Сообщение история дробей. Традиционные методические подходы к изучению темы " Обыкновенные дроби"

Главная

На свободную тему

Вавилоняне работали только с шестидесятеричными дробями. Так как знаменателями таких дробей служат числа 60, 602, 603 и т.п., то такие дроби, как 1/7, нельзя было точно выразить через шестидесятеричные. Выражали через подобные дроби приближенно.

Своей системой дробей отличался Древний Рим. Эта система основывалась на делении на 12 долей единицы веса, называемой асс. Двенадцатая доля асса называлась унция. В ходу были и следующие названия: "семис" - половина асса, "секстане" - шестая доля асса, "семиунция" - полунции, то есть 1/24 асса. Всего применялось 18 различных названий дробей. Для работы с такими дробями надо было помнить и таблицу сложения, и таблицу умножения . Для облегчения работы составлялись специальные таблицы. Недостатком такой системы было то, что в ней не было дробей со знаменателями 10 или 100, что затрудняло деление на 10, 100 и т.д. Для избежания указанных трудностей римляне стали использовать проценты.

В греческих сочинениях по математике дробей не встречалось, т.к. греческие ученые считали, что математика должна заниматься только целыми числами . Дроби в греческой науке появились благодаря музыке.

Запись дробей с числителем и знаменателем предложили в Индии, только знаменатель писали вверху, а числитель в внизу, а также не ставили черту дроби. Современную запись дробей предложили арабы. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики.

Впервые в Европе данный термин употребил в 1202 году первый крупный математик средневековой Европы Леонардо Пизанский (1170 - 1250), более известный как Фибоначчи. Полноценная теория обыкновенных дробей и операций над ними сложилась в XVI веке в работах итальянского математика Никколо Тартальи (1499 - 1557) и немецкого и итальянского математика, астронома Христофора Клавиуса (Клавия) (1537 - 1612). В древней Руси дроби называли долями или ломаными числами. Русский термин "дробь" происходит от латинского слова "fractura", которое в переводе с арабского означает "ломать", "раздроблять". Термин "дробь" используется в "Арифметике" русского математика и педагога Леонтия Филипповича Магницкого (1669 - 1739) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.

История обыкновенных дробей

Дроби появились в глубокой древности. При разделе добычи, при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести дроби.

Древние египтяне уже знали, как поделить 2 предмета на троих, для этого числа -2/3- у них был специальный значок. Между прочим, это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица - все остальные дроби непременно имели в числителе единицу (так называемые основные дроби): 1/2; 1/3; 1/28; ... . Если египтянину нужно было использовать другие дроби, он представлял их в виде суммы основных дробей. Например, вместо 8/15 писали 1/3+1/5. Иногда это бывало удобно. В папирусе Ахмеса есть задача:

"Разделить 7 хлебов между 8 людьми". Если резать каждый хлеб на 8 частей, придётся провести 49 разрезов.

А по-египетски эта задача решалась так: Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2+1/4+1/8. Значит каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезали пополам, два хлеба- на 4 части и один хлеб на 8 долей, после чего каждому дали его часть.

Но складывать такие дроби было неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/n. А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому, папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от 2/5 до 2/99 записаны в виде суммы долей.

Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Ещё сложнее обстояло с делением.

В древнем Вавилоне предпочитали наоборот, - постоянный знаменатель, равный 60-ти. Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие и арабские математики и астрономы. Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной. А работать с обыкновенными дробями было уже совсем трудно. Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям

Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью- весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.

Даже сейчас иногда говорят:"Он скрупулёзно изучил этот вопрос." Это значит, что вопрос изучендо конца, что не одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово "скрупулёзно" от римского названия 1/288 асса - "скрупулус". В ходу были и такие названия: "семис"- половина асса, "секстанс"- шестая его доля, "семиунция"- половина унции, т.е. 1/24 асса и т.д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию (2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.

Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель - снизу, и не писали дробной черты.

Система дробей в Древнем Египте Дроби появились в глубокой древности. При разделе добычи, при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести дроби. Древние египтяне уже знали, как поделить 2 предмета на троих, для этого числа -2/3- у них был специальный значок. Между прочим, это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица - все остальные дроби непременно имели в числителе единицу (так называемые основные дроби): 1/2; 1/3; 1/28;.... Если египтянину нужно было использовать другие дроби, он представлял их в виде суммы основных дробей. Например, вместо 8/15 писали 1/3+1/5.

Система дробей в Древнем Вавилоне В древнем Вавилоне предпочитали, - постоянный знаменатель, равный 60-ти. Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие и арабские математики и астрономы. Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной. А работать с обыкновенными дробями было уже совсем трудно. Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям.

Система дробей в древнем Риме Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью- весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.

