Главная
По литературе
Значение слова тождество. Понятие тождества

Значение слова тождество. Понятие тождества

В ходе изучения алгебры мы сталкивались с понятиями многочлен (например ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ и тд) и алгебраическая дробь(например $\frac{x+5}{x}$ , $\frac{2x^2}{2x^2-2x}$,$\ \frac{x-y}{y-x}$ и тд). Сходство этих понятий в том, что и в многочленах, и в алгебраических дробях присутствуют переменные и числовые значения, выполняются арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, возведение в степень. Отличие этих понятий состоит в том, что в многочленах не производится деление на переменную, а в алгебраических дробях деление на переменную можно производить.

И многочлены , и алгебраические дроби в математике называются рациональными алгебраическими выражениями. Но многочлены являются целыми рациональными выражениями, а алгебраические дроби- дробно- рациональными выражениями.

Можно получить из дробно --рационального выражения целое алгебраическое выражение используя тождественное преобразование, которое в данном случае будет являться основным свойством дроби - сокращением дробей. Проверим это на практике:

Пример 1

Выполнить преобразование:$\ \frac{x^2-4x+4}{x-2}$

Решение: Преобразовать данное дробно-рациональное уравнение можно путем использования основного свойства дроби- сокращения, т.е. деления числителя и знаменателя на одно и то же число или выражение, отличное от $0$.

Сразу данную дробь сократить нельзя,необходимо преобразовать числитель.

Преобразуем выражние стоящее в числителе дроби,для этого воспользуемся формулой квадрата разности :$a^2-2ab+b^2={(a-b)}^2$

Дробь имеет вид

\[\frac{x^2-4x+4}{x-2}=\frac{x^2-4x+4}{x-2}=\frac{{(x-2)}^2}{x-2}=\frac{\left(x-2\right)(x-2)}{x-2}\]

Теперь мы видим, что в числителе и в знаменателе есть общий множитель --это выражение $x-2$, на которое произведем сокращение дроби

\[\frac{x^2-4x+4}{x-2}=\frac{x^2-4x+4}{x-2}=\frac{{(x-2)}^2}{x-2}=\frac{\left(x-2\right)(x-2)}{x-2}=x-2\]

После сокращения мы получили, что исходное дробно-рациональное выражение $\frac{x^2-4x+4}{x-2}$ стало многочленом $x-2$, т.е. целым рациональным.

Теперь обратим внимание на то, что тождественными можно считать выражения $\frac{x^2-4x+4}{x-2}$ и $x-2\ $ не при всех значениях переменной, т.к. для того, чтобы дробно-рациональное выражение существовало и было возможно сокращение на многочлен $x-2$ знаменатель дроби не должен быть равен $0$ (так же как и множитель, на который мы производим сокращение. В данном примере знаменатель и множитель совпадают, но так бывает не всегда).

Значения переменной, при которых алгебраическая дробь будет существовать называются допустимыми значениями переменной.

Поставим условие на знаменатель дроби: $x-2≠0$,тогда $x≠2$.

Значит выражения $\frac{x^2-4x+4}{x-2}$ и $x-2$ тождественны при всех значениях переменной, кроме $2$.

Определение 1

Тождественно равными выражениями называются те, которые равны при всех допустимых значениях переменной.

Тождественным преобразованием является любая замена исходного выражения на тождественно равное ему.К таким преобразованиям относятся выполнение действий: сложения, вычитания, умножение, вынесение общего множителя за скобку, приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сокращение алгебраических дробей, приведение подобных слагаемых и т.д. Необходимо учитывать,что ряд преобразований, такие как, сокращение, приведение подобных слагаемых могут изменить допустимые значения переменной.

Приемы, использующиеся для доказательств тождеств

    Привести левую часть тождества к правой или наоборот с использованием тождественных преобразований

    Привести обе части к одному и тому же выражению с помощью тождественных преобразований

    Перенести выражения, стоящие в одной части выражения в другую и доказать, что полученная разность равна $0$

Какое из приведенных приемов использовать для доказательства данного тождества зависит от исходного тождества.

Пример 2

Доказать тождество ${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Решение: Для доказательства данного тождества мы используем первый из приведенных выше приемов, а именно будем преобразовывать левую часть тождества до ее равенства с правой.

Рассмотрим левую часть тождества:$\ {(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)$- она представляет собой разность двух многочленов. При этом первый многочлен является квадратом суммы трех слагаемых.Для возведения в квадрат суммы нескольких слагаемых используем формулу:

\[{(a+b+c)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Для этого нам необходимо выполнить умножение числа на многочлен.Вспомним, что для этого надо умножить общий множитель,стоящий за скобками на каждое слагаемое многочлена,стоящего в скобках.Тогда получим:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Теперь вернемся к исходному многочлену,он примет вид:

${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Обратим внимание, что перед скобкой стоит знак «-» значит при раскрытии скобок все знаки, которые были в скобках меняются на противоположные.

${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Приведем подобные слагаемые,тогда получим, что одночлены $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ и $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ взаимно уничтожатся, т.е. их сумма равна $0$.

${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Значит путем тождественных преобразований мы получили тождественное выражение в левой части исходного тождества

${(a+b+c)}^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Заметим, что полученное выражение показывает, что исходное тождество --верно.

Обратим внимание, что в исходном тождестве допустимы все значения переменной, значит мы доказали тождество используя тождественные преобразования, и оно верно при всех допустимых значениях переменной.

