Главная

На свободную тему

Григорий Перельман доказал, что Бога нет. Российский математик Перельман Григорий Яковлевич, доказавший гипотезу Пуанкаре: биография, личная жизнь, интересные факты

Григорий Перельман доказал, что Бога нет. Российский математик Перельман Григорий Яковлевич, доказавший гипотезу Пуанкаре: биография, личная жизнь, интересные факты

Математик Перельман - личность очень известная, несмотря на то что он ведет уединенную жизнь и всячески сторонится прессы. Доказательство гипотезы Пуанкаре, сделанное им, поставило его в один ряд с величайшими учеными в мировой истории. Математик Перельман отказался от множества наград, предоставляемых научным сообществом. Этот человек живет очень скромно и всецело предан науке. Безусловно, о нем и его открытии стоит подробно рассказать.

Отец Григория Перельмана

13 июня 1966 года на свет появился Григорий Яковлевич Перельман, математик. Фото его в свободном доступе немного, но самые известные представлены в этой статье. Он родился в Ленинграде - культурной столице нашей страны. Отец его был инженером-электриком. Он не имел отношения к науке, как считают многие.

Яков Перельман

Весьма распространено мнение о том, что Григорий - сын Якова Перельмана, известного популяризатора науки. Однако это заблуждение, ведь он умер в блокадном Ленинграде в марте 1942 года, поэтому никак не мог быть отцом Этот человек родился в Белостоке, городе, который ранее принадлежал Российской империи, а сейчас входит в состав Польши. Яков Исидорович появился на свет в 1882 году.

Якова Перельмана, что весьма интересно, также привлекала математика. Кроме того, он увлекался астрономией, физикой. Этот человек считается основоположником занимательной науки, а также одним из первых, кто писал произведения в жанре научно-популярной литературы. Он является создателем книги "Живая математика". Перельман написал и множество других книг. Кроме того, его библиография включает более тысячи статей. Что касается такой книги, как "Живая математика", Перельман представляет в ней различные головоломки, связанные с этой наукой. Многие из них оформлены в виде маленьких рассказов. Эта книга рассчитана в первую очередь на подростков.

В одном отношении особенно интересна еще книга, автор которой - Яков Перельман ("Занимательная математика"). Триллиард - знаете ли вы, что это за число? Это 10 21 . В СССР долгое время параллельно существовало две шкалы - "короткая" и "длинная". Согласно Перельману, "короткая" использовалась в финансовых расчетах и житейском обиходе, а "длинная" - в научных трудах, посвященных физике и астрономии. Так вот, триллиарда по "короткой" шкале не существует. 10 21 в ней называется секстиллионом. Эти шкалы вообще существенно различаются.

Однако мы не будем подробно на этом останавливаться и перейдем к рассказу о вкладе в науку, который внес именно Григорий Яковлевич, а не Яков Исидорович, достижения которого были менее скромными. Кстати, любовь к науке Григорию привил отнюдь не его известный однофамилец.

Мать Перельмана и ее влияние на Григория Яковлевича

Мать будущего ученого преподавала математику в ПТУ. Кроме того, она была талантливой скрипачкой. Вероятно, любовь к математике, а также к классической музыке Григорий Яковлевич перенял именно у нее. И то и другое в равной степени привлекало Перельмана. Когда перед ним встал выбор, куда поступить - в консерваторию или в технический вуз, он долго не мог решиться. Кто знает, кем бы мог стать Григорий Перельман, если бы решил получить музыкальное образование.

Детство будущего ученого

Уже с юных лет Григорий отличался грамотной речью, как письменной, так и устной. Он часто поражал этим учителей в школе. Кстати, до 9-го класса Перельман обучался в средней школе, по всей видимости, типичной, которых так много на окраине. А затем учителя из Дворца пионеров заметили талантливого юношу. Его взяли на курсы для одаренных детей. Это способствовало развитию уникальных дарований Перельмана.

Победа на олимпиаде, окончание школы

С этих пор начинается веха побед для Григория. В 1982 году он получил на состоявшейся в Будапеште Международной математической олимпиаде. В ней Перельман участвовал вместе с командой советских школьников. Он получил полный балл, решив безукоризненно все задачи. Одиннадцатый класс школы Григорий окончил в этом же году. Сам факт участия в этой престижной олимпиаде открывал для него двери лучших учебных заведений нашей страны. А ведь Григорий Перельман не просто участвовал в ней, но и получил золотую медаль.

Неудивительно, что он был зачислен без экзаменов в Ленинградский государственный университет, на механико-математический факультет. Кстати, золотую медаль в школе Григорий, как это ни странно, не получил. Этому помешала оценка по физкультуре. Сдача спортивных норм в то время была обязательна для всех, включая и тех, кто с трудом представлял себя у шеста для прыжков или у штанги. По остальным предметам он учился на пятерки.

Учеба в ЛГУ

В течение следующих нескольких лет будущий ученый продолжал свое образование в ЛГУ. Он участвовал, и с большим успехом, в разнообразных математических соревнованиях. Перельману удалось даже получить престижную Ленинскую стипендию. Так он стал обладателем 120 рублей - немалых денег по тем временам. Должно быть, в то время ему жилось неплохо.

Нужно сказать, что математико-механический факультет этого университета, который сейчас называется Санкт-Петербургским, был в советские годы одним из лучших в России. В 1924 году, к примеру, его окончил В. Леонтьев. Практически сразу же после завершения обучения он получил Нобелевскую премию по экономике. Этого ученого даже именуют отцом американской экономики. Леонид Канторович, единственный отечественный лауреат данной премии, получивший ее за вклад в эту науку, являлся профессором матмеха.

Продолжение образования, жизнь в США

После окончания ЛГУ Григорий Перельман поступил в Математический институт Стеклова, чтобы продолжить обучение в аспирантуре. Вскоре он вылетел в США для того, чтобы представить это учебное заведение. Эта страна всегда считалась государством неограниченной свободы, особенно в советское время среди жителей нашей страны. Повидать ее мечтали многие, однако математик Перельман был не из их числа. Кажется, что искушения Запада прошли для него незамеченными. Ученый по-прежнему вел скромный образ жизни, даже несколько аскетический. Он питался бутербродами с сыром, которые запивал кефиром или молоком. И конечно, математик Перельман усердно трудился. В частности, он вел преподавательскую деятельность. Ученый встречался со своими коллегами-математиками. Америка через 6 лет ему наскучила.

Возвращение в Россию

Григорий возвратился в Россию, в родной институт. Здесь он проработал 9 лет. Именно в это время, должно быть, он и стал понимать, что дорога к "чистому искусству" лежит через изоляцию, оторванность от социума. Григорий решил порвать все свои отношения с сослуживцами. Ученый решил запереться в своей ленинградской квартире и начать грандиозный труд...

