Применение производной к решению задач ЕГЭ Скоро ЕГЭ! Но еще есть время подготовиться! Применение производной в заданиях егэ.

Прямая y=3x+2 является касательной к графику функции y=-12x^2+bx-10. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания меньше нуля.

Решение

Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=-12x^2+bx-10, через которую проходит касательная к этому графику.

Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=-24x_0+b=3. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть -12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. Получаем систему уравнений \begin{cases} -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end{cases}

Решая эту систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания меньше нуля, поэтому x_0=-1, тогда b=3+24x_0=-21.

Ответ

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3 .

Её площадь равна \frac{4+3}{2}\cdot 3=10,5.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-4; 10). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение

Как известно, функция f(x) убывает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f"(x) меньше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).

Длина наибольшего из них — (5; 9) равна 4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-6; -2].

Решение

Из графика видно, что производная f"(x) функции f(x) меняет знак с плюса на минус (именно в таких точках будет максимум) ровно в одной точке (между -5 и -4 ) из промежутка [-6; -2]. Поэтому на промежутке [-6; -2] ровно одна точка максимума.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0 .

Решение

Равенство нулю производной в точке означает, что касательная к графику функции, проведённая в этой точке, параллельна оси Ox. Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 5 .

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

Прямая y=-3x+4 параллельна касательной к графику функции y=-x^2+5x-7. Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Угловой коэффициент прямой к графику функции y=-x^2+5x-7 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=-2x+5, значит, y"(x_0)=-2x_0+5. Угловой коэффициент прямой y=-3x+4, указанной в условии, равен -3. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что =-2x_0 +5=-3.

Получаем: x_0 = 4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -6, -1, 1, 4 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Применение производной в формате ЕГЭ .

Выполнили: Плачковская Катерина, Леонова Юлия 11Б класс Научный руководитель: Солуян Надежда Николаева, учитель математики, «Почетный работник общего образования Российской Федерации»

Введение

Производная-это одна из сложнейших тем в математике, при ее помощи решаются задачи по физике, химии, биологии и даже географии. Многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют их решать. Изучение производной продиктовано еще и тем, что многие задания ЕГЭ содержат применение производной.

Поэтому мы решили изучить эту тему более подробно.

Цель работы : сделать классификацию задач на применение производной в материалах ЕГЭ и рассмотреть способы их решения.

Задачи:

• поиск исторических фактов
• сбор информации о задачах на применение производной в материалах ЕГЭ
• анализ взаимосвязи задач со способами их решения
• изучить основные типы задач на применение производной
• решить задачи включенные в материалы ЕГЭ
• провести статистическое исследование.

История производной

Задачи на нахождения экстремума, проведение касательных к кривым и вычисление скорости постоянно возникали в практической деятельности.

В древности и в средние века такие задачи решались геометрическими и механическими способами. Позже было обнаружено, что все эти задачи можно решить единым методом, используя бесконечно малые величины. Развитие этого метода в трудах Ньютона и Лейбница привело к созданию математического анализа, появление которого широко раздвинуло границы применения математики.

Теоретические сведения

Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращённому аргументу, при последнем стремящемся к нулю.

Физический смысл производной

Если тело движется прямолинейно по закону y=S’(t) , то мгновенная скорость (U) есть производная пути по времени.

U=S’(t)

Ускорение - есть производная скорости a=U’ (t)

Геометрический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент касательной), проведенный к графику функции y=f(x) в точке x 0 равен производной функции y=f"(x) в этой точке:

Производная сложной функции

Функция, заданная в виде y=f(g(x)) ,называется сложной, составленной из функций g и f . (функция, аргументом которой служит функция, называется сложной)

элементарная функция сложная функция

аргумент

Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y=f(x) на отрезке

1. Найти область определения функции

2. Найти производную f’(x)

3. Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка (y’=0)

4. Вычислить значения функции y=f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках a и b; выбрать среди этих значений наименьшее (это будет y наим)

Алгоритм исследования непрерывной функции y=f(x) на монотонность и экстремумы

1. Найти область определения

2. Найти производную f’(x)

3. Найти стационарные (f’(x)=0) и критические (f’(x) не существует) точки функции y=f(x)

4. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках

5. Сделать выводы о монотонности функции и о ее точках экстремума

Статистическое исследование.

1 этап работы:

Проанализировав результаты опроса 11-ых классов, выявила темы, вызывающие наибольшие затруднения у учеников:

Тригонометрические уравнения - техника дифференцирования - Задачи на физический и геометрический смысл производной -Исследование функций при помощи производной - Текстовые задачи - Решение задач на определение площадей - Иррациональные уравнения и выражения - Рациональные уравнения и выражения.

Вывод: тема «Применение производной» содержится в первых 3-х темах, значит, она вызывает наибольшее затруднения.