§ 2. Тождественные выражения, тождество. Тождественное преобразование выражения. Доказательства тождеств

Найдем значения выражений 2(х - 1) 2х - 2 для данных значений переменной х. Результаты запишем в таблицу:

Можно прийти к выводу, что значения выражений 2(х - 1) 2х - 2 для каждого данного значения переменной х равны между собой. По распределительным свойством умножения относительно вычитания 2(х - 1) = 2х - 2. Поэтому и для любого другого значения переменной х значение выражения 2(х - 1) 2х - 2 тоже будут равны между собой. Такие выражения называют тождественно равными.

Например, синонимами являются выражения 2х + 3х и 5х, так как при каждом значении переменной х эти выражения приобретают одинаковых значений (это вытекает из распределительной свойства умножения относительно сложения, поскольку 2х + 3х = 5х).

Рассмотрим теперь выражения 3х + 2у и 5ху. Если х = 1 и в = 1, то соответствующие значения этих выражений равны между собой:

3х + 2у =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5ху = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Однако можно указать такие значения х и у, для которых значения этих выражений не будут между собой равными. Например, если х = 2; у = 0, то

3х + 2у = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5ху = 5 ∙ 20 = 0.

Следовательно, существуют такие значения переменных, при которых соответствующие значения выражений 3х + 2у и 5ху не равны друг другу. Поэтому выражения 3х + 2у и 5ху не являются тождественно равными.

Исходя из вышеизложенного, тождественностями, в частности, являются равенства: 2(х - 1) = 2х - 2 и 2х + 3х = 5х.

Тождеством является каждое равенство, которым записано известные свойства действий над числами. Например,

а + b = b + а; (а + b) + с = а + (b + с); а(b + с) = ab + ас;

ab = bа; (аb)с = a(bc); a(b - с) = ab - ас.

Тождественностями есть и такие равенства:

а + 0 = а; а ∙ 0 = 0; а ∙ (-b) = -ab;

а + (-а) = 0; а ∙ 1 = а; а ∙ (-b) = аb.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Если в выражении-5х + 2х - 9 свести подобные слагаемые, получим, что 5х + 2х - 9 = 7х - 9. В таком случае говорят, что выражение 5х + 2х - 9 заменили тождественным ему выражением 7х - 9.

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняют, применяя свойства действий над числами. В частности, тождественными преобразованиями с раскрытие скобок, возведение подобных слагаемых и тому подобное.

Тождественные преобразования приходится выполнять при упрощении выражения, то есть замены некоторого выражения на тождественно равное ему выражение, которое должно короче запись.

Пример 1. Упростить выражение:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2(3х - 4) + 3(-4х + 7);

3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - а).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;

2) 2(3х 4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2х + 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - a) = 2 + 5а - а + 2 b + 3 b - а = 3а + 5b + 2.

Чтобы доказать, что равенство является тождеством (иначе говоря, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений.

Доказать тождество можно одним из следующих способов:

  • выполнить тождественные преобразования ее левой части, тем самым сведя к виду правой части;
  • выполнить тождественные преобразования ее правой части, тем самым сведя к виду левой части;
  • выполнить тождественные преобразования обеих ее частей, тем самым возведя обе части до одинаковых выражений.

Пример 2. Доказать тождество:

1) 2х - (х + 5) - 11 = х - 16;

2) 206 - 4а = 5(2а - 3b) - 7(2а - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5х - 7) = 13(2x - 5) + 21.

Р а з в’ я з а н н я.

1) Преобразуем левую часть данного равенства:

2х - (х + 5) - 11 = 2х - х - 5 - 11 = х - 16.

Тождественными преобразованиями выражение в левой части равенства свели к виду правой части и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.

2) Преобразуем правую часть данного равенства:

5(2а - 3b) - 7(2а - 5b) = 10а - 15 b - 14а + 35 b = 20b - 4а.

Тождественными преобразованиями правую часть равенства свели к виду левой части и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.

3) В этом случае удобно упростить как левую, так и правую части равенства и сравнить результаты:

2(3х - 8) + 4(5х - 7) = 6х - 16 + 20х - 28 = 26х - 44;

13(2х - 5) + 21 = 26х - 65 + 21 = 26х - 44.

Тождественными преобразованиями левую и правую части равенства свели к одному и тому же виду: 26х - 44. Поэтому данное равенство является тождеством.

Какие выражения называют тождественными? Приведите пример тождественных выражений. Какое равенство называют тождеством? Приведите пример тождества. Что называют тождественным преобразованием выражения? Как доказать тождество?

  1. (Устно) Или есть выражения тождественно равными:

1) 2а + а и 3а;

2) 7х + 6 и 6 + 7х;

3) x + x + x и x 3 ;

4) 2(х - 2) и 2х - 4;

5) m - n и n - m;

6) 2а ∙ р и 2р ∙ а?

  1. Являются ли тождественно равными выражения:

1) 7х - 2х и 5х;

2) 5а - 4 и 4 - 5а;

3) 4m + n и n + 4m;

4) а + а и а 2 ;

5) 3(а - 4) и 3а - 12;

6) 5m ∙ n и 5m + n?

  1. (Устно) является Ли тождеством равенство:

1) 2а + 106 = 12аb;

2) 7р - 1 = -1 + 7р;

3) 3(х - у) = 3х - 5у?