Топология

Нелегко объяснить, что доказал Перельман в математике. Только большие любители этой науки могут в полной мере понять значение сделанного им открытия. Мы попытаемся доступным языком рассказать о гипотезе, которую вывел Перельман. Григория Яковлевича привлекла топология. Это раздел математики, нередко называемый также геометрией на резиновом листе. Топология изучает геометрические формы, сохраняющиеся, когда форма изгибается, скручивается или растягивается. Другими словами, если она абсолютно эластично деформируется - без склеек, срезов и разрывов. Топология очень важна для такой дисциплины, как математическая физика. Она дает представление о свойствах пространства. Речь идет в нашем случае о беспредельном пространстве, которое непрерывно расширяется, то есть о Вселенной.

Гипотеза Пуанкаре

Великий французский физик, математик и философ Ж. А. Пуанкаре первым вывел гипотезу на этот счет. Это произошло в начале 20 века. Но следует заметить, что он именно сделал предположение, а не привел доказательство. Перельман поставил своей задачей доказать эту гипотезу, вывести спустя целое столетие математическое решение, логически выверенное.

Когда говорят о его сути, начинают обычно следующим образом. Возьмите резиновый диск. Его следует натянуть на шар. Таким образом, у вас получилась двухмерная сфера. Необходимо, чтобы в одной точке была собрана окружность диска. К примеру, вы можете проделать это с рюкзаком, стянув и обвязав его шнуром. Получается сфера. Конечно, для нас она является трехмерной, но с точки зрения математики будет двухмерной.

Затем начинаются уже образные проекции и рассуждения, которые трудно понять неподготовленному человеку. Следует представить теперь трехмерную сферу, то есть шар, натянутый на что-то, который уходит в другое измерение. Трехмерная сфера, согласно гипотезе, - единственный существующий трехмерный объект, который можно стянуть гипотетическим "гипершнуром" в одной точке. Доказательство же этой теоремы помогает нам понять, какую форму имеет Вселенная. Кроме того, благодаря ей можно обоснованно предположить, что Вселенная и есть такая трехмерная сфера.

Гипотеза Пуанкаре и теория Большого взрыва

Нужно отметить, что эта гипотеза является подтверждением теории Большого взрыва. Если Вселенная представляет собой единственную "фигуру", отличительная черта которой - возможность стянуть ее в одну точку, это значит, что ее можно и растянуть таким же образом. Возникает вопрос: если она является сферой, что же находится за пределами Вселенной? Способен ли человек, который является вторичным продуктом, относящимся к одной только планете Земля и даже не к космосу в целом, познать это таинство? Тем, кому интересно, можно предложить почитать труды еще одного известного на весь мир математика - Стивена Хокинга. Однако и он не может пока сказать на этот счет что-либо конкретное. Будем надеяться, что в будущем появится еще один Перельман и ему удастся разгадать эту загадку, которая мучает воображение многих. Кто знает, может быть, и самому Григорию Яковлевичу еще удастся это сделать.

Нобелевская премия по математике

Перельман не получил эту престижную награду за свое великое достижение. Странно, не правда ли? На самом деле это объясняется очень просто, если учесть, что такой награды просто не существует. Была создана целая легенда о причинах того, почему Нобель обделил представителей столь важной науки. И по сей день не вручается Нобелевская премия по математике. Перельман, вероятно, получил бы ее, если бы она существовала. Существует легенда, что причина неприятия Нобелем математиков следующая: именно к представителю этой науки от него ушла невеста. Так это или нет, но только с наступлением 21 века справедливость наконец восторжествовала. Именно тогда появилась другая премия для математиков. Расскажем вкратце о ее истории.

Как появилась премия института Клэя?

На математическом конгрессе, состоявшемся в 1900 году в Париже, предложил список, включающий 23 проблемы, которые нужно решить в новом, 20 веке. На сегодняшний день разрешена уже 21 из них. Кстати, выпускник матмеха ЛГУ Ю. В. Матиясевич в 1970 году завершил решение 10-й из этих проблем. В начале 21 века в американском институте Клэя был составлен подобный ему список, состоящий из семи задач по математике. Их следовало решить уже в 21 веке. Награда в миллион долларов была объявлена за решение каждой из них. Еще в 1904 году Пуанкаре сформулировал одну из этих задач. Он выдвинул гипотезу о том, что в все трехмерные поверхности, гомотипически эквивалентные сфере, являются гомеоморфными ей. Говоря простыми словами, если трехмерная поверхность похожа в чем-то на сферу, то существует возможность расправить ее в сферу. Это утверждение ученого иногда называют формулой Вселенной из-за его большой важности в понимании сложных физических процессов, а также из-за того, что ответ на него означает решение вопроса о форме Вселенной. Следует сказать и о том, что это открытие играет большую роль и в развитии нанотехнологий.

Итак, математический институт Клэя решил выбрать 7 самых трудных задач. За решение каждой из них было обещано по миллиону долларов. И вот появляется со сделанным им открытием Григорий Перельман. Премия по математике, конечно же, достается ему. Его заметили довольно быстро, так как он с 2002 года публиковал свои наработки на зарубежных интернет-ресурсах.

Как Перельман был удостоен премии Клэя

Итак, в марте 2010 года был удостоен заслуженной награды Перельман. Премия по математике означала получение внушительного состояния, размер которого составлял 1 млн долларов. Григорий Яковлевич должен был получить ее за доказательство Однако в июне 2010 года ученый проигнорировал проводимую в Париже математическую конференцию, на которой должно было состояться вручение этой награды. А 1 июля 2010 г. Перельман заявил о своем отказе публично. Более того, деньги, положенные ему, он так и не взял, несмотря на все просьбы.

Почему математик Перельман отказался от премии?

Григорий Яковлевич объяснил это тем, что совесть не дает ему получить миллион, положенный еще нескольким другим математикам. Ученый отметил, что у него было много причин как взять деньги, так и не брать их. Он долго не мог решиться. В качестве основной причины отказа от награды Григорий Перельман, математик, назвал несогласие с научным сообществом. Он отметил, что считает несправедливыми его решения. Григорий Яковлевич заявил, что считает, что вклад Гамильтона, немецкого математика, в решение этой задачи ничуть не меньше, чем его.

Кстати, несколько позже даже появился анекдот на эту тему: математикам надо почаще выделять миллионы, возможно, кто-нибудь все-таки решится их взять. Год спустя после отказа Перельмана Деметриосу Кристодулу и Ричарду Гамильтону был присужден Shaw Prize. Размер этой награды по математике составляет миллион долларов. Эту премию иногда именуют также Нобелевской премией Востока. Гамильтон получил ее за создание математической теории. Именно ее развил затем российский математик Перельман в своих работах, посвященных доказательству гипотезы Пуанкаре. Ричард эту награду принял.

