Полная площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Как вычислить площадь параллелепипеда

Призма, у которой все стороны являются параллелограммами, и есть параллелепипед. Коробка, холодильник, здания, аквариум, кусочек сахара-рафинада – вот немногие примеры параллелепипеда в нашей повседневной жизни.

Разновидность, свойства параллелепипеда

Различают прямой и наклонный параллелепипед.

Прямой – это тот, ребра которого перпендикулярны основанию плоскости. Если основанием является прямоугольник, тогда фигура называется прямоугольным параллелепипедом. Если основанием и боковыми гранями является квадрат – куб.

Наклонный параллелепипед имеет наклон боковых граней к основанию под углом, отличным от 90 градусов.

Свойства параллелепипеда:

• Противоположные грани равны и параллельны.
• Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов 3-х его измерений, т.е. D^2=a^2+b^2+c^2.
• Все диагонали пересекаются в одной точке, делящей их пополам.
• Параллелепипед симметричен по отношению к середине его диагонали.

Площадь поверхности параллелепипеда

Как известно, существует несколько разновидностей параллелепипеда, поэтому и формулы для нахождения площади полной поверхности будут различаться.

Прямоугольный параллелепипед

У прямоугольного параллелепипеда основания и боковые грани – прямоугольники.

В данном случае используется формула S(п)=2(a*b+b*c+a*c).

Куб

Куб является частным случаем параллелепипеда. У него все стороны равны. Воспользовавшись формулой выше, получаем S(п)=2(a*a+a*a+a*a). В результате преобразования можно получить сокращенную версию формулы для нахождения площади полной поверхности куба S(п)=6*a^2.

Прямой параллелепипед

В то время, когда у прямоугольного параллелепипеда основанием является прямоугольник, прямой может иметь там любой параллелограмм, будь то квадрат или ромб. Именно поэтому формула для нахождения площади полной поверхности такой фигуры будет иной: S(п)=S(б)+2S(о), где S(о) – площадь основания, S(б) – площадь боковой поверхности.

Площадь основания S(о) будет зависеть от того, какая фигура лежит в основании.

В свою очередь, площадь боковой поверхности рассчитывается, как S(б)=P(о)*h, где P(о) – периметр основания, h – высота.

Как найти площадь поверхности параллелепипеда – пример

Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Меньшая его диагональ равна 5 см, большая диагональ – 9 см, периметр равен 20 см. Найти площадь полной поверхности параллелепипеда, если его высота равна 6 см.

Для решения задачи понадобится формула S(п)=S(б)+2S(о).

В основании параллелепипеда лежит ромб, следовательно, его площадь необходимо найти.

S(б)=P(о)*h=20*6=120 см^2

S(о)=(d1+d2)/2=(5+9)/2=7см^2

Подставив данные в формулу, получаем S(п)=120+2*7=134 см^2.

Человека окружает множество вещей-параллелепипедов. Системный блок компьютера, кирпич, шкаф, различные архитектурные сооружения. Даже не замечая, параллелепипед занял значимое место в современном мире.

При изучении школьной математики часто встречаются задания, в которых требуется определить полную или боковую площадь поверхности прямоугольного или обычного параллелепипеда. Научимся это делать.

Для того, чтобы научиться вычислять площадь поверхности параллелепипеда необходимо представлять, что это такое.

Изучим основные понятия. В дальнейших наших рассуждениях площадь будем обозначать латинской буквой S, угол между сторонами a и b будем обозначать как (ab).

Параллелепипедом в математике именуется четырехугольная призма , у которой все грани являются параллелограммами.

1. Грань - одна из поверхностей пространственного тела.
2. Параллелограмм - четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами.
3. Поверхности параллелепипеда это сумма поверхностей всех его граней.
4. Прямоугольный параллелепипед - пространственное тело у которого гранями являются прямоугольники.
5. Прямоугольник - четырёхугольник у которого все углы прямые.
6. Куб - пространственное тело у которого гранями являются квадраты.
7. Квадрат - прямоугольник у которого все стороны равны между собой.
8. Равными называются фигуры, совмещающиеся при наложении.

Нахождение площадей фигур

Рассмотрим, как находятся площади, могущие составлять грани параллелепипеда.

1. Площадь квадрата равна произведению его стороны самой на себя. Формула площади квадрата имеет вид S = a*a = a^2.
2. Прямоугольника — вычисляется с помощью умножения большей его стороны (длины) на меньшую его сторону (ширину). Формула площади прямоугольника имеет вид S = a*b.
3. Параллелограмма — найти сложнее и имеется несколько различных способов. Наиболее часто в математике применяются формулы для нахождения с помощью стороны и опущенной на неё высоты или двух сторон и синуса угла между ними. Записываются они следующим образом: S = a*h, S = a*b*sin (ab).

Рассмотрим на примерах как найти площадь каждой из рассматриваемых нами фигур .

1. Длина стороны квадрата равна 1600 метров. Определим его площадь .

• S = a*a, отсюда в искомом случае S = 1600*1600 = 2 560 000 метров квадратных.

2. Стороны прямоугольника равны 90 и 200 метров соответственно. Определим его S .

• S = a*b, следовательно в нашем варианте получится S = 90*200 = 18 000 метров квадратных.