2 этап работы :

изучение основных видов задач по теме «Применение производной в заданиях единого государственного экзамена»

Применение производной формате в

формате ЕГЭ

Геометрический смысл

Аналитический смысл

Физический смысл

Задачи на применение физического смысла производной

Задача 1.

x(t) = (½)×t² - t – 4 . Определите в какой момент времени t -- скорость V = 6м/с.

Решение.

1) (x(t))‘ = ((½)×t² ­ t - 4)’

2) V(t) = (s(t))’; (s(t))’ = (x(t))’;

V(t) = ((½)×t² – t – 4)’

V(t) = ((½)×t²)’– (t)’– (4)’

3) V(t) = 6м/с (по условию)

Ответ: 7 с.

Задача 2.

Материальная точка движется по закону

х(t) = 15 + 16×t – 3×t². Каким будет ускорение через 2 секунды после начала движения?

Решение .

V(t) = 15 + 16×t – 3×t²

(V(t))’ = (15 + 16×t – 3×t²)’

Т.к (V(t))’ = a (t)

a (t) = 16 – 6×t

a(t) = 16 – 6 ×2

a(t) = 4

Ответ: 4 м/с².

Задачи на применение геометрического смысла производной

Задача 1

Прямая y = 5 x − 3 параллельна касательной к графику функции y = x 2 + 2 x − 4. Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Прямая параллельная касательной имеет одинаковый с ней угол наклона к оси абсцисс. Т.е., угловой коэффициент касательной (он же тангенс угла наклона) равен 5, как у заданной прямой. С другой стороны, мы знаем, что угловой коэффициент касательной равен производной функции в точке касания. Найдем производную: y "(x ) = (x 2 + 2 x − 4)" = 2 x + 2. Составим уравнение, подставив в выражение для производной неизвестную абсциссу точки касания x 0 . 2 x 0 + 2 = 5 2 x 0 = 5 − 2 = 3 x 0 = 3/2 = 1,5.

Ответ: 1,5

Задача 2. На рисунке 1 изображен график функции y = f (x ), определенной на интервале (-10,5;19). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Решение

Производная функции положительна

на тех участках, где функция возрастает.

По рисунку видно, что это промежутки

(−10,5;−7,6), (−1;8,2) и (15,7;19). Перечис-

лим целые точки внутри этих интервалов:

"−10","−9", "−8","0", "1","2", "3","4", "5","6",

"7","8", "16","17", "18". Всего 15 точек.

Ответ: 15

Задача 3. На рисунке изображен график функции y = f (x ), определенной на интервале (-11;23). Найдите сумму точек экстремума функции на отрезке . Решение На указанном отрезке мы видим 2 точки экстремума. Максимум функции достигается в точке x 1 = 4, минимум в точке x 2 = 8. x 1 + x 2 = 4 + 8 = 12. Ответ: 12

Аналитический способ решения

Задача 1.

Найдите значение производной функции в точке x0=2

Решение а) Найдем значение производной функции:

б) Найдем значение производной функции в точке x0:

Ответ: 31

Задача 2.

Найти значение производной функции F(x)=(3x+1)2 -3 в точке x=2/3.

Решение.

Найдём производную сложной функции: F’(x)=6(x+1)=6x+6;

Найдём значение производной функции в точке x=2/3:

F’(2/3)=6(2/3)+6=10

Ответ:10

Цели урока:

Учебные: Повторить теоретические сведения по теме «Применение производной» обобщить, закрепить и улучшить знания по данной теме.

Научить применять полученные теоретические знания при решении различного типа математических задач.

Рассмотреть методы решения заданий ЕГЭ, связанные с понятием производной базового и повышенного уровня сложности.

Воспитательные:

Обучение навыкам: планирование деятельности,работы в оптимальном темпе,работы в группе, подведение итогов.

Развивать умение оценивать свои способности,умение контактировать с товарищами.

Воспитывать чувства ответственности и сопереживания.Способствовать воспитанию умения работать в команде; умения.. относится к мнению одноклассников.

Развивающие: Уметь оформлять ключевые понятия изучаемой темы. Развивать навыки работы в группе.

Тип урока: комбинированный:

Обобщение,закрепление навыков применение свойств элементарных функций,применение уже сформированных знаний, умений и навыков применение производной в нестандартных ситуациях.

Оборудования: компьютер,проектор,экран,раздаточный материал.

План урока:

1. Организационная деятельность

Рефлексия настроения

2. Актуализация знаний учащегося

3. Устная работа

4. Самостоятельная работа в группах

5. Защита выполненных работ

6. Самостоятельная работа

7. Домашние задание

8. Итог урока

9. Рефлексия настроения

Ход урока

1. Рефлексия настроения.

Ребята,доброе утро.Я пришла к вам на урок вот с таким настроением (показываю изображение солнца)!

А какое у вас настроение?

У вас на столе лежат карточки с изображениями солнца,солнце за тучей и тучи.Покажите какое у вас настроение.