Другие награды, от которых отказался Григорий Перельман

К слову, в 1996 году Григорию Яковлевичу была присуждена престижная премия для молодых математиков от Европейского математического сообщества. Однако он отказался получить ее.

Спустя 10 лет, в 2006 году, ученому присудили медаль Филдса за решение гипотезы Пуанкаре. Григорий Яковлевич отказался и от нее.

Журнал Science в 2006 г. назвал доказательство гипотезы, созданной Пуанкаре, научным прорывом года. Следует отметить, что это первая работа в области математики, которая заслужила такое звание.

Дэвид Грубер и Сильвия Назар в 2006 году опубликовали статью под названием Manifold Destiny. В ней говорится о Перельмане, о его решении проблемы Пуанкаре. Кроме того, в статье рассказывается о математическом сообществе и о существующих в науке этических принципах. В ней же представлено и редкое интервью с Перельманом. Немало говорится и о критике Яу Шинтана, китайского математика. Вместе с учениками он попробовал оспорить полноту представленного Григорием Яковлевичем доказательства. В интервью Перельман отметил: "Чужаками считаются не те, кто нарушает этические стандарты в науке. Люди, подобные мне, - вот кто оказывается в изоляции".

В сентябре 2011 г. отказался и от членства в Российской академии наук математик Перельман. Биография его представлена в книге, изданной в этом же году. Из нее можно узнать больше о судьбе этого математика, хотя собранная информация основана на свидетельстве третьих лиц. Автор ее - Книга была составлена на основании интервью с одноклассниками, учителями, коллегами и сослуживцами Перельмана. Сергей Рукшин, учитель Григория Яковлевича, отозвался о ней критически.

Григорий Перельман сегодня

И сегодня он ведет уединенный образ жизни. Всячески игнорирует прессу математик Перельман. Где живет он? До последнего времени Григорий Яковлевич проживал вместе с матерью в Купчино. А с 2014 года известный российский математик Григорий Перельман находится в Швеции.

"Зачем мне миллион?"

На весь мир известна история про гениального математика Григория Перельмана, доказавшего гипотезу Пуанкаре, который отказался от миллиона долларов. Недавно учёный-затворник объяснил, наконец, почему же он не взял заслуженную премию.

Началось всё с того, что журналист и продюсер кинокомпании «Президент-фильм» Александр Забровский догадался связаться с матерью Григория Яковлевича через еврейскую общину Петербурга. Ведь до этого все журналисты безрезультатно просиживали штаны на ступенях дома великого математика с целью взять у него интервью. Мать поговорила с сыном, дав журналисту хорошую характеристику, и только после этого Перельман согласился на встречу.

По словам Забровского, Григорий Яковлевич - вполне вменяемый и адекватный человек, а всё, что о нём говорили ранее - бред сивой кобылы. Он видит перед собой конкретную цель и знает, как к ней прийти.

Кинокомпания «Президент-фильм» с согласия Перельмана планирует снять о нем художественную ленту «Формула Вселенной». Математик и пошёл-то на контакт ради этого фильма, который будет не о нём, а о сотрудничестве и противоборстве трех основных мировых математических школ: российской, китайской и американской, наиболее продвинувшихся по стезе изучения и управления Вселенной. На вопрос о миллионе, который так волновал всех удивлённых и любопытных, Перельман ответил: «Я знаю, как управлять Вселенной. И скажите - зачем же мне бежать за миллионом?»

Учёный рассказал и про то, почему он не общается с журналистами. Причина в том, что их волнует не наука, а личная жизнь - стрижка ногтей и миллион. Его обижает, когда в прессе его называют Гришей, такую фамильярность математик считает неуважением к себе.

Со школьных лет Григорий Перельман привык «тренировать мозг», то есть решать задачи, которые заставляли мыслить абстрактно. И чтобы найти правильно решение, нужно было представить себе «кусочек мира». Например, математику предложили посчитать, с какой скоростью должен был идти Иисус Христос по воде, чтобы не провалиться. Оттуда и пошло желание Перельмана изучать свойства трехмерного пространства Вселенной.

Для чего же надо было столько лет биться над доказательством гипотезы Пуанкаре? Суть её такова: если трехмерная поверхность в чем-то похожа на сферу, то ее можно расправить в сферу. «Формулой Вселенной» утверждение Пуанкаре называют из-за его важности в изучении сложных физических процессов в теории мироздания и из-за того, что оно дает ответ на вопрос о форме Вселенной.

Григорий Яковлевич постиг таких сверхзнаний, которые помогают понять мироздание. И теперь математик постоянно под наблюдением российских и зарубежных спецслужб: а вдруг Перельман представляет угрозу для человечества? Ведь если с помощью его знаний можно свернуть Вселенную в точку, а потом ее развернуть, то мы можем погибнуть либо возродиться в ином качестве? И тогда мы ли это будем? И нужно ли нам вообще управлять Вселенной?

Доказательство длиною в век

Григорий Перельман окончательно и бесповоротно вошел в историю

Математический институт Клэя присудил Григорию Перельману Премию тысячелетия (Millennium Prize), тем самым официально признав верным доказательство гипотезы Пуанкаре, выполненное российским математиком. Примечательно, что при этом институту пришлось нарушить собственные правила - по ним на получение примерно миллиона долларов, именно таков размер премии, может претендовать только автор, опубликовавший свои работы в рецензируемых журналах. Работа Григория Перельмана формально так и не увидела свет - она осталась набором нескольких препринтов на сайте arXiv.org (один, два и три). Впрочем, не так важно, что стало причиной решения института - присуждение Премии тысячелетия ставит точку в истории длиной более чем в 100 лет.

Кружка, пончик и немного топологии

Прежде чем выяснить, в чем состоит гипотеза Пуанкаре, необходимо разобраться, что это за раздел математики - топология, - к которому эта самая гипотеза относится. Топология многообразий занимается свойствами поверхностей, которые не меняются при определенных деформациях. Поясним на классическом примере. Предположим, что перед читателем лежит пончик и стоит пустая чашка. С точки зрения геометрии и здравого смысла - это разные объекты хотя бы потому, что попить кофе из пончика не получится при всем желании.

Однако тополог скажет, что чашка и пончик - это одно и то же. И объяснит это так: вообразим, что чашка и пончик представляют собой полые внутри поверхности, изготовленные из очень эластичного материала (математик бы сказал, что имеется пара компактных двумерных многообразий). Проведем умозрительный эксперимент: сначала раздуем дно чашки, а потом ее ручку, после чего она превратится в тор (именно так математически называется форма пончика). Посмотреть, как примерно выглядит этот процесс можно.

Разумеется, у пытливого читателя возникает вопрос: раз поверхности можно мять, то как же их различать? Ведь, например, интуитивно понятно - как ни мни тор, без разрывов и склеек сферу из него не получишь. Тут в игру вступают так называемые инварианты - характеристики поверхности, которые не меняются при деформации, - понятие, необходимое для формулировки гипотезы Пуанкаре.

