Основные законы и формулы по теоретической механике. Решение примеров

МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ I тела относительно точки, оси или плоскости называется сумма произведений массы точек тела m i , на квадраты их расстояний r i до точки, оси или плоскости:

Момент инерции тела относительно оси является мерой инерции тела во вращательном движении вокруг этой оси.

Момент инерции тела может быть также выражен через массу М тела и его радиус инерции r:

МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ, ПЛОСКОСТЕЙ И НАЧАЛА ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ.

Момент инерции относительно начала координат (полярный момент инерции):

СВЯЗЬ МЕЖДУ ОСЕВЫМИ, ПЛОСКОСТНЫМИ И ПОЛЯРНЫМ МОМЕНТАМИ ИНЕРЦИИ:

Значения осевых моментов инерции некоторых геометрических тел приведены в табл. 1.

Таблица 1. Момент инерции некоторых тел

ИЗМЕНЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРИ ПЕРЕМЕНЕ ОСЕЙ

Момент инерции I u 1 относительно оси u 1 , параллельной данной оси u (рис. 1):

где I u - момент инерции тела относительно оси u; l(l 1) - расстояние от оси u (от оси u 1) до параллельной им оси u с, проходящей через центр масс тела; а - расстояние между осями u и u 1 .

Рисунок 1.

Если ось u центральная (l=0), то

т. е. для любой группы параллельных осей момент инерции относительно центральной оси наименьший.

Момент инерции I u относительно оси u, составляющей углы α, β, γ с осями декартовых координат х, у, z (рис. 2):

Рисунок 2.

Оси х, у, z главные, если

Момент инерции относительно оси u, составляющей углы α, β, γ c главными осями инерции х, у, z:

ИЗМЕНЕНИЕ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ ОСЕЙ:

где - центробежный момент инерции относительно центральных осей х с, y с, параллельных осям х, у; М - масса тела; x с, y с - координаты центра масс в системе осей х, у.

ИЗМЕНЕНИЕ ЦЕНТРОБЕЖНОГО МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ПРИ ПОВОРОТЕ ОСЕЙ x, y ВОКРУГ ОСИ z НА УГОЛ α В ПОЛОЖЕНИЕ x 1 y 1 (рис. 3):

Рисунок 3.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ИНЕРЦИИ. Ось материальной симметрии тела - главная ось инерции тела.

Если плоскость xОz является плоскостью материальной симметрии тела, то любая из осей y - главная ось инерции тела.

Если положение одной из главных осей z гл известно, то положение двух других осей x гл и y гл определяется поворотом осей х и у вокруг оси z гл на угол φ (рис. 3):

ЭЛЛИПСОИД И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД ИНЕРЦИИ. Эллипсоидом инерции называется эллипсоид, оси симметрии которого совпадают с главными центральными осями тела x гл, y гл, z гл, а полуоси а х, а у, а z равны соответственно:

где r уО z , r х Oz , r xOy - радиусы инерции тела относительно главных плоскостей инерции.

Параллелепипедом инерции называется параллелепипед, описанный вокруг эллипсоида инерции и имеющий с ним общие оси симметрии (рис. 4).

Рисунок 4.

РЕДУЦИРОВАНИЕ (ЗАМЕНА С ЦЕЛЬЮ УПРОЩЕНИЯ РАСЧЕТА) ТВЕРДОГО ТЕЛА СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ МАССАМИ . При вычислении осевых, плоскостных, центробежных и полярных моментов инерции тело массой М можно редуцировать восемью сосредоточенными массами М/8, расположенными в вершинах параллелепипеда инерции. Моменты инерции относительно любых осей, плоскостей, полюсов вычисляются по координатам вершин параллелепипеда инерции x i , y i , z i (i=1, 2, ..., 8) по формулам:

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ

1. Определение моментов инерции тел вращения с использованием дифференциального уравнения вращения - см. формулы ("Вращательное движение твердого тела") .

