Геометрические понятия в евклидовом пространстве. Евклидовы пространства

Кузьма Сергеевич Петров-Водкин

Пространство Эвклида

Глава первая

ВЫЛЕТ ИЗ ГНЕЗДА

К выпускным экзаменам мы, школьники, незаметно для самих себя, возмужали. У каждого набухли и успокоились грудные железы. Лица стали озабоченнее. Огрубели наши голоса и смелее заговорили о девушках.

Начинали курить, правда, еще потихоньку от родителей. Пересилив тошноту и отвращение от табачного дыма, вырабатывали мы жесты затяжек, держания папиросы между пальцами, в углу рта, с цежением слов, выпускаемых одновременно с дымом.

Беседы сделались разумнее. Мы перешли к вопросам, о которых год тому назад и не думали. Насущным вопросом было - преимущества и осмысленность той или иной профессии: каждый намечал свой путь или кому его намечали родители, но немногие из нас решили бесповоротно переплеснуться за Хлыновск, и немногие сознавали всю скудность нашего учебного багажа, да и потребность в его пополнении была не у многих.

Сидим мы во дворе школы, - Петр Антонович нездоров, - мы знаем виновника нездоровья - буфет на «Суворове», сидим и обсуждаем наши предположения.

Буду в Москве улицы подметать, а в Хлыновске не останусь! - заявляет Позднухов - наш поэт, романтик. Он сирота; дядя, у которого Позднухов сиротствовал, тоже бобыль, из прутьев мебель налаживал; так дядя решил, что раз довел он племянника до «высокой науки», так теперь кормежку ему делай.

Пешком уйду, - продолжает Позднухов, - у меня и багаж готов: книга Пушкина, сорок копеек и сухарей насушил за зиму…

И мы знали, видно было по человеку, что он сдержит то, о чем говорит.

Петя Сибиряков - невеселый, у него тоже взрывчатое внутри, но он слишком мягок: его направляют в Саратов в торговое предприятие. Кузнецов, сын почтальона, в телеграфных чиновниках продолжит он профессию отца. Кира Тутин должен овладеть «высотами механики» - это его решение. Самый спокойный из всех за судьбу свою - это Вася Серов, он по прямой линии пройдет жизнь, его разум четок и цепок, кто не посторонится на его пути, сам свалится; логикой голых истин Вася победит все свои немощи, и любовь, и жалость, и межпланетные загадки, закроет клапаны рассудка на прошлое и будущее, чтобы выровнять настоящее в длину и в ширину.

Трое учеников предполагали держать в железнодорожное училище.

А ты? - обращаются ко мне. А я и не знаю, или, наоборот, слишком хорошо знаю мою склонность, но нет у меня определенной формы действия, я чую окольные пути, которые мне предстоят, я не знаю даже, есть ли для меня подходящая школа, да и как назвать тс, чем я хотел бы заняться, - ведь я был пионером в Хлыновске, открывшим новое занятие.

Наш круг мозолистый, изложи ему занятие ясное. Черноты работы он не испугается, над ней не посмеется, только чтоб не было в работе передаточности дальней и чтоб полезность ее была обоснована. А как мне было обосновать занятие художника?

Я также поеду в железнодорожное! - высказываю я товарищам только что созревшее во мне решение, - надо было с чего-то начинать жизнь и не прерывать учения.

Из выпускников у нас было два коновода - Серов и Тутин.

Всю школу прошел Серов на пятерках. Он не обладал фантазией игры и шалостей. Весь учебный материал он знал от сих и до сих. Прибегающим к нему за помощью товарищам он не отказывал, но ему казалось столь неестественным чего-нибудь не знать, что его помощь казалась высокомерной и всегда слегка колола самолюбие прибегнувшего к ней.

Большая голова Васи с черными глазами, которые, соединенные с гримасой угла рта, казались насмешливыми и недобрыми, эта голова, выбрасывавшая несомненные, школьные истины, была для меня объектом многих наблюдений. Я был к нему холоден, но не мог не восхищаться его мозговой коробкой, в которой так крепко были уложены и формулы математики, и призвание варягов, и катехизис. Отвечая урок низким, звучным голосом, Серов как бы приказывал квадрату гипотенузы строиться с катетами, Рюрик, Синеус и Трувор беспрекословно приходили владеть Русью, члены символа веры каменными плитами печатали неизбежность.

Внутри меня было несогласие с такой тиранической безусловностью, но я не мог не поддаваться его умозаключениям.

Ну и умный этот Васька, - говорил смешливый Гриша Юркин, - пра, ей-Богу, он в исправники пролезет!

Уж не знаю, крайности или прямолинейности сходятся, но законоучитель наш нарадоваться не мог на Серова. Отчитывает тот ему, бывало, урок, а протопоп умиленно разглаживает складки рясы и дакает в бороду и вздыхает, и растворяется в красноречии Васи от собственного косноязычия.

Вот бы архиерей-то, да бы из своих, - видно, мечтал поп.

И случалось, что после урока звал законоучитель Васю в уединение и убеждал юношу в выборе подобающей карьеры.

Опять в духовные звал, - отвечал Серов на наши расспросы.

Гриша Юркин спал и видел себя попом.