2. Анализируя результаты пробных экзаменов,а так же результаты итоговой аттестации последних лет,можно сделать вывод о том,что с заданиями математического анализа,из работы ЕГЭ справляются не более 30%-35% выпускников.Вот и в нашем классе по результатам тренировочных и диагностических работ верно выполняют их не все. Этим и обусловлен наш выбор.Будем отрабатывать навык применения производной при решении задач ЕГЭ.

Помимо проблем итоговой аттестации возникают вопросы и сомнения,в какой мере приобретаемые в этой области знания могут и будут востребованы дальнейшем,насколько оправданы как затраты времени,так и здоровья на изучение этой темы.

Зачем нужна производная? Где мы встречаемся с производной и используем ее? Можно ли без нее обойтись в математике и не только?

Сообщение ученицы 3 минуты -

3. Устная работа.

4. Самостоятельная работа в группах (3 группы)

Задание 1 группы

) В чем заключается геометрический смысл производной?

2) а) На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

б) На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Ответ 1 группы:

1) Значение производной функции в точке x=x0 равно условному коэффициэнту касательной,проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой х0.Нулевой коэффициент равен тангенсу угла наклона касательной (или, другими словами) тангенсу угла образованного касательной и.. направлением оси Оx)

2) А)f1(x)=4/2=2

3) Б)f1(x)=-4/2=-2

Задание 2 группы

1) В чем заключается физический смысл производной?

2) Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t)=-t2+8t-21, где х - расстояние от точки отсчета в метрах, t -время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=3 с.

3) Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t)= ½*t2-t-4, где х - расстояние от точки отсчета в метрах, t- время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?

Ответ 2 группы:

1) Физический (механический) смысл производной состоит в следующем.

Если S(t) закон прямоленейного движения тела,то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t:

V(t)=-x(t)=-2t=8=-2*3+8=2

3) X(t)=1/2t^2-t-4

Задание 3 группы

1) Прямая y= 3x-5 параллельна касательной к графику функции y=x2+2x-7. Найдите абсциссу точки касания.

2) На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (-9;8). Определите количество целых точек на этом интервале, в которых производная функции f(x) положительна.

Ответ 3 группы:

1) Т.к прямая y=3x-5 паралельна касательной то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямойy=3x-5,т.е, k=3.

Y1(x)=3 ,y1=(x^2+2x-7)1=2x=2 2x+2=3

2) Целые точки -это точки с целочисленными значениями абсцисс.

Производная функция f(x) положительна,если функция возрастает.

Вопрос:Что вы можете сказать о производной функции,которую описывает поговорка «Чем дальше в лес,тем больше дров»

Ответ: Производная положительна на всей области определения,т.к эта функция - монотонно возрастает

6. Самостоятельная работа (на 6 вариантов)

7. Домашнее задание.

Тренировочная работа Ответы:

Итог урока.

«Музыка может возвышать или умиротворять душу, живопись - радовать глаз, поэзия - пробуждать чувства, философия - удовлетворять потребности разума, инженерное дело - совершенствовать материальную сторону жизни людей. Но математика способна достичь всех этих целей.»

Так сказал американский математик Морис Клайн.

Спасибо за работу!

«Задачи, приводящие к понятию производной» - Определение производной. Основные формулы. Положение касательной. Задача о мгновенной величине тока. Мгновенная скорость. Предел отношения приращения функции. Задача о скорости химической реакции. Прямая, проходящая через точку. Начало отсчета. Приращение функции. Приращение аргумента. Момент времени.

««Производные» математика» - Математический анализ – это раздел математики. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716). Производная и её применение. Лейбниц мечтал об универсальном языке. Производная определяется для функции. Вторым основоположником математического анализа был И. Ньютон. Ньютон открыл закон всемирного тяготения. Математический анализ появился более 300 лет назад.

«Решение задач на производную» - Решим ряд задач. Число точек экстремума. Найдите сумму абсцисс. Касательные к графику. Вспомним теоретический материал. Абсциссы. Применение производной в заданиях ЕГЭ. Выполним задания теста. Наибольшее значение. Функция. Применение производной. Касательные к графику наклонены под углом 45 градусов.

«Понятие производной функции» - Основные выводы. Производная. Интервал. Понятие производной функции. Исаак Ньютон. Радиус окрестности. Новое исчисление. Слагаемое. Повторение. Приращение функции в точке. С другой стороны. Парабола. Значение функции. Коэффициент А. Масштаб. Приращения. Конфигурация графика. Значение аргумента. Функции.

«Производная в ЕГЭ» - Геометрический смысл производной. Острый или тупой угол образует касательная к графику функции в точке х. Поставьте себе оценку за самостоятельные работы. Задания. Повторить и обобщить теоретические знания. Свойства. Количество точек касания. Определите градусную меру угла наклона касательной. Производная положительна.

«Исследование функции с помощью производной» - Исследование функций. Найдите точку максимума функции. Достаточные условие экстремума. Теорема. Правила дифференцирования. Задачи для самостоятельного решения на нахождение экстремума функции. Алгоритм нахождения точек экстремума. Точки минимума и максимума - точки экстремума. Неравенство. Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.