Исследуемое тело закрепляется на горизонтальной оси х, совпадающей с его осью симметрии, и приводится во вращение вокруг нее с помощью груза Р, прикрепленного к гибкой нити, навернутой на исследуемое тело (рис. 5), при этом замеряется время t опускания груза на высоту h. Для исключения влияния трения в точках закрепления тела на оси х опыт производится несколько раз при разных значениях веса груза Р.

Рисунок 5.

При двух опытах с грузами Р 1 и Р 2

2. Экспериментальное определение моментов инерции тел посредством изучения колебаний физического маятника (см. 2.8.3) .

Исследуемое тело закрепляют на горизонтальной оси х (нецентральной) и замеряют, период малых колебаний около этой оси Т. Момент инерции относительно оси х определится по формуле

где Р - вес тела; l 0 - расстояние от оси вращения до центра масс С тела.

Пусть имеется твердое тело. Выберем некоторую прямую ОО (рис.6.1), которую будем называть осью (прямая OO может быть и вне тела). Разобьем тело на элементарные участки (материальные точки) массами
, находящиеся от оси на расстоянии
соответственно.

Моментом инерции материальной точки относительно оси (OO) называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси:

. (6.1)

Моментом инерции (МИ) тела относительно оси (OO) называется сумма произведений масс элементарных участков тела на квадрат их расстояния до оси:

. (6.2)

Как видно момент инерции тела есть величина аддитивная – момент инерции всего тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции отдельных его частей относительно той же оси.

В данном случае

.

Измеряется момент инерции в кгм 2 . Так как

, (6.3)

где  – плотность вещества,
– объемi - го участка, то

,

или, переходя к бесконечно малым элементам,

. (6.4)

Формулу (6.4) удобно использовать для вычисления МИ однородных тел правильной формы относительно оси симметрии, проходящей через центр масс тела. Например, для МИ цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс параллельно образующей, эта формула дает

,

где т - масса; R - радиус цилиндра.

Большую помощь при вычислении МИ тел относительно некоторых осей оказывает теорема Штейнера: МИ тела I относительно любой оси равен сумме МИ этого тела I c относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния d между указанными осями:

. (6.5)

Момент силы относительно оси

Пусть на тело действует сила F . Примем для простоты, что сила F лежит в плоскости, перпендикулярной некоторой прямой ОО (рис.6.2,а ), которую назовем осью (например, это ось вращения тела). На рис. 6.2,а А - точка приложения силы F ,
- точка пересечения оси с плоскостью, в которой лежит сила;r - радиус-вектор, определяющий положение точки А относительно точки О "; O "B = b - плечо силы. Плечом силы относительно оси называется наименьшее расстояние от оси до прямой, на которой лежит вектор силы F (длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой).

Моментом силы относительно оси называется векторная величина, определяемая равенством

. (6.6)

Модуль этого вектора . Иногда, поэтому говорят, что момент силы относительно оси – это произведение силы на ее плечо.

Если сила F направлена произвольно, то ее можно разложить на две составляющие; и(рис.6.2,б ), т.е.
+, где- составляющая, направленная параллельно оси ОО, алежит в плоскости, перпендикулярной оси. В этом случае под моментом силыF относительно оси OO понимают вектор

. (6.7)

В соответствии с выражениями (6.6) и (6.7) вектор М направлен вдоль оси (см. рис.6.2, а ,б ).

Момент импульса тела относительно оси вращения

Пусть тело вращается вокруг некоторой оси ОО с угловой скоростью
. Разобьем это тело мысленно на элементарные участки с массами
, которые находятся от оси соответственно на расстояниях
и вращаются по окружностям, имея линейные скорости
Известно, что величина равная
- есть импульсi -участка. Моментом импульса i -участка (материальной точки) относительно оси вращения называется вектор (точнее псевдовектор)

, (6.8)

где r i – радиус-вектор, определяющий положение i - участка относительно оси.

Моментом импульса всего тела относительно оси вращения называют вектор

(6.9)

модуль которого
.

