Пуанкаре топология. Можно ли объяснить гипотезу Пуанкаре «на пальцах»

Теорема Пуанкаре – математическая формула «Вселенной». Григорий Перельман. Часть 1 (из серии «Настоящий Человек в науке»)

Анри Пуанкаре (1854-1912), один из величайших математиков, в 1904 г. сформулировал знаменитую идею о деформированной трёхмерной сфере и в виде маленькой заметки на полях, помещённой в конце 65 страничной статьи, посвящённой совершенно другому вопросу, нацарапал несколько строчек довольно странной гипотезы со словами: «Ну этот вопрос может слишком далеко нас завести»…

Маркус Дю Сотой из Оксфордского университета считает, что теорема Пуанкаре - «это центральная проблема математики и физики , попытка понять какой формы может быть Вселенная , к ней очень трудно подобраться».

Раз в неделю Григорий Перельман ездил в Принстон, чтобы принять участие в семинаре «Института углублённых исследований». На семинаре один из математиков Гарвардского университета отвечает на вопрос Перельмана: «Теория Уильяма Тёрстона (1946-2012 гг., математик, труды в области «Трехмерной геометрии и топологии»), получившая название гипотезы геометризации описывает все возможные трёхмерные поверхности и является шагом вперёд по сравнению с гипотезой Пуанкаре. Если Вы докажете предположение Уильяма Тёрстона, то и гипотеза Пуанкаре распахнёт перед Вами все свои двери и более того её решение изменит весь топологический ландшафт современной науки ».

Шесть ведущих американских университетов в марте 2003 г. приглашают Перельмана прочесть цикл лекций, разъясняющих его работу. В апреле 2003 г. Перельман совершает научное турне. Его лекции становятся выдающимся научным событием. В Принстоне послушать его приезжают Джон Болл (председатель международного математического союза), Эндрю Уайлз (математик, работы в области арифметики эллиптических кривых, доказал теорему Ферма в 1994 г.), Джон Нэш (математик, работающий в области теории игр и дифференциальной геометрии).

Григорию Перельману удалось решить одну из семи задач тысячелетия и математически описать так называемою формулу Вселенной , доказать гипотезу Пуанкаре. Над этой гипотезой наиболее светлые умы бились более 100 лет, и за доказательство которой мировым математическим сообществом (математическим институтом имени Клэя) был обещан $1 млн. Её вручение прошло 8 июня 2010 г. Григорий Перельман не появился на ней, и у мирового математического сообщества «поотпадали челюсти».

В 2006 году за решение гипотезы Пуанкаре математику была присуждена высшая математическая награда - Филдсовская премия (медаль Филдса). Джон Болл лично посетил Санкт-Петербург с тем, чтобы уговорить принять премию. Её он принять отказался со словами: «Общество вряд ли способно всерьёз оценить мою работу».

«Филдсовская премия (и медаль) вручается один раз в 4 года на каждом международном математическом конгрессе молодым учёным (моложе 40 лет), внёсшим заметный вклад в развитие математики. Помимо медали награждённым вручается 15 тыс. канадских долларов ($13 000)»

В исходной формулировке гипотеза Пуанкаре звучит следующим образом: «Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере». В переводе на общедоступный язык, это означает, что любой трёхмерный объект, например, стакан можно преобразовать в шар путём одной только деформации, то есть его не нужно будет ни разрезать, ни склеивать. Иными словами, Пуанкаре предположил, что пространство не трёхмерно, а содержит значительно большее число измерений , а Перельман спустя 100 лет математически это доказал .

Выражение Григория Перельмана теоремы Пуанкаре о преобразовании материи в другое состояние, форму имеет сходство со знаниями, изложенными в книге Анастасии Новых «Сэнсэй IV»: «По факту, вся эта бесконечная для нас Вселенная занимает место в миллиарды раз меньше, чем кончик самой тонкой медицинской иглы» . А также возможностью управления материальной Вселенной путём преобразований, вносимых Наблюдателем из контролирующих измерений выше шестого (с 7 по 72 включительно) (доклад «ИСКОННАЯ ФИЗИКА АЛЛАТРА » тема «Эзоосмическая решётка»).

Григория Перельмана отличали аскетичность жизни, суровость предъявляемых как себе, так и к другим этических требований. Глядя на него складывается ощущение, что он только телесно проживает в общем со всеми остальными современниками пространстве , а Духовно в каком-то ином , где даже за $1 млн. не идут на самые «невинные» компромиссы с Совестью . И что это за пространство такое, и можно ли хоть краешком глаза посмотреть на него?..

Исключительная важность гипотезы, выдвинутой около века назад математиком Пуанкаре, касается трёхмерных структур и является ключевым элементом современных исследований основ мироздания . Загадка эта, по мнению специалистов института Клэя, одна из семи принципиально важных для развития математики будущего.

Перельман, отвергая медали и премии спрашивает: «А зачем они мне? Они мне совершенно ни к чему. Каждому понятно, если доказательство правильное, то никакого другого признания уже не требуется. Пока во мне не развилась подозрительность, у меня был выбор, либо сказать вслух о дезинтеграции математического сообщества в целом, в связи с его низким моральным уровнем, либо ничего не сказать и позволить обращаться с собой, как с быдлом. Теперь же, когда я стал более чем подозрительным, я не могу оставаться быдлом и продолжать молчать, поэтому мне остаётся только уйти».

