Ответы к контрольной работе по теории вероятности помогут студентам первых курсов, изучающих математические дисциплины. Задания охватывают много теоретического материала, а обоснование их решения пригодится каждому студенту.

Задача 1. Куб все грани которого закрашены, распилен на 1000 кубиков одинаковых размеров. Определить вероятность того что кубик вытянутый наугад будет иметь:

• а) одну закрашеную грань;
• б) две закрашеные грани.

Вычисления: Если куб распилить на кубики одинакового размера то все грани будут поделены на 100 квадратов. (Примерно как на рисунке)
Дальше по условию кубик должен иметь одну закрашенную грань - это значит что кубики должны принадлежать внешней поверхности но не лежать на ребрах куба (2 закрашеные поверхности) и не на углах - имеют три закрашеные поверхности.
Следовательно, искомое количество равно произведению 6 граней на количество кубиков в квадрате размером 8*8.
6*8*8=384 – кубики с 1 закрашеной поверхностью.
Вероятность равна количеству благоприятных событий к общему их количеству P=384/1000=0,384.
б) Две закрашеные грани имеют кубики по ребрам без самих вершин куба. На одном ребре будет 8 таких кубиков. Всего в кубе 12 ребер, поэтому две закрашенные грани имеют
8*12=96 кубиков .
А вероятность вытянуть их среди 1000 всех равная
P=96/1000=0,096.
На этом задание решено и переходим к следующему.

Задача 2. На одинаковых карточках написаны буквы А, А, А, Н, Н, С . Какова вероятность того, что случайно разместив карточки в ряд, получим слово АНАНАС?
Вычисления: Нужно рассуждать всегда от того, что известно. Дано 3 буквы А, 2-Н, и 1 - С, всего их 6. Начнем выбирать буквы для слова "ананас" . Первой идет буква А, которую мы можем выбрать 3 способами из 6, потому что есть 3 буквы А среди 6 известных. Поэтому вероятность вытянуть первой А равна
P 1 =3/6=1/2.
Вторая буква Н, но не следует забывать, что после того как вытащили А остается 5 букв для выбора. Поэтому вероятность вытянуть под 2 номером Н равна
P 2 =2/5.
Следующую А вероятность вытянуть среди 4, что осталось
P 3 =2/4.
Далее Н можно извлечь из вероятностью
P 4 =1/3.
Чем ближе к концу тем больше вероятность, и уже А можем извлечь при
P 5 =1/2.
После этого остается одна карточка С, поэтому вероятность ее вытащить равна 100 процентам или
P 6 =1.
Вероятность составить слово АНАНАС равна произведению вероятностей
P=3/6*2/5*2/4*1/3*1/2*1=1/60=0,016(6).
На этом и базируются подобные задачи по теории вероятностей.

Задача 3. Из партии изделий товаровед наугад выбирает образцы. Вероятность того что наугад взятое изделие окажется высшего сорта равна 0,8. Найти вероятность того, что среди 3 отобранных изделий будет два изделия высшего сорта?
Вычисления: Данный пример на применение формулы Бернулли .
p=0,8; q=1-0,8=0,2.
Вероятность вычисляем по формуле

Если объяснять не на языке формул, то нужно составить комбинации из трех событий, два из которых благоприятны, а одно нет. Это можно записать суммой произведений

Оба варианта являются равносильными, только первый можем применить во всех задачах, а второй в подобных к рассмотреной.

Задача 4. Из пяти стрелков двое попадают в цель с вероятностью 0,6 и трое с вероятностью 0,4 . Что вероятнее: наугад выбранный стрелок попадает в цель или нет?
Вычисления: По формуле полной вероятности определяем вероятность, что стрелок попадет.
P=2/5*0,6+3/5*0,4=0,24+0,24=0,48.
Вероятность меньше P<0,5 , следовательно вероятнее что наугад выбранный стрелок не попадет в цель.
Вероятность не попадания составляет

или
P=2/5*(1-0,6)+3/5*(1-0,4)=0,16+0,36=0,52.

Задача 5. C 20 студентов, пришедших на экзамен, 10 подготовлены отлично (знают все вопросы), 7 хорошо (знают по 35 вопросов), а 3 плохо (10 вопросов). В программе 40 вопросов. Наугад вызванный студент ответил на три вопроса билета. Какова вероятность того, что он подготовлен на

• а) отлично;
• б) плохо.

Вычисления: Суть задачи заключается в том что студент ответил на три вопроса билета, то есть на все что были заданы, а вот какова вероятность их вытянуть мы сейчас вычислим.
Найдем вероятность что студент ответил на три вопроса правильно. Это будет отношение количества студентов ко всей группе умноженное на вероятность вытянуть билеты которые они знают среди всех возможных

Теперь найдем вероятность что студент принадлежит группе которая подготовлена "на отлично". Это равносильно доле первого слагаемого предварительной вероятности, к самой вероятности

Вероятность, что студент принадлежит группе которая плохо подготовилась достаточно мала и равна 0,00216 .