Здравый смысл подсказывает нам, что тор от сферы отличает дырка. Однако дырка - понятие далеко не математическое, поэтому его надо формализовать. Делается это так - представим, что на поверхности у нас имеется очень тонкая эластичная нить, образующая петлю (саму поверхность в этом умозрительном опыте, в отличие от предыдущего, считаем твердой). Будем двигать петлю, не отрывая ее от поверхности и не разрывая. Если нить можно стянуть до очень маленького кружочка (почти точки), то говорят, что петля стягиваема. В противном случае петля называется нестягиваемой.

Так вот, легко видеть, что на сфере любая петля стягиваема (как это примерно выглядит, можно посмотреть), а вот для тора это уже не так: на бублике есть целых две петли - одна продета в дырку, а другая обходит дырку "по периметру", - которые нельзя стянуть.

На этой картинке примеры нестягиваемых петель показаны красным и фиолетовым цветом соответственно. Когда на поверхности есть петли, математики говорят, что "фундаментальная группа многообразия нетривиальна", а если таких петель нет - то тривиальна.

Фундаментальная группа тора обозначается п1 (T2). Из-за того, что она нетривиальна, руки мыши образуют нестягиваемую петлю. Грусть на лице животного - результат осознания этого факта.

Так вот, легко видеть, что на сфере любая петля стягиваема, а вот для тора это уже не так: на бублике есть целых две петли - одна продета в дырку, а другая обходит дырку "по периметру", - которые нельзя стянуть. На этой картинке примеры нестягиваемых петель показаны красным и фиолетовым цветом соответственно.

Теперь, чтобы честно сформулировать гипотезу Пуанкаре, любознательному читателю осталось потерпеть еще немного: надо разобраться, что такое трехмерное многообразие в общем и трехмерная сфера в частности.

Вернемся на секундочку к поверхностям, которые мы обсуждали выше. Каждую из них можно разрезать на такие мелкие кусочки, что каждый будет почти напоминать кусочек плоскости. Так как у плоскости всего два измерения, то говорят, что и многообразие двумерно. Трехмерное многообразие - это такая поверхность, которую можно разрезать на мелкие кусочки, каждый из которых очень похож на кусочек обычного трехмерного пространства.

Главным "действующим лицом" гипотезы является трехмерная сфера. Представить себе трехмерную сферу как аналог обычной сферы в четырехмерном пространстве, не потеряв при этом рассудок, все-таки, наверное, невозможно. Однако описать этот объект, так сказать, "по частям" достаточно легко. Все, кто видел глобус, знают, что обычную сферу можно склеить из северного и южного полушария по экватору. Так вот, трехмерная сфера склеивается из двух шаров (северного и южного) по сфере, которая представляет собой аналог экватора.

На трехмерных многообразиях можно рассмотреть такие же петли, какие мы брали на обычных поверхностях. Так вот, гипотеза Пуанкаре утверждает: "Если фундаментальная группа трехмерного многообразия тривиальна, то оно гомеоморфно сфере". Непонятное словосочетание "гомеоморфно сфере" в переводе на неформальный язык означает, что поверхность можно продеформировать в сферу.

Немного истории

В 1887 году Пуанкаре представил работу на математический конкурс, посвященный 60-летию короля Швеции Оскара II. В ней обнаружилась ошибка, которая привела к появлению теории хаоса.

Вообще говоря, в математике можно сформулировать большое количество сложных утверждений. Однако что делает ту или иную гипотезу великой, отличает ее от остальных? Как это ни странно, но великую гипотезу отличает большое количество неправильных доказательств, в каждом из которых есть по великой ошибке - неточности, которая зачастую приводит к возникновению целого нового раздела математики.

Так, изначально Анри Пуанкаре, который отличался помимо всего прочего умением совершать гениальные ошибки, сформулировал гипотезу немного в другом виде, чем мы написали выше. Спустя некоторое время он привел контрпример к своему утверждению, который стал известен как гомологическая 3-сфера Пуанкаре, и в 1904 году сформулировал гипотезу уже в современном виде. Сферу, кстати, совсем недавно ученые приспособили в астрофизике - оказалось, что Вселенная вполне может оказаться гомологической 3-сферой Пуанкаре.

Надо сказать, что особого ажиотажа среди коллег-геометров гипотеза не вызвала. Так было до 1934 года, когда британский математик Джон Генри Уайтхед представил свой вариант доказательства гипотезы. Очень скоро, однако, он сам нашел в рассуждениях ошибку, которая позже привела к возникновению целой теории многообразий Уайтхеда.

После этого за гипотезой постепенно закрепилась слава крайне сложной задачи. Многие великие математики пытались взять ее приступом. Например, американский Эр Аш Бинг (R.H.Bing), математик, у которого (абсолютно официально) вместо имени в документах были записаны инициалы. Он предпринял несколько безуспешных попыток доказать гипотезу, сформулировав в ходе этого процесса собственное утверждение - так называемую "гипотезу о свойстве П" (Property P conjecture). Примечательно, что это утверждение, которое рассматривалось Бингом как промежуточное, оказалось чуть ли не сложнее доказательства самой гипотезы Пуанкаре.

Были среди ученых и люди, положившие жизнь на доказательство этого математического факта. Например, известный математик греческого происхождения Кристос Папакириакопоулос. В течение более десяти лет, Примечательно, что обобщение гипотезы Пуанкаре на многообразия размерности выше трех оказалось заметно проще оригинала - лишние размерности позволяли легче манипулировать многообразиями. Так, для n-мерных многообразий (при n не меньше 5) гипотеза была доказана Стивеном Смейлом в 1961 году. Для n = 4 гипотеза была доказана методом, совершенно отличным от смейловского, в 1982 году Майклом Фридманом. За свое доказательство последний получил Филдсовскую медаль - высшую награду для математиков. Работая в Принстоне, он безуспешно пытался доказать гипотезу. Он умер от рака в 1976 году. Примечательно, что обобщение гипотезы Пуанкаре на многообразия размерности выше трех оказалось заметно проще оригинала - лишние размерности позволяли легче манипулировать многообразиями. Так, для n-мерных многообразий (при n не меньше 5) гипотеза была доказана Стивеном Смейлом в 1961 году. Для n = 4 гипотеза была доказана методом, совершенно отличным от смейловского, в 1982 году Майклом Фридманом.
Описанные работы - это далеко не полный список попыток решения более чем столетней гипотезы. И хотя каждая из работ и привела к возникновению целого направления в математике и может считаться в этом смысле успешной и значимой, доказать гипотезу Пуанкаре окончательно удалось только россиянину Григорию Перельману.

