Решение простых линейных уравнений. Более сложные примеры уравнений

Уравнение, представляющее собой квадратный трехчлен, обыкновенно называется квадратным уравнением. С точки зрения алгебры оно описывается формулой a*x^2+b*x+c=0. В данной формуле х - это неизвестное, которое требуется найти (его называют свободной переменной); a, b и c - числовые коэффициенты. В отношении компонентов указанной существует ряд ограничений: так, коэффициент а не должен быть равен 0.

Решение уравнения: понятие дискриминанта

Значение неизвестного х, при котором квадратное уравнение превратится в верное равенство, называют корнем такого уравнения. Для того чтобы решить квадратное уравнение, необходимо сначала найти значение специального коэффициента - дискриминанта, который покажет количество корней у рассматриваемого равенства. Дискриминант вычисляется по формуле D=b^2-4ac. При этом результат вычисления может оказаться положительным, отрицательным или равным нулю.

При этом следует иметь в виду, что понятие требует, чтобы лишь коэффициент а был строго отличающимся от 0. Следовательно, коэффициент b может быть равным 0, а само уравнение в этом случае вид a*x^2+c=0. В такой ситуации следует использовать значение коэффициента, равное 0, и в формулах расчета дискриминанта и корней. Так, дискриминант в этом случае будет рассчитываться как D=-4ac.

Решение уравнения при положительном дискриминанте

В случае, если дискриминант квадратного уравнения оказался положительным, из этого можно сделать вывод, что данное равенство имеет два корня. Указанные корни можно вычислить по следующей формуле: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a. Таким образом, для расчета значения корней квадратного уравнения при положительном значении дискриминанта используются известные значения коэффициентов, имеющихся в . Благодаря использованию суммы и разности в формуле расчета корней результатом вычислений будут два значения, обращающие рассматриваемое равенство в верное.

Решение уравнения при нулевом и отрицательном дискриминанте

В случае, если дискриминант квадратного уравнения оказался равным 0, можно сделать вывод о том, что указанное уравнение имеет один корень. Строго говоря, в этой ситуации корней у уравнения по-прежнему два, однако вследствие нулевого дискриминанта они будут равны между собой. В этом случае x=-b/2a. Если же в процессе вычислений значение дискриминанта оказывается отрицательным, следует сделать вывод о том, что рассматриваемое квадратное уравнение не имеет корней, то есть таких значений x, при которых оно обращается в верное равенство.

В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму — потому и они и называются простейшими.

Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?

Линейное уравнение — такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.

Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:

Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:

1. Раскрыть скобки, если они есть;
2. Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной — в другую;
3. Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;
4. Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной $x$ .

Разумеется, этот алгоритм помогает не всегда. Дело в том, что иногда после всех этих махинаций коэффициент при переменной $x$ оказывается равен нулю. В этом случае возможны два варианта:

1. Уравнение вообще не имеет решений. Например, когда получается что-нибудь в духе $0\cdot x=8$, т.е. слева стоит ноль, а справа — число, отличное от нуля. В видео ниже мы рассмотрим сразу несколько причин, по которым возможна такая ситуация.
2. Решение — все числа. Единственный случай, когда такое возможно — уравнение свелось к конструкции $0\cdot x=0$. Вполне логично, что какой бы $x$ мы ни подставили, все равно получится «ноль равен нулю», т.е. верное числовое равенство.

А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.

Примеры решения уравнений

Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.

Решаются такие конструкции примерно одинаково:

1. Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);
2. Затем свести подобные
3. Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной — слагаемые, в которых она содержится — перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.

Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.

В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».

Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.

Схема решения простейших линейных уравнений

Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:

1. Раскрываем скобки, если они есть.
2. Уединяем переменные, т.е. все, что содержит «иксы» переносим в одну сторону, а без «иксов» — в другую.
3. Приводим подобные слагаемые.
4. Разделяем все на коэффициент при «иксе».

Разумеется, эта схема работает не всегда, в ней есть определенные тонкости и хитрости, и сейчас мы с ними и познакомимся.

Решаем реальные примеры простых линейных уравнений

Задача №1

На первом шаге от нас требуется раскрыть скобки. Но их в этом примере нет, поэтому пропускаем данный этап. На втором шаге нам нужно уединить переменные. Обратите внимание: речь идет лишь об отдельных слагаемых. Давайте запишем:

Приводим подобные слагаемые слева и справа, но тут уже это сделано. Поэтому переходим к четвертому шагу: разделить на коэффициент:

\[\frac{6x}{6}=-\frac{72}{6}\]

Вот мы и получили ответ.