На этом задание выполнено. Хорошо его разберите и запомните как вычислять, поскольку на контрольных и тестах оно распространено.

Задача 6. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того что герб выпадет менее 3 раз?
Вычисления: Вероятность вытянуть герб или решку равносильна и равна 0,5. Менее 3 раз означает, что герб может выпасть либо 0, либо 1, либо 2 раза. "Или" всегда в вероятности в операциях сказывается добавлением.
Вероятности находим по формуле Бернулли

Поскольку p=q=0,5 , то вероятность равна

Вероятность равна 0,5 .

Задача 7. При штамповке металлических клемм получается в среднем 90% стандартных. Найти вероятность того что среди 900 клемм стандартными будут не менее 790 и не более 820 клемм.

Вычисления: Вычисления необходимо проводить

Лекция1.

Вероятность

В теории вероятностей рассматриваются такие явления или опыты, конкретный исход которых не определяется однозначно условиями опыта (случаен), но по результатам большого числа экспериментов в среднем может быть предсказан (свойство статистической устойчивости).

Элементарным событием (элементарным исходом) называется любое событие - исход опыта, которое нельзя представить в виде объединения других событий. Так как исход опыта случаен, то и любое элементарное событие случайно, далее будем говорить просто о событиях, не подчеркивая их случайность.

Пространством элементарных событий W (исходов) называется множество всех элементарных событий (исходов). {w 1 , …w n … }, если в результате опыта обязательно наступает какой-либо из элементарных исходов и только один (один исход исключает любой другой). Пространство элементарных событий может содержать конечное, счетное и даже бесконечное множество элементарных событий.

Случайным событием (событием) называется подмножество пространства элементарных событий. Любое множество – это совокупность элементов. Элементами события являются элементарные события, образующие это событие.

Пример . Бросается одна монета, она может упасть гербом (w 1 =Г) или решкой (w 1 =Р). W=(Г,Р).

Пример. Бросаются две монеты W = {(Г, Г), (Г,Р), (Р,Г), (Р,Р)}

Пример . Капля дождя падает на прямоугольную площадку.

W= {(x,y), a

Достоверное событие – событие, которое всегда происходит в результате данного опыта, оно содержит все элементарные события и обозначается W.

Невозможное событие – событие, которое не может произойти в результате данного опыта, оно не содержит элементарных событий и обозначается Æ.

Действия над событиями.

События определены как множества, поэтому действия над ними аналогичны действиям над множествами и хорошо иллюстрируются диаграммами Венна.

Пространство W будем обозначать прямоугольником, элементарное событие – точкой прямоугольника, а каждое событие – подмножеством точек этого прямоугольника. Результат операции над событиями будем заштриховывать.

Пусть выбираются карты из колоды карт. Событие А – выбор червонной карты, событие В – выбор десятки

	Суммой двух событий А и В называется событие С = А + В (или С = А В ), состоящее из элементарных событий, принадлежащих либо А , либо В . Пример . С = А + В – выбор любой червонной карты или любой десятки
	Произведением двух событий А и В называется событие D = AB (или D = A B ), состоящее из элементарных событий, принадлежащих и А и В . Пример . АВ – выбор десятки червей
	Разностью двух событий А и В называется событие АВ , состоящее из элементарных событий, принадлежащих А и не принадлежащих В . Пример . АВ –выбор любой червонной карты, кроме десятки Классификация событий
	Событие, состоящее из всех элементарных событий, не содержащихся в А, обозначим и будем называть противоположным событием. Пример. А –выбор червонной карты; –выбор любой карты другой масти.. = W А Два события А и В будем называть совместными , если каждое из них содержит хотя бы одно общее элементарное событие, т.е если АВ Ø. Пример . А – выбор червонной карты и В – выбор десятки – совместные события, так как АВ = выбор червонной десяткиØ Если общих элементарных событий у событий А и В нет, то их будем называть несовместными событиями (АВ = Ø). Пример . А – выпадение четного числа очков А = {2, 4, 6}. В – выпадение нечетного числа очков В = {1, 3, 5} Очевидно, что А и В несовместны. Полная группа событий – это совокупность n событий А 1 , А 2 , …, А n , одно из которых обязательно произойдет, т.е.

Свойства операций над событиями

1. = Ø 6. А = А

2. А + А = А 7. А Ø = Ø Коротко . Если А В , то

3. А А = А 8 = АА + В = В

4. А + = 9. А В = А

5. А + Ø = А 10. = Ø

Коммутативность операций

А + В = В + А; А В = В А

Ассоциативность операций

А + (В + С) = (А + В) + С = А + В + С А(В С) = (А В) С = А В С

Дистрибутивность операции сложения относительно умножения

А (В + С) = А В + А С

Дистрибутивность операции умножения относительно сложения

А + (В С) = (А + В)(А + С)

Пример. Вычислим (A+B)(A+C)=AA+BA+AC+BC=A+BC.