  1. Раскройте скобки:
  1. Раскройте скобки:
  1. Сведите подобные слагаемые:
  1. Назовите несколько выражений, тождественных выражения 2а + 3а.
  2. Упростите выражение, используя переставляющейся и соединительную свойства умножения:

1) -2,5 х ∙ 4;

2) 4р ∙ (-1,5);

3) 0,2 х ∙ (0,3 г);

4)- х ∙ <-7у).

  1. Упростите выражение:

1) -2р ∙ 3,5;

2) 7а ∙ (-1,2);

3) 0,2 х ∙ (-3у);

4) - 1 m ∙ (-3n).

  1. (Устно) Упростите выражение:

1) 2х - 9 + 5х;

2) 7а - 3b + 2а + 3b;

4) 4а ∙ (-2b).

  1. Сведите подобные слагаемые:

1) 56 - 8а + 4b - а;

2) 17 - 2р + 3р + 19;

3) 1,8 а + 1,9 b + 2,8 а - 2,9 b;

4) 5 - 7с + 1,9 г + 6,9 с - 1,7 г.

1) 4(5х - 7) + 3х + 13;

2) 2(7 - 9а) - (4 - 18а);

3) 3(2р - 7) - 2(г - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

  1. Раскройте скобки и сведите подобные слагаемые:

1) 3(8а - 4) + 6а;

2) 7р - 2(3р - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6 x + 0,4(x - 20), если x = 2,4;

2) 1,3(2а - 1) - 16,4, если а = 10;

3) 1,2(m - 5) - 1,8(10 - m), если m = -3,7;

4) 2x - 3(x + у) + 4у, если x = -1, у = 1.

  1. Упростите выражение и найдите его значение:

1) 0,7 x + 0,3(x - 4), если x = -0,7;

2) 1,7(у - 11) - 16,3, если в = 20;

3) 0,6(2а - 14) - 0,4(5а - 1), если а = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n, если m = 1,8; n = -0,9.

  1. Докажите тождество:

1) -(2х - у)=у - 2х;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) с - 2 = 5(с + 2) - 4(с + 3).

  1. Докажите тождество:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - р) + 7р = 14;

3) 5а = 3(а - 4) + 2(а + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

  1. Длина одной из сторон треугольника а см, а длина каждой из двух других сторон на 2 см больше нее. Запишите в виде выражения периметр треугольника и упростите выражение.
  2. Ширина прямоугольника равна х см, а длина на 3 см больше ширины. Запишите в виде выражения периметр прямоугольника и упростите выражение.

1) х - (х - (2х - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4р - (3р - (2р - (г + 1)));

4) 5x - (2x - ((у - х) - 2у));

5) (6а - b) - (4 a – 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

  1. Раскройте скобки и упростите выражение:

1) а - (а - (3а - 1));

2) 12m - ((а - m) + 12а);

3) 5y - (6у - (7у - (8у - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a – 1b).

  1. Докажите тождество:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) -(- 3р) - (-(8 - 5р)) = 2(4 - г);

3) 3(а - b - с) + 5(а - b) + 3с = 8(а - b).

  1. Докажите тождество:

1) 12а - ((8а - 16)) = -4(4 - 5а);

2) 4(х + у - <) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

  1. Докажите, что значение выражения

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) не зависит от значения переменной.

  1. Докажите, что при любом значении переменной значение выражения

а - (а - (5а + 2)) - 5(а - 8)

является одним и тем же числом.

  1. Докажите, что сумма трех последовательных четных чисел делится на 6.
  2. Докажите, что если n - натуральное число, то значение выражения -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) является четным числом.

Упражнения для повторения

  1. Сплав массой 1,6 кг содержит 15 % меди. Сколько кг меди содержится в этом сплаве?
  2. Сколько процентов составляет число 20 от своего:

1) квадрата;

  1. Турист 2 ч шел пешком и 3 ч ехал на велосипеде. Всего турист преодолел 56 км. Найдите, с какой скоростью турист ехал на велосипеде, если она на 12 км/ч больше за скорость, с которой он шел пешком.

Интересные задачи для учеников ленивых

  1. В чемпионате города по футболу участвуют 11 команд. Каждая команда играет с другими по одному матчу. Докажите, что в любой момент соревнований найдется команда, которая проведет к этому моменту четное число матчей или не провела еще ни одного.

то, посредством чего одна вещь абсолютно подобна другой. Понимание обычно предполагает подведение («идентификацию») нового знания под то, что мы уже знаем. Именно в этом смысле тождество - форма всякого понимания. Мейерсон видел в синтезе всех знаний об универсуме, в их редукции к тождеству идеал науки: как раз, наука должна прийти в результате к единой формуле (представленной сегодня формулой относительности), из которой мы сможем вывести все частные законы науки. Этот идеал предстает скорее как философский, чем как научный, потому что научный прогресс ведет скорее к бесконечной диверсификации методов науки (специализация), и ее непосредственная цель состоит скорее в вечной возможности познания новых объектов, чем в унификации методов (эта работа по унификации составляет цель размышления о науке, эпистемологии).