Кроссворд По горизонтали: 1. Деление числителя и знаменателя на одно и то же число. 2. Частное двух чисел. 3. Дробь, у которой числитель и знаменатель взаимно простые числа. 4. На сколько сокращается дробь 24/36? 5. Сотая часть числа. По вертикали: 6. Название дроби, у которой числитель больше или равен знаменателю. 7. Для нахождения общего знаменателя надо находить НОД или НОК? 8. Действие. При помощи которого находится дробь от числа.9. Для сокращения дроби надо находить НОД или НОК?

1.Обобщить
исторический
материал: когда и
где впервые
упоминается о
дробях.
2.Определить происхождение слова
"дробь".
3.Составить перечень способов записи
дроби в разные эпохи и у разных
народов.

1.Введение.
2. Из истории возникновения обыкновенных дробей.
- Дроби в Древнем Египте;
- Дроби в Древней Греции;
- Дроби в Индии;
- Дроби у арабов;
-Дроби в Вавилоне;
- Дроби в Древне Китае;
- Дроби в Древнем Риме;
-Дроби на Руси.
2.Десятичная запись дробных чисел.

3.Дроби в музыке.
4. Заключение.
Из истории возникновения обыкновенных дробей.
Необходимость в дробных числах возникла у человека на весьма ранней стадии развития. Уже
дележ добычи, состоявший из нескольких убитых животных, между участниками охоты, когда
число животных оказывалось не кратным числу охотников, могло привести первобытного человека
к понятию о дробном числе.
Наряду с необходимостью считать предметы у людей с древних времён появилась потребность
измерять длину, площадь, объём, время и другие величины. Результат измерений не всегда удавался
выразить натуральным числом, приходилось учитывать и части употребляемой меры.
Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры
начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как
следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более
мелкой единицей.
В связи с этой необходимой работой люди стали употреблять выражения: половина, треть, два с
половиной шага. Откуда можно было сделать вывод, что дробные числа возникли как результат
измерения величин. Народы прошли через многие варианты записи дробей, пока не пришли к
современной записи.
Дроби в Древнем Египте
В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы строить
грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо
было знать арифметику.
Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4 000 лет назад
имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные
с потребностями строительства, торговли и военного дела.

В Древнем Египте некоторые дроби имели свои особые названия – а именно, часто
возникающие на практике 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/6 и 1/8. Кроме того, египтяне умели оперировать с
так называемыми аликвотными дробями (от лат. aliquot – несколько) типа 1/n – их поэтому иногда
также называют «египетскими»; эти дроби имели свое написание: вытянутый горизонтальный
овальчик и под ним обозначение знаменателя. Что касается остальных дробей, то их следовало
раскладывать в сумму египетских. Древние египтяне уже знали, как поделить 2 предмета на троих,
для этого числа 2/3 у них был специальный значок. Это была единственная дробь в обиходе
египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица все остальные дроби непременно
имели в числителе единицу (так называемые основные дроби). Если египтянину нужно было
использовать другие дроби, он представлял их в виде суммы основных дробей. Например, вместо
8/15 писали 1/3+1/5. Иногда это бывало удобно. Умели египтяне также умножать и делить дроби.
Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать
таблицу. Ещё сложнее обстояло с делением. Важную работу по исследованию египетских дробей
провёл математик XIII века Фибоначчи.
Дроби в Древней Греции
Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии
математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних
математиков (к примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских
дробей по сравнению с Вавилонской системой). Максим Плануд греческий монах, ученый,
математик в 13 веке ввел название числителя и знаменателя

В Греции употреблялись наряду с единичными, «египетскими» дробями и общие

обыкновенные дроби. Среди разных записей употреблялась и такая: сверху знаменатель, под ним –
числитель дроби. Например,
5
3
означало три пятых. Еще за 23 столетия до Евклида и Архимеда
греки свободно владели арифметическими действиями с дробями.
Дроби в Индии.
Современную систему записи дробей создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху,
а числитель снизу, и не писали дробной черты. Зато вся дробь помещалась в прямоугольную рамку.
Иногда использовалось и «трехэтажное» выражение с тремя числами в одной рамке; в зависимости
от контекста это могло обозначать неправильную дробь (a + b/c) или деление целого числа a на
дробь b/c. Правила действий над дробями почти не отличались от современных.
Дроби у арабов.