В самом деле, BAÌA, ACÌA, AA=A, тогда AA+BA=A, A+AC=A.

Правило двойственности (теорема де Моргана)

Для всякого сложного события, выраженного через сумму и произведение (даже счетного количества) событий, противоположное событие может быть получено путем замены событий им противоположными и замены знака произведения на знак суммы, а знака суммы на знак произведения, при оставлении порядка операций неизменным

Пример .

Алгебра событий.

Пусть W - пространство элементарных событий. Алгеброй событий S называется такая система случайных событий S, что

1) SÉW, 2) " A, B Ì S Þ A+BÌS, ABÌS, ABÌS.

Следствие Æ= WW Ì S

Пусть W содержит конечное число элементов, W= {w 1 ,…w n }. Тогда алгебру S можно построить как множество всех подмножеств W.

S={Æ, {w 1 }, … {w n }, {w 1 ,w 2 }, …{w 1 ,w n }, …{w n -1 ,w n }, …{w 1, …, w n }}, в ней всего 2 n элементов

Аналогично стоится алгебра для счетного числа событий.

Если в результате опыта стало известно, произошли или нет события A, B, то можно заключить, произошли или нет события , A+B, AB, AB, поэтому события должны выбираться из определенного класса – алгебры событий.

Для бесконечного (не счетного) числа событий класс событий должен быть сужен. Вводится s- алгебра событий.

Сигма-алгеброй (s -алгеброй) событий B называется непустая система подмножеств пространства элементарных событий, такая что

2) A 1 , A 2 , …A n , …ÌBÞ(A 1 +A 2 + …+A n +, …)ÌB, …ÌB.

Любая сигма-алгебра событий является алгеброй событий, но не наоборот.

Вероятность.

Классическое определение вероятности события

В классическом определении вероятности исходят из того, что пространство элементарных событий Ω содержит конечное число элементарных исходов, причем все они равновозможные.

Случаями называются равновозможные, несовместные события, составляющие полную группу.

В классическом определении вероятности мы находимся в рамках схемы случаев в том смысле, что элементарные события равновозможны, т.е. представляют собой случаи.

Пусть N – общее число случаев в Ω , а N А – число случаев, образующих событие А (или, как говорят, благоприятствующих событию А ).

Определение . Вероятностью события А называется отношение числаN A случаев, благоприятствующих событию А к общему числу N случаев, т.е. P (A ) = . Данное определение вероятности события принято называть классическим определением вероятности .

Примеры . 1. Бросание игральной кости. Ω = {w 1 , w 2 ,…, w 6 } N = 6.

А – количество очков кратно трем А = {w 3 , w 6 } N A = 2.

2. Бросание 2-х игральных костей. Ω = {w 11 , w 12 ,…, w 66 }; N =36.

w kl = (a k , b l ), k , l =

А – сумма цифр (очков) равна 5. А = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}; N A = 4

.

3. В урне а белых и b черных шаров. Опыт – вынимается один шар.

А – шар черный.

Исходя из классического определения вероятностей, легко доказать свойства вероятности:

1) Р(Ω ) = 1 (N A = N );

3) Если А В = Ø, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В) ( N A + B = N A + N B )

и их следствия

4) Р (Ø) = 0 (N Ø) = 0;

5) Р() = 1- Р(А) ( = Ø, Р(А) + Р( ) = 1);

6) Если , то Р(А) Р(В) (N A N B ).

При практическом применении формулы классической вероятности наиболее сложным является определение общего числа равновозможных исходов и числа благоприятствующих исходов.

Здесь используется основной принцип комбинаторики: пусть некоторая операция Р представляет собой последовательность n операций P k (k=1, …n), каждая из которых может быть выполнена m r способами. Тогда операция Р может быть выполнена способами.

Пусть мы делаем выборку поочередно m элементов (например, шаров) из n элементов. Мы можем возвращать очередной шар (в число n шаров), тогда при каждом очередном выборе мы будем иметь все те же n шаров. Такая выборка называется выборкой с возвращением . А можем и не возвращать шар, тогда при каждом выборе мы будем выбирать из все меньшего числа шаров. Такая выборка называется выборкой без возвращения. С другой стороны, мы можем учитывать порядок появления шаров. Такая выборка называется упорядоченной или размещением из n шаров по m шаров. Если порядок шаров при выборе не учитывается, важно лишь, какие шары выбраны, но не важно, в каком порядке, то такая выборка называется неупорядоченной или сочетанием из n шаров по m шаров. Выясним, сколькими способами можнопроизвести ту или иную выборку

	Сочетания	Размещения
Без возвращения
С возвращением

Формулы для размещений легко получаются из принципа комбинаторики. Для того, чтобы перейти от размещений (без возвращений) к сочетаниям (без возвращений), нужно упорядочить выборки, т.е. исключить те из них, которые отличаются только порядком элементов. Выборки, отличающиеся только порядком элементов, называются перестановками . Число перестановок из m элементов равно P m ==m!. Поэтому .