Отличное определение

Неполное определение ↓

ТОЖДЕСТВО

Понятие Т. является осн. понятием философии, логики и математики, поэтому к нему относятся все трудности, связанные с выяснением и определением исходных (основных, фундаментальных) понятий науки. В комплексе вопросов, относящихся к понятию Т., особого внимания заслуживают два: вопрос о Т. "... самом по себе. Признаем мы, что оно существует, или не признаем?" (Plato, Phaed. 74 b; рус. пер. Соч., т. 2, 1970) и вопрос о Т. вещей. (Т. вещей выражают обычно символом "=", к-рый встречается впервые у Р. Рекорда в его "The whetstone of witte", L., 1557.) Первый из этих вопросов является частью вопроса об онтологич. статусе абстрактных объектов (см., напр., Отношение, Универсалии), второй имеет самостоят. значение. Как бы эти вопросы ни решались в философии, для логики и математики их решение всегда эквивалентно решению вопроса об определении понятия Т. Однако нетрудно убедиться, проанализировав любое из известных логических (математических) определений Т. (вместо со способом его обоснования), что "идея Т." и так или иначе определенное "понятие Т." – это не одно и то же. Идея Т. п р е д в а р я е т любое определение понятия (предиката) Т., равно как и вводимое определением понятие "тождественные вещи". Это обусловлено тем, что суждение о Т. к.-л. объектов всегда предполагает, что уже выполнены (или должны быть выполнены) какие-то другие, вспомогательные, но необходимые – отнюдь не посторонние для данного суждения – отождествления. Именно в связи с проблемой "допустимых отождествлений" филос. анализ может послужить полезной предпосылкой для логического и матем. анализа понятия Т. Принцип индивидуации. В соответствии с филос. т. зр. следует различать онтологич., гносеологич. и семантич. проблемы Т. вещей. Онтологическая проблема Т. – это проблема Т. вещей "самих по себе" или in se – по их "внутреннему обстоянию" (Г. Кантор). Она ставится и решается на основе п р и н ц и п а и н д и в и д у а ц и и (principium individuationis): всякая вещь универсума есть единств. вещь; двух различных вещей, из к-рых каждая была бы тою же вещью, что и другая, не существует. Именно "...в соответствии с началами индивидуации, которые проистекают от материи" мы принимаем, что "... всякая самосущая вещь, составленная из материи и формы, составлена из индивидуальной формы и индивидуальной материи" (Фома Аквинский, цит. по кн.: "Антология мировой философии", т. 1, ч. 2, М., 1969, с. 847, 862). Принцип индивидуации не содержит в себе никакого указания на то, как индивидуализировать предметы универсума или как они индивидуализированы "сами по себе", поскольку это уже имеет место; он лишь постулирует абстрактную возможность такой индивидуализации. И это естественно, коль скоро мы понимаем его как принцип чисто онтологический. Вопрос о том, как индивидуализировать предметы универсума, есть уже гносеологич. вопрос. Но в этом случае никакая возможная индивидуализация не выводит нас за пределы того и н т е р в а л а абстракции, к-рым определяется универсум рассуждения (см. Универсум). Хотя принцип индивидуации является древним филос. утверждением о мире, его аналоги можно найти и в (современных) собственно научных (математических, физических и др.) теориях. В этой связи можно сослаться на идею "субстанциональных", или мировых, точек (пространственных точек в определенный момент времени) в четырехмерном (абстрактном) "мире Минковского" и связанную с ней идею пространственно-временн?й модели физич. реальности, позволяющую индивидуа-лизировать каждый ее объект, или на принцип Паули, или, наконец, на гипотезу Г. Кантора о том, что любые два элемента произвольного множества различимы между собой. Можно даже считать, что принцип индивидуации лежит в основе всей классич. математики с ее – в известном смысле онтологическим – "само собой разумеющимся" постулатом упорядоченного (по величине) числового континуума. Принцип Т. неразличимых. Принимая принцип индивидуации, мы, тем не менее, как в повседневной практике, так и в теории, постоянно отождествляем различные предметы, т.е. говорим о разных предметах так, как если бы они были одной и той же вещью. Возникающая при этом абстракция отождествления различного была впервые явно отмечена Лейбницем в его знаменитом принципе Т. неразличимых (Principium identitatis indiscernibilium). Кажущееся противоречие между принципом индивидуации и принципом Т. неразличимых легко разъяснить. Противоречие возникает лишь тогда, когда, полагая, что, напр., x и у – разные вещи, в формулировке принципа Т. неразличимых имеют в виду их абсолютную, или онтологическую, неразличимость, а именно, когда думают, что неразличимость x и у предполагает, что x и у "сами по себе" не отличимы по любому признаку. Однако, если иметь в виду относительную, или гносеологическую, неразличимость x и у, напр. их неразличимость "для нас", хотя бы ту, с к-рой мы можем встретиться в результате практически осуществимого сравнения х и у (см. об этом в ст. Сравнение), то никакого противоречия не возникает. Если различать понятия "вещь", или предмет универсума "сам по себе", и "объект", или предмет универсума в познании, в практике, в отношении к др. предметам, то совместимость принципа Т. неразличимых и принципа индивидуации должна означать, что нет тождественных вещей, но есть тождественные объекты. Очевидно, что с онтологич. т. зр., выраженной в принципе индивидуации, Т. представляется абстракцией и, следовательно, идеализацией. Тем не менее оно имеет объективное основание в условиях существования вещей: практика убеждает нас в том, что существуют ситуации, в к-рых "разные" вещи ведут себя как "одна и та же" вещь. В этом смысле принцип Т. неразличимых выражает эмпирически подтверждаемый, основанный на опыте, факт нашей абстрагирующей деятельности. Поэтому "отождествление различного" по принципу Лейбница не следует понимать как упрощение или огрубление действительности, не соответствующее, вообще говоря, и с т и н н о м у п о р я д к у п р и р о д ы. Интервал абстракции отождест- вления. Неразличимость объектов, отождествляемых согласно принципу Т. неразличимых, может выражаться операционально – в их "поведении", истолковываться в терминах свойств, вообще определяться совокупностью нек-рых фиксиров. условий неразличимости. Эта совокупность условий (функций или предикатов), относительно к-рых к.