Для того чтобы заниматься современной математикой нужно иметь тотально чистый ум, без малейшей примеси, которая дезинтегрирует его, дезориентирует, подменяет ценности, и принять эту премию означает продемонстрировать слабость. Идеальный учёный занимается только наукой, не заботится больше ни о чём (власть и капитал), у него должен быть чистый ум, а для Перельмана нет большей важности, чем жить в соответствии с этим идеалом. Полезно ли для математики вся эта затея с миллионами, и нужен ли настоящему учёному такой стимул? И это желание капитала купить и подчинить себе всё в этом мире разве не оскорбительно? Или можно продать свою чистоту за миллион? Деньги, сколько бы там их ни было, эквивалентны истине Души ? Ведь мы имеем дело с априорной оценкой проблем, к которым деньги просто не должны иметь отношения, разве не так?! Делать же из всего этого что-то вроде лото-миллион, или тотализатор, значит потакать дезинтеграции научного, да и человеческого сообщества в целом (см. доклад «ИСКОННАЯ ФИЗИКА АЛЛАТРА » и в книге «АллатРа » последние 50 страниц о пути построения созидательного общества). И денежные средства (энергия), которые бизнесмены готовы отдавать на науку, если и надо использовать, то корректно, что ли, не унижая Дух подлинного служения , как ни верти, неоценимого денежным эквивалентом: «Что такое миллион, по сравнению , с чистотой, или Величием тех сфер (об измерениях глобальной Вселенной и о Духовном мире см. книгу «АллатРа » и доклад «ИСКОННАЯ ФИЗИКА АЛЛАТРА » ), в которые не способно проникнуть даже человеческое воображение (ум) ?! Что такое миллион звёздного неба для времени?!».

Приведем толкование остальных терминов, фигурирующих в формулировке гипотезы :

Топология - (от греч. topos - место и logos - учение) - раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, т.е. свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (точнее, при взаимно однозначных и непрерывных отображениях). Примерами топологических свойств фигур являются размерность, число кривых, ограничивающих данную область, и т.д. Так, окружность, эллипс, контур квадрата имеют одни и те же топологические свойства, т.к. эти линии могут быть деформированы одна в другую описанным выше образом; в то же время кольцо и круг обладают различными топологическими свойствами: круг ограничен одним контуром, а кольцо - двумя.

Гомеоморфизм (греч. ομοιο - похожий, μορφη - форма) – взаимно однозначное соответствие между двумя топологическим пространствами, при котором оба взаимно обратных отображения, определяемые этим соответствием, непрерывны. Эти отображения называют гомеоморфными, или топологическими отображениями, а также гомеоморфизмами, а о пространствах говорят, что они принадлежат одному топологическому типу называются гомеоморфными, или топологически эквивалентными.

Трёхмерное многообразие без края. Это такой геометрический объект, у которого каждая точка имеет окрестность в виде трёхмерного шара. Примерами 3-многообразий может служить, во-первых, всё трехмерное пространство, обозначаемое R3 , а также любые открытые множества точек в R3 , к примеру, внутренность полнотория (бублика). Если рассмотреть замкнутое полноторие, т.е. добавить и его граничные точки (поверхность тора), то мы получим уже многообразие с краем – у краевых точек нет окрестностей в виде шарика, но лишь в виде половинки шарика.

Полното́рие (полното́рий) - геометрическое тело, гомеоморфное произведению двумерного диска и окружности D2 * S1. Неформально, полноторие - бублик, тогда как тор - только его поверхность (пустотелая камера колеса).

Односвязное. Оно означает, что любую непрерывную замкнутую кривую, расположенную целиком в пределах данного многообразия, можно плавно стянуть в точку, не покидая этого многообразия. Например, обычная двумерная сфера в R3 односвязна (кольцевую резинку, как угодно приложенную к поверхности яблока, можно плавной деформацией стянуть в одну точку, не отрывая резинки от яблока). С другой стороны, окружность и тор неодносвязны.

Компактное. Многообразие компактно, если любой его гомеоморфный образ имеет ограниченные размеры. Например, открытый интервал на прямой (все точки отрезка, кроме его концов) некомпактен, так как его можно непрерывно растянуть до бесконечной прямой. А вот замкнутый отрезок (с концами) является компактным многообразием с краем: при любой непрерывной деформации концы переходят в какие-то определённые точки, и весь отрезок обязан переходить в ограниченную кривую, соединяющую эти точки.

Продолжение следует...

Ильназ Башаров

Литература:

– Доклад «ИСКОННАЯ ФИЗИКА АЛЛАТРА» интернациональной группы учёных Международного общественного движения «АЛЛАТРА» под ред. Анастасии Новых, 2015 г. http://allatra-science.org/pub... ;

– Новых. А. «АллатРа», К.: АллатРа, 2013 г. http://schambala.com.ua/book/a... .

– Новых. А., «Сэнсэй-IV», К.: ЛОТОС, 2013 г., 632 c. http://schambala.com.ua/book/s...

– Сергей Дужин, докт.физ.-мат. наук,старший научный сотрудник Санкт- Петербургского отделения Математического института РАН

Жюль Анри Пуанкаре (1854-1912) возглавлял Парижскую академию наук и был избран в научные академии 30 стран мира. Он имел масштаб Леонардо: его интересы охватывали физику, механику, астрономию, философию. Математики же всего мира до сих пор говорят, что только два человека в истории по-настоящему знали эту науку: немец Давид Гилберт (1862-1943) и Пуанкаре.

Основатель топологии

Математический гений Пуанкаре впечатляет количеством разделов науки, где им были разработаны теоретические основы различных процессов и явлений. Во времена, когда ученые совершали прорывы в новые миры космоса и в глубины атома, было не обойтись без единой основы общей теории мироздания. Такой базой стали ранее неизвестные отрасли математики.

Пуанкаре искал новый взгляд на небесную механику, он создал качественную теорию дифференциальных уравнений, теорию автоморфных функций. Исследования ученого стали основой специальной теории относительности Эйнштейна. Теорема Пуанкаре о возвращении говорила среди прочего о том, что понять свойства глобальных объектов или явлений можно исследуя составляющие их частицы и элементы. Это дало мощный толчок научным поискам в физике, химии, астрономии и т.д.

