Определение произведения натуральных чисел. Смысл умножения целых чисел

Если концертный зал освещается 3 люстрами по 25 лампочек в каждой, то всего лампочек в этих люстрах будет 25 + 25 + 25, то есть 75.

Сумму, в которой все слагаемые равны друг другу, записывают короче: вместо 25 + 25 + 25 пишут 25 3. Значит, 25 3 = 75 (рис. 43). Число 75 называют произведением чисел 25 и 3, а числа 25 и 3 называют множителями .

Рис. 43. Произведение чисел 25 и 3

Умножить число m на натуральное число n – значит найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.

Выражение m n и значение этого выражения называют произведением чисел m и n . Числа, которые перемножают называют множителями . Т.е. m и n – множители.

Произведения 7 4 и 4 7 равны одному и тому же числу 28 (рис. 44).

Рис. 44. Произведение 7 4 = 4 7

1. Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей .

переместительным

a × b = b × a .

Произведения (5 3) 2 = 15 2 и 5 (3 2) = 5 6 имеют одно и то же значение 30. Значит, 5 (3 2) = (5 3) 2 (рис. 45).

Рис. 45. Произведение (5 3) 2 = 5 (3 2)

2. Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первым множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

Это свойство умножения называют сочетательным . С помощью букв его записывают так:

а (b с) = (а b с).

Сумма n слагаемых, каждое из которых равно 1, равна n. Поэтому верно равенство 1 n = n.

Сумма n слагаемых, каждое из которых равно нулю, равна нулю. Поэтому верно равенство 0 n = 0.

Чтобы переместительное свойство умножения было верно при n = 1 и n = 0, условились, что m 1 = m и m 0 = 0.

Перед буквенными множителями обычно не пишут знак умножения: вместо 8 х пишут 8х , вместо а b пишут а b .

Опускают знак умножения и перед скобками. Например, вместо 2 (а + b ) пишут 2(а+ b ) , а вместо (х + 2) (у + 3) пишут (х + 2) (у + 3).

Вместо (ab ) с пишут abc .

Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо.

Произведения читают, называя каждый множитель в родительном падеже. Например:

1) 175 60 – произведение ста семидесяти пяти и шестидесяти;

2) 80 (х + 1 7) – произведение р.п. р.п.

восьмидесяти и суммы икс и семнадцати

Решим задачу.

Сколько трехзначных чисел (рис. 46) можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, если цифры в записи числа не повторяются?

Решение.

Первой цифрой числа может быть любая из четырех данных цифр, второй – любая из трех других, а третьей – любая из двух оставшихся. Получается:

Рис. 46. К задаче о составлении трехзначных чисел

Всего из данных цифр можно составить 4 3 2 = 24 трехзначных числа.

Решим задачу.

В правление фирмы входят 5 человек. Из своего состава правление должно выбрать президента и вице-президента. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Президентом фирмы можно избрать одного из 5 человек:

Президент:

После того как президент избран, вице-президентом можно выбрать любого из четырех оставшихся членов правления (рис. 47):

Рис. 47. К задаче о выборах

Значит, выбрать президента можно пятью способами, и для каждого выбранного президента четырьмя способами можно выбрать вице-президента. Следовательно, общее число способов выбрать президента и вице-президента фирмы равно: 5 4 = 20 (см. рис. 47).

Решим еще задачу.

Из села Аникеево в село Большово ведут четыре дороги, а из села Большово в село Виноградове – три дороги (рис. 48). Сколькими способами можно добраться из Аникеева в Виноградове через село Большово?

Рис. 48. К задаче о дорогах

Решение.

Если из А в Б добираться по 1-й дороге, то продолжить путь есть три способа (рис. 49).

Рис. 49. Варианты пути

Точно так же рассуждая, получаем по три способа продолжить путь, начав добираться и по 2-й, и по 3-й, и по 4-й дороге. Значит, всего получается 4 3 = 12 способов добраться из Аникеева в Виноградове.

Решим еще одну задачу.

Семье, состоящей из бабушки, папы, мамы, дочери и сына, подарили 5 разных чашек. Сколькими способами можно разделить чашки между членами семьи?

Решение . У первого члена семьи (например, бабушки) есть 5 вариантов выбора, у следующего (пусть это будет папа) остается 4 варианта выбора. Следующий (например, мама) будет выбирать уже из 3 чашек, следующий – из двух, последний же получает одну оставшуюся чашку. Покажем эти способы на схеме (рис. 50).

Рис. 50. Схема к решению задачи

Получили, что каждому выбору чашки бабушкой соответствует четыре возможных выбора папы, т.е. всего 5 4 способов. После того как папа выбрал чашку, у мамы есть три варианта выбора, у дочери – два, у сына – один, т.е. всего 3 2 1 способов. Окончательно получаем, что для решения задачи надо найти произведение 5 4 3 2 1.

Заметим, что получили произведение всех натуральных чисел от 1 до 5. Такие произведения записывают короче:

5 4 3 2 1 = 5! (читают: «пять факториал»).

Факториал числа – произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа.

Итак, ответ задачи: 5! = 120, т.е. чашки между членами семьи можно распределить ста двадцатью способами.