Формулу для сочетаний с возвращением примем без доказательства (ее доказательство приведено в вып. ХV1 на стр. 50 – 51).

Пример . Производится выборка двух шаров (m=2) из урны, в которой находится 3 шара (n=3). Приведем эти выборки.

1) Размещения с возвращением

(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) = 3 2 = 9.

2) Размещения (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) .

3) Сочетания с возвращением (1,1) (1,2) (1,3) (2,2) (2,3) (3,3)

4) Сочетания (без возвращения) (1,2) (1,3) (2,3) .

Пример . Задача о выборке бракованных деталей .

В партии из N одинаковых деталей M бракованных. Выбирается (не возвращая) n деталей. Какова вероятность того, что среди них окажется ровно m бракованных?

Общее количество случаев (сочетания из N деталей по n) равно . Мы выбираем m бракованных деталей среди M бракованных, но и одновременно выбираем (n-m) деталей без брака среди N-M деталей без брака. Тогда, по основному принципу комбинаторики, такому выбору благоприятствует случаев. Поэтому искомая вероятность равна .

Геометрическая вероятность

Формула классической вероятности применяется только в схеме случаев, что встречается довольно редко. Отношение Р(А)= N A / N представляет собой «долю» благоприятных исходов среди всех возможных исходов. Аналогичным образом подсчитывают вероятность события в некоторых более сложных случаях, когда имеется бесконечное число равновозможных исходов.

Событие А – волчок касается плоскости точкой из окрашенного сектора. Множество точек на ободе в окрашенном секторе имеет мощность континуума. Делим всю окружность на N маленьких одинаковых дуг. Число дуг на окружности, принадлежащих окрашенному сектору, пусть равно N A . . В общем случае имеется мера mes соответствующая (в нашем случае mes = 2) и мера mes А, соответствующая А (в нашем случае mes А = ) и т.д.

Пример. Задача о встрече. Два студента договорились встретиться от 10 до 11 часов на определенном месте, причем первый пришедший на место ждет товарища 15 минут и уходит. Какова вероятность встречи?

Выберем начало системы координат в точке (10, 10). Отложим по осям системы координат x- время прихода первого студента, y – время прихода второго студента.

Тогда множество |x-y|<1/4, 0

содержит точки (события) встречи студентов. Его мера (площадь) mesA равна 1- (3/4) 2 = 7/16. Так как mesW =1, то P(A) = 7/16.

Статистическая вероятность

Формулы классической вероятности и геометрической вероятности справедливы только для случая равновозможных исходов. В действительности мы на практике имеем место с неравновозможными исходами. В этих случаях можно определить вероятность случайного события, используя понятие частоты события . Допустим, что нам требуется определить вероятность того, что в испытании произойдет событие А . Для этого в одинаковых условиях проводятся испытания, в каждом из которых возможны два исхода: А и . Частотой события А будем называть отношение числа N A испытаний, в которых зафиксировано событие А к общему числу N испытаний.

Вероятностью события А называется предел частоты события А при неограниченном увеличении числа испытаний n , т.е. . Так определяется статистическая вероятность события .

Заметим, что по классическому, геометрическому и статистическому определениям для вероятности события P(A) выполнены три основных свойства:

P(A)³0, 2) P(W)=1, 3) P(A 1 + …+A n) = P(A 1) + …+P(A n), если A 1 , A n попарно несовместны. Однако в этих определениях элементарные события предполагаются равновозможными.

А.Н. Колмогоров отказался от предположения равновозможности элементарных событий, ввел сигма-алгебру событий и распространил третье свойство на счетное число событий. Это дало возможность дать аксиоматическое определение вероятности события.

Аксиоматическое определение вероятности (по А.Н.Колмогорову).

Вероятностью P(A) называется числовая функция, заданная на сигма – алгебре событий, удовлетворяющая трем аксиомам:

1) не отрицательность P(A)³0, "AÎB - сигма – алгебре событий на W

2) нормировка P(W) = 1

3) расширенная аксиома сложения: для любых попарно несовместных событий A 1 , … A n … выполнено

P(A 1 + …+A n + …) = P(A 1) + …+P(A n) +…

(счетная аддитивность).

Итак, по А.Н. Колмогорову вероятность (вероятностная мера) это числовая неотрицательная нормированная счетно - аддитивная функция (множества – события), заданная на сигма – алгебре событий.

Если W состоит из конечного или счетного числа событий, то в качестве сигма – алгебры B может рассматриваться алгебра S событий. Тогда по аксиоме 3 вероятность любого события A равна сумме вероятностей элементарных событий, составляющих A.

Вероятностным пространством называется тройка (W, B, P).

Свойства вероятности

1) . В самом деле,, несовместны. По аксиоме 3 .