Задача №2

В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:

И слева и справа мы видим примерно одну и ту же конструкцию, но давайте действовать по алгоритму, т.е. уединяем переменные:

Приведем подобные:

При каких корнях это выполняется. Ответ: при любых. Следовательно, можно записать, что $x$ — любое число.

Задача №3

Третье линейное уравнение уже интересней:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут есть несколько скобок, однако они ни на что не умножаются, просто перед ними стоят различные знаки. Давайте раскроем их:

Выполняем второй уже известный нам шаг:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Посчитаем:

Выполняем последний шаг — делим все на коэффициент при «икс»:

\[\frac{2x}{x}=\frac{0}{2}\]

Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:

• Как я говорил выше, далеко не каждое линейное уравнение имеет решение — иногда корней просто нет;
• Даже если корни есть, среди них может затесаться ноль — ничего страшного в этом нет.

Ноль — такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.

Еще одна особенность связана с раскрытием скобок. Обратите внимание: когда перед ними стоит «минус», то мы его убираем, однако в скобках знаки меняем на противоположные . А дальше мы можем раскрывать ее по стандартным алгоритмам: мы получим то, что видели в выкладках выше.

Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.

Решение сложных линейных уравнений

Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.

Пример №1

Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:

Теперь займемся уединением:

\[-x+6{{x}^{2}}-6{{x}^{2}}+x=-12\]

Приводим подобные:

Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:

\[\varnothing \]

или корней нет.

Пример №2

Выполняем те же действия. Первый шаг:

Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее — вправо:

Приводим подобные:

Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:

\[\varnothing \],

либо корней нет.

Нюансы решения

Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.

Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус». Рассмотрим вот это выражение:

Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое . Внутри стоит два слагаемых — соответственно, два слагаемых и умножается.

И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус». Да, да: только сейчас, когда преобразования выполнены, мы вспоминаем, что перед скобками стоит знак «минус», а это значит, что все, что в низ, просто меняет знаки. При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.

Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:

Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений — это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.

Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.

Решение ещё более сложных линейных уравнений

То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.

Задача №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21{{x}^{2}}=3\]

Давайте перемножим все элементы в первой части:

Давайте выполним уединение:

Приводим подобные:

Выполняем последний шаг:

\[\frac{-4x}{4}=\frac{4}{-4}\]

Вот наш окончательный ответ. И, несмотря на то, что у нас в процессе решения возникали коэффициенты с квадратичной функцией, однако они взаимно уничтожились, что делает уравнение именно линейным, а не квадратным.

Задача №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй. Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований:

А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:

Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без — вправо:

\[-3x-4x+12{{x}^{2}}-12{{x}^{2}}+6x=-1\]

Приводим подобные слагаемые:

Мы вновь получили окончательный ответ.

Нюансы решения

Важнейшее замечание по поводу этих двух уравнений состоит в следующем: как только мы начинаем умножать скобки, в которых находится более чем оно слагаемое, то выполняется это по следующему правилу: мы берем первое слагаемое из первой и перемножаем с каждым элементом со второй; затем берем второй элемент из первой и аналогично перемножаем с каждым элементом со второй. В итоге у нас получится четыре слагаемых.

Об алгебраической сумме

На последнем примере я хотел бы напомнить ученикам, что такое алгебраическая сумма. В классической математике под $1-7$ мы подразумеваем простую конструкцию: из единицы вычитаем семь. В алгебре же мы подразумеваем под этим следующее: к числу «единица» мы прибавляем другое число, а именно «минус семь». Этим алгебраическая сумма отличается от обычной арифметической.

Как только при выполнении всех преобразований, каждого сложения и умножения вы начнёте видеть конструкции, аналогичные вышеописанным, никаких проблем в алгебре при работе с многочленами и уравнениями у вас просто не будет.

В заключение давайте рассмотрим ещё пару примеров, которые будут ещё более сложными, чем те, которые мы только что рассмотрели, и для их решения нам придётся несколько расширить наш стандартный алгоритм.

Решение уравнений с дробью

Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:

1. Раскрыть скобки.
2. Уединить переменные.
3. Привести подобные.
4. Разделить на коэффициент.

Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.

Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:

1. Избавиться от дробей.
2. Раскрыть скобки.
3. Уединить переменные.
4. Привести подобные.
5. Разделить на коэффициент.

Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.

Пример №1

\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)}{4}={{x}^{2}}-1\]

Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:

\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4}{4}=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]

Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре». Запишем:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]

Теперь раскроем:

Выполняем уединение переменной:

Выполняем приведение подобных слагаемых:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac{-4x}{-4}=\frac{-1}{-4}\]

Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.

Пример №2

\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)}{5}+{{x}^{2}}=1\]

Здесь выполняем все те же действия:

\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5}{5}+{{x}^{2}}\cdot 5=5\]

\[\frac{4x}{4}=\frac{4}{4}\]

Задача решена.

Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.

Ключевые моменты

Ключевые выводы следующие:

• Знать алгоритм решения линейных уравнений.
• Умение раскрывать скобки.
• Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.
• Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.

Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!

Математические уравнения не только полезны - они также могут быть и красивы. И многие ученые признают, что они часто любят определенные формулы не только за их функциональность, но еще и за их форму, некую особую поэтичность. Есть те уравнения, которые известны на весь мир, как, например, E = mc^2. Другие не столь широко распространены, но красота уравнения не зависит от его популярности.

Общая теория относительности

Уравнение, описанное выше, было сформулировано Альбертом Эйнштейном в 1915 году как часть инновационной общей теории относительности. Теория на самом деле произвела революцию в мире науки. Это удивительно, как одним уравнением можно описать абсолютно все, что есть вокруг, в том числе пространство и время. Весь истинный гений Эйнштейна воплощен в нем. Это очень элегантное уравнение, которое кратко описывает, как все вокруг вас связано - например, как присутствие Солнца в галактике искривляет пространство и время так, чтобы Земля вращалась вокруг него.

Стандартная модель

Стандартная модель - это еще одна из важнейших теорий физики, в ней описываются все элементарные частицы, из которых состоит вселенная. Существуют различные уравнения, способные описать эту теорию, однако чаще всего пользуются уравнением Лагранжа, французского математика и астронома 18 века. Он успешно описал абсолютно все частицы и силы, которые на них воздействуют, за исключением гравитации. Это также включает недавно открытый бозон Хиггса. Оно в полной мере сочетается с квантовой механикой и общей теорией относительности.

Математический анализ

В то время как первые два уравнения описывают конкретные аспекты вселенной, данное уравнение может быть использовано во всех возможных ситуациях. Фундаментальная теорема математического анализа формирует основу математического метода, известного как исчисление, и связывает две свои основные идеи - концепцию интеграла и понятие производной. Зародился математический анализ еще в древности, однако все теории были собраны воедино Исааком Ньютоном в 17 веке - он использовал их для вычисления и описания движения планет вокруг Солнца.

Теорема Пифагора

Старым добрым известным всем уравнением выражается знаменитая теорема Пифагора, которую учат все школьники на уроках геометрии. Это формула описывает, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы, самой длинной из всех сторон (c), равен сумме квадратов двух других сторон, катетов (a и b). В итоге, уравнение выглядит следующим образом: a^2 + b^2 = c^2. Эта теорема удивляет многих начинающих математиков и физиков, когда они только учатся в школе и еще не знают, что им готовит новый мир.

1 = 0.999999999….

Это простое уравнение указывает на то, что число 0.999 с бесконечным количеством девяток после запятой, на самом деле, равно единице. Это уравнение замечательно тем, что оно крайне простое, невероятно наглядное, но все же умудряется удивить и поразить многих. Некоторые люди не могут поверить в то, что это на самом деле так. Более того, красиво и само по себе уравнение - левая его часть представляет собой простейшую основу математики, а правая скрывает в себе тайны и загадки бесконечности.

Специальная теория относительности

Альберт Эйнштейн снова попадает в список, на этот раз со своей специальной теорией относительности, которая описывает, как время и пространство являются не абсолютными понятиями, а относительными - к скорости смотрящего. Это уравнение показывает, как время «расширяется», тем сильнее замедляясь, чем быстрее человек движется. На самом деле, уравнение не является таким уж сложным, простые производные, линейная алгебра. Однако то, что оно собой воплощает, представляет абсолютно новый способ смотреть на мир.