-л. предметы универсума неразличимы, определяет интервал абстракции о т о ж д е с т в л е н и я этих предметов. Так, если на множестве предметов определено свойство А и предмет x им обладает, то для отождествления х и у в интервале абстракции, определяемом свойством А, необходимо и достаточно, чтобы предмет у также обладал свойством А, что символически можно выразить следующей аксиомой: A(x)?((x=y)?A(y)). Заметим, что при наличии "избыточной" информации о заведомом (естественно – "вне" данного интервала абстракции) различии предметов их отождествление "внутри" данного интервала абстракции может даже казаться парадоксальным. Типичный пример из теории множеств – "парадокс Сколема". Если смотреть "изнутри" интервала абстракции, определяемого свойством А, то х и у – абсолютно один и тот же объект, а не два предмета, как предполагается в приведенном выше рассуждении. Дело в том, что рассуждение о Т. двуx и, следовательно, различны х предметов возможно только в нек-ром метаинтервале, указывающем также на возможность индивидуализации x и у. Очевидно, что неразличимость x и у эквивалентна здесь их взаимозаменимости относительно свойства А, но, разумеется, не относительно любого свойства. В этой связи укажу на абстракцию актуальной различимости, вытека-ющую из принципа индивидуации и связанную с таким истолкованием этого принципа, при к-ром он сводится к утверждению о существовании условий, в к-рых индивидуализация всегда осуществима (напр., условий, в к-рых x и у уже не будут взаимозаменимы, что и позволит, естественно, говорить об их индивидуальности). В этом смысле принцип индивидуации отличается тем же характером, что и т.н. "чистые" постулаты существования в математике, и может рассматриваться как абстракция индивидуализации. Не говоря уже об "абстрактных" матем. объектах, очевидно, что и для "конкретных" физич. предметов природы условия индивидуализации любого из них отнюдь не всегда могут быть найдены или явно указаны в к.-л. конструктивном смысле. Более того, задача их разыскания иногда принципиально неосуществима, как об этом свидетельствует, напр., принцип "неделимости квантовых состояний" и обусловленная им, предписанная самой природой, неопределенность в нашем описании "индивидуального поведения" элементарных частиц. Д о п о л н е н и я. Интервал абстракции отождествления может быть столь (но не сколь угодно) широк, что в него войдут все (исходные) понятия (функции или предикаты) рассматриваемой в том или ином случае теории. Тогда говорят, что х=у для любого понятия А. В этом случае и квантор "для любого", и Т. имеют относительный характер – они p е л я т и в и з и р о в а н ы множеством понятий теории, к-рое ограничено, в свою очередь, осмысленностью этих понятий (и н т е р в а л о м значения) по отношению к предметам универсума данной теории. Напр., предикат "красный" не определен на множестве натуральных чисел и поэтому к нему не могут относиться слова "для любого предиката", когда говорят о Т. в арифметике. Такие с м ы с л о в ы е о г р а н и ч е н и я по сути дела всегда имеют место в приложениях теории, чем и исключаются противоречия, связанные с нарушением интервала абстракции отождествления. Поскольку в отождествлениях имеют в виду только предикаты данной теории – интервал абстракции отождествления фиксирован. Предметы универсума, неразличимые относительно каждого предиката теории, неразличимы абсолютно в данном интервале-абстракции и могут рассматриваться как "один и тот же" объект, что как раз и соответствует обычному истолкованию Т. Если относительно каждого такого предиката неразличимы все предметы универсума, то последний в этом случае будет представляться нам одночленной совокупностью, хотя в др. интервале абстракции он может и не быть таковым. Так, если условие А - тавтология, то в подразумеваемой предметной области все предметы тождественны в интервале А. Иначе говоря, тавтологии не могут служить критерием различимости объектов, они как бы проектируют универсум в точку, производя абстракцию отождествления элементов множества любой мощности, "превращая" разные элементы в "один и тот же" абстрактный объект. Неудивительно поэтому, что к аксиомам "чистого" предикатов исчисления первой ступени можно без противоречия присоединять формулу?хА(х)^/xA(x), выражающую тождественность (или абсолютную неразличимость) всех предметов универсума. По-видимому, эта неполнота чистого исчисления предикатов (элементарной логики) обусловлена именно его неонтологическим характере м. В прикладных логических исчислениях, в частности в теории множеств, выходя из сферы "чистой логики", мы вынуждены - во избежание парадоксов- фиксировать интервал абстракции отождествления. В этих случаях Т., поскольку речь идет об отождествлениях только в данной системе понятий, может быть введено конечным списком аксиом Т. для конкретных функций и предикатов рассматриваемой теории. Но постулируя т.о. те или иные отождествления, мы как бы ф о р м и р у е м универсум в соответствии с принципом Т. неразличимых. Значит универсум в этом смысле является эпистемологич. понятием, зависящим от наших абстракций. Вопрос, что считать "одним и тем же" объектом, каково число "различных" индивидуумов в предметной области (какова мощность области индивидуумов), – это в известном смысле вопрос о том, как мы применяем наши абстракции и какие именно, а также какова объективная область их применимости. В частности, это всегда вопрос об интервале абстракции. Вот почему с нашей т. зр. указание на интервал абстракции отождествления в определении Т. следует считать необходимым условием осмысленного применения " п о н я т и я Т.". Понятие "интервал абстракции отождествления" является гносеологич. дополнением к понятию абстракции отождествления и, в известном смысле (содержательным), его уточнением. Кроме того, вводя понятие Т. в интервале абстракции, мы легко достигаем необходимой общности в построении теории Т., избегая обычного "умножения понятий", связанного с различением терминов "тождественный", "подобный", "равный", "эквивалентный" и пр. В связи с вышесказанным определение предиката Т. в формулировке Гильберта – Бернайса, задаваемое, как известно, условиями: 1) х=х 2) х=y? (A(x)? А(у)), можно интерпретировать так, что условие 2) будет выражать Т. предметов универсума в интервале абстракции, определяемом множеством аксиом, задаваемых схемой аксиом 2). Что же касается условия 1), то, выражая свойство рефлексивности Т., оно в известном смысле соответствует принципу индивидуации. По крайней мере, очевидно, что из принципа индивидуации не следует отрицания условия х=х, поскольку между принципом индивидуации и традиц. принципом Т. (абстрактным Т. – lex identitatis), выражаемым формулой х=х, имеется следующая определенная "связь по смыслу": если бы индивидуальный предмет универсума не был тождествен с самим собой, то он не был бы самим собой, а был бы другим предметом, что, конечно, ведет к отрицанию принципа индивидуации (ср. Энгельс Ф.: "... тождество с собой уже с самого начала имеет своим необходимым дополнением отличие о т в с е г о д р у г о г о" – Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 530). Т.