Как выделять целую часть из неправильной дроби. Смешанные числа, перевод смешанного числа в неправильную дробь и обратно

§ 1 Выделение целой части из неправильной дроби

В этом уроке Вы научитесь переводить неправильную дробь в смешанное число с помощью выделения целой части, а также наоборот получать из смешанного числа неправильную дробь.

Для начала вспомним, что такое смешанное число и неправильная дробь.

Смешанное число - это особая форма записи числа, которая содержит целую и дробную части.

Неправильная дробь - это дробь, числитель которой больше или равен знаменателю.

Рассмотрим задачу:

Разделим 8 конфет на троих ребят. Сколько достанется каждому?

Чтобы узнать, сколько конфет получит каждый ребенок, надо

Но в ответе не принято записывать неправильную дробь. Ее предварительно заменяют либо равным ей натуральным числом (когда числитель делится нацело на знаменатель), либо проводят так называемое выделение целой части из неправильной дроби (когда числитель не делится нацело на знаменатель).

Выделение целой части из неправильной дроби - это замена дроби равным ей смешанным числом.

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, нужно числитель разделить на знаменатель с остатком. При этом неполное частное будет являться целой частью, остаток - числителем, а делитель - знаменателем.

Вернемся к задаче.

Итак, 8 разделим на 3 с остатком, получим в неполном частном 2 и в остатке 2.

§ 2 Представление смешанного числа в виде неправильной дроби

Давайте выполним следующее задание:

Разделим 49 на 13, получаем в неполном частном 3 (это будет целой частью) и в остатке 10 (это запишем в числитель дробной части).

Для выполнения различных действий со смешанными числами оказывается полезным навык представления смешанных чисел в виде неправильных дробей. Пришло время разобраться, как осуществляется такой перевод.

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно знаменатель дроби умножить на целую часть и к полученному произведению прибавить числитель. В результате мы получим число, которое будет являться числителем новой дроби, а знаменатель остается без изменения.

Первый шаг - умножим целую часть 5 на знаменатель 7, получим 35.

Второй шаг - к полученному произведению 35 прибавим числитель 4, будет 39.

Теперь запишем 39 в числитель, а в знаменателе оставим 7.

Таким образом, на этом уроке Вы научились переводить неправильную дробь в смешанное число, для этого нужно числитель разделить на знаменатель с остатком. Тогда неполное частное будет являться целой частью, остаток - числителем, а делитель - знаменателем дробной части смешанного числа.

Также Вы познакомились с представлением смешанного числа в виде неправильной дроби. Для того, чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби нужно знаменатель дробной части смешанного числа умножить на целую часть и к полученному произведению прибавить числитель.

Список использованной литературы:

1. Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 31-е изд., стер. - М: 2013.
2. Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор - Попов М.А. - 2013 год
3. Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор - Минаева С.С. - 2014 год
4. Дидактические материалы по математике 5 класс. Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. - 2010 год
5. Контрольные и самостоятельные работы по математике 5 класс. Авторы - Попов М.А. - 2012 год
6. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009

Запомните!

У неправильной дроби числитель равен или больше знаменателя. Поэтому неправильная дробь или равна единице или больше единицы.

Любая неправильная дробь всегда больше правильной.

Как выделить целую часть

У неправильной дроби можно выделить целую часть. Рассмотрим, как это можно сделать.

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть надо:

1. разделить с остатком числитель на знаменатель;
2. полученное неполное частное записываем в целую часть дроби;
3. остаток записываем в числитель дроби;
4. делитель записываем в знаменатель дроби.

Запомните!

Полученное число выше, содержащее целую и дробную часть, называют смешанным числом .

Мы получили смешанное число из неправильной дроби, но можно выполнить и обратное действие, то есть представить смешанное число в виде неправильной дроби .

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби надо:

1. умножить его целую часть на знаменатель дробной части;
2. к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
3. записать полученную сумму из пункта 2 в числитель дроби, а знаменатель дробной части оставить прежним.

Пример. Представим смешанное число в виде неправильной дроби.