Ах ты, вот те, ах ты!.. - ахал всерьез Юркин над своей мечтой. - Что же это длинногривый меня не приглашает? Ведь Васька назубок, а я по совести церковное знаю… Подожди, я ему изложу урок… Серову кутейность ни к чему, а я о сироте моей безродной стараюсь… Ах, уж покормил бы я мамашеньку шпионами в сметане!..

Надо сказать, несуразный Гриша отлично знал святцы и катехизис, но его несчастьем было всегдашнее умозатмение; он путал слова по созвучию - шпионы у него вызревали в навозе, шампиньоны предавали родину. И вот, когда на первом же уроке мечтающий о духовном звании предложил отвечать по богослужению, мы с удовольствием слушали Гришино изложение. Ему даже удавалось избегать путающих его слов. Протоиерей также насторожился по-хорошему и задал последний вопрос о «проскомидии прежде освященных даров», и вот на него четко, без запинки, что твой Серов, начал отвечать Юркин:

Микроскопия летаргии, пресыщенных даров совершается…

Законоучитель с кулаками бросился на бедного юношу:

Балда бесовская! Заткни омраченную глотку! Смешливый Гриша было фыркнул от трясения Протопоповой бороды, но потом очень вознегодовал.

Так вот назло тебе докажу, распро-поп эдакий!.. - погрозил он вслед уходящему.

И что же, Юркин все-таки стал попом в селе Левитине, Мужики, говорят, любили веселого, простецкого батюшку, и если бы не водка, которой безмерно предался Гриша, может быть, он шагнул бы и за протопопа. Но однажды во время обедни зеленый змий показался ему идущим с клироса. Юркин шарахнул кадилом в змеиную пасть и непристойно заругался в ужаснувшуюся толпу прихожан.

Умер Гриша в доме для умалишенных в губернии.

Вторым коноводом был Тутин. Если Серов накапливал знания, то Кира их пропускал через себя - от него легко учились и другие. О нем я уже рассказывал в «Хлыновске» и обрисовал его влияние на меня.

Соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

$n$-мерное евклидово пространство обозначается $\backslash mathbb\; E^n,$ также часто используется обозначение $\backslash mathbb\; R^n$ (если из контекста ясно, что пространство обладает евклидовой структурой).

Формальное определение

Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения . Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел , на векторах которого задана вещественнозначная функция $(\backslash cdot,\; \backslash cdot),$ обладающая следующими тремя свойствами:

• Билинейность : для любых векторов $u,v,w$ и для любых вещественных чисел $a,\; b\backslash quad\; (au+bv,\; w)=a(u,w)+b(v,w)$ и $(u,\; av+bw)=a(u,v)+b(u,w);$
• Симметричность: для любых векторов $u,v\backslash quad\; (u,v)=(v,u);$
• Положительная определённость: для любого $u\backslash quad\; (u,u)\backslash geqslant\; 0,$ причём $(u,u)\; =\; 0\backslash Rightarrow\; u=0.$

Пример евклидова пространства - координатное пространство $\backslash mathbb\; R^n,$ состоящее из всевозможных кортежей вещественных чисел $(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n),$ скалярное произведение в котором определяется формулой $(x,y)\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\; x\_iy\_i\; =\; x\_1y\_1+x\_2y\_2+\backslash cdots+x\_ny\_n.$

Длины и углы

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла . Длина вектора $u$ определяется как $\backslash sqrt\{(u,u)\}$ и обозначается $|u|.$ Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что $|au|=|a||u|,$ то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами $u$ и $v$ определяется по формуле $\backslash varphi=\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac\{(x,y)\}\{|x||y|\}\backslash right).$ Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости ) данное определение угла совпадает с обычным . Ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы, угол между которыми равен $\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}.$

Неравенство Коши - Буняковского - Шварца и неравенство треугольника

В данном выше определении угла остался один пробел: для того, чтобы $\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac\{(x,y)\}\{|x||y|\}\backslash right)$ был определён, необходимо, чтобы выполнялось неравенство $\backslash left|\backslash frac\{(x,y)\}\{|x||y|\}\backslash right|\backslash leqslant\; 1.$ Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве, оно называется неравенством Коши - Буняковского - Шварца . Из этого неравенства, в свою очередь, следует неравенство треугольника : $|u+v|\backslash leqslant\; |u|+|v|.$ Неравенство треугольника, вместе с перечисленными выше свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция $d(x,y)=|x-y|$ задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) $x$ и $y$ координатного пространства $\backslash mathbb\; R^n$ задаётся формулой $d(\backslash mathbf\{x\},\; \backslash mathbf\{y\})\; =\; \backslash |\backslash mathbf\{x\}\; -\; \backslash mathbf\{y\}\backslash |\; =\; \backslash sqrt\{\backslash sum\_\{i=1\}^n\; (x\_i\; -\; y\_i)^2\}.$

Алгебраические свойства

Ортонормированные базисы

Сопряжённые пространства и операторы

Любой вектор $x$ евклидова пространства задаёт линейный функционал $x^*$ на этом пространстве, определяемый как $x^*(y)=(x,y).$ Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной .

Движения евклидова пространства

Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

• $\backslash mathbb\; E^1$ размерности $1$ (вещественная прямая )
• $\backslash mathbb\; E^2$ размерности $2$ (евклидова плоскость )
• $\backslash mathbb\; E^3$ размерности $3$ (евклидово трехмерное пространство )

Более абстрактный пример:

• пространство вещественных многочленов $p(x)$ степени, не превосходящей $n$, со скалярным произведением, определенным как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например $e^\{-x^2\}$).

