Формула нахождения длины вектора по координатам. Координаты и векторы
Найдем длину вектора по его координатам (в прямоугольной системе координат), по координатам точек начала и конца вектора и по теореме косинусов (задано 2 вектора и угол между ними).
Вектор – это направленный отрезок прямой. Длина этого отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора.
1. Вычисление длины вектора по его координатам
Если даны координаты вектора в плоской (двухмерной) прямоугольной системе координат, т.е. известны a x и a y , то длину вектора можно найти по формуле
В случае вектора в пространстве добавляется третья координата
В MS EXCEL выражение =КОРЕНЬ(СУММКВ(B8:B9)) позволяет вычислить модуль вектора (предполагается, что координаторы вектора введены в ячейки B8:B9 , см. файл примера ).
Функция СУММКВ() возвращает сумму квадратов аргументов, т.е. в данном случае эквивалентна формуле =B8*B8+B9*B9 .
В файле примера также вычислена длина вектора в пространстве.
Альтернативной формулой является выражение =КОРЕНЬ(СУММПРОИЗВ(B8:B9;B8:B9)) .
2. Нахождение длины вектора через координаты точек
Если вектор задан через координаты точек его начала и конца, то формула будет другой =КОРЕНЬ(СУММКВРАЗН(C28:C29;B28:B29))
В формуле предполагается, что координаты точек начала и конца введены в диапазоны C28:C29 и B28:B29 соответственно.
Функция СУММКВРАЗН() в озвращает сумму квадратов разностей соответствующих значений в двух массивах.
По сути, в формуле сначала вычисляются координаты вектора (разности соответствующих координат точек), затем вычисляется сумма их квадратов.
3. Нахождение длины вектора по теореме косинусов
Если требуется найти длину вектора по теореме косинусов, то обычно заданы 2 вектора (их модули и угол между ними).
Найдем длину вектора с используя формулу =КОРЕНЬ(СУММКВ(B43:C43)-2*B43*C43*COS(B45))
В ячейках B43:B43 содержатся длины векторов а и b, а в ячейке В45 - угол между ними в радианах (в долях числа ПИ() ).
Если угол задан в градусах, то формула будет немного отличаться =КОРЕНЬ(B43*B43+C43*C43-2*B43*C43*COS(B46*ПИ()/180))
Примечание : для наглядности в ячейке со значением угла в градусах можно применить , см. например, статью
1. Определение вектора. Длина вектора. Коллинеарность, компланарность векторов.
Вектором называется направленный отрезок. Длиной или модулем вектора называется длина соответствующего направленного отрезка.
Модуль вектора a обозначается . Векторa называется единичным, если . Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой. Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.
2. Умножение вектора на число. Свойства операции.
Умножение вектора на число, даёт противоположно направленный вектор в длиной враз больше. Умножение вектора на число в координатной форме производится умножением всех координат на это число:
Исходя из определения получается выражение для модуля вектора, умноженного на число:
Аналогично как и числами, операции сложение вектора с самим с собой можно записать через умножение на число:
А вычитание векторов можно переписать через сложение и умножение:
Исходя из того, что умножение на не меняет длины вектора, а меняет только направление и учитывая определение вектора, получаем:
3. Сложение векторов, вычитание векторов.
В координатном представлении вектор суммы получается суммированием соответствующих координат слагаемых:
Для геометрического построения вектора суммы используют различные правила (методы), однако они все дают одинаковый результат. Использование того или иного правила обосновывается решаемой задачей.
Правило треугольника
Правило треугольника наиболее естественно следует из понимания вектора как переноса. Ясно, что результат последовательного применения двух переносов инекоторой точки будет тем же, что применение сразу одного переноса, соответствующего этому правилу. Для сложения двух векторовипо правилутреугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.
Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в правило ломаной :
Правило многоугольника
Начало второго вектора совмещается с концом первого, начало третьего - с концом второго и так далее, сумма же векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом-го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную). Так же называется правилом ломаной.
Правило параллелограмма
Для сложения двух векторов ипо правилупараллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала. (Легко видеть, что эта диагональ совпадает с третьей стороной треугольника при использовании правила треугольника).
Правило параллелограмма особенно удобно, когда есть потребность изобразить вектор суммы сразу же приложенным к той же точке, к которой приложены оба слагаемых - то есть изобразить все три вектора имеющими общее начало.