2) P(Æ) = 0. Так как "A A+Æ = A, по аксиоме 3 P(A+Æ) = P(A) + P(Æ) = P(A) ÞP(Æ) = 0

3) Если AÌ B, то P(A) £ P(B). Так как B = A+ BA, по аксиоме 3 P(B) = P(A) + P(BA), но по аксиоме 1 P(BA)³0

Пример . Из урны с четырьмя шарами с номерами 1, 2, 3, 4 три раза наугад вынимают шар и записывают его номер а) возвращая шары б) не возвращая шары. Какова вероятность 1) получить комбинацию 111, 2) из номеров шаров составить возрастающую последовательность?

В случае а) имеем размещения с возвращением, N = 4 3 , 1), N A =1, P = ¼ 3 , 2) N A = , так как возрастающую последовательность можно составить всегда из не повторяющихся номеров, P = / 4 3 .

В случае б) N = ,1) P = 0, так как номера шаров не повторяются, то N A =0, 2) P = 1, так как N = N A = .

Пример . Пять человек садятся в поезд метро, состоящий из пяти вагонов. Какова вероятность того, что они окажутся в разных вагонах?

Общее число элементарных событий равно числу размещений с повторением из пяти элементов по пять N = 5 5 . Число элементарных событий, составляющих А, равно 5! Поэтому Р = 5!/ 5 5 .

Лекции 1,2 написаны по лекциям В.Ф. Панова с добавлением авторского материала и примеров

Теория вероятностей и математическая статистика

1. Предмет теории вероятностей и ее значение для решения экономических, технических задач. Вероятность и ее определение

На протяжении длительного времени человечество изучало и использовало для своей деятельности лишь так называемые детерминистические закономерности. Однако, поскольку случайные события врываются в нашу жизнь помимо нашего желания и постоянно окружают нас, и более того, поскольку почти все явления природы имеют случайный характер, необходимо научиться их изучать и разработать для этой цели методы изучения.

По форме проявления причинных связей законы природы и общества делятся на два класса: детерминированные (предопределенные) и статистические.

Например, на основании законов небесной механики по известному в настоящем положению планет Солнечной системы может быть практически однозначно предсказано их положение в любой наперед заданный момент времени, в том числе очень точно могут быть предсказаны солнечные и лунные затмения. Это пример детерминированных законов.

Вместе с тем не все явления поддаются точному предсказанию. Так, долговременные изменения климата, кратковременные изменения погоды не являются объектами для успешного прогнозирования, т.е. многие законы и закономерности гораздо менее вписываются в детерминированные рамки. Такого рода законы называются статистическими. Согласно этим законам, будущее состояние системы определяется не однозначно, а лишь с некоторой вероятностью.

Теория вероятностей, как и другие математические науки, возродилась и развилась из потребностей практики. Она занимается изучением закономерностей, присущих массовым случайным событиям.

Теория вероятностей изучает свойства массовых случайных событий, способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий. Основное свойство любого случайного события, независимо от его природы, -- мера, или вероятность его осуществления.

Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет. Случайным называют событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

Теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет, так как невозможно учесть влияние на случайное событие всех причин. С другой стороны, оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий, независимо от их конкретной природы, подчиняется определенным закономерностям, а именно -- вероятностным закономерностям.

Итак, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Некоторые задачи, относящиеся к массовым случайным явлениям, пытались решать, используя соответствующий математический аппарат, еще в начале ХVII в. Изучая ход и результаты различных азартных игр, Б. Паскаль, П. Ферма и Х. Гюйгенс в середине XVII века заложили основы классической теории вероятностей. В своих работах они неявно использовали понятия вероятности и математического ожидания случайной величины. Только в начале XVIII в. Я. Бернулли формулирует понятие вероятности.

Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др.

В развитие теории вероятностей огромный вклад внесли русские и советские математики, такие как П.Л. Чебышев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов, С.Н. Бернштейн, А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, А. Прохоров и др.

Особое место в развитии теории вероятностей принадлежит и узбекистанской школе, яркими представителями которой являются академики В.И. Романовский, С.Х. Сираждинов, Т.А. Сарымсаков, Т.А. Азларов, Ш.К. Фарманов, профессора И.С. Бадалбаев, М.У. Гафуров, Ш.А. Хашимов и др.

Как уже было отмечено, потребности практики, способствовав зарождению теории вероятностей, питали ее развитие как науки, приводя к появлению все новых ее ветвей и разделов. На теорию вероятностей опирается математическая статистика, задача которой состоит в том, чтобы по выборке восстановить с определенной степенью достоверности характеристики, присущие генеральной совокупности. От теории вероятностей отделились такие отрасли науки, как теория случайных процессов, теория массового обслуживания, теория информации, теория надежности, эконометрическое моделирование и др.