Примеры геометрических фигур в многомерном евклидовом пространстве

• Правильные многомерные многогранники (в частности, N-мерный куб , N-мерный октаэдр , N-мерный тетраэдр)

Связанные определения

• Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика .

• Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

• Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) - каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Вариации и обобщения

• Замена основного поля с поля вещественных чисел на поле комплексных чисел даёт определение унитарного (или эрмитова) пространства .
• Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства .
• Отказ от требования положительной определённости скалярного произведения приводит к определению псевдоевклидова пространства .

Напишите отзыв о статье "Евклидово пространство"

Примечания

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. - 5-е. - М .: Добросвет, МЦНМО , 1998. - 319 с. - ISBN 5-7913-0015-8 .
• Кострикин А. И. , Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. - М .: Наука , 1986. - 304 с.

Векторы и матрицы Векторы Основные понятия Виды векторов Операции над векторами Типы пространств Матрицы Основные понятия Другое

Отрывок, характеризующий Евклидово пространство

Соня прошла в буфет с рюмкой через залу. Наташа взглянула на нее, на щель в буфетной двери и ей показалось, что она вспоминает то, что из буфетной двери в щель падал свет и что Соня прошла с рюмкой. «Да и это было точь в точь также», подумала Наташа. – Соня, что это? – крикнула Наташа, перебирая пальцами на толстой струне.
– Ах, ты тут! – вздрогнув, сказала Соня, подошла и прислушалась. – Не знаю. Буря? – сказала она робко, боясь ошибиться.
«Ну вот точно так же она вздрогнула, точно так же подошла и робко улыбнулась тогда, когда это уж было», подумала Наташа, «и точно так же… я подумала, что в ней чего то недостает».
– Нет, это хор из Водоноса, слышишь! – И Наташа допела мотив хора, чтобы дать его понять Соне.
– Ты куда ходила? – спросила Наташа.
– Воду в рюмке переменить. Я сейчас дорисую узор.
– Ты всегда занята, а я вот не умею, – сказала Наташа. – А Николай где?
– Спит, кажется.
– Соня, ты поди разбуди его, – сказала Наташа. – Скажи, что я его зову петь. – Она посидела, подумала о том, что это значит, что всё это было, и, не разрешив этого вопроса и нисколько не сожалея о том, опять в воображении своем перенеслась к тому времени, когда она была с ним вместе, и он влюбленными глазами смотрел на нее.
«Ах, поскорее бы он приехал. Я так боюсь, что этого не будет! А главное: я стареюсь, вот что! Уже не будет того, что теперь есть во мне. А может быть, он нынче приедет, сейчас приедет. Может быть приехал и сидит там в гостиной. Может быть, он вчера еще приехал и я забыла». Она встала, положила гитару и пошла в гостиную. Все домашние, учителя, гувернантки и гости сидели уж за чайным столом. Люди стояли вокруг стола, – а князя Андрея не было, и была всё прежняя жизнь.
– А, вот она, – сказал Илья Андреич, увидав вошедшую Наташу. – Ну, садись ко мне. – Но Наташа остановилась подле матери, оглядываясь кругом, как будто она искала чего то.
– Мама! – проговорила она. – Дайте мне его, дайте, мама, скорее, скорее, – и опять она с трудом удержала рыдания.
Она присела к столу и послушала разговоры старших и Николая, который тоже пришел к столу. «Боже мой, Боже мой, те же лица, те же разговоры, так же папа держит чашку и дует точно так же!» думала Наташа, с ужасом чувствуя отвращение, подымавшееся в ней против всех домашних за то, что они были всё те же.
После чая Николай, Соня и Наташа пошли в диванную, в свой любимый угол, в котором всегда начинались их самые задушевные разговоры.