В соответствии с выражениями (6.8) и (6.9) векторы
инаправлены по оси вращения (рис.6.3). Легко показать, что момент импульса тела L относительно оси вращения и момент инерции I этого тела относительно той же оси связаны соотношением

. (6.10)

1. Закон инерции : изолированная материальная точка неспособна вывести себя из состояния покоя или равномерного прямолинейного движения без воздействия внешних сил или полей;

2. Основной закон динамики : сила, действующая на тело, сообщает ей ускорение, которое в инерциальной системе отсчета пропорционально величине силы и совпадает с ней по направлению: , масса - мера инертности точки: .

3. Закон равенства действия и противодействия ;

4. Закон про равнодействующую силу : несколько одновременно действующих на точку сил сообщают ей такое ускорение, какое сообщает ей одна сила, равная их геометрической сумме: .

Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в декартовых координатах.

Метод кинетостатики : если к движущейся под действием сил точке приложить силу инерции, то геометрическая сумма всех сил будет равна нулю: , где Ф - сила инерции.

Так как: , то проектируя на ось координат получаю:, так как: то аналогично для y и z получаю:

Основные задачи динамики точки.

1. Зная массу материальной точки и уравнение ее движения определить модуль и направление равнодействующей силы, под действием которой точка движется.

2. Зная силы, действующие на материальную точку, ее массу и начальные условия движения определить траекторию.

Свободное падение тела без учета сопротивления воздуха.

v 0 =0; ; ;. По начальным условиям: и определяю постоянные интегрирования и: .

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, без учета сопротивления воздуха.

;; , постоянные интегрирования определяются по заданным начальным условиям.

Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, если сила зависит от времени.

Зависимость силы от времени возможна степенная и тригонометрическая.

Связи и реакции связей.

Несвободная материальная точка - на движение наложены кинематические ограничения. Связи - тела, ограничивающие свободу движения материальной точки. Динамические реакции связи - силы, с которыми связи действуют на движущуюся материальную точку.

Классификация связей :

1. стационарные - уравнения которых не содержат t в явном виде и нестационарные.

2. голономные - ограничивающие только свободу перемещения, а не скорость и неголономные.

3. неудерживающие - препятствующие движению в одном направлении и допускающие в противоположном и удерживающие.

Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки.

Подставляя в основное уравнение динамики: , обозначая переносную и кориолисову силы инерции: . В проекциях на координатные оси:

Координаты центра масс системы материальных точек.

Механическая система материальных точек - совокупность точек, в которой положение и движение каждой зависит от остальных. Система с кинематическими ограничениями - несвободная. Масса механической системы - арифметическая сумма масс всех ее точек. Центр масс - геометрическая точка, положение которой определяется уравнениями:

Силы, действующие на точки механической системы.

Задаваемые силы и реакции связи;

Внешние силы - силы, с которыми на механическую систему действуют другие тела, не входящие в нее.

Внутренние силы - силы взаимодействия точек системы.

Свойства внутренних сил:

1. главный вектор внутренних сил равен нулю;

2. главный вектор момент внутренних сил относительно любого неподвижного центра равен нулю.

Моменты инерции твердого тела. Радиус инерции.

Момент инерции - скалярная величина, равная произведению массы на квадрат расстояния.

Планарный момент инерции - момент инерции относительно плоскости: ; осевой - относительно оси: ; полярный - относительно полюса: ; центробежный момент инерции : .

Радиус инерции - расстояние от оси до воображаемой точки, в которой необходимо сосредоточить массу тела, чтоб момент инерции этой точки относительно заданной оси был равен моменту инерции данного тела относительно этой же оси: .

Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Oz (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, разная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси:

Из определения следует, что момент инерции тела (или системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.

В дальнейшем будет показано, что осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т. е. что осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.

Согласно формуле (2) момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его частей относительно той же оси. Для одной материальной точки, находящейся на расстоянии h от оси, . Единицей измерения момента инерции в СИ будет 1 кг (в системе МКГСС - ).

Для вычисления осевых моментов инерции можно расстояния точек от осей выражать через координаты этих точек (например, квадрат расстояния от оси Ох будет и т. д.).

Тогда моменты инерции относительно осей будут определяться формулами:

Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси называется линейная величина определяемая равенством

где М - масса тела. Из определения следует, что радиус инерцни геометрически равен расстоянию от оси той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.