Урок математики в 4 классе тема: Выделение целой части из неправильной дроби Тема урока: Выделение целой части из неправильной дроби. Дидактическая цель: создать условия для формирования новой учебной информации. Цели и задачи урока: 1. Сформировать понятие смешанного числа. 2.Сформировать умение выделять целую часть из неправильной дроби. 3. Развивать вычислительные навыки. 4. Развивать умение анализировать и решать текстовые задачи на нахождение части от числа и числа по его части. 5. Развивать логическое мышление учащихся. Планируемые результаты обучения, формирования УУД: Предметные: расширять понятие числа, формировать умения по переводу неправильных дробей в смешанные числа и применять полученные знания и умения при выполнении различных заданий. Метапредметные: развивать умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни. Познавательные УУД: развивать представления о числе; умение работать с учебником, дополнительными источниками информации (анализировать, извлекать необходимую информацию); умение делать обобщение, выводы, устанавливать причинно­следственные связи. Коммуникативные УУД: воспитывать уважение друг к другу, развивать умение вступать в учебный диалог с учителем, с одноклассниками, соблюдая нормы речевого поведения, умение задавать вопросы, слушать и отвечать на вопросы других, умение выдвигать гипотезу. Регулятивные УУД: определять цель задания, учиться планировать этапы работы, контролировать свои действия, обнаруживать и исправлять ошибки, критически оценивать результаты своей работы и работы всех, исходя из имеющихся критериев, формировать способность к мобилизации сил и энергии, к преодолению препятствий. Личностные УУД: формировать учебную мотивацию, инициативность, развивать навыки грамотной устной и письменной математической речи, способность к самооценке своих действий. Ресурсы: мультимедийный проектор, презентация. Тип урока: изучение нового материала. Этап урока Деятельность учителя Деятельность ученика Организацион ный момент Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей. . Включаются в деловой ритм урока. Используемые методы, приемы, формы Словесные Формируемые УУД Уметь оформлять свои мысли в устной форме (Коммуникативные УУД). Умение слушать и понимать речь других (Коммуникативные УУД). ­Как вы поняли из прочитанного, сегодня на уроке мы продолжим работу над дробями. ­Ребята, на уроке вы должны открыть новые знания, но, как известно, каждые новые знания связаны с тем, что мы уже изучили. Поэтому, начнём мы с повторения. Устный счёт Актуализац ия знаний и умений Практические Ответы записывают в столбик, проверяем ответы по слайдам. на уроке проговаривать Уметь последовательность действий (Регулятивные УУД). Уметь преобразовывать информацию из одной формы в другую (Познавательные УУД) .Уметь оформлять свои мысли в устной и письменной форме (Коммуникативное УУД). Блиц опрос: ­Какими правилами вы пользовались когда: 1.Находили сумму дробей. 2.Находили разность дробей. 3.Находили число по части. 4.Находили часть по числу. Рассказывают правила. Участие в беседе с учителем. Уметь оформлять свои мысли в устной форме (Коммуникативные УУД). Уметь ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя (Познавательные УУД). Умение слушать и понимать речь других (Коммуникативные УУД). Целеполагани е и мотивация 3. Постановка проблемы Словесные Уметь оформлять свои мысли в устной форме (Коммуникативные УУД). Уметь ориентироваться в. . своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью (Познавательные учителя УУД). Дети высказывают варианты свои решений. 4. «Формулирование проблемы и цели урока ­Выделите из этой дроби целую часть. Что предлагаете? ­Как вы думаете, какую же цель урока мы поставим? Формулируется цель урока и тема учащимися. Цель: Научиться выделять целую часть из неправильной дроби Словесные, практические Уметь добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на (Познавательные уроке УУД). Уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь (Коммуникативные других УУД). Итак, любую неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа. Целая часть - это натуральное число, а дробная часть­ правильная дробь. . . Составление алгоритма. Словесно­ наглядно­ практический, репродуктивный анализ на работать уроке проговаривать по Уметь коллективно составленному плану (Регулятивные УУД). Уметь последовательность действий (Регулятивные УУД). Уметь оформлять свои мысли в устной и письменной форме; слушать и понимать речь других (Коммуникативные УУД) Уметь последовательность действий (Регулятивные УУД). Уметь выполнять работу по предложенному плану (Регулятивные УУД). проговаривать уроке на Усвоение новых знаний и способов усвоения 5.Открытие нового: Объяснение на доске. ­Запишите дробь 16/5 в виде частного ­ Какое правило использовали, чтобы из неправильной дроби выделить целую часть Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть надо: разделить с остатком числитель на знаменатель; полученное неполное частное записать в Уметь вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки и учёта характера сделанных ошибок (Регулятивные УУД). Способность к самооценке на критерия успешности учебной деятельности (Личностные УУД). основе целую часть дроби; остаток записать в числитель дроби; делитель записать в знаменатель дроби. 16:5=3(ост. 1)) 3 – целое число 1 – числитель 5 – знаменатель 16/5 = 3 1/5 Чтение правила в учебнике на С. 26, №3 – у доски 1 пример с объяснением. Остальные с комментированием. №4(а,б,в) – самостоятельно. Взаимопроверка. ­ m целое, n и b части ­ В дроби всегда целое это числитель. Ребята говорят правило­ чтобы найти целое нужно умножить 6.Формулирование нового знания. ­ Подтвердим своё высказывание правилом в учебнике. 7. Первичное закрепление 8. Физкультминутка 9. Повторение изученного Запись на доске: m/n = b ­ Выделите где в дроби целое и части? ­ Как найти целое? ­ Применяя правило, решим уравнение. части С. 28, задача10. ­ Какие дополнительные вопросы можно поставить? С. 27, №8 – у доски (а,б,в) – решают 3 ученика. Остальные решают в парах (г).­ Проверка Разбор задачи. Самостоятельная запись решения. Отвечая на вопросы, анализируют свою работу на уроке Подведение итогов урока Словесный, анализ 10. Итог урока: ­ Чему учились на уроке? ­Выделять целую часть из неправильной дроби. Словесно­ наглядный ­ К какому выводу пришли? надо Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть её числитель разделить на знаменатель, частное будет целой частью, остаток числителем, а делитель знаменателем дроби. ­ А сейчас проверим себя, как вы этому научились. Выполняют самостоятельно. (взаимопроверка). Информация о домашнем задании Рефлексия 11. Домашнее задание: C. 26, №4 (г,д,е), выучить правило на с. 26 и с. 28 №11 Если вы считаете, что вы поняли тему сегодняшнего урока, то раскрасте листочек зелёным карандашом. что не Если вы считаете, достаточно усвоили материал ­жёлтым. Если вы считаете, что вы не поняли тему сегодняшнего урока­ красным. Самооценка Уметь оценивать правильность выполнения действия уровне адекватной ретроспективной оценки. (Регулятивные УУД). на основе Способность к самооценке критерия на успешности учебной деятельности (Личностные УУД).