Геометрия - отрасль математики, где Пуанкаре стал признанным новатором и лидером мирового масштаба. Теория Лобачевского, открыв новые измерения и пространства, еще нуждалась в ясной и логичной модели, и Пуанкаре придал идеям великого русского ученого прикладной характер.

Развитием неэвклидовой геометрии стало возникновение топологии - отрасли математики, которую называли геометрией размещения. Она изучает пространственные взаимоотношения точек, линий, плоскостей, тел и т.д. без учета их метрических свойств. Теорема Пуанкаре, ставшая символом самых трудноразрешимых задач в науке, возникла именно в недрах топологии.

Одна из семи задач тысячелетия

В самом начале XXI века одно из подразделений американского университета в Кембридже - математический институт, основанный на средства бизнесмена Лэндона Т. Клэя - опубликовал список Millennium Prize Problems (проблем тысячелетия). Он содержал семь пунктов из классических научных задач, за решение каждой из которых учреждалась премия в миллион долларов:

Равенство классов P и NP (о соответствии алгоритмов решения задачи и методов проверки их правильности).
. Гипотеза Ходжа (о связи объектов и их подобия, составленного для их изучения из «кирпичиков» с определенными свойствами).
. Гипотеза Пуанкаре (всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере).
. Гипотеза Римана (о закономерности размещения простых чисел).
. Теория Янга — Миллса (уравнения из области элементарных частиц, описывающие различные виды взаимодействий).
. Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса (описывают турбулентность течений воздуха и жидкостей).
. Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера (об уравнениях, описывающих эллиптические кривые).

Каждая эта проблема имела очень долгую историю, поиски их решения приводили к возникновению целых новых научных направлений, но единственно правильные ответы на поставленные вопросы не находились. Понимающие люди говорили, что деньги фонда Клэя в безопасности, но так было лишь до 2002 года - появился тот, кто доказал теорему Пуанкаре. Правда, деньги он не взял.

Классическая формулировка

Гипотеза, для которой найдено подтверждение, становится теоремой, имеющей корректное доказательство. Именно это произошло с высказанным Пуанкаре предположением о свойствах трехмерных сфер. В более общем виде этот постулат говорил о гомеоморфности всякого многообразия размерности n и сферы размерности n как необходимом условии их гомотопической эквивалентности. Знаменитая теперь теорема Пуанкаре относится к варианту, когда n=3. Именно в трехмерном пространстве математиков ждали затруднения, для других случаев доказательства были найдены быстрее.

Чтобы хоть немного постичь смысл теоремы Пуанкаре, не обойтись без знакомства с основными понятиями топологии.

Гомеоморфизм

Топология, говоря о гомеоморфизме, определяет его как взаимно-однозначное соответствие между точками одной и другой фигуры, в некотором смысле неотличимость. Неподготовленному сложно даётся теорема Пуанкаре. Для чайников можно привести самый популярный пример гомеоморфных фигур - шар и куб, также гомеоморфны бублик и кружка, но не кружка и куб. Фигуры гомеоморфны, если одну фигуру можно получить произвольной деформацией из другой, причем это преобразование ограничено некоторыми свойствами поверхности фигуры: её нельзя рвать, прокалывать, разрезать.

Если куб раздуть, он легко может стать шаром, если шар примять встречными движениями, можно получить кубик. Наличие дырки у бублика и дырки, образованной ручкой у кружки, делает их гомеоморфными, та же дырка делает невозможным превращение кружки в шар или куб.

Связность

Дырка - важное понятие, определяющее свойства объекта, но категория совершенно не математическая. Было введено понятие связности. Его содержат многие топологические постулаты, в том числе и теорема Пуанкаре. Простыми словами можно говорить так: если поверхность шара обернуть петлей из резиновой ленты, она, сжимаясь, соскользнёт. Этого не произойдет, если имеется отверстие, как у тора-бублика, сквозь которое можно продеть эту ленту. Таким образом определяется главный признак сходства или отличия объектов.

Многообразие

Если объект или пространство разделить на множество составных частей - окрестностей, окружающих какую-то точку, - то их общность называют многообразием. Именно такое понятие содержит теорема Пуанкаре. Компактность означает конечное число элементов. Каждая отдельная окрестность подчиняется законам традиционной - эвклидовой - геометрии, но вместе они образуют нечто более сложное.

Самая адекватная аналогия этих категорий - поверхность земли. Изображение её поверхности представляет собой карты отдельных её районов, собранные в атлас. На глобусе эти изображения обретают форму шара, который относительно пространства Вселенной превращается в точку.

Трехмерная сфера

По определению, сфера - совокупность точек, которые равноудалены от центра - некой фиксированной точки. Одномерная сфера расположена в двухмерном пространстве в виде окружности на плоскости. Двухмерная сфера - поверхность шара, его «корочка» - совокупность точек в трехмерном пространстве и, соответственно, трехмерная сфера - суть теоремы Пуанкаре - поверхность четырехмерного шара. Вообразить такой объект очень трудно, но, говорят, мы - внутри такого геометрического тела.

Математики приводят ещё и такое описание трехмерной сферы: допустим, что к нашему привычному пространству, считаемому неограниченным и определяемому тремя координатами (X, Y, Z), добавлена точка (на бесконечности) таким образом, что в неё всегда можно попасть, двигаясь в любом направлении по прямой линии, т.е. любая прямая в этом пространстве становится окружностью. Говорят, что есть люди, которые могут это вообразить и спокойно ориентироваться в таком мире.