– Бывает с тобой, – сказала Наташа брату, когда они уселись в диванной, – бывает с тобой, что тебе кажется, что ничего не будет – ничего; что всё, что хорошее, то было? И не то что скучно, а грустно?
– Еще как! – сказал он. – У меня бывало, что всё хорошо, все веселы, а мне придет в голову, что всё это уж надоело и что умирать всем надо. Я раз в полку не пошел на гулянье, а там играла музыка… и так мне вдруг скучно стало…
– Ах, я это знаю. Знаю, знаю, – подхватила Наташа. – Я еще маленькая была, так со мной это бывало. Помнишь, раз меня за сливы наказали и вы все танцовали, а я сидела в классной и рыдала, никогда не забуду: мне и грустно было и жалко было всех, и себя, и всех всех жалко. И, главное, я не виновата была, – сказала Наташа, – ты помнишь?
– Помню, – сказал Николай. – Я помню, что я к тебе пришел потом и мне хотелось тебя утешить и, знаешь, совестно было. Ужасно мы смешные были. У меня тогда была игрушка болванчик и я его тебе отдать хотел. Ты помнишь?
– А помнишь ты, – сказала Наташа с задумчивой улыбкой, как давно, давно, мы еще совсем маленькие были, дяденька нас позвал в кабинет, еще в старом доме, а темно было – мы это пришли и вдруг там стоит…
– Арап, – докончил Николай с радостной улыбкой, – как же не помнить? Я и теперь не знаю, что это был арап, или мы во сне видели, или нам рассказывали.
– Он серый был, помнишь, и белые зубы – стоит и смотрит на нас…
– Вы помните, Соня? – спросил Николай…
– Да, да я тоже помню что то, – робко отвечала Соня…
– Я ведь спрашивала про этого арапа у папа и у мама, – сказала Наташа. – Они говорят, что никакого арапа не было. А ведь вот ты помнишь!
– Как же, как теперь помню его зубы.
– Как это странно, точно во сне было. Я это люблю.
– А помнишь, как мы катали яйца в зале и вдруг две старухи, и стали по ковру вертеться. Это было, или нет? Помнишь, как хорошо было?
– Да. А помнишь, как папенька в синей шубе на крыльце выстрелил из ружья. – Они перебирали улыбаясь с наслаждением воспоминания, не грустного старческого, а поэтического юношеского воспоминания, те впечатления из самого дальнего прошедшего, где сновидение сливается с действительностью, и тихо смеялись, радуясь чему то.
Соня, как и всегда, отстала от них, хотя воспоминания их были общие.
Соня не помнила многого из того, что они вспоминали, а и то, что она помнила, не возбуждало в ней того поэтического чувства, которое они испытывали. Она только наслаждалась их радостью, стараясь подделаться под нее.
Она приняла участие только в том, когда они вспоминали первый приезд Сони. Соня рассказала, как она боялась Николая, потому что у него на курточке были снурки, и ей няня сказала, что и ее в снурки зашьют.
– А я помню: мне сказали, что ты под капустою родилась, – сказала Наташа, – и помню, что я тогда не смела не поверить, но знала, что это не правда, и так мне неловко было.
Во время этого разговора из задней двери диванной высунулась голова горничной. – Барышня, петуха принесли, – шопотом сказала девушка.
– Не надо, Поля, вели отнести, – сказала Наташа.
В середине разговоров, шедших в диванной, Диммлер вошел в комнату и подошел к арфе, стоявшей в углу. Он снял сукно, и арфа издала фальшивый звук.
– Эдуард Карлыч, сыграйте пожалуста мой любимый Nocturiene мосье Фильда, – сказал голос старой графини из гостиной.
Диммлер взял аккорд и, обратясь к Наташе, Николаю и Соне, сказал: – Молодежь, как смирно сидит!
– Да мы философствуем, – сказала Наташа, на минуту оглянувшись, и продолжала разговор. Разговор шел теперь о сновидениях.
Диммлер начал играть. Наташа неслышно, на цыпочках, подошла к столу, взяла свечу, вынесла ее и, вернувшись, тихо села на свое место. В комнате, особенно на диване, на котором они сидели, было темно, но в большие окна падал на пол серебряный свет полного месяца.
– Знаешь, я думаю, – сказала Наташа шопотом, придвигаясь к Николаю и Соне, когда уже Диммлер кончил и всё сидел, слабо перебирая струны, видимо в нерешительности оставить, или начать что нибудь новое, – что когда так вспоминаешь, вспоминаешь, всё вспоминаешь, до того довоспоминаешься, что помнишь то, что было еще прежде, чем я была на свете…
– Это метампсикова, – сказала Соня, которая всегда хорошо училась и все помнила. – Египтяне верили, что наши души были в животных и опять пойдут в животных.
– Нет, знаешь, я не верю этому, чтобы мы были в животных, – сказала Наташа тем же шопотом, хотя музыка и кончилась, – а я знаю наверное, что мы были ангелами там где то и здесь были, и от этого всё помним…
– Можно мне присоединиться к вам? – сказал тихо подошедший Диммлер и подсел к ним.
– Ежели бы мы были ангелами, так за что же мы попали ниже? – сказал Николай. – Нет, это не может быть!
– Не ниже, кто тебе сказал, что ниже?… Почему я знаю, чем я была прежде, – с убеждением возразила Наташа. – Ведь душа бессмертна… стало быть, ежели я буду жить всегда, так я и прежде жила, целую вечность жила.
– Да, но трудно нам представить вечность, – сказал Диммлер, который подошел к молодым людям с кроткой презрительной улыбкой, но теперь говорил так же тихо и серьезно, как и они.
– Отчего же трудно представить вечность? – сказала Наташа. – Нынче будет, завтра будет, всегда будет и вчера было и третьего дня было…
– Наташа! теперь твой черед. Спой мне что нибудь, – послышался голос графини. – Что вы уселись, точно заговорщики.
– Мама! мне так не хочется, – сказала Наташа, но вместе с тем встала.
Всем им, даже и немолодому Диммлеру, не хотелось прерывать разговор и уходить из уголка диванного, но Наташа встала, и Николай сел за клавикорды. Как всегда, став на средину залы и выбрав выгоднейшее место для резонанса, Наташа начала петь любимую пьесу своей матери.
Она сказала, что ей не хотелось петь, но она давно прежде, и долго после не пела так, как она пела в этот вечер. Граф Илья Андреич из кабинета, где он беседовал с Митинькой, слышал ее пенье, и как ученик, торопящийся итти играть, доканчивая урок, путался в словах, отдавая приказания управляющему и наконец замолчал, и Митинька, тоже слушая, молча с улыбкой, стоял перед графом. Николай не спускал глаз с сестры, и вместе с нею переводил дыхание. Соня, слушая, думала о том, какая громадная разница была между ей и ее другом и как невозможно было ей хоть на сколько нибудь быть столь обворожительной, как ее кузина. Старая графиня сидела с счастливо грустной улыбкой и слезами на глазах, изредка покачивая головой. Она думала и о Наташе, и о своей молодости, и о том, как что то неестественное и страшное есть в этом предстоящем браке Наташи с князем Андреем.
Диммлер, подсев к графине и закрыв глаза, слушал.
– Нет, графиня, – сказал он наконец, – это талант европейский, ей учиться нечего, этой мягкости, нежности, силы…
– Ах! как я боюсь за нее, как я боюсь, – сказала графиня, не помня, с кем она говорит. Ее материнское чутье говорило ей, что чего то слишком много в Наташе, и что от этого она не будет счастлива. Наташа не кончила еще петь, как в комнату вбежал восторженный четырнадцатилетний Петя с известием, что пришли ряженые.
Наташа вдруг остановилась.
– Дурак! – закричала она на брата, подбежала к стулу, упала на него и зарыдала так, что долго потом не могла остановиться.
– Ничего, маменька, право ничего, так: Петя испугал меня, – говорила она, стараясь улыбаться, но слезы всё текли и всхлипывания сдавливали горло.
Наряженные дворовые, медведи, турки, трактирщики, барыни, страшные и смешные, принеся с собою холод и веселье, сначала робко жались в передней; потом, прячась один за другого, вытеснялись в залу; и сначала застенчиво, а потом всё веселее и дружнее начались песни, пляски, хоровые и святочные игры. Графиня, узнав лица и посмеявшись на наряженных, ушла в гостиную. Граф Илья Андреич с сияющей улыбкой сидел в зале, одобряя играющих. Молодежь исчезла куда то.