В качестве важнейших сфер приложения теории вероятностей можно указать экономические, технические науки. В настоящее время трудно себе представить исследование экономико-технических явлений без моделирований, опирающихся на теорию вероятностей, без моделей корреляционного и регрессионного анализа, адекватности и "чувствительных" адаптивных моделей.

События, происходящие в автомобильных потоках, степень надежности составных частей машин, автокатастрофы на дорогах, различные ситуации в процессе проектирования дорог ввиду их недетерминированности входят в круг проблем, исследуемых посредством методов теории вероятностей.

Основные понятия теории вероятностей -- это опыт или эксперимент и события. Действия, которые осуществляются при определенных условиях и обстоятельствах, мы назовем экспериментом. Каждое конкретное осуществление эксперимента называется испытанием.

Всякий мыслимый результат эксперимента называется элементарным событием и обозначается через. Случайные события состоят из некоторого числа элементарных событий и обозначаются через A, B, C, D,...

Множество элементарных событий таких, что

1) в результате проведения эксперимента всегда происходит одно из элементарных событий;

2) при одном испытании произойдет только одно элементарное событие называется пространством элементарных событий и обозначается через.

Таким образом, любое случайное событие является подмножеством пространства элементарных событий. По определению пространства элементарных событий достоверное событие можно обозначить через. Невозможное событие обозначается через.

Пример 1. Бросается игральная кость. Пространство элементарных событий, отвечающее данному эксперименту, имеет следующий вид:

Пример 2. Пусть в урне содержатся 2 красных, 3 синих и 1 белый, всего 6 шаров. Эксперимент состоит в том, что из урны вынимаются наудачу шары. Пространство элементарных событий, отвечающее данному эксперименту, имеет следующий вид:

где элементарные события имеют следующие значения: - появился белый шар; - появился красный шар; - появился синий шар. Рассмотрим следующие события:

А -- появление белого шара;

В -- появление красного шара;

С -- появление синего шара;

D -- появление цветного (небелого) шара.

Здесь мы видим, что каждое из этих событий обладает той или иной степенью возможности: одни - большей, другие - меньшей. Очевидно, что степень возможности события В больше, чем события А; события С -- чем события В; события D -- чем события С. Чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно, нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие.

Это число обозначим через и назовем вероятностью события А. Дадим теперь определение вероятности.

Пусть пространство элементарных событий является конечным множеством и элементы его суть. Будем считать, что они являются равновозможными элементарными событиями, т.е. каждое элементарное событие не имеет больше шансов появления, чем другие. Как известно, каждое случайное событие А состоит из элементарных событий как подмножество. Эти элементарные события называются благоприятствующими для А.

Вероятность события А определяется формулой

где m -- число благоприятствующих элементарных событий для А, n -- число всех элементарных событий, входящих в.

Если в примере 1 через А обозначить событие, состоящее в том, что выпадет четное число очков, то

В примере 2 вероятности событий имеют следующие значения:

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то все элементарные события благоприятствуют ему. В этом случае m=n и, следовательно,

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни одно элементарное событие не благоприятствует ему. В этом случае m=0 и, следовательно,

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных событий. В этом случае, а значит, и, следовательно,

Итак, вероятность любого события удовлетворяет неравенствам

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.

Таким образом, относительная частота события А определяется формулой

где т -- число появлений события, п -- общее число испытаний.

Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически.

Пример 3. Из 80 случайно отобранных одинаковых деталей выявлено 3 бракованных. Относительная частота бракованных деталей равна

Пример 4. В течение года на одном из объектов было проведено 24 проверки, причем было зарегистрировано 19 нарушений законодательства. Относительная частота нарушений законодательства равна

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производятся опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности. Это есть статистическое определение вероятности.

В заключении рассмотрим геометрическое определение вероятности.

Если пространство элементарных событий рассматривать как некоторую область на плоскости или в пространстве, а А как ее подмножество, то вероятность события А будет рассматриваться как отношение площадей или объемов А и, и находиться по следующим формулам:

Вопросы для повторения и контроля:

1. На какие классы делятся законы природы и общества по форме проявления причинных связей?

2. На какие виды можно подразделить события?

3. Что является предметом теории вероятностей?

4. Что вы знаете об истории развития теории вероятностей?

5. Каково значение теории вероятностей для экономических, технических задач?

6. Что такое эксперимент, испытание, элементарное событие и событие, как они обозначаются?

7. Что называется пространством элементарных событий?

8. Как определяется вероятность события?

9. Какие свойства вероятности вы знаете?

10. Что вы знаете об относительной частоте события?

11. В чем сущность статистического определения вероятности?

12. Каково геометрическое определение вероятности?

Биография и труды Колмогорова А.Н.

Элементарная теория вероятностей -- та часть теории вероятностей, в которой приходится иметь дело с вероятностями лишь конечного числа событий. Теория вероятностей, как математическая дисциплина...