Для них обычное дело - трехмерный тор. Такой объект можно получить путем дважды повторенного совмещения в одну точку двух, расположенных на противоположных (например, правой и левой, верхней и нижней) гранях куба. Чтобы попытаться представить трехмерный тор с привычных нам позиций, следует провести абсолютно нереальный эксперимент: необходимо выбрать направления, взаимно перпендикулярные, - вверх, влево и вперед - и начать двигаться в любом из них по прямой. Через какое-то (конечное) время с противоположного направления мы вернемся в исходную точку.

Такое геометрическое тело имеет принципиальное значение, если хотеть понять, что такое теорема Пуанкаре. Доказательство Перельмана сводится к обоснованию существования в трехмерном пространстве лишь одного односвязного компактного многообразия - 3-сферы, другие, как 3-тор, неодносвязные.

Долгий путь к истине

Прошло более полувека, прежде чем появилось решение теоремы Пуанкаре для больших чем 3 размерностей. Стивен Смэйл (род. 1930), Джон Роберт Стэллингс (1935-2008), Эрик Кристофер Зиман (род. 1925) нашли решение для n, равного 5, 6 и равного или больше 7. Только в 1982 году Майкл Фридман (род. 1951) был удостоен высшей математической награды - Филдсовской премии - за доказательство теоремы Пуанкаре для более сложного случая: когда n=4.

В 2006 году эта награда - медаль Филдса - была присвоена русскому математику из Санкт-Петербурга. Григорий Яковлевич Перельман доказал теорему Пуанкаре для трехмерного многообразия и трёхмерной сферы. Получать награду он отказался.

Обыкновенный гений

Григорий Яковлевич родился 13 июня в Ленинграде, в интеллигентной семье. Отец - инженер-электрик - в начале 90-х уехал на ПМЖ в Израиль, мать преподавала математику в ПТУ. Кроме любви к хорошей музыке, она привила сыну увлечение решением задач и головоломок. В 9-м классе Григорий перевелся в физико-математическую школу № 239, но еще с 5-го класса он посещал математический центр при Дворце пионеров. Победы во всесоюзных и международных олимпиадах позволили поступить Перельману в Ленинградский университет без экзаменов.

Многие специалисты, особенно российские, отмечают что Григорий Яковлевич был подготовлен к невиданному взлету высоким классом ленинградской школы геометров, какую он прошел на мехмате Ленинградского госуниверситета и в аспирантуре при Математическом институте им. В.А. Стеклова. Став кандидатом наук, он стал работать в нем.

Трудное время 90-х заставило молодого ученого уехать на работу в США. Те, кто знал его тогда, отмечали его аскетизм в быту, увлечённость работой, прекрасную подготовку и высокую эрудицию, которые и стали залогом того, что Перельман доказал теорему Пуанкаре. Вплотную он занялся этой проблемой после возвращения в Санкт-Петербург в 1996 году, но начал думать над ней еще в США.

Верное направление

Григорий Яковлевич отмечает, что его всегда увлекали сложные проблемы, такие как теорема Пуанкаре. Доказательство Перельман стал искать в направлении, вынесенном из беседы с профессором Колумбийского университета Ричардом Гамильтоном (род. 1943). Во время пребывания в США он специально ездил из другого города на лекции этого неординарного ученого. Перельман отмечает прекрасное доброжелательное отношение профессора к молодому математику из России. В их разговоре Гамильтон упомянул о потоках Риччи - системе дифференциальных уравнений - как способе решения теорем геометризации.

Впоследствии Перельман пытался связаться с Гамильтоном и обсудить ход работы над задачей, но не получил ответа. Долгое время после возвращения на родину Григорий Яковлевич провел наедине с труднейшей задачей, которой была теорема Пуанкаре. Доказательство Перельмана - итог огромных усилий и самоотречения.

Гамильтон пришел в тупик, когда увидел, что при преобразованиях кривых под действием потоков Риччи образуются сингулярные (обращающиеся в бесконечность) зоны, которые не предусматривала теорема Пуанкаре. Простыми словами, Перельману удалось нейтрализовать образование таких зон, и многообразие благополучно превратилось в сферу.

Потоки Риччи

Односвязное 3-мерное многообразие наделяется геометрией, вводятся метрические элементы с расстоянием и углами. Легче понять это на одномерных многообразиях. Гладкая замкнутая кривая на эвклидовой плоскости наделяется в каждой точке касательным вектором единичной длины. При обходе кривой вектор поворачивается с определенной угловой скоростью, которая определяет кривизну. Где линия изогнута сильнее, кривизна больше. Кривизна положительна, если вектор скорости повернут в сторону внутренней части плоскости, которую делит наша линия, и отрицательна, если повернут вовне. В местах перегиба кривизна равна 0.

Теперь каждой точке кривой назначается вектор, перпендикулярный вектору угловой скорости, а длиной равный величине кривизны. Его направление внутрь при положительной кривизне и вовне - при отрицательной. Каждую точку заставляем двигаться в направлении и со скоростью, определяемыми соответствующим вектором. Замкнутая кривая, проведенная в любом месте плоскости, при такой эволюции превращается в окружность. Это справедливо для размерности 3, что и требовалось доказать.

Нет пророка…

Он взошел на свой Эверест, каким признается математиками теорема Пуанкаре. Доказательство Перельман выложил в Интернет в виде трех небольших статей. Они немедленно вызвали ажиотаж, хотя русский математик не пошел положенной дорогой - публикация в специализированном журнале в сопровождении профессиональных рецензий. Григорий Яковлевич в течение месяца разъяснял в университетах США суть своего открытия, но число до конца понявших ход его мысли увеличивалось очень медленно.

Лишь через четыре года появилось заключение самых больших авторитетов: доказательства русского математика корректны, первая из проблем тысячелетия решена.