Записывать дроби как сейчас стали арабы. Средневековые арабы пользовались тремя
системами записи дробей. Вопервых, на индийский манер записывая знаменатель под числителем;
дробная черта появилась в конце XII – начале XIII в. Вовторых, чиновники, землемеры, торговцы
пользовались исчислением аликвотных дробей, похожим на египетское, при этом применялись
дроби со знаменателями, не превышающими 10 (только для таких дробей арабский язык имеет
специальные термины); часто использовались приближенные значения; арабские ученые работали
над усовершенствованием этого исчисления. Втретьих, арабские ученые унаследовали вавилонско
греческую шестидесятеричную систему, в которой, как и греки, применяли алфавитную запись,
распространив ее и на целые части.
Дроби в Вавилоне
Вавилоняне пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная черточка обозначала одну
единицу, а угол из двух лежащих черточек – десять. Эти черточки у них получались в виде клиньев,
потому что вавилоняне писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом
сушили и обжигали.
В древнем Вавилоне предпочитали постоянный знаменатель, равный 60ти. Исследователи
поразному объясняют появление у вавилонян шестидесятеричной системы счисления. Скорее
всего здесь учитывалось основание 60, которое кратно 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, что
значительно облегчает всякие расчеты.
Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и
дробями, записанными по шестидесятеричной. А работать с обыкновенными дробями было уже
совсем трудно. Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным
дробям.
Дроби в Древнем Китае
В Древнем Китае уже пользовались десятичной системой мер, обозначали дробь словами,
используя меры длины чи: цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки. Дробь вида
2,135436 выглядела так: 2 чи, 1 цунь, 3 доли, 5 порядковых, 4 шерстинки, 3 тончайших, 6 паутинок.
Так записывались дроби на протяжении двух веков, а в V веке китайский ученый ЦзуЧунЧжи
принял за единицу не чи, а чжан = 10 чи, тогда эта дробь выглядела так: 2 чжана, 1 чи, 3 цуня, 5
долей, 4 порядковых, 3 шерстинки, 6 тончайших, 0 паутинок.
Дроби в Древнем Риме
Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей
единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и

другие величины сравнивали с наглядной вещью весом. Например, римлянин мог сказать, что он
прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о
взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. А
для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением
двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.
Даже сейчас иногда говорят: "Он скрупулёзно изучил этот вопрос." Это значит, что вопрос
изучен до конца, что не одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово
"скрупулёзно" от римского названия 1/288 асса "скрупулус". В ходу были и такие названия:
"семис" половина асса, "секстанс" шестая его доля, "семиунция" половина унции, т.е. 1/24 асса и
т.д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было
помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо
знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса
(2/3 асса) на сескунцию (2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы
составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.
Дроби на Руси
В русском языке слово "дробь" появилось лишь в VIII веке. Происходит слово "дробь" от
слова "дробить, разбивать, ломать на части". У других народов название дроби также связано с
глаголами "ломать", "разбивать", "раздроблять". В первых учебниках дроби назывались "ломанные
числа". В старых руководствах находили следующие названия дробей на Руси:
1
2
1
4
1
8
– половина, полтина,
– четь,
– полчеть,
1
3
1
6
– треть,
– полтреть,
1
12
– полполтреть,
1
16
1
32
– полполчеть,
1
24
– полполполтреть (малая треть),
– полполполчеть (малая четь),
1
5
– пятина,
1
7
– седьмина,

1
10
– десятина.

Древние математики 100/11 не считали дробью. Остаток от деления 1 фунт предлагалось
поменять на яйца, которых можно было купить 91 штуки. Если 91:11 то получится по 8 яиц и 3
яйца в остатке. Автор рекомендует отдать их тому, кто делил, или же поменять на соль, чтобы
посолить яйца.
Десятичные дроби.
Уже несколько тысячелетий человечество пользуется дробными числами, а вот записывать их
удобными десятичными знаками оно додумалось значительно позже. Почему же люди перешли от

обыкновенных
что
действия с ними более простые, особенно сложение и вычитание.
Появились десятичные дроби в трудах арабских математиков в Средние века и независимо от них
в Древнем Китае. Но и раньше, в древнем Вавилоне, использовали дроби такого же типа, только
десятичным?
дробей
Да

шестидесятеричные.
Позднее учёный Гартман Бейер (15631625) выпустил сочинение “Десятичная логистика”,
где писал: “…я обратил внимание на то, что техники и ремесленники, когда измеряют какую
нибудь длину, то очень редко и лишь в исключительных случаях выражают её в целых числах
одного наименования; обыкновенно им приходится или брать мелкие меры, или обращаться к
дробям. Точно так же астрономы измеряют величины не только в градусах, но и в долях градуса,
т.е. минутах, секундах и т.п. Их деление на 60 частей не так удобно, как деление на 10, на 100
частей и т.д., потому что в последнем случае гораздо легче складывать, вычитать и вообще
производить арифметические действия; мне кажется, что десятичные доли, если бы ввести вместо
шестидесятеричных, пригодились бы не только для астрономии, но и для всякого рода
вычислений”.
Сегодня мы пользуемся десятичными дробями естественно и свободно. Однако то, что
кажется естественным нам, служило настоящим камнем преткновения для учёных Средневековья.
В Западной Европе 16 в. вместе с широко распространённой десятичной системой представления
целых чисел в расчётах повсюду применялись шестидесятеричные дроби, восходящие ещё к
древней традиции вавилонян. Понадобился светлый ум нидерландского математика Симона
Стевина, чтобы привести запись и целых, и дробных чисел в единую систему. Повидимому,
толчком создания десятичных дробей послужили составленные им таблицы сложных процентов. В
1585 г. он опубликовал книгу “Десятина”, в которой объяснил десятичные дроби.
С начала XVII века начинается интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и
практику. В Англии в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была введена точка.