Уравнение Эйлера

Эта простая формула включает в себя основные знания о природе сфер. Она говорит о том, что если вы разрезаете сферу и получаете грани, ребра и вершины, то если F принять за число граней, E - за число ребер, а V - за число вершин, то вы всегда получите одно и то же: V - E + F = 2. Именно так и выглядит данное уравнение. Поражает то, что какую бы сферическую форму вы ни взяли - будь-то тетраэдр, пирамида или любая другая комбинация граней, ребер и вершин, у вас всегда получится одинаковый результат. Эта комбинаторика рассказывает людям нечто фундаментальное о сферических формах.

Уравнение Эйлера-Лагранжа и теорема Нетер

Эти понятия являются довольно абстрактными, но очень сильными. Самое интересное заключается в том, что данный новый способ мышления о физике смог пережить несколько революций в данной науке, таких как открытие квантовой механики, теории относительности и так далее. Здесь L означает уравнение Лагранжа, которое является мерой энергии в физической системе. А решение этого уравнения расскажет вам о том, как конкретная система будет развиваться с течением времени. Вариантом уравнения Лагранжа является теорема Нетер, которая является фундаментальной для физики и роли симметрии. Суть теоремы заключается в том, что если ваша система симметрична, то в ней действует соответствующий закон сохранения. Собственно говоря, главная идея этой теоремы заключается в том, что законы физики действуют повсеместно.

Уравнение ренормгруппы

Это уравнение также называется по имени его создателей, уравнением Каллана-Симанчика. Оно является жизненно важным базовым уравнением, написанным в 1970 году. Оно служит для того, чтобы продемонстрировать, как наивные ожидания рушатся в квантовом мире. Уравнение также имеет множество приложений, позволяющих оценить массу и размер протона и нейтрона, которые составляют ядро атома.

Уравнение минимальной поверхности

Данное уравнение невероятным образом вычисляет и кодирует те самые красивые мыльные пленки, которые образуются на проволоке, когда ее окунают в мыльную воду. Данное уравнение, однако, сильно отличается от привычных линейных уравнений из той же области, например, уравнения тепла, образования волн и так далее. Это уравнение - нелинейно, оно включает в себя воздействие сторонних сил и производных продуктов.

Прямая Эйлера

Возьмите любой треугольник, нарисуйте наименьший круг, который может включить в себя треугольник, и отыщите его центр. Найдите центр массы треугольника - ту точку, которая позволила бы треугольнику балансировать, например, на острие карандаша, если бы его можно было вырезать из бумаги. Нарисуйте три высоты этого треугольника (линии, которые были бы перпендикулярны тем сторонам треугольника, от которых они рисуются) и найдите точку их пересечения. Суть теоремы заключается в том, что все три точки будут находиться на одной прямой, именно это и есть прямая Эйлера. Теорема заключает в себе всю красоту и мощь математики, открывая удивительные закономерности в самых простых вещах.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

«Уравнение - это золотой ключ, открывающий все математические сезамы»

С. Коваль

Математическое образование, получаемое в школе, очень важная часть жизни современного человека. Практически всё, что окружает нас так или иначе связано с математикой. Решение многих практических задач сводится к решению уравнений различных видов.

Уравнения - это наиболее объёмная тема всего курса алгебры. В прошлом учебном году на уроках алгебры мы познакомилась с квадратными уравнениями. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении различных задач, как в области математики, так и в области физики и химии.

В школьном курсе математики изучается основные способы решения квадратных уравнений. Однако, имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, некоторые из которых позволяют быстро, рационально решать их.

Нами было проведено анкетирование среди 84 учащихся 8-9 классов по двум вопросам:

Какие способы решения квадратных уравнений вы знаете?

Какие вы используете чаще всего?

По результатам анкетирование были получены следующие результаты:

Проанализировав полученные результаты, мы пришли к выводу, что большинство учащихся используют при решении квадратных уравнений формулы корней с использование дискриминанта и недостаточно осведомлены о способах решения квадратных уравнений.

Таким образом, выбранная нами тема является актуальной.

Мы поставили перед собой цель : изучить нетрадиционные способы решения квадратных уравнений, познакомить учащихся 8 и 9 классов с различными способами решения, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратного уравнения.