В этой статье мы поговорим про смешанные числа . Сначала дадим определение смешанных чисел и приведем примеры. Дальше остановимся на связи между смешанными числами и неправильными дробями. После этого покажем, как перевести смешанное число в неправильную дробь. Наконец, изучим обратный процесс, который называется выделением целой части из неправильной дроби.

Навигация по странице.

Смешанные числа, определение, примеры

Математики договорились, что сумму n+a/b , где n - натуральное число , a/b – правильная обыкновенная дробь , можно записывать без знака сложения в виде . Например, сумму 28+5/7 можно кратко записать как . Такую запись назвали смешанной, а число, которое соответствует данной смешанной записи, назвали смешанным числом.

Так мы подошли к определению смешанного числа.

Определение.

Смешанное число – это число, равное сумме натурального числа n и правильной обыкновенной дроби a/b , и записанное в виде . При этом число n называют целой частью числа , а число a/b называют дробной частью числа .

По определению смешанное число равно сумме свой целой и дробной части, то есть, справедливо равенство , которое можно записать и так: .

Приведем примеры смешанных чисел . Число - это смешанное число, натуральное число 5 – целая часть числа , а - дробная часть числа . Другими примерами смешанных чисел являются .

Иногда можно встретить числа в смешанной записи, но имеющие дробной частью неправильную дробь, например, или . Эти числа понимают как сумму их целой и дробной части, например, и . Но такие числа не подходят под определение смешанного числа, так как дробной частью смешанных чисел должна быть правильная дробь.

Число - это тоже не смешанное число, так как 0 не натуральное число.

Связь между смешанными числами и неправильными дробями

Проследить связь между смешанными числами и неправильными дробями лучше всего на примерах.

Пусть на подносе лежит торт и еще 3/4 такого же торта. То есть, по смыслу сложения на подносе находится 1+3/4 торта. Записав последнюю сумму в виде смешанного числа, констатируем, что на подносе находится торта. Теперь целый торт разрежем на 4 равные доли. В результате на подносе окажется 7/4 торта. Понятно, что «количество» торта при этом не изменилось, поэтому .

Из рассмотренного примера явно видна такая связь: любое смешанное число можно представить в виде неправильной дроби .

А теперь пусть на подносе находятся 7/4 торта. Сложив из четырех долей целый торт, на подносе окажется 1+3/4 , то есть, торта. Отсюда видно, что .