о., принцип индивидуации предполагает утверждение х=х, к-рое является его необходимым условием – логической о с н о в о й понятия индивидуального. Достаточно констатировать совместимость х=х с принципом индивидуации, чтобы, основываясь на совместимости 1) и 2), утверждать совместимость принципа индивидуации с принципом Т. неразличимых, а принимая во внимание независимость 1) и 2), прийти к заключению о независимости этих же принципов, по крайней мере, в рассматриваемом случае. То обстоятельство, что принцип индивидуации в отмеченном выше смысле соответствует традиц. закону Т. (см. Тождества закон), представляет особый интерес с т. зр. проблемы "реализуемости" абстрактного Т. в природе, а значит. и онтологич. статуса абстракций вообще. Принцип Т. неразличимых в том его истолковании, к-рое дано выше - как принцип Т. в интервале абстракции, - выражает по существу философскую гносеологическую идею Т., основанного на понятии практики. Что же касается математики, где так или иначе оперируют с предикатом Т., с условием, что тождественное можно заменять тождественным (см. Правило замены равного равным), то здесь, принимая принцип индивидуации, т.е. полагая, что каждый матем. объект в универсуме рассуждения индивидуален, по видимости, легко можно уйти от решения гносеологич. проблемы Т., потому что в предложениях матем. теорий матем. объекты фигурируют не "сами по себе", а через своих представителей – обозначающие их символы. Отсюда возможность построений, существенно игнорирующих условие индивидуальности этих объектов; Так, известное построение взаимно-однозначного соответствия между совокупностью натуральных чисел и ее частью – совокупностью всех четных чисел (парадокс Галилея) игнорирует единственность каждого натурального числа, довольствуясь Т. его представителей: иначе как возможно указанное построение? Аналогичных построений в математике множество. Утверждению "предмет x тождествен предмету y" математик обычно приписывает следующий смысл: "символы x и у обозначают один и тот же предмет" или "символ x обозначает тот же предмет, к-рый обозначен символом у". Очевидно, что так понимаемое Т. относится скорее к языку соответствующих исчислений (вообще к формализованному языку) и выражает, по существу, случай языковой синонимии, а вовсе не философский гносеологич. смысл Т. Однако характерно, что даже и в этом случае не удается избежать относит. отождествления, основанного на применении принципа абстракции, поскольку синонимы возникают как результат абстракции отождествления по обозначению (см. Синонимы в логике). К тому же при интерпретации исчислений любое такое с е м а н т и ч е с к о е определение Т. как "отношения между выражениями языка" необходимо дополнять разъяснением того, чт? в этой семантич. формулировке Т. означают слова "один и тот же предмет". В связи с этим формулировка принципа Т., известная как лейбницевско-расселовская (см. Равенство в логике и математике), вряд ли соответствует филос. т. зр. самого Лейбница. Известно, что Лейбниц принимал принцип индивидуации: "Если бы два индивида были совершенно... не различимы сами по себе, то...в этом случае не было бы индивидуального различия или различных индивидов" ("Новые опыты о человеческом разуме", М.–Л., 1936, с. 202). Известно также, что любое нетривиальное употребление Т., соответствующее принципу Т. неразличимых, предполагает, что x и у – разные предметы, к-рые лишь относительно неразличимы, неразличимы в нек-ром интервале абстракции, определяемом либо разрешающей способностью наших средств различения, либо принимаемой нами абстракцией отождествления, либо, наконец, задаваемом самой природой. Но в формулировке Рассела наличие неогранич. квантора общности по предикатной переменной, придавая определению а б с о л ю т н ы й характер ("абсолютность" здесь следует понимать как антипод "относительности" в указ. выше смысле), навязывает идею абс. неразличимости x и у, противоречащую принципу индивидуации, хотя из определения Рассела выводима формула х=х, к-рая, как было отмечено выше, совместима и с принципом Т. неразличимых и с принципом индивидуации. В свете идеи Т. в интервале абстракции выясняется еще одна гносеологич. роль принципа абстракции: если в определении Т. предикат (хотя бы и произвольный) характеризует класс абстракции предмета х, и у – элемент этого класса, то тождественность x и у в силу принципа абстракции не предполагает, что x и у должны быть одним и тем же предметом в онтологич. смысле. С этой т. зр., два предмета универсума, принадлежащие к одному классу абстракции, рассматриваются как "один и тот же" предмет не в онтологическом, а в гносеологич. смысле: они тождественны только как абстрактные представители одного класса абстракции и только в этом смысле они неразличимы. В этом, собственно, и состоит диалектика понятия Т., а также ответ на вопрос: "Как могут быть тождественны разные предметы?". Лит.: Жегалкин И. И., Арифметизация символической логики, "Матем. сб.", 1929, т. 36, вып. 3–4; Яновская С. ?., О так называемых "определениях через абстракцию", в кн.: Сб. статей по философии математики, М., 1936; Лазарев Ф. В., Восхождение от абстрактного к конкретному, в кн.: Сб. работ аспирантов и студентов философского факультета МГУ, М., 1962; Вейль Г., Дополнения, в сб.: Прикладная комбинаторная математика, пер. с англ., М., 1968. М. Новоселов. Москва.