Модуль суммы векторов
Модуль суммы двух векторов можно вычислить, использую теорему косинусов :
Где - косинус угла между векторамии.
Если векторы изображены в соответствии с правилом треугольника и берется угол по рисунку - между сторонами треугольника - что не совпадает с обычным определением угла между векторами, а значит и с углом в приведенной формуле, то последний член приобретает знак минус, что соответствует теореме косинусов в ее прямой формулировке.
Для суммы произвольного количества векторов применима аналогичная формула, в которой членов с косинусом больше: по одному такому члену существует для каждой пары векторов из суммируемого набора. Например, для трех векторов формула выглядит так:
Вычитание векторов
Два вектора и вектор их разности
Для получения разности в координатной форме надо вычесть соответствующие координаты векторов:
Для получения вектора разности начала векторов соединяются и началом векторабудет конец, а концом - конец. Если записать, используя точки векторов, то.
Модуль разности векторов
Три вектора , как и при сложении, образуют треугольник, и выражение для модуля разности получается аналогичным:
где - косинус угла между векторамии
Отличие от формулы модуля суммы в знаке перед косинусом, при этом надо хорошо следить, какой именно угол берется (вариант формулы модуля суммы с углом между сторонами треугольника при суммировании по правилу треугольника по виду не отличается от данной формулы для модуля разности, но надо иметь в виду, что для тут берутся разные углы: в случае суммы берётся угол, когда вектор переносится к концу вектора, когда же ищется модель разности, берётся угол между векторами, приложенными к одной точке; выражение для модуля суммы с использованием того же угла, что в данном выражении для модуля разности, отличается знаком перед косинусом).
| " |
Прежде всего надо разобрать само понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.
Определение 1
Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.
Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.
Определение 2
Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.
Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).
Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).
Введем теперь, непосредственно, понятие длин вектора.
Определение 3
Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.
Обозначение: $|\overline{a}|$
Понятие длины вектора связано, к примеру, с таким понятием, как равенство двух векторов.
Определение 4
Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям: 1. Они сонаправлены; 1. Их длины равны (рис. 2).
Для того, чтобы определять векторы вводят систему координат и определяют координаты для вектора во введенной системе. Как мы знаем, любой вектор можно разложить в виде $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$, где $m$ и $n$ – действительные числа, а $\overline{i}$ и $\overline{j}$ - единичные векторы на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно.
Определение 5
Коэффициенты разложения вектора $\overline{c}=m\overline{i}+n\overline{j}$ будем называть координатами этого вектора во введенной системе координат. Математически:
$\overline{c}={m,n}$
Как найти длину вектора?
Для того, чтобы вывести формулу для вычисления длины произвольного вектора по данным его координатам рассмотрим следующую задачу:
Пример 1
Дано: вектор $\overline{α}$, имеющий координаты ${x,y}$. Найти: длину этого вектора.
Введем на плоскости декартову систему координат $xOy$. От начал введенной системы координат отложим $\overline{OA}=\overline{a}$. Построим проекции $OA_1$ и $OA_2$ построенного вектора на оси $Ox$ и $Oy$, соответственно (рис. 3).
Построенный нами вектор $\overline{OA}$ будет радиус вектором для точки $A$, следовательно, она будет иметь координаты ${x,y}$, значит
$=x$, $[ OA_2]=y$
Теперь мы легко можем найти искомую длину с помощью теоремы Пифагора, получим
$|\overline{α}|^2=^2+^2$
$|\overline{α}|^2=x^2+y^2$
$|\overline{α}|=\sqrt{x^2+y^2}$
Ответ: $\sqrt{x^2+y^2}$.
Вывод: Чтобы найти длину вектора, у которого задан его координаты, необходимо найти корень из квадрата суммы этих координат.
Пример задач
Пример 2
Найдите расстояние между точками $X$ и $Y$, которые имеют следующие координаты: $(-1,5)$ и $(7,3)$, соответственно.
Любые две точки можно легко связать с понятием вектора. Рассмотрим, к примеру, вектор $\overline{XY}$. Как мы уже знаем, координаты такого вектора можно найти, вычтя из координат конечной точки ($Y$) соответствующие координаты начальной точки ($X$). Получим, что
Oxy
О А ОА .
, откуда 
ОА
.