Для достижения указанной цели нужно решить следующие задачи:

собрать информацию о различных способах решения квадратных уравнений,

освоить найденные способы решения,

составить программу для решения квадратных уравнений по формулам корней квадратного уравнения в Excel,

разработать дидактический материал для проведения урока или внеурочного мероприятия по нестандартным методам решения квадратных уравнений,

провести занятие «Необычные способы решения квадратных уравнений» с учащимися 8 - 9 классов.

Объект исследования: квадратные уравнения.

Предмет исследования: различных способы решения квадратных уравнений.

Считаем, что практическая значимость работы состоит в возможности использования банка приёмов и способов решения квадратных уравнений на уроках математики и внеурочной деятельности, а также в ознакомлении учащихся 8 - 9 классов с данных материалом.

ГЛАВА 1. НЕОБЫЧНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. 1. СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ (a,b,c)

Метод основан на свойствах коэффициентов a,b,c:

Если a+b+c=0, то = 1, =

Пример:

-6х 2 + 2х +4=0, то = 1, = = .

Если a - b+c=0, то = -1, = -

Пример:

2017х 2 + 2001х +16 =0, то = -1, -.

1. 1. ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ (a,b,c)

Справедливы следующие зависимости коэффициентов a,b,c:

Если b=a 2 +1, c=a, то х 1 =-а; x 2 = - .

Если b=-(a 2 +1), a=c, то x 1 =a; x 2 =.

Если b=a 2 -1, c=-a, то x 1 =-a; x 2 = .

Если b=-(a 2 -1), -a=c, то x 1 =a; x 2 = - .

Решим следующие уравнения:

5x 2 + 26x + 5 = 0

x 1 = -5

x 2 = - 0,2.

13x 2 - 167x + 13 = 0

x 1 =13 x 2 =

14x 2 + 195x - 14 = 0

x 1 = - 14 x 2 =

10x 2 - 99x - 10 = 0

x 1 =10 x 2 =-0,1.

1. 1. «ПЕРЕБРОС» ГЛАВНОГО КОЭФФИЦИЕНТА

Коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Далее корни находятся по теореме Виета. Найденные корни делятся на ранее переброшенный коэффициент, благодаря этому мы находим корни уравнения.

Пример:

2х 2 - 3х + 1 = 0.

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у 2 - 3у + 2 = 0.

Согласно теореме Виета

у 1 = 2 , х 1 = 2/2 , x 1 = 1,

у 2 = 1; x 2 = 1/2; x 2 = 0,5.

Ответ: 0,5; 1.

1. 1. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ

Если в уравнении аx 2 + bx + c = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим ax 2 = -bx -c .

Построим графики зависимостей у = aх 2 и у = -bx -c в одной системе координат.

График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая.

Возможны следующие случаи:

прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Решим следующие уравнения:

1) х 2 + 2х - 3 = 0

х 2 = - 2х + 3

В одной системе координат построим график функции у =х 2 и график функции у = - 2х+3. Обозначив абсциссы точек пересечения, получим ответ.

Ответ: х 1 = - 3, х 2 =1.

2) х 2 + 6х +9 = 0

х 2 = - 6х - 9

В одной системе координат построим график функции у = х 2 и график функции у = -6х - 9. Обозначив абсциссу точки касания, получим ответ.

Ответ: х= - 3.

3) 2х 2 + 4х +7=0

2х 2 = - 4х - 7

В одной системе координат построим график функции у =2х 2 и график функции

Парабола у =2х 2 и прямая у = - 4х - 7 не имеют общих точек, следовательно уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

1. 1. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ

Решим уравнение aх 2 +bх+c=0:

Построим точки S(-b:2a,(a+c):2a)- центр окружности и точку А(0,1).

Провести окружность радиуса SA.

Абсциссы точек пересечения с осью Ох есть корни исходного уравнения.

При этом возможны три случая:

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS>SK , или R> ), окружность пересекает ось Ох в двух точках..B(х 1 ; 0) и D(х 2 ;0), где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SВ , или R = ), окружность касается оси Ох в точке B(х 1 ; 0), где х 1 - корень квадратного уравнения.

3) Радиус окружности меньше ординаты центра (AS < SВ , или R < ), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

а) AS > SВ или R > , б) AS = SВ или R = в) AS < SВ, или R < .

Два решения х 1 и х 2 . Одно решение х 1.. Не имеет решения.

Пример 1: 2х 2 - 8х + 6 = 0.