Перельман и доказательство

В 1992 году Григорий Перельман, тогда сотрудник математического института им. Стеклова, попал на лекцию Ричарда Гамильтона. Американский математик рассказывал о потоках Риччи - новом инструменте для изучения гипотезы геометризации Терстона - факта, из которого гипотеза Пуанкаре получалась как простое следствие. Эти потоки, построенные в некотором смысле по аналогии с уравнениями теплопереноса, заставляли поверхности с течением времени деформироваться примерно так же, как в начале этой статьи мы деформировали двумерные поверхности. Оказалось, что в некоторых случаях результатом такой деформации оказывался объект, структуру которого легко понять. Основная трудность заключалась в том, что во время деформации возникали особенности с бесконечной кривизной, аналогичные в некотором смысле черным дырам в астрофизике.

После лекции Перельман подошел к Гамильтону. Позже он рассказывал, что Ричард его приятно удивил: "Он улыбался и был очень терпелив. Он даже рассказал мне несколько фактов, которые были опубликованы спустя лишь несколько лет. Он сделал это без колебаний. Его открытость и доброта поразили меня. Не могу сказать, что большинство современных математиков ведет себя так."

После поездки в США Перельман вернулся в Россию, где принялся трудиться над решением проблемы особенностей потоков Риччи и доказательством гипотезы геометризации (а вовсе не над гипотезой Пуанкаре) втайне от всех. Ничего удивительного, что появление 11 ноября 2002 года первого препринта Перельмана повергло математическую общественность в шок. Спустя некоторое время появилась еще пара работ.

После этого Перельман самоустранился от обсуждения доказательств и даже, говорят, прекратил заниматься математикой. Он не прервал своего уединенного образа жизни даже в 2006 году, когда ему была присуждена Филдсовская премия - самая престижная награда для математиков. Причины такого поведения автора обсуждать не имеет смысла - гений имеет право вести себя странно (например, будучи в Америке Перельман не стриг ногти, позволяя им свободно расти).

Как бы то ни было, доказательство Перельмана зажило
отдельной от него жизнью: три препринта не давали покоя математикам современности. Первые результаты проверки идей российского математика появились в 2006 году - крупные геометры Брюс Кляйнер и Джон Лотт из Мичиганского университета опубликовали препринт собственной работы, по размерам больше напоминающей книгу - 213 страниц. В этой работе ученые тщательно проверили все выкладки Перельмана, подробно пояснив различные утверждения, которые в работе российского математика были лишь вскользь обозначены. Вердикт исследователей был однозначен: доказательство абсолютно верное.

Неожиданный поворот в этой истории наступил в июле этого же года. В журнале Asian Journal of Mathematics появилась статья китайских математиков Сипин Чжу и Хуайдун Цао под названием "Полное доказательство гипотезы геометризации Терстона и гипотезы Пуанкаре". В рамках этой работы результаты Перельмана рассматривались как важные, полезные, но исключительно промежуточные. Данная работа вызвала удивление у специалистов на Западе, однако получила очень одобрительные отзывы на Востоке. В частности, результаты поддержал Шинтан Яу - один из основоположников теории Калаби-Яу, положившей начало теории струн, - а также учитель Цао и Джу. По счастливому стечению обстоятельств именно Яу был главным редактором журнала Asian Journal of Mathematics, в котором была опубликована работа.

После этого математик стал ездить по миру с популярными лекциями, рассказывая о достижениях китайских математиков. В результате возникла опасность, что очень скоро результаты Перельмана и даже Гамильтона окажутся отодвинуты на второй план. Такое в истории математики случалось не раз - многие теоремы, носящие имена конкретных математиков, были придуманы совершенно другими людьми.

Однако этого не случилось и, вероятно, теперь не случится. Вручение премии Клэя Перельману (даже если тот откажется) навсегда закрепило в общественном сознании факт: российский математик Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре. И неважно, что на самом деле он доказал факт более общий, развив по пути совершенно новую теорию особенностей потоков Риччи. Хотя бы так. Награда нашла героя.
Андрей Коняев

Подготовил: Сергей Коваль

Григорий Перельман окончательно и бесповоротно вошел в историю.

Кружка, пончик и немного топологии

Так вот, легко видеть, что на сфере любая петля стягиваема (как это примерно выглядит, можно посмотреть тут), а вот для тора это уже не так: на бублике есть целых две петли - одна продета в дырку, а другая обходит дырку "по периметру", - которые нельзя стянуть. На этой картинке примеры нестягиваемых петель показаны красным и фиолетовым цветом соответственно. Когда на поверхности есть петли, математики говорят, что "фундаментальная группа многообразия нетривиальна", а если таких петель нет - то тривиальна.

Немного истории

Описанные работы - это далеко не полный список попыток решения более чем столетней гипотезы. И хотя каждая из работ и привела к возникновению целого направления в математике и может считаться в этом смысле успешной и значимой, доказать гипотезу Пуанкаре окончательно удалось только россиянину Григорию Перельману.

Перельман и доказательство

В 1992 году Григорий Перельман , тогда сотрудник математического института им. Стеклова, попал на лекцию Ричарда Гамильтона. Американский математик рассказывал о потоках Риччи - новом инструменте для изучения гипотезы геометризации Терстона - факта, из которого гипотеза Пуанкаре получалась как простое следствие. Эти потоки, построенные в некотором смысле по аналогии с уравнениями теплопереноса, заставляли поверхности с течением времени деформироваться примерно так же, как в начале этой статьи мы деформировали двумерные поверхности. Оказалось, что в некоторых случаях результатом такой деформации оказывался объект, структуру которого легко понять. Основная трудность заключалась в том, что во время деформации возникали особенности с бесконечной кривизной, аналогичные в некотором смысле черным дырам в астрофизике.

Как бы то ни было, доказательство Перельмана зажило отдельной от него жизнью: три препринта не давали покоя математикам современности. Первые результаты проверки идей российского математика появились в 2006 году - крупные геометры Брюс Кляйнер и Джон Лотт из Мичиганского университета опубликовали препринт собственной работы, по размерам больше напоминающей книгу - 213 страниц. В этой работе ученые тщательно проверили все выкладки Перельмана, подробно пояснив различные утверждения, которые в работе российского математика были лишь вскользь обозначены. Вердикт исследователей был однозначен: доказательство абсолютно верное.

Фото Н. Четвериковой Последним великим достижением чистой математики называют доказательство петербуржцем Григорием Перельманом в 2002—2003 годах гипотезы Пуанкаре, высказанной в 1904 году и гласящей: «всякое связное, односвязное, компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно сфере S 3 ».

В этой фразе имеется несколько терминов, которые я постараюсь объяснить так, чтобы их общий смысл стал понятен нематематикам (я предполагаю, что читатель закончил среднюю школу и кое-что из школьной математики еще помнит).

