’ .

3. А ’ В ’ – искомый отрезок.

Построение треугольника, симметричного данному

1. AA’  c AO=OA’

2. BB’  c BO’=O’B’

3. СС ’  c С O”=O” С ’

4.  A’B’ С ’ – искомый треугольник.

Построение фигуры, симметричной данной относительно оси симметрии

Фигуры, обладающие одной осью симметрии

Угол

Равнобедренный

треугольник

Равнобедренная трапеция

Фигуры, обладающие двумя осями симметрии

Прямоугольник

Ромб

Фигуры, имеющие более двух осей симметрии

Квадрат

Равносторонний треугольник

Круг

Фигуры, не обладающие осевой симметрией

Произвольный треугольник

Параллелограмм

Неправильный многоугольник

«Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство»

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Аннотация

Уроки в школе – это значительная часть жизни школьников, требующая элементарного комфорта, благоприятного общения. Эффективность учебного процесса зависит не только от способностей прилежания и трудолюбия учеников, наличия целенаправленной мотивации учителя, но и от формы проведения уроков.

Использование информационных технологий позволяет экономить время при объяснении нового материала, представлять материал в наглядном, доступном для восприятия виде, воздействовать на разные системы восприятия учащихся, обеспечивая тем самым лучшее усвоение материала.

Большое внимание уделяется применению полученных знаний по математике в повседневной жизни. Знакомство с красотой в жизни и искусстве не только воспитывает ум и чувство ребёнка, но и способствует развитию воображения и фантазии.Я считаю, что урок с элементами творческой деятельности помогает активизировать мыслительную деятельность школьников и поэтому проходит на высоком эмоциональном уровне, что позволяет рассмотреть большое количество теоретических вопросов и задач, привлечь к работе всех учащихся класса. С целью повышения активности учащихся на протяжении всего урока используется чередование видов деятельности.

На завершающем этапе урока ученики выполняют проверочную работу в виде теста, проводят самопроверку, оценивая свою работу по заданным критериям. Наиболее активной группе учащихся предложен дополнительный материал по изученным темам.

Рефлексия в конце урока помогает определить уровень усвоения материала и поставить цели для дальнейшей работы.

Домашнее задание состоит из двух частей, что позволяет не только продолжить закрепление полученных знаний, но развивать творческие способности детей.

На мой взгляд, такие уроки дают возможность учителю творить, искать, работать на высокие результаты, формировать у учеников универсальные учебные действия – таким образом, готовить их к продолжению образования и к жизни в постоянно изменяющихся условиях.

Цели урока:

• знакомство с понятием осевая симметрия;
• формирование умений строить фигуры симметричные относительно прямой и выявлять осевую симметрию как свойство некоторых геометрических фигур;
• раскрытие связей математики с живой природой, искусством, техникой, архитектурой;
• развитие умений применять знания теории на практике, развитее навыков самоконтроля и взаимоконтроля, самооценки и самоанализа учебной деятельности;
• развитие внимания, наблюдательности, мышления, интереса к предмету, математической речи, стремления к творчеству;
• формирование эстетического восприятия окружающего мира, воспитанию самостоятельности.
• подготовка учащихся к изучению геометрии, углубление имеющихся знаний;

Тип урока: урок «открытия» нового знания.

Оборудование: компьютер, булавка или циркуль, проектор, карточки, геометрические фигуры из бумаги.

ХОД УРОКА

1. Оргмомент

(Слайд 1) Легко отыскать примеры прекрасного, но как трудно объяснить, почему они прекрасны. (Платон)

– Сегодня на уроке мы попытаемся разобраться в некоторых особенностях создания прекрасного!!!

2. Актуализация

– Посмотрите на кленовый лист, снежинку, бабочку. (Слайд 2) Что их объединяет, что у них общего? То, что они симметричны.
– Напомните мне, пожалуйста, что же означает слово «симметрия».
– «Симметрия» по-гречески означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей». Если поставить зеркальце вдоль прочерченной на каждом рисунке прямой, то отраженная на зеркале половинка фигуры дополнит ее до целой. Потому такая симметрия называется зеркальной (осевой).