3. С параллелограммом рассмотрим два случая нахождения .

Сторона равна 300 метров, а опущенная на неё высота 250 метров. Тогда получится:

• S = a*h = 300*250 = 75 000 метров квадратных.

Второй вариант - стороны равны 550 и 200 метров соответственно. Угол между ними 30 градусов. Имеем:

• S = a*b*sin (ab) = 550*200*sin 30 = 110 000*0.5 = 55 000 квадратных метров.

Как видно из примеров, приведённых выше, никаких сложностей нет.

Так как наши тела имеют три принципиально различных варианта, то каждый из них мы рассмотрим в отдельности. Учтём, что полной поверхностью является сумма площадей всех граней тела, а боковой - только боковых граней.

Здесь все крайне просто - грани этой фигуры равны между собой, так что S = a*a*6 .

На примере это выглядит следующим образом:

Сторона равна 88 сантиметров. Площадь полной поверхности?

При данных условиях имеем:

S = a*a*6 = 88*88*6 = 46 464 сантиметра квадратного.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Здесь все так же довольно легко - нужно помнить, что противоположные грани равны. Таким образом, находим поверхность трёх различных граней, и каждую удваиваем. Формулы нахождения будут выглядеть следующим образом:

S = 2*(S1 + S2 + S3), где S1, S2, S3 площади всех граней соответственно.

Второй вариант S = 2*(a*b + a*c + b*c), где a, b, c соответствующие рёбра прямоугольного параллелепипеда.

Снова рассмотрим пример . Пусть рёбра прямоугольного параллелепипеда равняются 20, 30 и 40 метров. Площадь полной поверхности?

Имеем, S = 2*(a*b + a*c + b*c) = 2*(20*30 + 20*40 + 30*40) = 2*(600 + 800 + 1200) = 2*2600 = 5 200 квадратных метров.

Как видно, находить площадь прямоугольного параллелепипеда также совершенно несложно.

Теперь рассмотрим случай когда заданное нам тело имеет вид простого параллелепипеда, его гранями являются обычные параллелограммы. Здесь, как и в предыдущем случае противоположные грани равны. Следовательно, определив поверхность трёх различных граней, мы сможем определить и полную поверхность. Значит, одна из формул опять-таки будет иметь вид:

• S = 2*(S1 + S2 + S3), где S1, S2, S3 площади трёх различных граней соответственно. Запишем исходя из наших рассуждений, ещё две формулы:
• S = 2*(a*h1 + b*h2 + c*h3), где a, b, c соответствующие рёбра параллелепипеда, а h1, h2, h3 опущенные на них высоты.
• S = 2*(a*b*sin (ab) + a*c*sin (ac) + b*c*sin (bc)), где a, b, c соответствующие рёбра, а (ab), (ac), (bc) углы между ними.

Снова приведём пример:

• a = 15, b = 25, c = 25, h1 = 10, h2 = 20, h3 = 15. Пл. полной поверхности? Согласно формуле получим:
• S = 2*(a*h1 + b*h2 + c*h3) = 2*(15*10 + 25*20 + 25*15) = 2*(150 + 500 + 375) = 2*1025 = 2 050 миллиметров квадратных.

В некоторых заданиях требуется определение только площади боковой поверхности параллелепипеда. В таком случае чётко указывается, что является основанием и находится только суммарная пл. четырёх боковых граней. Все приведённые выше рассуждения остаются верными.

Заключение

Тщательно изучив все сказанное выше, можно отметить, что никакой особой сложности задача по определению площади параллелепипеда не вызывает. Нужно всего-навсего чётко представлять все данные в материале математические понятия, абсолютно точно выучить формулы, ну и, разумеется, уметь хорошо проводить арифметические действия.

Видео

Из видео вы узнаете, как находить площать прямоугольного параллелепипеда.

Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании имеющая параллелограмм. Существуют готовые формулы для расчета боковой и полной площади поверхности фигуры, для которых необходимы лишь длины трех измерений параллелепипеда.

Как найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

Необходимо различать прямоугольный и прямой параллелепипед. Основание прямой фигуры может представлять собой любой параллелограмм. Площадь такой фигуры необходимо вычислять по другим формулам.

Сумма S боковых граней прямоугольного параллелепипеда вычисляется по простой формуле P*h, где P – периметр и h – высота. На рисунке видно, что у прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны, а высота h совпадает с длиной ребер, перпендикулярных основанию.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Полная площадь фигуры состоит из боковой и площади 2-х оснований. Как найти площади прямоугольного параллелепипеда:

Где a, b и c – это измерения геометрического тела.
Описанные формулы просты для понимания и полезны при решении множества задач геометрии. Пример типового задания представлен на следующем изображении.

При решении подобного рода задач следует помнить, что основание четырехугольной призмы выбирается произвольно. Если за основание принять грань с измерениями x и 3, то значения Sбок будет иным, а Sполн останется 94 см2.

Площадь поверхности куба

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все 3 измерения равны между собой. В связи с этим формулы полной и боковой площади куба отличаются от стандартных.

Периметр куба равен 4a, следовательно, Sбок= 4*a*a = 4*a2. Данные выражения не обязательны для заучивания, но значительно ускоряют решение заданий.