Начнем с понятия гомеоморфизма, центрального в топологии. Вообще, топологию часто определяют как «резиновую геометрию», т. е. как науку о свойствах геометрических образов, которые не меняются при плавных деформациях без разрывов и склеек, а точнее, при возможности установить между двумя объектами взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное соответствие.

Главную идею проще всего объяснить на классическом примере кружки и бублика. Первую можно превратить во второй непрерывной деформацией: Эти рисунки наглядно показывают, что кружка гомеоморфна бублику, причем этот факт верен как для их поверхностей (двумерных многообразий, называемых тором), так и для заполненных тел (трехмерных многообразий с краем).

Приведем толкование остальных терминов, фигурирующих в формулировке гипотезы.

1. Трехмерное многообразие без края. Это такой геометрический объект, у которого каждая точка имеет окрестность в виде трехмерного шара. Примерами 3-многообразий может служить, во-первых, всё трехмерное пространство, обозначаемое R 3 , а также любые открытые множества точек в R 3 , к примеру внутренность полнотория (бублика). Если рассмотреть замкнутое полно-торие, т. е. добавить и его граничные точки (поверхность тора), то мы получим уже многообразие с краем -у краевых точек нет окрестностей в виде шарика, но лишь в виде половинки шарика.

2. Связное. Понятие связности здесь самое простое. Многообразие связно, если оно состоит из одного куска, или, что-то же самое, любые две его точки можно соединить непрерывной линией, не выходящей за его пределы.

3. Односвязное. Понятие односвязности сложнее. Оно означает, что любую непрерывную замкнутую кривую, расположенную целиком в пределах данного многообразия, можно плавно стянуть в точку, не покидая этого многообразия. Например, обычная двумерная сфера в R 3 односвязна (кольцевую резинку, как угодно приложенную к поверхности яблока, можно плавной деформацией стянуть в одну точку, не отрывая резинки от яблока). С другой стороны, окружность и тор неодносвязны.

4. Компактное. Многообразие компактно, если любой его гомео-морфный образ имеет ограниченные размеры. Например, открытый интервал на прямой (все точки отрезка, кроме его концов) некомпактен, так как его можно непрерывно растянуть до бесконечной прямой. А вот замкнутый отрезок (с концами) является компактным многообразием с краем: при любой непрерывной деформации концы переходят в какие-то определенные точки, и весь отрезок обязан переходить в ограниченную кривую, соединяющую эти точки.

Размерность многообразия -это число степеней свободы у точки, которая на нем «живет». У каждой точки есть окрестность в виде диска соответствующей размерности, т. е. интервала прямой в одномерном случае, круга на плоскости в двумерном, шара в трехмерном и т. д. Одномерных связных многообразий без края с точки зрения топологии всего два: это прямая и окружность. Из них только окружность компактна.

Примером пространства, не являющегося многообразием, может служить, например, пара пересекающихся линий — ведь у точки пересечения двух линий любая окрестность имеет форму креста, у нее нет окрестности, которая была бы сама по себе просто интервалом (а у всех других точек такие окрестности есть). Математики в таких случаях говорят, что мы имеем дело с особым многообразием, у которого есть одна особая точка.

Двумерные компактные многообразия хорошо известны. Если рассматривать только ориентируемые 1 многообразия без края, то они с топологической точки зрения составляют простой, хотя и бесконечный, список: и так далее. Каждое такое многообразие получается из сферы приклеиванием нескольких ручек, число которых называется родом поверхности.

1 За неимением места, я не буду говорить о неориентируемых многообразиях, примером которых может служить известная бутылка Клейна — поверхность, которую нельзя вложить в пространство без самопересечений.

На рисунке изображены поверхности рода 0, 1, 2 и 3. Чем выделяется сфера из всех поверхностей этого списка? Оказывается, односвязностью: на сфере любую замкнутую кривую можно стянуть в точку, а на любой другой поверхности всегда можно указать кривую, которую стянуть в точку по поверхности невозможно.

Любопытно, что и трехмерные компактные многообразия без края можно в некотором смысле классифицировать, т. е. выстроить в некоторый список, хотя не такой прямолинейный, как в двумерном случае, а имеющий довольно сложную структуру. Тем не менее, трехмерная сфера S 3 выделяется в этом списке точно так же, как двумерная сфера в списке, приведенном выше. Тот факт, что любая кривая на S 3 стягивается в точку, доказывается столь же просто, как и в двумерном случае. А вот обратное утверждение, а именно, что это свойство уникально именно для сферы, т. е. что на любом другом трехмерном многообразии есть нестягиваемые кривые, очень трудное и в точности составляет содержание гипотезы Пуанкаре, о которой мы ведем речь.

Важно понимать, что многообразие может жить само по себе, о нем можно мыслить как о независимом объекте, никуда не вложенном. (Представьте себе жизнь двумерных существ на поверхности обычной сферы, не подозревающих о существовании третьего измерения.) К счастью, все двумерные поверхности из приведенного выше списка можно вложить в обычное пространство R 3 , что облегчает их визуализацию. Для трехмерной сферы S 3 (и вообще для любого компактного трехмерного многообразия без края) это уже не так, поэтому необходимы некоторые усилия для того, чтобы понять ее строение.

По-видимому, простейший способ объяснить топологическое устройство трехмерной сферы S 3 — это при помощи одноточечной компактифика-ции. А именно, трехмерная сфера S 3 представляет собой одноточечную компактификацию обычного трехмерного (неограниченного) пространства R 3 .

Поясним эту конструкцию сначала на простых примерах. Возьмем обычную бесконечную прямую (одномерный аналог пространства) и добавим к ней одну «бесконечно удаленную» точку, считая, что при движении по прямой вправо или влево мы в конце концов попадаем в эту точку. С топологической точки зрения нет разницы между бесконечной прямой и ограниченным открытым отрезком (без концевых точек). Такой отрезок можно непрерывно изогнуть в виде дуги, свести поближе концы и вклеить в место стыка недостающую точку. Мы получим, очевидно, окружность — одномерный аналог сферы.

Подобным же образом, если я возьму бесконечную плоскость и добавлю одну точку на бесконечности, к которой стремятся все прямые исходной плоскости, проходимые в любом направлении, то мы получим двумерную (обычную) сферу S 2 . Эту процедуру можно наблюдать при помощи стереографической проекции, которая каждой точке P сферы, за исключением северного полюса N, ставит в соответствие некоторую точку плоскости P":

Таким образом, сфера без одной точки — это топологически все равно, что плоскость, а добавление точки превращает плоскость в сферу.

В принципе, точно такая же конструкция применима и к трехмерной сфере и трехмерному пространству, только для ее осуществления необходим выход в четвертое измерение, и на чертеже это не так просто изобразить. Поэтому я ограничусь словесным описанием одноточечной компактификации пространства R 3 .