(Учитель показывает опыт на елочке вырезанной из цветной бумаги)

– Прямая, вдоль которой поставлено зеркало, называется осью симметрии . Если согнуть лист по этой прямой, то эти фигуры полностью совпадут, и мы сможем видеть только одну фигуру. Как вы думаете, какова тема сегодняшнего урока? (Осевая симметрия)

(Слайды 3-4)

– Ребята, сегодня мы научимся строить фигуры симметричные относительно прямой, а также вы узнаете, где применяется осевая симметрия.
– А как же получить симметричные фигуры?
– Для начала рассмотрим самый простой способ получения симметричных фигур.
У каждого из вас на столе лист белой бумаги. Возьмите лист бумаги и перегните его пополам. Теперь на одной стороне постройте треугольник (1 ряд – остроугольный, 2 ряд – прямоугольный, 3 ряд – тупоугольный).
Далее проколите вершины данной фигуры так, чтобы были проколоты обе половинки. Теперь разверните лист и соедините по линейке полученные точки-дырочки . Таким образом, мы с вами построили фигуры, симметричные данным относительно прямой (линии перегиба). Убедитесь в этом . Для этого сложите лист по линии сгиба и посмотрите через него на свет .
– Что вы видите? (Фигуры совпали.)
– Это самый простой способ построения симметричных фигур.
– Но всегда ли на практике, таким образом, мы сможем построить симметричные фигуры?
– А что мы сделали для того, что бы построить симметричные треугольники?
– Перегнули лист пополам.
– Т.е. провели ось симметрии . Дальше.
– Прокололи вершины треугольника.
– Т.е. построили точки, которыми ограничен наш треугольник .
– А это значит, что прежде чем построить фигуру симметричную данной мы должны научится строить в первую очередь что? (Точку симметричную данной.)
– Как это можно сделать, давайте разберемся.

3. Сейчас выполним практическую работу:

– Отметьте точку Аа. Из точки А опустите перпендикуляр АО на прямую а . Теперь от точки О отложите перпендикуляр ОА1= АО . Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а . Такая прямая называется осью симметрии.

(Учитель строит на доске, ученики в тетрадях).

– Какие две точки называются симметричными относительно прямой?
– А как построить фигуру симметричную относительно некоторой прямой?
– Давайте попробуем построить треугольник симметричный относительно прямой.

(Учитель вызывает к доске желающего ученика, остальные работают в тетрадях).

После проделанной работы ученики делают вывод вместе с учителем.

Вывод: Чтобы построить геометрическую фигуру, симметричную данной относительно некоторой прямой, надо построить точки , симметричные значимым точкам (вершинам ) данной фигуры относительно этой прямой и потом соединить эти точки отрезками.

– Ребята, симметричными могут быть не только 2 фигуры , в некоторых фигурах тоже можно провести ось симметрии. Говорят, что такие фигуры обладают осевой симметрией. Назовите фигуры, обладающие осевой симметрией.

(Учитель называет и показывает геометрические фигуры, вырезанные из цветной бумаги)

– А как вы думаете, сколько осей симметрии у равнобедренного треугольника, прямоугольника, квадрата ? (Прямоугольник имеет 2 оси симметрии. Квадрат имеет 4 оси симметрии) – А у круга ? (Круг имеет бесконечно много осей симметрии) .

(Слайды 7-11)

– Назовите фигуры, которые не имеют оси симметрии. (Параллелограмм, разносторонний треугольник, неправильный многоугольник).

– Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Симметрично практически все транспортные средства, предметы домашнего обихода (мебель, посуда), некоторые музыкальные инструменты.
– Приведите примеры предметов имеющих осевую симметрию.

– Законы природы , управляющие неисчерпаемой в своем многообразии картиной явлении, в свою очередь, также подчиняются принципам симметрии. Внимательное наблюдение показывает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия.

(Слайды 12-15)

Симметрия часто встречается в предметах созданных человеком.
Симметрия встречается уже у истоков человеческого развития. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность .

(Слайды 18-19)

Впечатляющие результаты дает симметрия в изобразительном искусстве. (Слайды 20-21)
Художники эпохи Возрождения часто использовали язык симметрии в построении своих композиций. Это следовало из их логики понимания картины как изображения идеального мироустройства, где царит разумная организованность и уравновешенность, которые человек может познать и осмыслить.
В удивительной картине "Обручение девы Марии" великий Рафаэль воспроизвел такой образ мира, существующего по законам гармонии и строгой логики. Использованный принцип симметрии создает впечатление покоя и торжественности и в то же время некой отстраненности от зрителя. Вход в изящную ротонду и кольцо, одеваемое Иосифом на руку Марии, совпадают с центральной осью симметрии картины.
В работе Леонардо «Тайная вечеря» преобладают строгие построения перспективы интерьера. Композиционное развитие здесь базируется на зеркальном повторе правой и левой частей. Конечно, чаще всего в изобразительном искусстве мы говорим о неполной симметрии .
В картине "Три богатыря" русского художника В. Васнецова сами герои полны сдерживаемой силы. Из-за этих небольших отклонений от строгой симметричности возникает ощущение внутренней свободы персонажей, их готовности к движению.
Буквы русского языка тоже можно рассмотреть с точки зрения симметрии. (Слайды 22-23)
Весь алфавит разделен на 4 группы, как вы думаете, по каким критериям я это сделала?
Буквы А, М, Т, Ш, П имеют вертикальную ось симметрии, В, З, К, С, Э, В, Е – горизонтальную. А буквы Ж, Н, О, Ф, Х имеют по две оси симметрии.
Симметрию можно увидеть и в словах: казак, шалаш. Есть и целые фразы с таким свойством (если не учитывать пробелы между словами): “Искать такси”, “Аргентина манит негра”, “Ценит негра аргентинец”. Такие слова называются палиндромами . Ими увлекались многие поэты.
Рассмотрим примеры слов, имеющих горизонтальную ось симметрии:
СНЕЖОК, ЗВОНОК, КОНЕК, НОС
Слова, имеющие вертикальную ось симметрии:

Х	Т
О	О
Л	П
О	О
Д	Т

Некоторые композиторы, в том числе и великий Бах, писали музыкальные палиндромы.

(Слайд 24) Те, кому повезло иметь симметричное лицо, вероятно, уже заметили, что пользуются успехом у противоположного пола. Также это может свидетельствовать об их хорошем здоровье. Дело в том, что лицо с идеальными пропорциями является признаком того, что организм его обладателя хорошо подготовлен для борьбы с инфекциями. Обычная простуда, астма и грипп с высокой вероятностью отступают перед людьми, у которых левая сторона в точности похожа на правую.

Физкультминутка (Слайд 25)

Раз – подняться, потянуться,
Два – согнуться, разогнуться.
Три – в ладоши три хлопка,
Головою тори кивка.
На четыре – руки шире,
Пять – руками помахать,
Шесть – за парту сесть опять.

(Слайд 26-27)

Проводится тест с последующей самопроверкой.

– Не забудем про гимнастику ума. Примеры у нас сегодня тоже симметричные. Кто уже выполнил задание, можете посчитать устно вот эти симметричные примеры. (Слайд 30)

Вариант 1 Вариант 2

1) Б 2) Г 3) Б 4) А 5) В 1) В 2) Б 3) Б 4) Г 5) Г

Оценивание выполненной работы по соответствующим критериям:

«5» – 5 заданий;
«4» – 4 задания;
«3» – 3 задания;
«2» – менее трёх заданий.

– Попробуйте ответить на вопрос какая фигура лишняя и почему? (Слайд 31)

(Фигура № 3, т.к не имеет ось симметрии)

– Молодцы!

5. Итог урока. Рефлексия

– Подходит к концу наш урок, но знакомство с симметрией продолжается. На протяжении всего урока мы выполняли разнообразные задания.
– С каким понятием вы сегодня познакомились?
– Какие цели мы ставили на урок? Мы выполнили поставленные цели? Кто же лучше всех трудился? Кто на уроке отличился? Какое задание вам показалось самым трудным? Какой теоретический материал помог справиться с заданием?
– Какое задание вам показалось самым интересным? Что нового «открыли» вы для себя на уроке? Как вы думаете, над чем, каждому из вас следует потрудиться?

– Ребята, спасибо вам за работу! Без помощи и поддержке друг друга мы не смогли бы достичь цели. Я очень довольна вашей работой на уроке. Считаете ли вы, что мы не напрасно провели эти минуты вместе? Поделитесь своими впечатлениями о нашем уроке.