Векторное пространство. Решение задач линейного программирования графическим способом

Теперь рассмотрим несколько задач линейного программирования и их решение графическим методом. Задача 1. max Z = 1+ - , . Решение. Заметим, что полуплоскости, определяемые системой неравенств данной задачи не имеют общих точек (рисунок 2 , тогда F (x ) = .

Пусть х Î (b ,+¥], тогда F (x ) = = 0 + .

Найдем медиану x 0,5 . Имеем F (x 0,5) = 0,5, следовательно

Итак, медиана равномерного распределения совпадает с серединой отрезка . На рис.1 приведен график плотности р (х ) и функции распределения F (x )

для равномерного распределения.

Нормальное распределение

Определение 7. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение, с двумя параметрами a, s, если

, s>0. (5)

Тот факт, что случайная величина имеет нормальное распределение, будем кратко записывать в виде Х ~ N (a ;s ).

Покажем, что p (x ) – плотность

(показано в лекции 6).

График плотности нормального распределения (рис. 3) называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

Плотность распределения симметрична относительно прямой х = a . Если х ® ¥, то р (х ) ® 0. При уменьшении s график «стягивается» к оси симметрии х = a .

Нормальное распределение играет особую роль в теории вероятностей и ее приложениях. Это связано с тем, что в соответствии с центральной предельной теоремой теории вероятностей при выполнении определенных условий сумма большого числа случайных величин имеет «примерно» нормальное распределение.

Так как – плотность нормального закона распределения с параметрами а = 0 и s =1, то функция = Ф (х ), с помощью которой вычисляется вероятность , является функцией распределения нормального распределения с параметрами а = 0 и s =1.

Функцию распределения случайной величины Х с произвольными параметрами а , s можно выразить через Ф (х ) – функцию распределения нормальной случайной величины с параметрами а = 0 и s =1.

Пусть Х ~ N (a ;s), тогда

. (6)

Сделаем замену переменных под знаком интеграла , получим

=

F (x ) = . (7)

В практических приложениях теории вероятностей часто требуется найти вероятность того, что случайная величина примет значение из заданного отрезка . В соответствии с формулой (7) эту вероятность можно найти по табличным значениям функции Лапласа

Найдем медиану нормальной случайной величины Х ~ N (a ;s ). Так как плотность распределения р(х) симметрична относительно оси х = а , то

р (х < a ) = p (x > a ) = 0,5.

Следовательно, медиана нормальной случайной величины совпадает с параметром а :

Х 0,5 = а.

Задача 1. Поезда в метро идут с интервалом в 2 мин. Пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени. Время Х, в течение которого ему придется ждать поезд, представляет собой случайную величину, распределенную с равномерной плотностью на участке (0, 2) мин. Найти вероятность того, что пассажиру придется ждать ближайший поезд не более 0,5 мин.

Решение . Очевидно, что p(x) = 1/2. Тогда, Р 0,5 = Р(1,52) = = 0,25

Задача 2. Волжский автомобильный завод запускает в производство новый двигатель. Предполагается, что средняя длина пробега автомобиля с новым двигателем – 160 тыс. км, со стандартным отклонением – σ = 30 тыс.км. Чему равна вероятность, что до первого ремонта число км. пробега автомобиля будет находиться в пределах от 100 тыс. км. до 180 тыс. км.

Решение. Р(100000< X < 180000) = Ф(2/3)–Ф(–2) = 0,2454 + 0,4772 = 0,7226.

Свойства дисперсии

1.Дисперсия постоянной C равна 0,DC = 0, С = const .

Доказательство . DC = M (С – MC ) 2 = М (С – С ) = 0.

2. D (CX ) = С 2 DX .

Доказательство. D (CX ) = M (CX ) 2 – M 2 (CX ) = C 2 MX 2 – C 2 (MX ) 2 = C 2 (MX 2 – M 2 X ) = С 2 DX .

3. Если X и Y – независимые случайные величины , то

Доказательство .

4. Если Х 1 , Х 2 , … не зависимы, то .

Это свойство можно доказать методом индукции, используя свойство 3.

Доказательство . D(X – Y) = DX + D(–Y) = DX + (–1) 2 D(Y) = DX + D(Y).

6.

Доказательство . D(C+X) = M(X+C–M(X+C)) 2 = M(X+C–MX–MC) 2 = M(X+C–MX–C) 2 = M(X–MX) 2 = DX.

Пусть – независимые случайные величины, причем , .

Составим новую случайную величину , найдем математическое ожидание и дисперсию Y .

; .

То есть при n ®¥ математическое ожидание среднего арифметического n независимых одинаково распределенных случайных величин остается неизменным, равным математическому ожиданию а, в то время как дисперсия стремится к нулю.

Это свойство статистической устойчивости среднего арифметического лежит в основе закона больших чисел.

Нормальное распределение

Пусть X имеет нормальное распределение. Раннее, в лекции 11 (пример 2) было показано, что если

То Y ~ N(0,1).

Отсюда , и тогда , поэтому найдем сначала DY .