Тождество

отношение между предметами (реальными или абстрактными), которое позволяет говорить о них как о неотличимых друг от друга, в какой-то совокупности характеристик (напр., свойств). В действительности все предметы (вещи) обычно отличаются нами друг от друга по каким-то характеристикам. Это не исключает того обстоятельства, что у них есть и общие характеристики. В процессе познания мы отождествляем отдельные вещи в их общих характеристиках, объединяем их в множества по этим характеристикам, образуем понятия о них на основе абстракции отождествления (см.: Абстракция). Предметы, объединяемые в множества по некоторым общим для них свойствам, перестают различаться между собой, поскольку в процессе такого объединения мы отвлекаемся от их различий. Иными словами, они становятся неразличимыми, тождественными в этих свойствах. Если бы все характеристики двух объектов а и b оказались тождественными, объекты превратились бы в один и тот же предмет. Но этого не происходит, т. к. в процессе познания мы отождествляем отличные друг от друга предметы не по всем характеристикам, а лишь по некоторым. Без установления тождеств и различий между предметами невозможно никакое познание окружающего нас мира, никакая ориентировка в окружающей нас среде.

Впервые в самой общей и идеализированной формулировке понятие Т. двух предметов дал Г. В. Лейбниц. Закон Лейбница можно сформулировать так: "х = у, если и только если х обладает каждым свойством, которым обладает у, а у обладает каждым свойством, которым обладает х". Другими словами, предмет х может быть отождествлен с предметом у, когда абсолютно все их свойства являются одними и теми же. Понятие Т. широко используется в различных науках: в математике, логике и естествознании. Однако во всех случаях

его применения тождество изучаемых предметов определяют не по абсолютно всем общим характеристикам, а лишь по некоторым, что связано с целями их изучения, с тем контекстом научной теории, в пределах которой изучаются эти предметы.


Словарь по логике. - М.: Туманит, изд. центр ВЛАДОС . А.А.Ивин, А.Л.Никифоров . 1997 .

Синонимы :

Смотреть что такое "тождество" в других словарях:

    Тождество - Тождество ♦ Identité Совпадение, свойство быть таким же. Таким же, как что? Таким же, как такое же, иначе это будет уже не тождество. Таким образом, тождество есть в первую очередь отношение себя к себе (мое тождество это и есть я сам) либо … Философский словарь Спонвиля

    Понятие, выражающее предельный случай равенства объектов, когда не только все родовидовые, но и все индивидуальные их свойства совпадают. Совпадение родовидовых свойств (сходство), вообще говоря, не ограничивает числа приравниваемых… … Философская энциклопедия

    См … Словарь синонимов

    Отношение между объектами (предметами реальности, восприятия, мысли), рассматриваемыми как одно и то же; предельный случай отношения равенства. В математике тождество это уравнение, которое удовлетворяется тождественно, т. е. справедливо для… … Большой Энциклопедический словарь

    ТОЖДЕСТВО, а и ТОЖЕСТВО, а, ср. 1. Полное сходство, совпадение. Т. взглядов. 2. (тождество). В математике: равенство, справедливое при любых числовых значениях входящих в него величин. | прил. тождественный, ая, ое и тожественный, ая, ое (к 1… … Толковый словарь Ожегова

    тождество - ТОЖДЕСТВО понятие, обычно представленное в естественном языке либо в форме «я (есть) то же, что и Ь >, или «а тождественно Ь», что может быть символизировано как «а = Ь» (такое утверждение обычно называют абсолютным Т.), либо в форме… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки

    тождество - (неправильно тождество) и устарелое тожество (сохраняется в речи математиков, физиков) … Словарь трудностей произношения и ударения в современном русском языке

    И РАЗЛИЧИЕ две взаимосвязанные категории философии и логики. При определении понятий Т. и Р. используют два фундаментальных принципа: принцип индивидуации и принцип Т. неразличимых. Согласно принципу индивидуации, который был содержательно развит … История Философии: Энциклопедия