(Слайды 32-33)

7. Заключение

Действительно симметричные объекты окружают нас буквально со всех сторон, мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. Симметрия противостоит хаосу, беспорядку. Получается, что симметрия – это уравновешенность, упорядоченность, красота, совершенство.
Весь мир можно рассмотреть как проявление единства симметрии и асимметрии. Симметрия многообразна, вездесуща. Она создает красоту и гармонию.
И на вопрос: “Есть ли будущее без симметрии?” мы можем ответить словами классика современного естествознания, мыслителя Владимира Ивановича Вернадского “Принцип симметрии охватывает все новые и новые области…”

Вам понадобится

• - свойства симметричных точек;
• - свойства симметричных фигур;
• - линейка;
• - угольник;
• - циркуль;
• - карандаш;
• - лист бумаги;
• - компьютер с графическим редактором.

Инструкция

Проведите прямую a, которая будет являться осью симметрии. Если ее координаты не заданы, начертите ее произвольно. С одной стороны от этой прямой поставьте произвольную точку A. необходимо найти симметричную точку.

Полезный совет

Свойства симметрии постоянно используются в программе AutoCAD. Для этого используется опция Mirror. Для построения равнобедренного треугольника или равнобедренной трапеции достаточно начертить нижнее основание и угол между ним и боковой стороной. Отразите их с помощью указанной команды и продлите боковые стороны до необходимой величины. В случае с треугольником это будет точка их пересечения, а для трапеции - заданная величина.

С симметрией вы постоянно сталкиваетесь в графических редакторах, когда пользуетесь опцией «отразить по вертикали/горизонтали». В этом случае за ось симметрии берется прямая, соответствующая одной из вертикальных или горизонтальных сторон рамки рисунка.

Источники:

• как начертить центральную симметрию

Построение сечения конуса не такая уж сложная задача. Главное - соблюдать строгую последовательность действий. Тогда данная задача будет легко выполнима и не потребует от Вас больших трудозатрат.

Вам понадобится

• - бумага;
• - ручка;
• - циркль;
• - линейка.

Инструкция

При ответе на этот вопрос, сначала следует определиться – какими параметрами задано сечение.
Пусть это будет прямая пересечения плоскости l с плоскостью и точка О, которая местом пересечения с его сечением.

Построение иллюстрирует рис.1. Первый шаг построения сечения – это через центр сечения его диаметра, продленного до l перпендикулярно этой линии. В итоге получается точка L. Далее через т.О проведите прямую LW, и постройте две направляющие конуса, лежащие в главном сечении О2М и О2С. В пересечении этих направляющих лежат точка Q, а также уже показанная точка W. Это первые две точки искомого сечения.

Теперь проведите в основании конуса ВВ1 перпендикулярный МС и постройте образующие перпендикулярного сечения О2В и О2В1. В этом сечении через т.О проведите прямую RG, параллельную ВВ1. Т.R и т.G - еще две точки искомого сечения. Если бы сечения бал известен, то его можно было бы построить уже на этой стадии. Однако это вовсе не эллипс, а нечто эллипсообразное, имеющее симметрию относительно отрезка QW. Поэтому следует строить как можно больше точек сечения, чтобы соединяя их в дальнейшем плавной кривой получить наиболее достоверный эскиз.

Постройте произвольную точку сечения. Для этого проведите в основании конуса произвольный диаметр AN и постройте соответствующие направляющие О2A и O2N. Через т.О проведите прямую, проходящую через PQ и WG, до ее пересечения с только что построенными направляющими в точках P и E. Это еще две точки искомого сечения. Продолжая так же и дальше, можно сколь угодно искомых точек.

Правда, процедуру их получения можно немного упростить пользуясь симметрией относительно QW. Для этого можно в плоскости искомого сечения провести прямые SS’, параллельные RG до пересечения их с поверхность конуса. Построение завершается скруглением построенной ломаной из хорд. Достаточно построить половину искомого сечения в силу уже упомянутой симметрии относительно QW.

Видео по теме

Совет 3: Как построить график тригонометрической функции

Вам требуется начертить график тригонометрической функции ? Освойте алгоритм действий на примере построения синусоиды. Для решения поставленной задачи используйте метод исследования.