Определение 4.5.1.

Линейное пространство Е n называется евклидовым если в этом пространстве введена операция скалярного умножения векторов, ставящая в соответствие " Є R однозначно определённое число (x,y) Є R , называемое скалярным произведением векторов и и удовлетворяющая следующим аксиомам:

1)

3)

4)

Линейные пространства V 2 и V 3 являются евклидовыми пространствами если операцию скалярного умножения определить как

где j- угол между векторами.

когда один из векторов равен нулю или cosj =0Юj=p/2

4.6. Ортогональность векторов в Е п.

Определение 4.6.1.

Вектора называются ортогональными если (x,y)=0.

Определение 4.6.2.

Система векторов называется ортогональной, если вектора попарно ортогональны.

Определение 4.6.3.

Ортогональная система x 1 ,…,x k называется ортонормированной, если пx 1 п=…=пx n п=1

Определение 4.6.4.

базис l 1 …l n пространства Е п называется ортонормированным если

Пример 4.6.1. В линейном пространстве R n

базис

……………..

является ортонормированным базисом

Выберем в R 3 произвольную точку M и построим вектор координата т. M (x,y,z) есть координата вектора (см.Рис.4.6.).

В линейном пространстве V 3 базис является ортонормированным. Упорядоченная тройка векторов называется правой, если кратчайший поворот от вектора к вектору виден из конца вектора против часовой стрелки.

– единичные орты,

Тогда вектор представлен в разложении по базису векторов .

Совокупность т. О и базисных векторов называется прямоугольной системой координат в пространстве R 3 .

Введение ортонормированного базиса позволяет вычисления скалярного произведения свести к числовым выражениям.

Контрольные вопросы и задания.

1. Что такое линейное пространство?

2. Может ли линейное пространство состоять из: а) двух элементов; б) одного элемента; в) 100 элементов?

3. Образует ли линейное пространство множество всех действительных чисел с обычными (известными из школьного курса) операциями сложения и умножения на число из поля: а) K 0 ; б) K рациональных чисел?

4. Могут ли в линейном пространстве существовать два нулевых элемента?

5. Что понимается под операцией вычитания в линейном пространстве?

6. Справедливо ли равенствоθ = - θ ?

7. Пусть x - некоторый элемент линейного пространства над полем K , а b -число из поля K . Что можно сказать о x и b , если известно, что bx = θ ?

8. Какие элементы линейного пространства называются линейно независимыми?

9. Можно ли утверждать, что элементы e 1 ,e 2 , ... ,e n линейного пространства R линейно независимы, если данный элемент x линейного пространства R единственным образом выражается в виде линейной комбинации указанных n элементов?

10. Пусть в линейном пространстве R даны n линейно независимых элементов e 1 ,e 2 , ... ,e n . Что еще надо потребовать, чтобы указанная совокупность элементов была базисом в данном линейном пространстве?

11. С какой целью вводится базис в линейном пространстве?

12. Сколько базисов имеется в каждом линейном пространстве?

13. Пусть в линейном пространстве даныn линейно независимых элементов. Что еще надо потребовать, чтобы размерность этого линейного пространства была равна n ?

14. Как связаны между собой размерность линейного пространства и число элементов в базисе этого линейного пространства? Является ли это соответствие взаимным?

15. Что называется скалярным произведением элементов x, y в евклидовом пространстве?

16. Как определяется угол между элементами евклидова пространства?

17. Как запишется скалярное произведение элементов x, y из евклидова пространства в произвольном базисе , если известны координаты этих элементов в базисе ?