Решение:

Проведём окружность радиуса SA, где А (0;1).

Ответ: х 1 = 1 , х 2 = 3.

Пример 2: х 2 - 6х + 9 = 0.

Решение : Найдём координаты S: x=3, y=5.

Ответ: x=3.

Пример 3: х 2 + 4 х + 5 = 0.

Решение: Координаты центра окружности: х= - 2 и y = 3.

Ответ: нет корней

1. 1. РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ НОМОГРАММЫ

Номограмма (от греческого «nomos» - закон и грамма), графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывание линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул.

Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещённый на стр. 83 сборника: Брадис В.М. «Четырехзначные математические таблицы». - М., “ДРОФА”, 2000. Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 (см. Приложение 1).

Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам: ОВ = , АВ =

Полагая ОС = р, ЕD = q, ОЕ = а (все в см), из подобия треугольников САН и СDF получим пропорцию откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z 2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Пример 1 : z 2 - 9z + 8 = 0 .

На шкале p находим отметку -9, а на шкале q отметку 8. Проводим через эти метки прямую, которая пересекает кривую шкалу номограммы в отметках 1 и 8. Следовательно, корни уравнения 1 и 8.

Ответ: 1; 8.

Именно данное уравнение решено в таблице Брадиса стр. 83 (см. Приложение 1).

Пример 2: 2z 2 - 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение:

z 2 - 4,5z + 1 = 0. Номограмма даёт корни z 1 = 4 иz 2 = 0,5.

Ответ: 4; 0,5.

Пример 3: x 2 - 25x + 66 = 0

Коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы. Выполним подстановку x = 5z , получим уравнение:

z 2 - 5z + 2,64 = 0,

которое решаем посредством номограммы.

Получим z 1 = 0,6 и z 2 = 4,4,

откудаx 1 = 5 z 1 = 3,0 иx 2 = 5 z 2 = 22,0.

Ответ: 3; 22.

Пример 4: z 2 + 5z - 6 = 0, 1 =1 , а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из - p, т.е. z 2 = - p -1= - 5 - 1= -6.

Ответ: 1; -6.

Пример 5: z 2 - 2z - 8 = 0, номограмма даёт положительный корень z 1 =4, а отрицательный равен z 2 = - p -4 =

= 2 - 4= -2.

Ответ: 4; -2.

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ ПО ФОРМУЛАМ КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ EXCEL

Мы решили составить программу для решения квадратного уравнения с помощью Excel - это широко распространенная компьютерная программа. Нужна она для проведения расчётов, составления таблиц и диаграмм, вычисления простых и сложных функций. Она входит в состав пакета Microsoft Office.

Лист программы Excel, где отображены формулы:

Лист программы Excel, где показан конкретный пример решения квадратного уравнения x 2 - 14x - 15 = 0 :

ГЛАВА 3. СРАВНЕНИЕ РАЗНЫХ СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Формула корней квадратного уравнения с использованием дискриминанта D и D1	Универсальность, т.к. можно использовать для решения абсолютно всех квадратных уравнений	Громоздкий дискриминант, не входящий в таблицу квадратов
Теорема Виета	Быстрота решения в определённых случаях и экономия времени	Если дискриминант не является полным квадратом целого числа. Не целые коэффициенты b и с.
Выделение полного квадрата	При правильном преобразовании в квадрат двучлена получаем квадратное уравнение неполного вида и следовательно быстрее находятся корни	Сложность выделения полного квадрата при дробных коэффициентах уравнения
Способ группировки	Можно решить, не зная формул	Не всегда среднее слагаемое удаётся разложить на подходящие слагаемые для группировки
Графический способ	Не требуется формул. Можно быстро узнать количество корней уравнения	Приближённость решения
Свойства коэффициентов a,b,c	Быстрота решения. Для уравнений с большими коэффициентами	Подходит только для некоторых уравнений
«Переброс» главного коэффициента	Быстрота решения, если корни целые	Такие же как с помощью теоремы Виета
Номограмма	Наглядность Все, что требуется для решения-это номограмма	Не всегда имеется с собой номограмма. Неточность решения
Нахождение корней с помощью циркуля и линейки	Наглядность	Если координаты центра нецелые числа. Нахождении корней уравнений с большими коэффициентами

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путём сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»

Уолтер Варвик Сойер

В ходе работы мы собрали материал и изучили способы решения (нахождения корней) квадратных уравнений. Решение уравнений разными способами представлено в Приложении 2.