Представьте себе, что к нашему физическому пространству (которое мы, вслед за Ньютоном, считаем неограниченным евклидовым пространством с тремя координатами x, y, z) добавлена одна точка «на бесконечности» таким образом, что при движении по прямой в любом направлении вы в нее попадаете (т.е. каждая пространственная прямая замыкается в окружность). Тогда мы получим компактное трехмерное многообразие, которое и есть по определению сфера S 3 .

Легко понять, что сфера S 3 односвязна. В самом деле, любую замкнутую кривую на этой сфере можно немного сдвинуть, чтобы она не проходила через добавленную точку. Тогда мы получим кривую в обычном пространстве R 3 , которая легко стягивается в точку посредством гомотетий, т. е. непрерывного сжатия по всем трем направлениям.

Для понимания, как устроено многообразие S 3 , весьма поучительно рассмотреть его разбиение на два полнотория. Если из пространства R 3 выбросить полноторие, то останется нечто не очень понятное. А если пространство компактифицировать в сферу, то это дополнение превращается тоже в полноторие. То есть сфера S 3 разбивается на два полнотория, имеющих общую границу — тор.

Вот как это можно понять. Вложим тор в R 3 как обычно, в виде круглого бублика, и проведем вертикальную прямую — ось вращения этого бублика. Через ось проведем произвольную плоскость, она пересечет наше полноторие по двум кругам, показанным на рисунке зеленым цветом, а дополнительная часть плоскости разбивается на непрерывное семейство красных окружностей. К их числу относится и центральная ось, выделенная более жирно, потому что в сфере S 3 прямая замыкается в окружность. Трехмерная картина получается из этой двумерной вращением вокруг оси. Полный набор повернутых окружностей заполнит при этом трехмерное тело, гомео-морфное полноторию, только выглядящее необычно.

В самом деле, центральная ось будет в нем осевой окружностью, а остальные будут играть роль параллелей — окружностей, составляющих обычное полноторие.

Чтобы было с чем сравнивать 3-сферу, я приведу еще один пример компактного 3-многообразия, а именно трехмерный тор. Трехмерный тор можно построить следующим образом. Возьмем в качестве исходного материала обычный трехмерный куб:

В нем имеется три пары граней: левая и правая, верхняя и нижняя, передняя и задняя. В каждой паре параллельных граней отождествим попарно точки, получающиеся друг из друга переносом вдоль ребра куба. То есть будем считать (чисто абстрактно, без применения физических деформаций), что, например, A и A" - это одна и та же точка, а B и B" - тоже одна точка, но отличная от точки A. Все внутренние точки куба будем рассматривать как обычно. Сам по себе куб-это многообразие с краем, но после проделанных склеек край замыкается сам на себя и исчезает. В самом деле, окрестностями точек A и A" в кубе (они лежат на левой и правой заштрихованных гранях) служат половинки шаров, которые после склейки граней сливаются в целый шарик, служащий окрестностью соответствующей точки трехмерного тора.

Чтобы ощутить устройство 3-тора исходя из обыденных представлений о физическом пространстве, нужно выбрать три взаимно перпендикулярных направления: вперед, влево и вверх — и мысленно считать, как в фантастических рассказах, что при движении в любом из этих направлений достаточно долгое, но конечное время, мы вернемся в исходную точку, но с противоположного направления Это тоже «компактификация пространства», но не одноточечная, использованная раньше для построения сферы, а более сложная.

На трехмерном торе есть нестягиваемые пути; например, таковым является отрезок AA" на рисунке (на торе он изображает замкнутый путь). Его нельзя стянуть, потому что при любой непрерывной деформации точки A и A" обязаны двигаться по своим граням, оставаясь строго друг напротив друга (иначе кривая разомкнется).

Итак, мы видим, что бывают односвязные и неодносвязные компактные 3-многообразия. Перельман доказал, что односвязное многообразие ровно одно.

Исходной идеей доказательства является использование так называемого «потока Риччи»: мы берем односвязное компактное 3-многообразие, наделяем его произвольной геометрией (т.е. вводим некоторую метрику с расстояниями и углами), а затем рассматриваем его эволюцию вдоль потока Риччи. Ричард Гамильтон, который высказал эту идею в 1981 году, надеялся, что при такой эволюции наше многообразие превратится в сферу. Оказалось, что это неверно, — в трехмерном случае поток Риччи способен портить многообразие, т. е. делать из него немногообразие (нечто с особыми точками, как в приведенном выше примере пересекающихся прямых). Перельману путем преодоления неимоверных технических трудностей, с использованием тяжелого аппарата уравнений с частными производными, удалось внести поправки в поток Риччи вблизи особых точек таким образом, что при эволюции топология многообразия не меняется, особых точек не возникает, а в конце концов оно превращается в круглую сферу. Но нужно объяснить наконец, что же такое этот поток Риччи. Потоки, использованные Гамильтоном и Перельманом, относятся к изменению внутренней метрики на абстрактном многообразии, и это объяснить довольно трудно, поэтому я ограничусь описанием «внешнего» потока Риччи на одномерных многообразиях, вложенных в плоскость.

Представим себе гладкую замкнутую кривую на евклидовой плоскости, выберем на ней направление и рассмотрим в каждой точке касательный вектор единичной длины. Тогда при обходе кривой в выбранном направлении этот вектор будет поворачиваться с какой-то угловой скоростью, которая называется кривизной. В тех местах, где кривая изогнута круче, кривизна (по абсолютной величине) будет больше, а там, где она более плавная, кривизна будет меньше.

Кривизну будем считать положительной, если вектор скорости поворачивает в сторону внутренней части плоскости, разбитой нашей кривой на две части, и отрицательной, если он поворачивает вовне. Это соглашение на зависит от направления обхода кривой. В точках перегиба, где вращение меняет направление, кривизна будет равна 0. Например, окружность радиуса 1 имеет постоянную положительную кривизну, равную 1 (если считать ее в радианах).

Теперь забудем про касательные векторы и к каждой точке кривой прикрепим, наоборот, перпендикулярный ей вектор, по длине равный кривизне в данной точке и направленный вовнутрь, если кривизна положительна, и вовне, если отрицательна, а затем заставим каждую точку двигаться в направлении соответствующего вектора со скоростью, пропорциональной его длине. Вот пример:

Оказывается, что любая замкнутая кривая на плоскости ведет себя при такой эволюции подобным же образом, т. е. превращается в конце концов в окружность. Это и есть доказательство одномерного аналога гипотезы Пуанкаре при помощи потока Риччи (впрочем, само утверждение в данном случае и так очевидно, просто способ доказательства иллюстрирует, что происходит в размерности 3).

Заметим в заключение, что рассуждение Перельмана доказывает не только гипотезу Пуанкаре, но и гораздо более общую гипотезу геометризации Тёрстона, которая в известном смысле описывает устройство всех вообще компактных трехмерных многообразий. Но этот предмет лежит уже за рамками настоящей элементарной статьи.