18. Докажите, что если ненулевые элементы x,y из евклидова пространства ортогональны, то они линейно независимы. Верно ли обратное утверждение?

19. Как с помощью произвольного базиса евклидова пространства построить ортонормированный базис?

20. Сколько ортонормированных базисов можно указать в евклидовом пространстве?

21. Как в ортонормированном базисе запишется скалярное произведение элементов x, y ?

Евклидовы пространства
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com

Глава 4
ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Из курса аналитической геометрии читатель знаком с понятием скалярного произведения двух свободных векторов и с четырьмя основными свойствами указанного скалярного произведения. В настоящей главе изучаются линейные пространства любой природы, для элементов которых каким-либо способом (причем безразлично каким) определено правило, ставящее в соответствие любым двум элементам число, называемое скалярным произведением этих элементов. При этом важно только, чтобы это правило обладало теми же четырьмя свойствами, что и правило составления скалярного произведения двух свободных векторов. Линейные пространства, в которых определено указанное правило, называются евклидовыми пространствами. В настоящей главе выясняются основные свойства произвольных евклидовых пространств.

§ 1. Вещественное евклидово пространство и его простейшие свойства

1. Определение вещественного евклидова пространства. Вещественное линейное пространство R называется вещественным евклидовым пространством (или просто евклидовым пространством ), если выполнены следующие два требования.
I. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства х и у ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом (х, у).
П. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:
1°. (х, у) = (у, х) (переместительное свойство или симметрия);
2°. (x 1 + x 2, у) = (х 1 , у) + (х 2 , у) (распределительное свойство);
3°. (λ х, у) = λ (х, у) для любого вещественного λ ;
4°. (х, х) > 0, если х - ненулевой элемент; (х, х) = 0, если х - нулевой элемент.
Подчеркнем, что при введении понятия евклидова пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы элементов, произведения элемента на число и скалярного произведения элементов (важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли восьми аксиомам линейного пространства и четырем аксиомам скалярного произведения).
Если же природа изучаемых объектов и вид перечисленных правил указаны, то евклидово пространство называется конкретным .
Приведем примеры конкретных евклидовых пространств.
Пример 1. Рассмотрим линейное пространство В 3 , всех свободных векторов. Скалярное произведение любых двух векторов определим так, как это было сделано в аналитической геометрии (т. е. как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними). В курсе аналитической геометрии была доказана справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1°- 4° (см. выпуск «Аналитическая геометрия», гл.2, §2, п.З). Стало быть, пространство В 3 с так определенным скалярным произведением является евклидовым пространством.
Пример 2. Рассмотрим бесконечномерное линейное пространство С [а, b ] всех функций x(t), определенных и непрерывных на сегменте а ≤ t ≤ b . Скалярное произведение двух таких функций x(t) и y(t) определим как интеграл (в пределах от а до b ) от произведения этих функций

Элементарно проверяется справедливость для так определенного скалярного произведения аксиом 1°-4°. В самом деле, справедливость аксиомы 1° очевидна; справедливость аксиом 2° и 3° вытекает из линейных свойств определенного интеграла; справедливость аксиомы 4° вытекает из того, что интеграл от непрерывной неотрицательной функции x 2 (t) неотрицателен и обращается в нуль лишь тогда, когда эта функция тождественно равна нулю на сегменте а ≤ t ≤ b (см. выпуск «Основы математического анализа», часть I, свойства 1° и 2° из п. 1 §6 гл. 10) (т.е. является нулевым элементом рассматриваемого пространства).
Таким образом, пространство С [а, b ] с так определенным скалярным произведением представляет собой бесконечномерное евклидово пространство .
Пример 3. Следующий пример евклидова пространства дает n-мерное линейное пространство А n упорядоченных совокупностей n вещественных чисел, скалярное произведение двух любых элементов х= (х 1 , x 2 ,...,х n) и у = (y 1 , y 2 ,...,y n) которого определяется равенством

(х, у) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n . (4.2)

Справедливость для так определенного скалярного произведения аксиомы 1° очевидна; справедливость аксиом 2° и 3° легко проверяется достаточно вспомнить определение операций сложения элементов и умножения их на числа:

(х 1 , x 2 ,...,х n) + (y 1 , y 2 ,...,y n) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,...,x n + y n),

λ (х 1 , x 2 ,...,х n) = (λ х 1 , λ x 2 ,..., λ х n);

наконец, справедливость аксиомы 4° вытекает из того, что (х, х) = х 1 2 + x 2 2 + ...+ х n 2 всегда является неотрицательным числом и обращается в нуль лишь при условии х 1 = х 2 = ... = х n = 0.
Рассмотренное в этом примере евклидово пространство часто обозначают символом Е n .
Пример 4. В том же самом линейном пространстве А n введем скалярное произведение любых двух элементов х= (х 1 , x 2 ,...,х n) и у = (y 1 , y 2 ,...,y n) не соотношением (4.2), а другим, более общим, способом.
Для этого рассмотрим квадратную матрицу порядка n

Составим с помощью матрицы (4.3) однородный многочлен второго порядка относительно n переменных х 1 , x 2 ,...,х n