Из этого примера понятно, что неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа . (В частном случае, когда числитель неправильной дроби делится нацело на знаменатель, неправильную дробь можно представить в виде натурального числа, например, , так как 8:4=2 ).

Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Для выполнения различных действий со смешанными числами оказывается полезным навык представления смешанных чисел в виде неправильных дробей. В предыдущем пункте мы выяснили, что любое смешанное число можно перевести в неправильную дробь. Пришло время разобраться, как осуществляется такой перевод.

Запишем алгоритм, показывающий как перевести смешанное число в неправильную дробь :

Рассмотрим пример перевода смешанного числа в неправильную дробь.

Пример.

Представьте смешанное число в виде неправильной дроби.

Решение.

Выполним все необходимые шаги алгоритма.

Смешанное число равно сумме его целой и дробной части: .

Записав число 5 как 5/1 , последняя сумма примет вид .

Чтобы закончить перевод исходного смешанного числа в неправильную дробь, осталось выполнить сложение дробей с разными знаменателями : .

Краткая запись всего решения такова: .

Ответ:

Итак, чтобы осуществить перевод смешанного числа в неправильную дробь, нужно выполнить следующую цепочку действий: . В итоге получена , которую мы и будем использовать в дальнейшем.

Пример.

Запишите смешанное число в виде неправильной дроби.

Решение.

Воспользуемся формулой для перевода смешанного числа в неправильную дробь. В этом примере n=15 , a=2 , b=5 . Таким образом, .

Ответ:

Выделение целой части из неправильной дроби

В ответе не принято записывать неправильную дробь. Неправильную дробь предварительно заменяют либо равным ей натуральным числом (когда числитель делится нацело на знаменатель), либо проводят так называемое выделение целой части из неправильной дроби (когда числитель не делится нацело на знаменатель).

Определение.

Выделение целой части из неправильной дроби – это замена дроби равным ей смешанным числом.

Осталось узнать, как можно выделить целую часть из неправильной дроби.

Это очень просто: неправильная дробь a/b равна смешанному числу вида , где q - неполное частное, а r – остаток от деления a на b . То есть, целая часть равна неполному частному от деления a на b , а остаток равен числителю дробной части.

Докажем это утверждение.

Для этого достаточно показать, что . Переведем смешанное в неправильную дробь так, как мы это делали в предыдущем пункте: . Так как q – неполное частное, а r – остаток от деления a на b , то справедливо равенство a=b·q+r (при необходимости смотрите

Принято записывать без знака $«+»$ в виде $n\frac{a}{b}$.

Пример 1

Например, сумма $4+\frac{3}{5}$ записывается $4\frac{3}{5}$. Такая запись называется смешанной дробью, а число, которое ей соответствует, -- смешанным числом.

Определение 1

Смешанное число -- это число, которое равно сумме натурального числа $n$ и правильной обыкновенной дроби $\frac{a}{b}$, и записано в виде $n\frac{a}{b}$. В таком случае число $n$ называется $n\frac{a}{b}$, а число $\frac{a}{b}$ -- дробной частью числа/

Для смешанных чисел справедливы равенства $n\frac{a}{b}=n+\frac{a}{b}$ и $n+\frac{a}{b}=n\frac{a}{b}$.

Пример 2

Например, число $7\frac{4}{9}$ является смешанным числом, где натуральное число $7$ -- целая его часть, $\frac{4}{9}$ -- дробная часть. Примеры смешанных чисел: $17\frac{1}{2}$, $456\frac{111}{500}$, $23000\frac{4}{5}$.

Встречаются числа в смешанной записи, которые в дробной части содержат неправильную дробь . Например, $3\frac{54}{5}$, $56\frac{9}{2}$. Запись этих чисел можно представить в виде суммы их целой и дробной части. Например, $3\frac{54}{5}=3+\frac{54}{5}$ и $56\frac{9}{2}=56+\frac{9}{2}$. Такие числа не подходят по определению смешанного числа, т.к. дробная часть смешанных чисел должна быть правильной дробью.

Число $0\frac{2}{7}$ также не смешанное число, т.к. $0$ - не натуральное число.

Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Алгоритм перевода смешанного числа в неправильную дробь:

Записать смешанное число $n\frac{a}{b}$ в виде суммы целой и дробной части этого числа, т.е. в виде $n+\frac{a}{b}$.

Целую часть исходного смешанного числа заменить дробью со знаменателем $1$.