- (product) Результат умножения. Произведение чисел, алгебраических выражений, векторов или матриц; может быть показано точкой, косой крестик или же просто написанием их последовательно один за другим, т.е. f(x).g(y), f(x) x g(y), f(x)g(y)… … Экономический словарь

Наука о целых числах. Понятие целого числа (См. Число), а также арифметических операций над числами известно с древних времён и является одной из первых математических абстракций. Особое место среди целых чисел, т. е. чисел..., 3 … Большая советская энциклопедия

Сущ., с., употр. часто Морфология: (нет) чего? произведения, чему? произведению, (вижу) что? произведение, чем? произведением, о чём? о произведении; мн. что? произведения, (нет) чего? произведений, чему? произведениям, (вижу) что? произведения,… … Толковый словарь Дмитриева

Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия

В арифметике под умножением понимают краткую запись суммы одинаковых слагаемых. Например, запись 5*3 обозначает «5 сложить с собой 3 раза», то есть является просто краткой записью для 5+5+5. Результат умножения называется произведением, а… … Википедия

Раздел теории чисел, основной задачей к рого является изучение свойств целых чисел полей алгебраических чисел конечной степени над полем рациональных чисел. Все целые числа поля расширения К поля степени п могут быть получены с помощью… … Математическая энциклопедия

Теория чисел, или высшая арифметика раздел математики, изучающий целые числа и сходные объекты. В теории чисел в широком смысле рассматриваются как алгебраические, так и трансцендентные числа, а также функции различного происхождения, которые… … Википедия

Раздел теории чисел, в к ром изучаются закономерности распределения простых чисел (п. ч.) среди натуральных чисел. Центральной является проблема наилучшего асимптотич. выражения при функции p(х), обозначающей число п. ч., не превосходящих х, а… … Математическая энциклопедия

- (в зарубежной литературе scalar product, dot product, inner product) операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов сомножителей и угол между… … Википедия

Определённая на векторном пространстве L над полем K симметричная эрмитова форма, рассматриваемая обычно в качестве составной части определения этого пространства, делающей пространство (в зависимости от типа пространства и свойств внутреннего … Википедия

Книги

• Сборник задач по мат-ке , Бачурин В.. Рассматриваемые в книге вопросы по математике вполне отвечают содержанию любой из трех программ: школьной, подготовительных отделений, вступительных экзаменов. Ихотя эта книга называется…
• Живая материя. Физика живого и эволюционных процессов , Яшин А.А.. В настоящей монографии обобщены исследования автора за последние несколько лет. Экспериментальные результаты, представленные в книге, получены Тульской научной школой биофизики полей и…

Задача 1.2
Даны два целых числа Х и Т. Если они имеют разные знаки, то присвоить Х значение произведения этих чисел, а Т - значение их разности по модулю. Если числа имеют одинаковые знаки, то присвоить Х значение разности по модулю исходных чисел, а Т - значение произведения этих чисел. Новые значения Х и Т вывести на экран.

Задача тоже несложная. “Непонятки” могут возникнуть только в том случае, если вы забыли, что такое разность по модулю (надеюсь, что такое произведение двух целых чисел, вы всё-таки помните))).

Разность по модулю двух чисел

Разность по модулю двух целых чисел (хотя не обязательно целых - это не имеет значения, просто в нашей задаче числа целые) - это, говоря по простому, когда итогом вычисления является модуль разности двух чисел.

То есть сначала выполняется операция вычитания одного числа из другого. А затем вычисляется модуль результата этой операции.

Математически это можно записать так:

Если кто забыл, что такое модуль или как его вычислить в Паскале, то см. .

Алгоритм определения знаков двух чисел

Решение задачи в целом довольно простое. Трудность у новичков может вызвать лишь определение знаков двух чисел. То есть надо ответить на вопрос: как узнать, имеют числа одинаковые знаки или разные.

Сначала напрашивается поочерёдное сравнение чисел с нулём. Это допустимо. Но исходный код будет довольно большим. Поэтому более правильно использовать такой алгоритм:

1. Умножить числа друг на друга
2. Если результат меньше нуля, значит у чисел разные знаки
3. Если результат равен нулю или больше нуля, то у чисел одинаковые знаки

Этот алгоритм я выполнил в виде отдельной . А сама программа получилась такой, как показано в примерах на Паскале и С++ ниже.

Решение задачи 1.2 на Паскале program checknums; var A, X, T: integer; //**************************************************************** // Проверяет, имеют ли числа N1 и N2 одинаковые знаки. Если да, то // возвращает TRUE, иначе - FALSE //**************************************************************** function ZnakNumbers(N1, N2: integer) : boolean; begin := (N1 * N2) >= 0; end; //**************************************************************** // ОСНОВНАЯ ПРОГРАММА //**************************************************************** begin Write("X = "); ReadLn(X); Write("T = "); ReadLn(T); if ZnakNumbers(X, T) then //Если числа имеют одинаковые знаки begin A:= (X - T); //Получить разность по модулю исходных чисел T:= X * T; end else //Если числа имеют разные знаки begin A:= X * T; T:= Abs(X - T); end; X:= A; //Записать в Х значение А WriteLn("X = ", X); //Вывести Х WriteLn("T = ", T); //Вывести Т WriteLn("The end. Press ENTER..."); ReadLn; end.

Решение задачи 1.2 на С++ #include #include using namespace std; int A, X, T; //**************************************************************** // Проверяет, имеют ли числа N1 и N2 одинаковые знаки. Если да, то // возвращает TRUE, иначе - FALSE //**************************************************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) { return ((N1 * N2) >= 0); } //**************************************************************** // ОСНОВНАЯ ПРОГРАММА //**************************************************************** int main(int argc, char *argv) { cout > X; cout > T; if (ZnakNumbers(X, T)) //Если числа имеют одинаковые знаки { A = abs(X - T); //Получить разность по модулю исходных чисел T = X * T; } else //Если числа имеют разные знаки { A = X * T; T = abs(X - T); } X = A; //Записать в Х значение А cout

Оптимизация

Эту простую программу можно ещё немного упростить, если не использовать функцию и немного переделать исходный код программы. При этом общее количество строк исходного кода немного сократится. Как это сделать - подумайте сами.