Вам понадобится

• - линейка;
• - карандаш;
• - знание основ тригонометрии.

Инструкция

Видео по теме

Обратите внимание

Если две полуоси однополосного гиперболоида равны, то фигуру можно получить путем вращения гиперболы с полуосями, одна из которых вышеуказанная, а другая, отличающаяся от двух равных, вокруг мнимой оси.

Полезный совет

При рассмотрении этой фигуры относительно осей Oxz и Oyz видно, что ее главными сечениями являются гиперболы. А при разрезе данной пространственной фигуры вращения плоскостью Oxy ее сечение представляет собой эллипс. Горловой эллипс однополосного гиперболоида проходит через начало координат, ведь z=0.

Горловой эллипс описывается уравнением x²/a² +y²/b²=1, а другие эллипсы составляются по уравнению x²/a² +y²/b²=1+h²/c².

Источники:

• Эллипсоиды, параболоиды, гиперболоиды. Прямолинейные образующие

Форма пятиконечной звезды повсеместно используется человеком с древних времен. Мы считаем ее форму прекрасной, так как бессознательно различаем в ней соотношения золотого сечения, т.е. красота пятиконечной звезды обоснована математически. Первым описал построение пятиконечной звезды Евклид в своих "Началах". Давайте же приобщимся к его опыту.

Вам понадобится

• линейка;
• карандаш;
• циркуль;
• транспортир.

Инструкция

Построение звезды сводится к построению с последующим соединением его вершин друг с другом последовательно через одну. Для того чтобы построить правильный необходимо разбить окружность на пять .
Постройте произвольную окружность при помощи циркуля. Обозначьте ее центр точкой O.

Отметьте точку A и при помощи линейки начертите отрезок ОА. Теперь необходимо разделить отрезок OA пополам, для этого из точки А проведите дугу радиусом ОА до пересечения ее с окружностью в двух точках M и N. Постройте отрезок MN. Точка Е, в которой MN пересекает OA, будет делить отрезок OA пополам.

Восстановите перпендикуляр OD к радиусу ОА и соедините точку D и E. Сделайте засечку B на

Если на минутку задуматься и представить у себя в воображении какой-либо предмет, то в 99% случаев фигура, пришедшая на ум, будет правильной формы. Лишь 1 % людей, точнее их воображение, нарисует замысловатый объект, выглядящий совсем неправильно или непропорционально. Это скорее исключение из правил и относится к нетрадиционно размышляющим личностям с особым взглядом на вещи. Но возвращаясь к абсолютному большинству, стоит сказать, что существенная доля правильных предметов все же преобладает. В статье пойдет речь исключительно о них, а именно о симметричном рисовании таковых.

Изображение правильных предметов: всего несколько шагов до законченного рисунка

Прежде чем приступить к рисованию симметричного предмета, нужно его выбрать. В нашем варианте это будет ваза, но даже если она никак не напоминает то, что решили изображать вы, не отчаивайтесь: все шаги абсолютно идентичны. Придерживайтесь последовательности и все получится:

1. У всех предметов правильной формы есть так называемая центральная ось, которую при симметричном рисовании обязательно стоит выделить. Для этого можно даже воспользоваться линейкой и провести по центру альбомного листа прямую линию.
2. Далее внимательно посмотрите на выбранный вами предмет и постарайтесь перенести его пропорции на лист бумаги. Сделать это несложно, если с обеих сторон проведенной заранее линии, наметить легкие штрихи, которые впоследствии станут очертаниями рисуемого предмета. В случае с вазой необходимо выделить горлышко, донышко и самую широкую часть корпуса.
3. Не забывайте о том, что симметричное рисование не терпит неточностей, поэтому если есть некоторые сомнения относительно намеченных штрихов, или вы не уверены в правильности собственного глазомера, перепроверьте отложенные расстояния при помощи линейки.
4. Последний шаг - соединение всех линий воедино.

Симметричное рисование доступно компьютерным пользователям

В силу того что большинство окружающих нас предметов имеют правильные пропорции, иначе говоря симметричны, разработчики компьютерных приложений создали программы, в которых легко можно нарисовать абсолютно все. Достаточно лишь скачать их и наслаждаться творческим процессом. Однако помните, машина никогда не станет заменой остро наточенному карандашу и альбомному листу.