Эпоха соцсетей

Ему пришлось пережить ажиотаж и хамство в соцсетях, молчание тех, кого он уважал, и крики других, учивших его жизни. Энергичные китайцы сначала оценили его вклад в решение проблемы в 25 %, себе и другим насчитав 80! Потом вроде бы пришло мировое признание, но выдержать такое дано не каждому.

Хочется верить: он выдержал, и в жизни его - гармония желаний и возможностей.

Гипотеза Пуанкаре выдвинута еще в начале XX в. французским математиком Анри Пуанкаре. Чтобы сформулировать ее, дадим

Определение. Топологическое пространство X называется односвязным, если оно линейно связно и всякое непрерывное отображение
X окружности в пространство X можно продолжить до непрерывного отображения
всего круга
. Не трудно видеть, что сфера односвязна при n 2.

Гипотеза Пуанкаре. Всякое замкнутое односвязное трехмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере.

Аналоги гипотезы Пуанкаре, касающиеся многообразий размерности 4 и больше, доказаны. Более того, получена топологическая классификация вообще всех замкнутых односвязных четырехмерных многообразий.

Это интересно: Почти 100 лет назад Пуанкаре установил, что двумерная сфера односвязна, и предположил, что трехмерная сфера тоже односвязна.

Другими словами, гипотеза Пуанкаре утверждает, что всякое односвязное замкнутое трехмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере. Гипотеза сформулирована Пуанкаре в 1904 г. Обобщенная гипотеза Пуанкаре утверждает, что для любого n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей. Для пояснения используют такую картинку: если обмотать яблоко резиновой лентой, то в принципе, стягивая ленту, можно сжать яблоко в точку. Если же обмотать такой же лентой пончик (пирожок с дыркой в середине), то в точку его сжать нельзя без разрыва или пончика, или резины. В таком контексте яблоко называют «односвязной» фигурой, пончик же не односвязен.

Жюль Анри Пуанкаре открыл специальную теорию относительности одновременно с Эйнштейном (1905 г.) и признан одним из величайших математиков за всю историю человечества.

Гипотеза Пуанкаре оставалась недоказанной на протяжении всего двадцатого столетия. В математическом мире она приобрела статус, аналогичный статусу Великой теоремы Ферма.

За доказательство гипотезы Пуанкаре Математический институт им. Клея присудил премию в миллион долларов, что может показаться удивительным: ведь речь идет об очень частном, малоинтересном факте. На самом деле, для математиков важны не столько свойства трехмерной поверхности, сколько факт трудности самого доказательства. В этой задаче в концентрированном виде сформулировано то, что не удавалось доказать с помощью имевшихся ранее идей и методов геометрии и топологии. Она позволяет как бы заглянуть на уровень глубже, в тот пласт задач, который можно будет решить только с помощью идей «нового поколения». Как и в ситуации с теоремой Ферма, выяснилось, что гипотеза Пуанкаре есть частный случай гораздо более общего утверждения о геометрических свойствах произвольных трехмерных поверхностей – гипотезы геометризации Тёрстона (Thurston"s Geometrization Conjecture). Поэтому усилия математиков были направлены не на решение этого частного случая, а на построение нового математического подхода, который способен справляться с такими задачами.

Российский математик Григорий Перельман, сотрудник лаборатории геометрии и топологии Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова, утверждает, что доказал гипотезу Пуанкаре, то есть решил одну из самых знаменитых нерешенных математических задач. Необычным был способ, который Перельман избрал для обнародования своего доказательства. Вместо того чтобы опубликовать его в солидном научном журнале, что, кстати, было обязательным условием для присуждения приза в миллион долларов, Перельман разместил свою работу на одном из архивов Интернета. Хотя доказательство заняло всего 61 страницу, оно произвело сенсацию в научном мире.

Научный мир рукоплескал гению, обещая золотые горы и почетные титулы. Американский Институт математики Клея был готов присудить ему награду в $1 миллион. Никто не сомневался, что Всемирный конгресс математиков, назовет Перельмана победителем. Кстати, как известно, математики не входят в число учёных, награждаемых Нобелевской премией. Злые языки утверждают, что этот факт не случаен. Ведь, по слухам, именно математик попал в немилость знаменитому шведу Альфреду Нобелю, отбив у него любимую девушку в юности. Между тем российский гений отказался от миллиона, так и не опубликовав свое открытие в специализированных изданиях, уволился из Математического института им. Стеклова РАН, ушел в затворничество и, на церемонии вручения награды, которую вручал король Испании Хуан Карлос I, не появился. Он никак не отреагировал на сообщение о награде и приглашение ее получить, а как говорят знакомые: гений "ушел в леса" по грибы под Санкт-Петербургом.

Ученые считают, что 38-летний российский математик Григорий Перельман предложил верное решение проблемы Пуанкаре. Об этом на научном фестивале в Эксетере (Великобритания) заявил профессор математики Стэнфордского университета Кит Девлин.

Проблема (ее также называют задачей или гипотезой) Пуанкаре относится к числу семи важнейших математических проблем, за решение каждой из которых Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute) назначил премию в один миллион долларов. Именно это и привлекло столь широкое внимание к результатам, полученным Григорием Перельманом, сотрудником лаборатории математической физики Санкт-Петербургского отделения Математического института имени Стеклова .

Ученые всего мира узнали о достижениях Перельмана из двух препринтов (статей, предваряющих полноценную научную публикацию), размещенных автором в ноябре 2002-го и марте 2003 года на сайте архива предварительных работ Лос-Аламосской научной лаборатории .

Согласно правилам, принятым Научным консультативным советом института Клэя, новая гипотеза должна быть опубликована в специализированном журнале, имеющем "международную репутацию". Кроме того, по правилам Института, решение о выплате приза принимает, в конечном счёте, "математическое сообщество": доказательство не должно быть опровергнуто в течение двух лет после публикации. Проверкой каждого доказательства занимаются математики в разных странах мира.