    Англ. identity; нем. Identitat. 1. В математике уравнение, справедливое при всех допустимых значениях аргументов. 2. Предельный случай равенства объектов, когда не только все родовые, но и все индивидуальные их свойства совпадают. Antinazi.… … Энциклопедия социологии

    - (обозначение ≡) (identity, symbol ≡) Уравнение, являющееся истинным при любых значениях входящих в него переменных. Так, z ≡ х + y означает, что z всегда сумма х и y. Многие экономисты порой не последовательны и используют обычный знак даже тогда … Экономический словарь

    тождество - идентичность идентификация личности ID — [] Тематики защита информации Синонимы идентичностьидентификация личностиID EN identityID … Справочник технического переводчика

Книги

  • Различие и тождество в греческой и средневековой онтологии , Р. А. Лошаков. В монографии исследуются основные вопросы греческой (аристотелевской) и средневековой онтологии в свете понимания бытия как Различия. Тем самым демонстрируется производный, вторичный,…

После того, как мы разобрались с понятием тождеств, можно переходить к изучению тождественно равных выражений. Цель данной статьи – объяснить, что это такое, и показать на примерах, какие выражения будут тождественно равными другим.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Тождественно равные выражения: определение

Понятие тождественно равных выражений обычно изучается вместе с самим понятием тождества в рамках школьного курса алгебры. Приведем основное определение, взятое из одного учебника:

Определение 1

Тождественно равными друг другу будут такие выражения, значения которых будут одинаковы при любых возможных значениях переменных, входящих в их состав.

Также тождественно равными считаются такие числовые выражения, которым будут отвечать одни и те же значения.

Это достаточно широкое определение, которое будет верным для всех целых выражений, смысл которых при изменении значений переменных не меняется. Однако позже возникает необходимость уточнения данного определения, поскольку помимо целых существуют и другие виды выражений, которые не будут иметь смысла при определенных переменных. Отсюда возникает понятие допустимости и недопустимости тех или иных значений переменных, а также необходимость определять область допустимых значений. Сформулируем уточненное определение.

Определение 2

Тождественно равные выражения – это те выражения, значения которых равны друг другу при любых допустимых значениях переменных, входящих в их состав. Числовые выражения будут тождественно равными друг другу при условии одинаковых значений.

Фраза «при любых допустимых значениях переменных» указывает на все те значения переменных, при которых оба выражения будут иметь смысл. Это положение мы объясним позже, когда будем приводить примеры тождественно равных выражений.

Можно указать еще и такое определение:

Определение 3

Тождественно равными выражениями называются выражения, расположенные в одном тождестве с левой и правой стороны.

Примеры выражений, тождественно равных друг другу

Используя определения, данные выше, рассмотрим несколько примеров таких выражений.

Для начала возьмем числовые выражения.

Пример 1

Так, 2 + 4 и 4 + 2 будут тождественно равными друг другу, поскольку их результаты будут равны (6 и 6).

Пример 2

Точно так же тождественно равны выражения 3 и 30: 10 , (2 2) 3 и 2 6 (для вычисления значения последнего выражений нужно знать свойства степени).

Пример 3

А вот выражения 4 - 2 и 9 - 1 равными не будут, поскольку их значения разные.

Перейдем к примерам буквенных выражений. Тождественно равными будут a + b и b + a , причем от значений переменных это не зависит (равенство выражений в данном случае определяется переместительным свойством сложения).

Пример 4

Например, если a будет равно 4 , а b – 5 , то результаты все равно будут одинаковы.

Еще один пример тождественно равных выражений с буквами – 0 · x · y · z и 0 . Какими бы ни были значения переменных в этом случае, будучи умноженными на 0 , они дадут 0 . Неравные выражения – 6 · x и 8 · x , поскольку они не будут равны при любом x .

В том случае, если области допустимых значений переменных будут совпадать, например, в выражениях a + 6 и 6 + a или a · b · 0 и 0 , или x 4 и x , и значения самих выражений будут равны при любых переменных, то такие выражения считаются тождественно равными. Так, a + 8 = 8 + a при любом значении a , и a · b · 0 = 0 тоже, поскольку умножение на 0 любого числа дает в итоге 0 . Выражения x 4 и x будут тождественно равными при любых x из промежутка [ 0 , + ∞) .

Но область допустимого значения в одном выражении может отличаться от области другого.

Пример 5

Например, возьмем два выражения: x − 1 и x - 1 · x x . Для первого из них областью допустимых значений x будет все множество действительных чисел, а для второго – множество всех действующих чисел, за исключением нуля, ведь тогда мы получим 0 в знаменателе, а такое деление не определено. У этих двух выражений есть общая область значений, образованная пересечением двух отдельных областей. Можно сделать вывод, что оба выражения x - 1 · x x и x − 1 будут иметь смысл при любых действительных значениях переменных, за исключением 0 .

Основное свойство дроби также позволяет нам заключить, что x - 1 · x x и x − 1 будут равными при любом x, которое не является 0 . Значит, на общей области допустимых значений эти выражения будут тождественно равны друг другу, а при любом действительном x говорить о тождественном равенстве нельзя.

Если мы заменяем одно выражение на другое, которое является тождественно равным ему, то этот процесс называется тождественным преобразованием. Это понятие очень важно, и подробно о нем мы поговорим в отдельном материале.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Разделы