Следовательно

DX = D (sY +a ) = s 2 DY = s 2 , s x = s. (2)

Распределение Пуассона

Как известно

Следовательно,

Равномерное распределение

Известно, что .

Ранее мы показали, что , воспользуемся формулой .

Доказательство.

Последний интеграл в цепочке равенств равен 0, так как из условия задачи следует, что p(MX+t) – четная функция относительно t (p(MX+t) = p(MX-t) ), а t 2 k +1 – нечетная функция.

Так как плотности нормального и равномерного законов распределений симметричны относительно х = МХ , то все центральные моменты нечетного порядка равны 0.

Теорема 2. Если X ~N (a ,s), то .

Чем больше моментов случайной величины известно, тем более детальное представление о законе распределения мы имеем. В теории вероятностей и математической статистике наиболее часто используются две числовые характеристики, основанные на центральных моментах 3-го и 4-го порядков. Это коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины.

Определение 3. Коэффициентом асимметрии случайной величины Х называется число b = .

Коэффициент асимметрии является центральным и начальным моментом нормированной случайной величины Y , где . Справедливость этого утверждения следует из следующих соотношений:

Асимметрия случайной величины Х равна асимметрии случайной величины Y = αХ + β

c точностью до знака α, . Это следует из того, что нормирование случайных величин aХ + b и Х приводит к одной и той же случайной величине Y с точностью до знака

Если распределение вероятностей несимметрично, причем «длинная часть» графика расположена справа от центра группирования, то β(х ) > 0; если же «длинная часть» графика расположена слева, то β(х ) < 0. Для нормального и равномерного распределений β = 0.

В качестве характеристики большей или меньшей степени «сглаженности» кривой плотности или многоугольника распределения по сравнению с нормальной плотностью используется понятие эксцесса.

Определение 4. Эксцессом случайной величины Х называется величина

Эксцесс случайной величины Х равен разности начального и центрального моментов 4-го порядка нормированной случайной величины и числа3, т.е. . Покажем это:

Эксцесс случайной величины Х равен эксцессу случайной величины

Y = αХ + β.

Найдем эксцесс нормальной случайной величины Х.

Если Х ~N (a ,s), то ~ (0,1).

Таким образом, эксцесс нормально распределенной случайной величины равен 0. Если плотность распределения одномодальна и более «островершинна», чем плотность нормального распределения с той же дисперсией, то g(Х ) > 0, если при тех же условиях менее «островершинна», то g(Х ) < 0.

Закон больших чисел

Закон больших чисел устанавливает условия сходимости среднего арифметического случайных величин к среднему арифметическому математических ожиданий.

Определение 1 . Последовательность случайных величин называется сходящейся по вероятности p к числу b, если

.

Перейдем в этом неравенстве к пределу при и получим

.

Интервальная оценка

Если получена точечная оценка неизвестного параметра по выборке, то говорить о полученной оценке как об истинном параметре довольно рискованно. В некоторых случаях, целесообразнее, получив разброс оценки параметра, говорить об интервальной оценке истинного значения параметра. В качестве иллюстрации сказанного рассмотрим построение доверительного интервала для математического ожидания нормального распределения.

Мы показали, что – наилучшая оценка (абсолютно корректная) для математического ожидания МХ = Q, поэтому является абсолютно корректной оценкой также и для параметра a = нормального распределенияР, где t – значение аргумента функции Лапласа, при котором Ф (t ) = , e = .

1. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и мате-

матическая статистика. М.: Высшая Школа, 1991.

2. Елисеева И.И., Князевский В.С., Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Теория статистики с основами теории вероятностей. М.: Юнити, 2001.

3. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.: Мир, 1990.

4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Юнити, 2001

5. Смирнов Н.В. Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. М.: Наука,1969.

6. Статистические методы построения эмпирических формул. М.: Высшая Школа, 1988.

ЛЕКЦИЯ 1. ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.. 3

ЛЕКЦИЯ 2. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СТАТИСТИЧЕСКОЕ, ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.. 8

ЛЕКЦИЯ 3. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. АКСИОМАТИКА КОЛМОГОРОВА.. 14

ЛЕКЦИЯ 4. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.. 17

ЛЕКЦИЯ 5. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.. 21

ЛЕКЦИЯ 6. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА–ЛАПЛАСА, ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ.. 26

ЛЕКЦИЯ 7. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ... 29

ЛЕКЦИЯ 8. ПОНЯТИЕ МНОГОМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ... 35

ЛЕКЦИЯ 9. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МНОГОМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ... 39

ЛЕКЦИЯ 10. СВОЙСТВА ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДВУМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ 43

ЛЕКЦИЯ 11. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.. 48

ЛЕКЦИЯ 12. ТЕОРЕМА О ПЛОТНОСТИ СУММЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.. 52

ЛЕКЦИЯ 13. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЬЮДЕНТА, ФИШЕРА.ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