Таким образом, 
.
Рассмотрим пример.
Пример.
Решение.
:
Ответ:
Oxyz
в пространстве.
А ОА будет диагональю.
В этом случае (так как ОА
ОА
.
Таким образом, длина вектора 
.
Пример.
Вычислите длину вектора 
Решение.
, следовательно, 
Ответ:
Прямая на плоскости
Общее уравнение
Ax + By + C ( > 0).
Вектор = (А; В) - нормальный вектор прямой.
В векторном виде: + С = 0 , где - радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).
Частные случаи:
1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox ;
2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy ;
3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;
4) y = 0 - ось Ox ;
5) x = 0 - ось Oy .
Уравнение прямой в отрезках
где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.
Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11)
где - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox ; p - расстояние от начала координат до прямой.
Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:
Здесь - нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C , если и произвольно, если C = 0 .
Нахождение длины вектора по координатам.
Длину вектора будем обозначать . Из-за такого обозначения длину вектора часто называют модулем вектора.
Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.
Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy . Пусть в ней задан вектор и он имеет координаты . Получим формулу, позволяющую находить длину вектора через координаты и .
Отложим от начала координат (от точки О ) вектор . Обозначим проекции точки А на координатные оси как и соответственно и рассмотрим прямоугольник с диагональю ОА .
В силу теоремы Пифагора справедливо равенство , откуда . Из определения координат вектора в прямоугольной системе координатмы можем утверждать, что и , а по построению длина ОА
равна длине вектора , следовательно, .
Таким образом, формула для нахождения длины вектора
по его координатам на плоскости имеет вид .
Если вектор представлен в виде разложения по координатным векторам , то его длина вычисляется по этой же формуле , так как в этом случае коэффициенты и являются координатами вектора в заданной системе координат.
Рассмотрим пример.
Пример.
Найдите длину вектора , заданного в декартовой системе координат.
Решение.
Сразу применяем формулу для нахождения длины вектора по координатам :
Ответ:
Теперь получим формулу для нахождения длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат Oxyz
в пространстве.
Отложим от начала координат вектор и обозначим проекции точки А на координатные оси как и . Тогда мы можем построить на сторонах и прямоугольный параллелепипед, в котором ОА будет диагональю.
В этом случае (так как ОА
– диагональ прямоугольного параллелепипеда), откуда . Определение координат вектора позволяет нам записать равенства , а длина ОА
равна искомой длине вектора, следовательно, .
Таким образом, длина вектора в пространстве равна корню квадратному из суммы квадратов его координат
, то есть, находится по формуле .
Пример.
Вычислите длину вектора , где - орты прямоугольной системы координат.
Решение.
Нам дано разложение вектора по координатным векторам вида , следовательно, . Тогда по формуле нахождения длины вектора по координатам имеем .
12. Длина вектора, длина отрезка, угол между векторами, условие перпендикулярности векторов.
Вектор – это направленный отрезок, соединяющий две точки в пространстве или в плоскости. Векторы обычно обозначаются либо маленькими буквами, либо начальной и конечной точками. Сверху обычно ставят чёрточку.
Например, вектор, направленный из точки A к точке B , можно обозначить a ,
Нулевой вектор 0 или 0 - это вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают, т.e. A = B . Отсюда, 0 = – 0 .
Длина (модуль) вектора a - это длина отображающего его отрезка AB, обозначается | a | . В частности, | 0 | = 0.
Векторы называются коллинеарными , если их направленные отрезки лежат на параллельных прямых. Коллинеарные векторы a и b обозначаются a || b .
Три и более векторов называются компланарными , если они лежат в одной плоскости.
Сложение векторов. Так как векторы - это направленные отрезки, то их сложение может быть выполнено геометрически . (Алгебраическое сложение векторов изложено ниже, в пункте «Единичные ортогональные векторы»). Предположим, что
a = AB and b = CD ,
тогда вектор __ __
a + b = AB + CD
есть результат выполнения двух операций:
a ) параллельного переноса одногоиз векторов таким образом, чтобы его начальная точка совпала с конечной точкой второго вектора;
б ) геометрического сложения , т.е. построения результирующего вектора, идущего от начальной точки неподвижного вектора к конечной точке перенесённого вектора.
Вычитание векторов. Эта операция сводится к предыдущей путём замены вычитаемого вектора на противоположный: a – b = a + (– b ) .