Забегая вперед, отметим, что такой многочлен называется квадратичной формой (порождаемой матрицей (4.3)) (квадратичные формы систематически изучаются в гл. 7 этой книги).
Квадратичная форма (4.4) называется положительно определенной , если она принимает строго положительные значения для всех значений переменных х 1 , x 2 ,...,х n , одновременно не равных нулю (в гл. 7 этой книги будет указано необходимое и достаточное условие положительной определенности квадратичной формы).
Так как при х 1 = х 2 = ... = х n = 0 квадратичная форма (4.4), очевидно, равна нулю, то можно сказать, что положительно определенная
квадратичная форма обращается в нуль лишь при условии х 1 = х 2 = ... = х n = 0.
Потребуем, чтобы матрица (4.3) удовлетворяла двум условиям.
1°. Порождала положительно определенную квадратичную форму (4.4).
2°. Была симметричной (относительно главной диагонали), т.е. удовлетворяла условию a ik = а ki для всех i = 1, 2,..., n и k = I, 2,..., n .
С помощью матрицы (4.3), удовлетворяющей условиям 1° и 2°, определим скалярное произведение двух любых элементов х= (х 1 , x 2 ,...,х n) и у = (y 1 , y 2 ,...,y n) пространства А n соотношением

Легко проверить справедливость для так определенного скалярного произведения всех аксиом 1°-4°. В самом деле, аксиомы 2° и 3°, очевидно, справедливы при совершенно произвольной матрице (4.3); справедливость аксиомы 1° вытекает из условия симметричности матрицы (4.3), а справедливость аксиомы 4° вытекает из того, что квадратичная форма (4.4), представляющая собой скалярное произведение (х, х), является положительно определенной.
Таким образом, пространство А n со скалярным произведением, определяемым равенством (4.5), при условии симметричности матрицы (4.3) и положительной определенности порождаемой ею квадратичной формы, является евклидовым пространством.
Если в качестве матрицы (4.3) взять единичную матрицу, то соотношение (4.4) перейдет в (4.2), и мы получим евклидово пространство Е n , рассмотренное в примере 3.
2. Простейшие свойства произвольного евклидова пространства. Устанавливаемые в этом пункте свойства справедливы для совершенно произвольного евклидова пространства как конечной, так и бесконечной размерности.
Теорема 4.1. Для любых двух элементов х и у произвольного евклидова пространства справедливо неравенство

(x, y ) 2 ≤ (x, x )(y, y ), (4.6)

называемое неравенством Коши-Буняковского.
Доказательство. Для любого вещественного числа λ , в силу аксиомы 4° скалярного произведения, справедливо неравенство (λ х - у, λ х - у) > 0. В силу аксиом 1°-3°, последнее неравенство можно переписать в виде

λ 2 (x, x) - 2 λ(x, y) + (y, y) ≤ 0

Необходимым и достаточным условием неотрицательности последнего квадратного трехчлена является неположительность его дискриминанта, т. е. неравенство (в случае (х, х) = 0 квадратный трехчлен вырождается в линейную функцию, но в этом случае элемент х является нулевым, так что (х, у) = 0 и неравенство (4.7) также справедливо)

(x, y ) 2 - (x, x )(y, y ) ≤ 0. (4.7)

Из (4.7) сразу же вытекает неравенство (4.6). Теорема доказана.
Наша очередная задача - ввести в произвольном евклидовом пространстве понятие нормы (или длины ) каждого элемента. Для этого введем понятие линейного нормированного пространства.
Определение. Линейное пространство R называется нормированным , если выполнены следующие два требования.
I. Имеется правило, посредством которого каждому элементу х пространства R ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой (или длиной ) указанного элемента и обозначаемое символом ||х||.
П. Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам:
1°. ||х|| > 0, если х - ненулевой элемент; ||х|| = 0, если х - нулевой элемент;
2°. ||λ х|| = |λ | ||х|| для любого элемента х и любого вещественного числа λ ;
3°. для любых двух элементов х и у справедливо следующее неравенство

||х + y || ≤ ||х|| + ||y ||, (4.8)

называемое неравенством треугольника (или неравенством Минковского) .
Теорема 4.2. Всякое евклидово пространство является нормированным, если норму любого элемента х в нем определить равенством

Доказательство. Достаточно доказать, что для нормы, определенной соотношением (4.9), справедливы аксиомы 1°-3° из определения нормированного пространства.
Справедливость для нормы аксиомы 1° сразу вытекает из аксиомы 4° скалярного произведения. Справедливость для нормы аксиомы 2° почти непосредственно вытекает из аксиом 1° и 3° скалярного произведения.
Остается убедиться в справедливости для нормы аксиомы 3°, т. е. неравенства (4.8). Будем опираться на неравенство Коши-Буняковского (4.6), которое перепишем в виде

С помощью последнего неравенства, аксиом 1°-4° скалярного произведения и определения нормы получим

Теорема доказана.
Следствие. Во всяком евклидовом пространстве с нормой элементов, определяемой соотношением (4.9), для любых двух элементов х и у справедливо неравенство треугольника (4.8).