Сложить обыкновенные дроби $\frac{n}{1}$ и $\frac{a}{b}$ для получения искомой неправильной дроби, равной исходному смешанному числу.

Пример 3

Представить смешанное число $7\frac{3}{5}$ в виде неправильной дроби.

Решение.

Воспользуемся алгоритмом перевода смешанного числа в неправильную дробь.

Смешанное число $7\frac{3}{5}=7+\frac{3}{5}$.

Запишем число $7$ в виде $\frac{7}{1}$.

Сложим обыкновенные дроби $\frac{7}{1}+\frac{3}{5}=\frac{35}{5}+\frac{3}{5}=\frac{38}{5}$.

Запишем краткую запись данного решения:

Ответ: $7\frac{3}{5}=\frac{38}{5}$

Весь алгоритм перевода смешанного числа $n\frac{a}{b}$ в неправильную дробь сводится к \textit{формуле перевода смешанного числа в неправильную дробь}:

Пример 4

Записать смешанное число $14\frac{3}{5}$ в виде неправильной дроби.

Решение.

Воспользуемся формулой $n\frac{a}{b}=\frac{n\cdot b+a}{b}$ для перевода смешанного числа в неправильную дробь. В данном примере $n=14$, $a=3$, $b=5$.

Получим, $14\frac{3}{5}=\frac{14\cdot 5+3}{5}=\frac{73}{5}$.

Ответ: $14\frac{3}{5}=\frac{73}{5}$

Выделение целой части из неправильной дроби

При получении числового решения не принято оставлять ответ в виде неправильной дроби. Неправильная дробь преобразуется в равное ей натуральное число (если числитель делится нацело на знаменатель), или выделяют целую часть из неправильной дроби (если числитель не делится нацело на знаменатель).

Определение 2

Выделением целой части из неправильной дроби называется замена дроби равным ей смешанным числом.

Для выделения целой части из неправильной дроби нужно представить неправильную дробь $\frac{a}{b}$ в виде смешанного числа $q\frac{r}{b}$, где $q$ - неполное частное, $r$-- остаток от деления $a$ на $b$. Таким образом, целая часть равна неполному частному от деления $a$ на $b$, а остаток равен числителю дробной части.

Докажем это утверждение. Для этого достаточно показать, что $q\frac{r}{b}=\frac{a}{b}$.

Переведем смешанное число $q\frac{r}{b}$ в неправильную дробь с помощью формулы:

Т.к. $q$-- неполное частное, $r$-- остаток от деления $a$ на $b$, то является справедливым равенство $a=b\cdot q+r$. Таким образом, $\frac{q\cdot b+r}{b}=\frac{a}{b}$, откуда $q\frac{r}{b}=\frac{a}{b}$, что и требовалось показать.

Таким образом, сформулируем \textit{правило выделения целой части из неправильной дроби} $\frac{a}{b}$:

Разделить $a$ на $b$ с остатком, при этом определить неполное частное $q$ и остаток $r$.

Записать смешанное число $q\frac{r}{b}$, равное исходной дроби $\frac{a}{b}$.

Пример 5

Выделить целую часть из дроби $\frac{107}{4}$.

Решение.

Выполним деление в столбик:

Рисунок 1.

Итак, в результате деления числителя $a=107$ на знаменатель $b=4$ получаем неполное частное $q=26$ и остаток $r=3$.

Получаем, что неправильная дробь $\frac{107}{4}$ равна смешанному числу $q\frac{r}{b}=26\frac{3}{4}$.

Ответ : $\frac{{\rm 107}}{{\rm 4}}{\rm =26}\frac{{\rm 3}}{{\rm 4}}$.

Сложение смешанного числа и натурального числа

Правило сложения смешанного и натурального числа :

Для сложения смешанного и натурального числа нужно к целой части смешанного числа прибавить данное натуральное число, дробная часть остается без изменения:

где $a\frac{b}{c}$ -- смешанное число,

$n$ -- натуральное число.

Пример 6

Выполнить сложение смешанного числа $23\frac{4}{7}$ и числа $3$.

Решение.

Ответ: $23\frac{4}{7}+3=26\frac{4}{7}.$

Сложение двух смешанных чисел

При сложении двух смешанных чисел складываются их целые части и дробные части.

Пример 7

Сложить смешанные числа $3\frac{1}{5}$ и $7\frac{4}{7}$.

Решение.

Воспользуемся формулой:

\ \

Ответ: $10\frac{27}{35}.$