Законы сложения.
I. a + b = b + a (П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон).
II. (a + b ) + c = a + (b + c ) (С о ч е т а т е л ь н ы й закон).
III. a + 0 = a .
IV. a + (– a ) = 0 .
Законы умножения вектора на число.
I. 1 · a = a , 0 · a = 0 , m · 0 = 0 , (– 1) · a = – a .
II. m a = a m , | m a | = | m | · | a | .
III. m (n a ) = (m n) a . (С о ч е т а т е л ь н ы й
закон умножения на число ).
IV. (m + n ) a = m a + n a , (Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й
m (a + b ) = m a + m b . закон умножения на число ).
Скалярное произведение векторов. __ __
Угол между ненулевыми векторами AB и CD – это угол, образованный векторами при их параллельном переносе до совмещения точек A и C. Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:
Если один из векторов нулевой, то их скалярное произведение в соответствии с определением равно нулю:
( a , 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .
Если оба вектора ненулевые, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:
Скалярное произведение (a , a ), равное | a | 2 , называется скалярным квадратом. Длина вектора a и его скалярный квадрат связаны соотношением:
Скалярное произведение двух векторов:
- положительно , если угол между векторами острый ;
- отрицательно, если угол между векторами тупой .
Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними прямой, т.е. когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны):
Свойства скалярного произведения. Для любых векторов a , b , c и любого числа m справедливы следующие соотношения:
I. (a , b ) = ( b , a ) . (П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон)
II. (m a , b ) = m ( a , b ) .
III. (a + b , c ) = (a , c ) + (b , c ). (Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й закон)
Единичные ортогональные векторы. В любой прямоугольной системе координат можно ввести единичные попарно ортогональные векторы i , j и k , связанные с координатными осями: i – с осью Х , j – с осью Y и k – с осью Z . В соответствии с этим определением:
(i , j ) = (i , k ) = (j , k ) = 0,
| i | = | j | = | k | = 1.
Любой вектор a может быть выражен через эти векторы единственным образом: a = x i + y j + z k . Другая форма записи: a = (x, y, z ). Здесь x , y , z - координаты вектора a в этой системе координат. В соответствии с последним соотношением и свойствами единичных ортогональных векторов i, j , k скалярное произведение двух векторов можно выразить иначе.
Пусть a = (x, y, z ); b = (u, v, w ). Тогда ( a , b ) = xu + yv + zw .
Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат.
Длина (модуль) вектора a = (x , y , z ) равна:
Кроме того, теперь мы получаем возможность проведения алгебраических операций над векторами, а именно, сложение и вычитание векторов может выполняться по координатам:
a + b = (x + u , y + v , z + w ) ;
a – b = (x – u , y – v , z – w ) .
Векторное произведение векторов. Векторным произведением [a, b ] векторов a и b (в указанном порядке) называется вектор:
Существует другая формула длины вектора [ a, b ] :
| [ a, b ] | = | a | | b | sin (a, b ) ,
т.e. длина ( модуль ) векторного произведения векторов a и b равна произведению длин (модулей) этих векторов на синус угла между ними. Иначе говоря: длина (модуль) вектора [ a, b ] численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b .
Свойства векторного произведения.
I. Вектор [ a, b ] перпендикулярен (ортогонален) обоим векторам a и b .
(Докажите это, пожалуйста!) .
II. [ a , b ] = – [ b , a ] .
III. [ m a , b ] = m [ a , b ] .
IV. [ a + b , c ] = [ a , c ] + [ b , c ] .
V. [ a , [ b , c ] ] = b (a , c ) – c ( a , b ) .
VI. [ [ a , b ] , c ] = b (a , c ) – a (b , c ) .
Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов a = (x, y, z ) и b = (u, v, w ) :
Необходимое и достаточное условие компланарности векторов a = (x, y, z ), b = (u, v, w ) и c = (p, q, r ) :
П р и м е р. Даны векторы: a = (1, 2, 3) и b = (– 2 , 0 ,4).
Вычислить их скалярное и векторное произведения и угол
между этими векторами.
Р е ш е н и е. Используя соответствующие формулы (см. выше), получим:
a). скалярное произведение:
( a , b ) = 1 · (– 2) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10 ;
б). векторное произведение:
| " |