Изучая разные способы решения квадратных уравнений, мы сделали вывод, что для каждого уравнения можно подобрать свой наиболее эффективный и рациональный вариант нахождения корней. Каждый из способов решения уникален и удобен в определённых случаях. Некоторые способы решения позволяют сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ОГЭ, другие - помогают решить уравнение с очень большими коэффициентами. Мы постарались сравнить разные способы решения, составив таблицу, в которой отразили плюсы и минусы каждого из способов.

Нами разработан раздаточный материал. Познакомиться с банком заданий по теме можно в Приложении 3.

Используя Microsoft Excel, мы составили электронную таблицу, которая позволяет автоматически рассчитывать корни квадратного уравнения по формулам корней.

Мы провели урок, посвященный необычным способам решения квадратных уравнений, для учащихся 9 классов. Ученикам очень понравились способы, они отметили, что полученные знания пригодятся им в дальнейшем обучении. Результатом проведённого урока стали работы учащихся, в которых они представили различные варианты решения квадратных уравнений (см. Приложение 4).

Материалом работы могут воспользоваться и те, кто любит математику и те, кто хочет знать о математике больше.

ЛИТЕРАТУРА

Брадис В. М. «Четырехзначные математические таблицы для средней школы», М.: Дрофа, 2000.

Виленкин Н.Я. «Алгебра для 8 класса», М.: Просвещение, 2000.

Галицкий М.Л. «Сборник задач по алгебре», М.: Просвещение 2002.

Глейзер Г. И. «История математики в школе», М.: Просвещение, 1982.

Звавич Л.И. «Алгебра 8 класс», М.: Мнемозина, 2002.

Макарычев Ю.Н. “Алгебра 8 класс”, М.: Просвещение, 2015.

Плужников И. «10 способов решения квадратных уравнений» // Математика в школе. - 2000.- № 40.

Пресман А.А. «Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки»//М., Квант, №4/72, c.34.

Савин А.П. «Энциклопедический словарь юного математика»,

М.: Педагогика, 1989.

Интернет ресурсы:

http://revolution.allbest.ru/

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

«СБОРНИК БРАДИСА В.М.»

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

«РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВСЕМИ СПОСОБАМИ»

Исходноеуравнение: 4х 2 +3х -1 = 0.

1.Формула корней квадратного уравнения с использованием дискриминанта D

4х 2 +3х -1 = 0

D = b 2 - 4ac = 9+16 = 25 > 0, => уравнение имеет два корня

x 1,2 =

x 1 ==

x 2 ==-1

2.Теорема Виета

4х 2 +3х -1 = 0, поделим уравнение на 4, чтобы оно стало приведённым

х 2 +х -=0

х 1 = -1

х 2 =

3. Метод выделения полного квадрата

4х 2 +3х -1 = 0

(4х 2 +2*2х *+)-1=0

(2х +) 2 -=0

(2х + -)(2х + +)=0,

(2х -)=0 (2х +2)=0

х 1 = х 2 = -1

4. Способ группировки

4х 2 +3х -1 = 0

4х 2 +4х-1х-1=0

4х(х+1)-1(х+1)=0

(4х-1)(х+1)=0, произведение =0, когда один из множителей=0

(4х-1)=0 (х+1)=0

х 1 = х 2 = -1

5. Свойства коэффициентов

4х 2 +3х -1 = 0

Если a - b+c=0, то = -1, = -

4-3-1=0, => = -1, =

6. Метод «переброски» главного коэффициента

4х 2 +3х -1 = 0

y 2 +3y - 4 = 0

Теорема Виета:

y 1 = -4

y 2 = 1

Разделим найденные корни на главный коэффициент и получим корни нашего уравнения:

х 1 = -1

х 2 =

7. Способ решения квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

4х 2 +3х -1 = 0

Определим координаты точки центра окружности по формулам:

х 1 = -1

х 2 =

8. Графический способ решения

4х 2 +3х -1 = 0

4х 2 = - 3x + 1

В одной системе координат построим график функции у = 4х 2 и график функции

у = - 3х+1. Обозначив абсциссы точек пересечения, получим ответ:

х 1 = -1

9. С помощью номограммы

4х 2 +3х -1 = 0, разделим коэффициенты уравнения 1/на 4, получим уравнение

х 2 +х -= 0.