Сергей Дужин,
докт.физ.-мат. наук,
старший научный сотрудник
Санкт-Петербургского отделения
Математического института РАН

ИГРА РАЗУМА

Еще недавно математика не сулила ни славы, ни богатства своим «жрецам». Им даже Нобелевскую премию не давали. Нет такой номинации. Ведь, по весьма популярной легенде, жена Нобеля однажды изменила ему с математиком. И в отместку богач лишил всю их крючкотворную братию своего уважения и призовых денег.

Ситуация изменилась в 2000 году. Частный математический Институт Клэя (Clay Mathematics Institute) выбрал семь наиболее трудных задач. И пообещал за решение каждой платить по миллиону долларов. На математиков посмотрели с уважением. В 2001 году на экраны даже вышел фильм «Игры разума», главным героем которого стал математик.

Ныне только далекие от цивилизации люди не в курсе: один из обещанных миллионов - самый первый - уже присужден. Приза удостоен российский гражданин, житель Санкт-Петербурга Григорий Перельман за решение гипотезы Пуанкаре , которая его стараниями стала теоремой. 44-летний бородач утер нос всему миру. И теперь продолжает держать его - мир - в напряжении. Поскольку неизвестно, возьмет ли математик честно заслуженный миллион долларов или откажется. Прогрессивная общественность во многих странах натурально волнуется. По крайней мере газеты всех континентов ведут хронику финансово-математической интриги.

И на фоне этих увлекательных занятий - гаданий и дележа чужих денег - как-то потерялся смысл достижения Перельмана. Президент Института Клэя Джим Карлсон, конечно, заявлял в свое время, мол, цель призового фонда - не столько поиск ответов, сколько попытка повысить престиж математической науки и заинтересовать ею молодых людей. Но все-таки в чем суть?

ГИПОТЕЗА ПУАНКАРЕ - ЭТО ЧТО?

Загадка, разгаданная российским гением, затрагивает основы раздела математики, именуемого топологией. Ее - топологию - часто называют «геометрией на резиновом листе». Она имеет дело со свойствами геометрических форм, которые сохраняются, если форма растягивается, скручивается, изгибается. Иными словами, деформируется без разрывов, разрезов и склеек.

Топология важна для математической физики, поскольку позволяет понять свойства пространства. Или оценить его, не имея возможности взглянуть на форму этого пространства со стороны. Например, на нашу Вселенную.

Объясняя про гипотезу Пуанкаре, начинают так: представьте себе двухмерную сферу - возьмите резиновый диск и натяните его на шар. Так, чтобы окружность диска оказалась собранной в одной точке. Аналогичным образом, к примеру, можно стянуть шнуром спортивный рюкзак. В итоге получится сфера: для нас - трехмерная, но с точки зрения математики - всего лишь двухмерная.

Затем предлагают натянуть тот же диск на бублик. Вроде бы получится. Но края диска сойдутся в окружность, которую уже не стянуть в точку - она разрежет бублик.

Как написал в своей популярной книге другой российский математик, Владимир Успенский , «в отличие от двухмерных сфер трехмерные сферы недоступны нашему непосредственному наблюдению, и нам представить себе их так же трудно, как Василию Ивановичу из известного анекдота квадратный трехчлен».

Так вот, согласно гипотезе Пуанкаре, трехмерная сфера - это единственная трехмерная штуковина, поверхность которой может быть стянута в одну точку неким гипотетическим «гипершнуром».

Жюль Анри Пуанкаре предположил такое в 1904 году. Теперь Перельман убедил всех понимающих, что французский тополог был прав. И превратил его гипотезу в теорему.

Доказательство помогает понять, какая форма у нашей Вселенной. И позволяет весьма обоснованно предположить, что она и есть та самая трехмерная сфера. Но если Вселенная - единственная «фигура», которую можно стянуть в точку, то, наверное, можно и растянуть из точки. Что служит косвенным подтверждением теории Большого взрыва, которая утверждает: как раз из точки Вселенная и произошла.

Получается, что Перельман вместе с Пуанкаре огорчили так называемых креационистов - сторонников божественного начала мироздания. И пролили воду на мельницу физиков-материалистов.

А В ЭТО ВРЕМЯ

Гений пока не отказался от миллиона долларов

Математик упорно отказывает в общении журналистам. Нашим - совсем: даже голоса не подает. Западным - бросает реплики через закрытую дверь. Мол, отстаньте. Общается гений, похоже, лишь с президентом Института Клэя Джимом Карлсоном .

Сразу же после того как стало известно про миллион долларов Григория Перельмана, Карлсон на вопрос «Что решил гений?» ответил: «Он даст мне знать в свое время». То есть намекнул, что поддерживает с Григорием связь.

На днях от президента поступило новое сообщение. Его донесла до общественности британская газета The Telegraph: «Он сказал, что в какой-то момент сообщит мне о своем решении. Но он не сказал хотя бы приблизительно, когда это будет. Я не думаю, что это будет прямо завтра».

По словам президента, говорил гений сухо, но вежливо. Был краток. В оправдание Перельмана Карлсон заметил: «Не каждый день человек даже в шутку думает о возможности отказаться от миллиона долларов».

КСТАТИ

За что еще дадут миллион долларов

1. Проблема Кука

Нужно определить, может ли проверка правильности решения какой-либо задачи быть более длительной, чем получение самого решения. Эта логическая задача важна для специалистов по криптографии - шифрованию данных.

2. Гипотеза Римана

Существуют так называемые простые числа, например 2, 3, 5, 7 и т. д., которые делятся только сами на себя. Сколько их всего, неизвестно. Риман полагал, что это можно определить и найти закономерность их распределения. Кто найдет - тоже окажет услугу криптографии.

3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера

Проблема связана с решением уравнений с тремя неизвестными, возведенными в степени. Нужно придумать, как их решать, независимо от сложности.

4. Гипотеза Ходжа

В ХХ веке математики открыли метод исследования формы сложных объектов. Идея в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые «кирпичики», которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Нужно доказать, что такое допустимо всегда.

5. Уравнения Навье - Стокса

О них стоит вспомнить в самолете. Уравнения описывают воздушные потоки, которые удерживают его в воздухе. Сейчас уравнения решают приблизительно, по приблизительным формулам. Нужно найти точные и доказать, что в трехмерном пространстве существует решение уравнений, которое всегда верно.

6. Уравнения Янга - Миллса

В мире физики есть гипотеза: если элементарная частица обладает массой, то существует и ее нижний предел. Но какой - непонятно. Нужно до него добраться. Это, пожалуй, самая сложная задачка. Для ее решения необходимо создать «теорию всего» - уравнения, объединяющие все силы и взаимодействия в природе. Тот, кто сумеет, наверняка получит и Нобелевскую премию.

Разделы