Проблема Пуанкаре

Проблема Пуанкаре относится к области так называемой топологии многообразий - особым образом устроенных пространств, имеющих разную размерность. Двухмерные многообразия можно наглядно представить себе, например, на примере поверхности трехмерных тел − сферы (поверхности шара) или тора (поверхности бублика).

Легко вообразить, что произойдет с воздушным шариком, если его деформировать (изгибать, скручивать, тянуть, сжимать, пережимать, сдувать или надувать). Ясно, что при всех вышеперечисленных деформациях шарик будет изменять свою форму в широких пределах. Однако мы никогда не сможем превратить шарик в бублик (или наоборот) без нарушения непрерывности его поверхности, то есть не разрывая. В этом случае топологи говорят, что сфера (шарик) негомеоморфна тору (бублику). Это означает, что данные поверхности невозможно отобразить одну на другую. Говоря простым языком, сфера и тор различны по своим топологическим свойствам. А поверхность воздушного шарика при всевозможных его деформациях гомеоморфна сфере, равно как поверхность спасательного круга - тору. Иными словами, любая замкнутая двумерная поверхность, не имеющая сквозных отверстий, обладает теми же топологическими свойствами, что и двухмерная сфера.

Проблема Пуанкаре утверждает то же самое для трехмерных многообразий (для двухмерных многообразий, таких как сфера, это положение было доказано еще в XIX веке). Как заметил французский математик, одно из важнейших свойств двухмерной сферы состоит в том, что любая замкнутая петля (например, лассо), лежащая на ней, может быть стянута в одну точку, не покидая при этом поверхности. Для тора это справедливо не всегда: петля, проходящая через его отверстие, стянется в точку либо при разломе тора, либо при разрыве самой петли. В 1904 году Пуанкаре высказал предположение, что если петля может стягиваться в точку на замкнутой трехмерной поверхности, то такая поверхность гомеоморфна трехмерной сфере. Доказательство этой гипотезы оказалось чрезвычайно сложной задачей.

Сразу уточним: упомянутая нами формулировка проблемы Пуанкаре говорит вовсе не о трехмерном шаре, который мы можем представить себе без особого труда, а о трехмерной сфере, то есть о поверхности четырехмерного шара, который представить себе уже гораздо труднее. Но в конце 1950-х годов неожиданно выяснилось, что с многообразиями высоких размерностей работать гораздо легче, чем с трех- и четырехмерными. Очевидно, отсутствие наглядности - далеко не главная трудность, с которой сталкиваются математики в своих исследованиях.

Задача, подобная проблеме Пуанкаре, для размерностей 5 и выше была решена в 1960 году Стивеном Смэйлом (Stephen Smale), Джоном Стэллингсом (John Stallings) и Эндрю Уоллесом (Andrew Wallace). Подходы, использованные этими учеными, оказались, однако, неприменимы к четырехмерным многообразиям. Для них проблема Пуанкаре была доказана лишь в 1981 году Майклом Фридманом (Michael Freedman). Трехмерный же случай оказался самым сложным; его решение и предлагает Григорий Перельман.

Необходимо отметить, что у Перельмана есть соперник. В апреле 2002 года профессор математики британского университета Саутгемптон Мартин Данвуди предложил свой метод решения проблемы Пуанкаре и теперь ожидает вердикт от института Клэя.

Специалисты считают, что решение проблемы Пуанкаре позволит сделать серьезный шаг в математическом описании физических процессов в сложных трехмерных объектах и даст новый импульс развитию компьютерной топологии. Метод, который предлагает Григорий Перельман, приведет к открытию нового направления в геометрии и топологии. Петербургский математик вполне может претендовать на премию Филдса (аналог Нобелевской премии, которую по математике не присуждают).

Между тем, некоторые находят поведение Григория Перельмана странным. Вот что пишет британская газета "Гардиан": "Скорее всего, подход Перельмана к разгадке проблемы Пуанкаре верный. Но не все так просто. Перельман не предоставляет доказательств того, что работа издана в качестве полноценной научной публикации (препринты таковой не считаются). А это необходимо, если человек хочет получить награду от института Клэя. Кроме того, он вообще не проявляет интереса к деньгам".

Видимо, для Григория Перельмана, как для настоящего ученого, деньги - не главное. За решение любой из так называемых "задач тысячелетия" истинный математик продаст душу дьяволу.

Китайские математики опубликовали полное доказательство гипотезы Пуанкаре, сформулированной в 1904 году, передает новостное агентство Xinhua. Гипотеза, касающаяся классификации многомерных поверхностей (а точнее, многообразий), входила в число "проблем тысячелетия", за решение каждой из которых американский Институт Клэя назначил награду в миллион долларов.

Согласно Пуанкаре, любая замкнутая трехмерная "поверхность без дыр" (односвязное многообразие) эквивалентна трехмерной сфере, то есть поверхности четырехмерного шара. Сам Пуанкаре, автор математического аппарата эйнштейновской теории, представил первое обоснование, но позже обнаружил в собственных рассуждениях ошибку. Гипотезу в такой формулировке доказал в 2003 году российский математик Григорий Перельман, 70-страничную работу которого эксперты проверяют до сих пор. Другие случаи (размерности четыре и выше) были рассмотрены ранее.

По словам авторов, новая 300-страничная статья в Asian Journal of Mathematics не является независимой и опирается в первую очередь на результаты Перельмана. Чжу Сипин и Цао Хуайдун утверждают, что теперь ликвидировали ряд трудностей, способы преодоления которых Перельманом были только намечены. Известно, что в работе над доказательством также участвовал Шин-Тунь Яу, топологические труды которого (в частности, теория многообразий Калаби-Яу) считаются ключевыми для современной теории струн. Новая работа, отмечают специалисты, также потребует длительной перепроверки.

Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.: Наука, 1990

Приложение к реферату 2:

По школьному курсу каждый знаком с понятиями теоремы и гипотезы. Как правило, в жизни затрагиваются самые простые и примитивные законы, в то время как математики делают очень сложные предположения и ставят интересные проблемы. Далеко не всегда им самим удается найти решения и доказательства, а в некоторых случаях над этим многие годы бьются их последователи и просто коллеги.

Институт Клея в 2000 году сформировал список из 7 так называемых Проблем Тысячелетия по аналогии с перечнем гипотез, составленным в 1900 году. Те задачи почти все оказались к настоящему времени решены, только одна из них перекочевала в обновленную версию. Сейчас список проблем выглядит следующим образом:

• гипотеза Ходжа;
• равенство классов P и NP;
• гипотеза Пуанкаре;
• теория Янга-Миллса;
• гипотеза Римана;
• существование и гладкость решения уравнений Навье-Стокса;
• гипотеза Берча-Свиннертон-Дайера.

Все они относятся к различным дисциплинам внутри математики и имеют важное значение. Например, уравнения Навье-Стокса относятся к гидродинамике, а на практике могут описать поведение вещества в земной магме или пригодиться в предсказании погоды. Но все эти проблемы все еще ищут своего доказательства или опровержения. Кроме одной.

Теорема Пуанкаре

Объяснить простыми словами, в чем заключается эта проблема, довольно непросто, но попробовать можно. Представим себе сферу, к примеру, мыльный пузырь. Все точки его поверхности равноудалены от его центра, который ей не принадлежит. Но это двумерное тело, а гипотеза говорит о трехмерном. Это представить уже невозможно, но на то у нас и есть теоретическая математика. При этом, разумеется, все точки этого тела также будут удалены от центра.

Эта проблема относится к топологии - науке о свойствах геометрических фигур. И одним из базовых терминов в ней является гомеоморфность, то есть высокая степень схожести. Чтобы привести пример, можно представить шар и тор. Одну фигуру никак нельзя получить из другой, избежав разрывов, а вот конус, куб или цилиндр из первого получатся довольно легко. Вот гипотеза Пуанкаре и посвящена этим метаморфозам с одной лишь разницей - речь идет о многомерном пространстве и телах.

История

Французский математик Анри Пуанкаре занимался самыми разными областями науки. О его достижениях может сказать, к примеру, тот факт, что совершенно независимо от Альберта Эйнштейна он выдвинул основные положения специальной теории относительности. В 1904 году он поднял проблему доказательства того, что любое трехмерное тело, обладающее некоторыми свойствами сферы, ею и является с точностью до деформации. Позднее она была расширена и обобщена, и стала частным случаем гипотезы Терстона, сформулированной в 1982 году.

Формулировка

Пуанкаре изначально оставил такое утверждение: всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. В дальнейшем оно было расширено и обобщено. И все же на протяжении длительного времени именно изначальная задача вызывала больше всего проблем, и была решена лишь через 100 лет после ее появления.

Интерпретация и смысл

О том, что такое гомеоморфность, речь уже шла. Теперь стоит поговорить о компактности и односвязности. Первое означает лишь, что многообразие имеет ограниченные размеры, не может быть непрерывно и бесконечно растянуто.

Что касается односвязаности, можно попробовать привести простой пример. Двумерная сфера - яблоко - обладает одним интересным свойством. Если взять обычную замкнутую резинку и приложить ее к поверхности, то плавной деформацией ее можно свести в одну точку. Это и есть свойство односвязаности, но представить его применительно к трехмерному пространству довольно затруднительно.

Если говорить совсем просто, проблематика заключалась в том, чтобы доказать, что односвязность - уникальное для сферы свойство. И если, условно говоря, опыт с резинкой завершился с таким результатом, то тело гомеоморфно ей. Что же касается приложения этой теории к жизни, Пуанкаре считал, что Вселенная в некотором смысле и является трехмерной сферой.

Доказательство

Не стоит думать, что из десятков математиков, работавших по всему миру, никто не продвинулся ни на йоту, занимаясь этой проблемой. Наоборот, прогресс был, и в конце концов он привел к результату. Сам Пуанкаре не успел закончить работу, но его исследования серьезно продвинули всю топологию.

В 1930-х годах интерес к гипотезе вернулся. Прежде всего, формулировка была расширена до "n-мерного пространства", а потом американец Уайтхед сообщил об успешном доказательстве, позднее отказавшись от него. В 60-70-х сразу два математика - Смейл и Столлингс - практически одновременно, но разными способами разработали решение для всех n больше 4.

В 1982 году и для 4 было найдено доказательство, оставалось только 3. В том же году Терстон сформулирован гипотезу о геометризации, при этом теория Пуанкаре стала ее частным случаем.

На 20 лет гипотеза Пуанкаре была как будто забыта. В 2002 году российский математик Григорий Перельман представил решение в общих чертах, спустя полгода сделав некоторые дополнения. Уже позже это доказательство проверяли и доводили "до блеска" американские и китайские ученые. А сам Перельман словно потерял к проблеме весь интерес, хотя он решил более общую задачу о геометризации, для которой гипотеза Пуанкаре является лишь частным случаем.

Признание и оценки

Разумеется, это сразу стало сенсацией, ведь решение одной из Проблем Тысячелетия просто не могло оказаться незамеченным. Еще больше удивления вызывал тот факт, что Григорий Перельман отказался от всех наград и премий, сообщив, что ему и так прекрасно живется. В умах обывателей он сразу стал примером того самого полусумасшедшего гения, которого интересует только наука.