Запятая, как и точка, в качестве разделительного знака была предложена в 1617 году математиком
Непером.
Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовали все более громоздких
вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче было выполнять. Широкое применение
десятичные дроби получили в XIX веке после введения тесно связанной с ними метрической
системы мер и весов. Например, в нашей стране в сельском хозяйстве и промышленности
десятичные дроби и их частный вид – проценты – применяются намного чаще, чем обыкновенные
дроби.
Дроби в музыке.
Пифагорейцы, много занимавшихся музыкой и обожествлявшие число, считали, что Земля
имеет форму шара и находится в центре Вселенной: ведь нет никаких оснований, чтобы она была
смещена или вытянута в какуюто одну сторону. Солнце же, Луна и 5 планет (Меркурий, Венера,
Марс, Юпитер и Сатурн) движутся вокруг Земли. Расстояния от них до нашей планеты таковы, что
они как бы составляют семиструнную арфу, и при их движении возникает прекрасная музыка –
музыка сфер. Обычно люди не слышат её изза суеты жизни, и лишь после смерти некоторые из них
смогут насладиться ею. А Пифагор слышал её при жизни.
Его ученики – пифагорейцы, много занимавшиеся музыкой и обожествлявшие число,
исследовали, насколько повышается тон струны, если её прижать посередине, или на четверть
расстояния одного из концов, или на треть. Обнаружилось, что одновременное звучание двух струн
приятно для слуха, если длины их относятся как 1:2, или 2:3, или 3:4, что соответствует
музыкальным интервалам в октаву, квинту и кварту. Гармония оказалась тесно связанной с
дробями, что подтверждало основную мысль пифагорейцев: «число правит миром»…
Так дроби сыграли определяющую роль в музыке. И сейчас в общепринятой нотой записи
длинная нота – целая – делится на половинки (вдвое короче), четверти, восьмые, шестнадцатые и
тридцать вторые.
В процессе познания действительности математика играет все возрастающую роль. Сегодня
нет такой области знаний, где в той или иной степени не использовались бы математические
понятия и методы. Проблемы, решение которых раньше считалось невозможным, успешно
решаются благодаря применению математики, тем самым расширяются возможности научного
Математика всегда была неотъемлемой и существеннейшей составной частью
познания.
человеческой культуры, она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно
технического прогресса и важной компонентой развития личности.

Литература
1.М.Я.Выгодский. «Арифметика и алгебра в Древнем мире».
2.Г.И.Глейзер. «История математики в школе».
3.И.Я.Депман. «История арифметики».
4.Виленкин Н.Я. « Из истории дробей».
5.Фридман Л.М. «Изучаем математику».
6.www.referatwork.ru
7.http://storyof.ru/chisla/istoriyapoyavleniyamatematicheskojdrobi/
8.http://freecode.pspo.perm.ru/436/work/ss/ist_ch.html/
9.http://revolution.allbest.ru/mathematics/
10. http://www.researcher.ru/methodics/teor/

История возникновения обыкновенных дробей Ученица 10-1 класса ГБОУ СОШ №593 Санкт-Петербург Филипенкова Александра

Система дробей в Древнем Египте Дроби появились в глубокой древности. При разделе добычи, при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести дроби. Древние египтяне уже знали, как поделить 2 предмета на троих, для этого числа -2/3- у них был специальный значок. Между прочим, это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица - все остальные дроби непременно имели в числителе единицу (так называемые основные дроби): 1/2; 1/3; 1/28; ... . Если египтянину нужно было использовать другие дроби, он представлял их в виде суммы основных дробей. Например, вместо 8/15 писали 1/3+1/5.

Дробь Обыкновенная (или простая) дробь - запись рационального числа. Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель - знаменателем.

Афоризм Человек подобен дроби, числитель есть то, что он есть, а знаменатель то, что он о себе думает. Чем больше знаменатель, тем меньше дробь.

История Впервые в Европе данный термин употребил Леонардо Пизанский (1202). Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии - с шестидесятеричными.

Полноценная теория Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус). В 1585 году, с выходом книги Симона Стевина «Десятая», начинается широкое применение десятичных дробей.

Разделы