Номограмма даёт положительный корень = ,

а отрицательный корень находим, вычитая положительный корень из - p, т.е.

x 2 = - p -=- -= -1.

10. Решение данного уравнения в EXCEL

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

«ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ ТЕМЫ

“РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ” »

10х 2 + 2017х + 2007 = 0 -1 -200,7

-10х 2 + 7х + 3 = 0 -1 0,3

354х 2 -52х -302 = 0 1 -

100х 2 -99х-1 = 0 1 -0,01

5х 2 + 9х + 4 = 0 -1 -0,8

2017х 2 + х -2016 = 0 -1

22х 2 +10х-12 = 0 -1

5432х 2 -3087х-2345 = 0 1 -

4х 2 + 2х -6с = 0 1 -1,5

55х 2 -44х -11= 0 1 -0,2

6х 2 - 7х - 3 = 0 - , 1,5

4х 2 -17х-15 = 0 -0,75, 5

4271х 2 -4272х + 1 = 0 1,

3х 2 +10х + 7 = 0 -1, - 2

5х 2 - 11х + 2 = 0 2, 0,2

2х 2 - 11х + 15 = 0 2,5, 3

4х 2 + 4х -3= 0 -1,5, 0,5

5х 2 -12х + 7 = 0 1,4, 1

2х 2 + 13х + 15 = 0 -1,5 -5

3х 2 -7х + 2 = 0 1/3 2

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

«РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ»

Министерство общего и профессионального образования РФ

Муниципальное образовательное учреждение

Гимназия № 12

сочинение

на тему: Уравнения и способы их решения

Выполнил: ученик 10 "А" класса

Крутько Евгений

Проверила: учитель математики Исхакова Гульсум Акрамовна

Тюмень 2001

План................................................................................................................................... 1

Введение........................................................................................................................... 2

Основная часть................................................................................................................. 3

Заключение..................................................................................................................... 25

Приложение................................................................................................................... 26

Список использованной литературы.......................................................................... 29

План.

Введение.

Историческая справка.

Уравнения. Алгебраически уравнения.

а) Основные определения.

б) Линейное уравненение и способ его решения.

в) Квадратные уравнения и способы его решения.

г) Двучленные уравнения способ их решения.

д) Кубические уравнения и способы его решения.

е) Биквадратное уравнение и способ его решения.

ё) Уравнения четвертой степени и способы его решения.

ж) Уравнения высоких степеней и способы из решения.

з) Рациональноное алгебраическое уравнение и способ его

и) Иррациональные уравнения и способы его решения.

к) Уравнения, содержащие неизвестное под знаком.

абсолютной величины и способ его решения.

Трансцендентные уравнения.

а) Показательные уравнения и способ их решения.

б) Логарифмические уравнения и способ их решения.

Введение

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Я расположил материал по степени его сложности, начиная с самого простого. В него вошли как известные нам виды уравнений из школьного курс алгебры, так и дополнительный материал. При этом я попытался показать виды уравнений, которые не изучаются в школьном курсе, но знание которых может понадобиться при поступлении в высшее учебное заведение. В своей работе при решении уравнений я не стал ограничиваться только действительным решением, но и указал комплексное, так как считаю, что иначе уравнение просто недорешено. Ведь если в уравнении нет действительных корней, то это еще не значит, что оно не имеет решений. К сожалению, из-за нехватки времени я не смог изложить весь имеющийся у меня материал, но даже по тому материалу, который здесь изложен, может возникнуть множество вопросов. Я надеюсь, что моих знаний хватит для того, чтобы дать ответ на большинство вопросов. Итак, я приступаю к изложению материала.

Математика... выявляет порядок,

симметрию и определенность,

а это – важнейшие виды прекрасного.

Аристотель.

Историческая справка

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

уравнения. Алгебраические уравнения

Основные определения

В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.

Тождество – это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв ). Для записи тождества наряду со знаком

также используется знак .

Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита:

, , ... – или теми же буквами, снабженными индексами: , , ... или , , ...); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (их обычно обозначают последними буквами латинского алфавита: , , , ... – или теми же буквами, снабженными индексами: , , ... или , , ...).

В общем виде уравнение может быть записано так:

(, , ..., ).

В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и т. д. неизвестными.