Зная радиус инерции, можно по формуле (4) найти момент инерции тела и наоборот.

Формулы (2) и (3) справедливы как для твердого тела, так и для любой системы материальных точек. В случае сплошного тела, разбивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоящая в равенстве (2), обратится в интеграл. В результате, учитывая, что где - плотность, а V - объем, получим

Интеграл здесь распространяется на весь объем V тела, а плотность и расстояние h зависят от координат точек тела. Аналогично формулы (3) для сплошных тел примут вид

Формулами (5) и (5) удобно пользоваться при вычислении моментов инерции однородных тел правильной формы. При этом плотность будет постоянной и выйдет из-под знака интеграла.

Найдем моменты инерции некоторых однородных тел.

1. Тонкий однородный стержень длиной l и массой М. Вычислим его момент инерции относительно оси перпендикулярной стержню и проходящей через его конец А (рис. 275). Направим вдоль АВ координатную ось Тогда для любого элементарного отрезка длины d величина , а масса , где - масса единицы длины стержня. В результате формула (5) дает

Заменяя здесь его значением, найдем окончательно

2. Тонкое круглое однородное кольцо радиусом R и массой М. Найдем его момент инерции относительно оси перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр С (рис. 276).

Так как все точки кольца находятся от оси на расстоянии то формула (2) дает

Следовательно, для кольца

Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массой М и радиусом R относительно ее оси.

3. Круглая однородная пластина или цилиндр радиусом R и массой М. Вычислим момент инерции круглой пластины относительно оси перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр (см. рис. 276). Для этого выделим элементарное кольцо радиусом и шириной (рис. 277, а). Площадь этого кольца , а масса где - масса единицы площади пластины. Тогда по формуле (7) для выделенного элементарного кольца будет а для всей пластину

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Физическую величину, являющуюся мерой инертности тела, вращающегося вокруг оси называют моментом инерции тела (J) .

Это скалярная (в общем случае тензорная) величина.

где - массы материальных точек, на которые разбивают тело; на квадраты расстояний от материальной точки до оси вращения.

Для непрерывного однородного тела, вращающегося около оси, момент инерции чаще определяют как:

где r - функция положения материальной точки в пространстве; - плотность тела; -объем элемента тела.

Тензор инерции

Совокупность величин:

называют тензором инерции. Диагональные элементы тензора: . Тензор инерции является симметричным.

Пусть все недиагональные элементы тензора равны нулю, не равны нулю только диагональные составляющие. Тогда тензор запишем как:

В таком случае оси тела совпадают с осями координат и являются главными осями инерции. Величины:

называют главными моментами инерции. Тензор в виде (4) приведен у диагональному виду. Моменты инерции, находящиеся вне главной диагонали матрицы (3) называются центробежными. Если оси системы координат направлены вдоль главных осей инерции тела, то центробежные моменты инерции равны нулю.

Если главные оси проведены через центр масс тела, то они называются центральными главными осями, а тензор центральным тензором.

Главные оси не всегда для тела не всегда легко отыскать. Но иногда достаточно использовать соображения симметрии. Так, в шаре относительно любой точки главные оси можно найти так. Одна из главных осей проходит через центр шара, две другие ориентированы произвольно в плоскости, которая перпендикулярна первой оси.

Составляющие момента инерции сплошного тела относительно осей декартовой системы координат определены как:

где - координаты элемента массы тела (), которая обладает объемом .

Момент инерции твердого тела зависит от формы тела и распределения ассы в теле относительно оси вращения.

Величины, равные:

называют радиусами инерции тела по отношению к соответствующим осям системы координат.

Теорема Штейнера

В некоторых случаях вычисление момента инерции существенно облегчает знание теоремы Штейнера (иногда ее называют теоремой Гюйгенса): Момент инерции тела (J) относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси, которая проведена через центр масс рассматриваемого тела (), плюс произведение массы тела (m) на расстояние между осями в квадрате, при условии, если оси параллельны:

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1