Все это вызвало много обсуждений в прессе и СМИ, что популярность математика стала его тяготить. Летом 2014 года прошла информация о том, что Перельман уехал работать в Швецию, но это оказалось лишь слухами, он все еще скромно живет в Санкт-Петербурге и почти ни с кем не общается. Среди наград, присужденных ему, были не только премия института Клея, но и престижная медаль Филдса, но он отказался от всего. Впрочем, Гамильтон, который по оценкам Перельмана сделал не меньший вклад в доказательство, тоже не был забыт. В 2009 и 2011 годах он также удостоился некоторых престижных наград и премий.

Отражение в культуре

Несмотря на то что для простых обывателей как постановка, так и решение этой проблемы представляют мало смысла, о доказательстве стало известно довольно быстро. В 2008 году по этому поводу японским режиссером Масахито Касуга был снят документальный фильм "Чары гипотезы Пуанкаре", посвященный столетним попыткам решить эту задачу.

В съемках приняли участие многие математики, занимавшиеся этой проблемой, но вот главный герой - Григорий Перельман - сделать этого не захотел. Более или менее близкие его знакомые также были задействованы в съемках. Документальный фильм, выйдя на экраны на волне общественного резонанса по поводу отказа ученого принять премию, в определенных кругах снискал славу, а также получил несколько наград. Что же касается массовой культуры, простые люди до сих пор гадают, какими доводами руководствовался петербургский математик, отказавшись взять деньги, когда он мог отдать их, например, на благотворительность.

Эта новость облетела средства массовой информации СНГ. 39-летний петербургский ученый ГРИГОРИЙ ПЕРЕЛЬМАН - реальный кандидат на получение Филдсовской премии (1 млн. долл.), высшей награды в математическом мире (как известно, Нобелевскую математикам не присваивают).

Французский математик Пуанкаре пытался выяснить, является ли трехмерное пространство сферой. Найти доказательства этого тезиса либо опровергнуть его он не смог. Из странных следствий гипотезы Пуанкаре, идущих вразрез с нашими житейскими представлениями, выделим такие: с помощью некоего сверхмощного телескопа, вглядываясь в космическую даль с Земли, можно вполне разглядеть родную... Землю либо, улетая в дальнее космическое путешествие, в конце концов оказаться в точке вылета.

Каждые несколько лет в научных журналах публикуются попытки доказать гипотезу Пуанкаре, но ни одно из предложенных решений пока не прошло сито научных проверок. В конце концов оказывалось, что доказательство некорректно. Григорий Перельман опубликовал свои работы в интернете в 2002 г., и никто не опроверг их (контрольный срок - 2 года). Мало того, многие видные ученые считают: решение Перельмана верно. И сетуют, что его труды очень сжаты, конспективны и занимают всего несколько десятков страниц (60).

Правила получения премии требуют публикации на страницах регулярно издающегося научного журнала и соблюдения еще некоторых формальностей. Петербуржец Перельман, получающий в родном институте около 200 долл. (6000 рублей), их игнорирует. Таковы его жизненные правила. Твердое следование им, возможно, и позволило достичь уникальных научных результатов. С оригиналом, столь соответствующим расхожим представлениям о гениях, пытались встретиться петербургские журналисты. Все, что им удалось выяснить: Перельман - завсегдатай концертов классической музыки Петербургской филармонии, питается кашами, безразличен к одежде, считается странноватым даже в своей научной среде и на дух не переносит прессу.

Так вот, о неожиданном следствии теоремы Пуанкаре. Миллион долларов - ничто для того, кто знает, что такое пространство. Нам бы железную уверенность г-на Перельмана.

Комментарий специалиста - члена-корреспондента Национальной академии наук Украины, математика Владимира Шарко:

Сейчас, кроме работ российского математика, появилось доказательство китайских профессоров Чжу Сипина и Лехай Цао, а второе представлено американцами, которых возглавляет Джон Морган. Но первенство, конечно, за Перельманом. Хотя фактически его доказательства нет. Именно из-за того, что оно не опубликовано, а существует лишь конспективно, в тезисах. Работа Перельмана «висит» на сайтах, точно так же, как любые другие неофициальные работы.

- Перельман действительно настолько эксцентричен?

Он милый, приятный в общении человек. Типичный петербургский интеллигент. Мы встречались на различных научных конференциях. Вряд ли его можно назвать странным. Возможно, его несколько раздражают журналисты, и он разыгрывает их.

Это только кажется, что премия уже в кармане, поэтому его поведение считают странным. Награды такого ранга требуют поддержки коллег, научного сообщества. А россияне, к сожалению, не могут оказать должной поддержки. Поэтому говорить о премии рановато. Хотя от других наград петербуржец действительно отказывался.

- Имеет ли какое-то прикладное значение открытие Перельмана?

Пока нет. Но, как правило, математические открытия со временем находят применение. Например, активно используются достижения математики в современном прогнозировании погоды. Сейчас с математиками тесно сотрудничают биологи. Ведь именно с помощью первых происходила расшифровка генома. Компьютеры тоже появились благодаря работам математиков. На самом деле это очень полезная и практическая наука.

- Могут похвастаться каким-то прорывом киевляне?

Самая приятная новость: в киевском Институте математики появляются молодые ребята. Не секрет, что было тяжелое время и люди уходили, особенно молодежь. Но директор института академик Анатолий Самойленко сумел удержать его на должном уровне, что было очень непросто. Теперь можно говорить о нормализации ситуации.

Недавно киевский парень из Политеха занял первое место на европейской студенческой олимпиаде. Что, в общем, свидетельствует о неплохом уровне преподавания математики, научной работы в Киеве. В Украине существуют известные математические школы: в Донецке, Харькове; начала возрождаться знаменитая в довоенное время львовская школа математиков. Возможно, и мы когда-нибудь порадуем научное сообщество яркими работами.

Моё отступление: Гипотеза Пуанкаре гласит: Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.