Заметим далее, что в любом вещественном евклидовом пространстве можно ввести понятие угла между двумя произвольными элементами х и у этого пространства. В полной аналогии с векторной алгеброй, мы назовем углом φ между элементами х и у тот (изменяющийся в пределах от 0 до π ) угол, косинус которого определяется соотношением

Данное нами определение угла корректно, ибо в силу неравенства Коши-Буняковского (4.7") дробь, стоящая в правой части последнего равенства, по модулю не превосходит единицы.
Далее договоримся называть два произвольных элемента х и у евклидова пространства Е ортогональными, если скалярное произведение этих элементов (х, у) равно нулю (в этом случае косинус угла (φ между элементами х и у будет равен нулю).
Снова апеллируя к векторной алгебре, назовем сумму х + у двух ортогональных элементов х и у гипотенузой прямоугольного треугольника, построенного на элементах х и у.
Заметим, что во всяком евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В самом деле, поскольку х и у ортогональны и (х, у) = 0, то в силу аксиом и определения нормы

||х + y || 2 = (x+y, x+y ) = (x, x ) + 2(x, y ) + (y, y) = (x,x) + (y, y) = ||х|| 2 + ||y || 2 .

Этот результат обобщается и на n попарно ортогональных элементов х 1 , x 2 ,...,х n: если z = х 1 + x 2 + ...+ х n , то

||х|| 2 = (х 1 + x 2 + ...+ х n ,х 1 + x 2 + ...+ х n) = (х 1 ,х 1) + (х 2 ,х 2) + .... + (х n ,х n ) = ||х 1 || 2 + ||х 1 || 2 +... +||х 1 || 2 .

В заключение запишем норму, неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника в каждом из конкретных евклидовых пространств, рассмотренных в предыдущем пункте.
В евклидовом пространстве всех свободных векторов с обычным определением скалярного произведения норма вектора а совпадает с его длиной |а|, неравенство Коши-Буняковского приводится к виду ((a,b ) 2 ≤ |а| 2 |b | 2 , а неравенство треугольника - к виду |a + b| ≤ |а| + |b | (Если сложить векторы а и b по правилу треугольника, то это неравенство тривиально сводится к тому, что одна сторона треугольника не превосходит суммы двух других его сторон).
В евклидовом пространстве С [а, b ] всех непрерывных на сегменте а ≤ t ≤ b функций х = x(t) со скалярным произведением (4.1) норма элемента х = x(t) равна , а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют вид

Оба эти неравенства играют важную роль в различных разделах математического анализа.
В евклидовом пространстве Е n упорядоченных совокупностей n вещественных чисел со скалярным произведением (4.2) норма любого элемента х = (х 1 , x 2 ,...,х n) равна

Наконец, в евклидовом пространстве упорядоченных совокупностей n вещественных чисел со скалярным произведением (4.5) норма любого элемента х = (х 1 , x 2 ,...,х n) равна 0 (напоминаем, что при этом матрица (4.3) симметрична и порождает положительно определенную квадратичную форму (4.4)).

а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют вид

Еще в школе все учащиеся знакомятся с понятием «евклидова геометрия», основные положения которой сфокусированы вокруг нескольких аксиом, опирающихся на такие геометрические элементы, как точка, плоскость, прямая, движения. Все они в совокупности формируют то, что уже давно известно под термином «евклидово пространство».

Евклидово которого базируется на положении о скалярном умножении векторов, является частным случаем линейного (аффинного) пространства, которое удовлетворяет целому ряду требований. Во-первых, скалярное произведение векторов абсолютно симметрично, то есть вектор с координатами (x;y) в количественном плане тождественен вектору с координатами (y;x), однако противоположен по направлению.

Во-вторых, в том случае, если производится скалярное произведение вектора с самим собой, то результат этого действия будет носить положительный характер. Единственным исключением станет случай, когда начальная и конечная координата этого вектора равна нулю: в этом случае и произведение его с самим собой то же будет равно нулю.

В-третьих, имеет место дистрибутивность скалярного произведения, то есть возможность разложения одной из его координат на сумму двух значений, что не повлечет за собой никаких изменений в итоговом результате скалярного умножения векторов. Наконец, в-четвертых, при умножении векторов на одно и то же их скалярное произведение также увеличится во столько же раз.

В том случае, если выполняются все эти четыре условия, мы можем с уверенностью сказать, что перед нами евклидово пространство.

Евклидово пространство с практической точки зрения можно охарактеризовать следующими конкретными примерами:

1. Самый простой случай - это наличие множества векторов с определенным по основным законам геометрии скалярным произведением.
2. Евклидово пространство получится и в том случае, если под векторами мы будем понимать некое конечное множество действительных чисел с заданной формулой, описывающей их скалярную сумму или произведение.
3. Частным случаем евклидова пространства следует признать так называемое нулевое пространство, которое получается в том случае, если скалярная длина обоих векторов равна нулю.

Евклидово пространство обладает целым рядом специфических свойств. Во-первых, скалярный множитель можно выносить за скобки как от первого, так и от второго сомножителя скалярного произведения, результат от этого не претерпит никаких изменений. Во-вторых, наряду с дистрибутивностью первого элемента скалярного произведения, действует и дистрибутивность второго элемента. Кроме того, помимо скалярной суммы векторов, дистрибутивность имеет место и в случае вычитания векторов. Наконец, в-третьих, при скалярном умножении вектора на нуль, результат также будет равен нулю.

Таким образом, евклидово пространство - это важнейшее геометрическое понятие, используемое при решении задач с взаимным расположением векторов друг относительно друга, для характеристики которого используется такое понятие, как скалярное произведение.