Точку минимума функции f x. Как найти экстремум (точки минимума и максимума) функции

Простой алгоритм нахождения экстремумов..

• Находим производную функции
• Приравниваем эту производную к нулю
• Находим значения переменной получившегося выражения (значения переменной, при которых производная преобразуется в ноль)
• Разбиваем этими значениями координатную прямую на промежутки (при этом не нужно забывать о точках разрыва, которые также надо наносить на прямую), все эти точки называются точками «подозрительными» на экстремум
• Вычисляем, на каких из этих промежутков производная будет положительной, а на каких – отрицательной. Для этого нужно подставить значение из промежутка в производную.

Из точек, подозрительных на экстремум, надо найти именно . Для этого смотрим на наши промежутки на координатной прямой. Если при прохождении через какую-то точку знак производной меняется с плюса на минус, то эта точка будет максимумом , а если с минуса на плюс, то минимумом .

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, нужно вычислить значение функции на концах отрезка и в точках экстремума. Затем выбрать наибольшее и наименьшее значение.

Рассмотрим пример
Находим производную и приравниваем её к нулю:

Полученные значения переменных наносим на координатную прямую и высчитываем знак производной на каждом из промежутков. Ну например, для первого возьмём -2 , тогда производная будет равна -0,24 , для второго возьмём 0 , тогда производная будет 2 , а для третьего возьмём 2 , тогда производная будет -0,24. Проставляем соответствующие знаки.

Видим, что при прохождении через точку -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет точка минимума, а при прохождении через 1 – с плюса на минус, соответственно это точка максимума.

Функция и исследование ее особенностей занимает одно из ключевых глав в современной математике. Главная составляющая любой функции - это графики, изображающие не только ее свойства, но также и параметры производной данной функции. Давайте разберемся в этой непростой теме. Итак, как лучше искать точки максимума и минимума функции?

Функция: определение

Любая переменная, которая каким-то образом зависит от значений другой величины, может называться функцией. Например, функция f(x 2) является квадратичной и определяет значения для всего множества х. Допустим, что х = 9, тогда значение нашей функции будет равно 9 2 = 81.

Функции бывают самых разных видов: логические, векторные, логарифмические, тригонометрические, числовые и другие. Их изучением занимались такие выдающиеся умы, как Лакруа, Лагранж, Лейбниц и Бернулли. Их труды служат оплотом в современных способах изучения функций. Перед тем как найти точки минимума, очень важно понять сам смысл функции и ее производной.

Производная и ее роль

Все функции находятся в зависимости от их переменных величин, а это значит, что они могут в любой момент изменить свое значение. На графике это будет изображаться как кривая, которая то опускается, то поднимается по оси ординат (это все множество чисел "y" по вертикали графика). Так вот определение точки максимума и минимума функции как раз связано с этими "колебаниями". Объясним, в чем эта взаимосвязь.

Производная любой функции изображается на графике с целью изучить ее основные характеристики и вычислить, как быстро изменяется функция (т.е. меняет свое значение в зависимости от переменной "x"). В тот момент, когда функция увеличивается, график ее производной будет также возрастать, но в любую секунду функция может начать уменьшаться, и тогда график производной будет убывать. Те точки, в которых производная переходит со знака минуса на плюс, называются точками минимума. Для того чтобы знать, как найти точки минимума, следует лучше разобраться с

Как вычислять производную?

Определение и функции подразумевает под собой несколько понятий из Вообще, само определение производной можно выразить следующим образом: это та величина, которая показывает скорость изменения функции.

Математический способ ее определения для многих учеников кажется сложным, однако на самом деле все гораздо проще. Необходимо лишь следовать стандартному плану нахождения производной любой функции. Ниже описано, как можно найти точку минимума функции, не применяя правила дифференцирования и не заучивая таблицу производных.

1. Вычислить производную функции можно с помощью графика. Для этого необходимо изобразить саму функцию, затем взять на ней одну точку (точка А на рис.) Вертикально вниз провести линию к оси абсцисс (точка х 0), а в точке А провести касательную к графику функции. Ось абсцисс и касательная образуют некий угол а. Для вычисления значения того, насколько быстро возрастает функция, необходимо вычислить тангенс этого угла а.
2. Получается, что тангенс угла между касательной и направлением оси х является производной функции на маленьком участке с точкой А. Данный метод считается геометрическим способом определения производной.

Способы исследования функции

В школьной программе математики возможно нахождение точки минимума функции двумя способами. Первый метод с помощью графика мы уже разобрали, а как же определить численное значение производной? Для этого потребуется выучить несколько формул, которые описывают свойства производной и помогают преобразовать переменные величины типа "х" в числа. Следующий метод является универсальным, поэтому его можно применять практически ко всем видам функций (как к геометрическим, так и логарифмическим).

1. Необходимо приравнять функцию к функции производной, а затем упростить выражение, используя правила дифференцирования.
2. В некоторых случаях, когда дана функция, в которой переменная "х" стоит в делителе, необходимо определить область допустимых значений, исключив из нее точку "0" (по простой причине того, что в математике ни в коем случае нельзя делить на ноль).
3. После этого следует преобразовать изначальный вид функции в простое уравнение, приравняв все выражение к нулю. Например, если функция выглядела так: f(x) = 2x 3 +38x, то по правилам дифференцирования ее производная равна f"(x) = 3x 2 +1. Тогда преобразуем это выражение в уравнение следующего вида: 3x 2 +1 = 0.
4. После решения уравнения и нахождения точек "х", следует изобразить их на оси абсцисс и определить, является ли производная в этих участках между отмеченными точками положительной или отрицательной. После обозначения станет ясно, в какой точке функция начинает убывать, то есть меняет знак с минуса на противоположный. Именно таким способом можно найти как точки минимума, так и максимума.

Правила дифференцирования

Самая основная составляющая в изучении функции и ее производной - это знание правил дифференцирования. Только с их помощью можно преобразовывать громоздкие выражения и большие сложные функции. Давайте ознакомимся с ними, их достаточно много, но все они весьма просты благодаря закономерным свойствам как степенных, так и логарифмических функций.

1. Производная любой константы равна нулю (f(х) = 0). То есть производная f(х) = x 5 + х - 160 примет такой вид: f" (х) = 5x 4 +1.
2. Производная суммы двух слагаемых: (f+w)" = f"w + fw".
3. Производная логарифмической функции: (log a d)" = d/ln a*d. Эта формула применима ко всем видам логарифмов.
4. Производная степени: (x n)"= n*x n-1 . Например,(9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Производная синусоидальной функции: (sin a)" = cos a. Если sin угла а равен 0,5, то ее производная равна √3/2.

Точки экстремума

Мы уже разобрали, как найти точки минимума, однако существует понятие и точек максимума функции. Если минимум обозначает те точки, в которых функция переходит со знака минуса на плюс, то точками максимума являются те точки на оси абсцисс, на которых производная функции меняется с плюса на противоположный - минус.

Находить можно по вышеописанному способу, только следует учесть, что они обозначают те участки, на которых функция начинает убывать, то есть производная будет меньше нуля.

В математике принято обобщать оба понятия, заменяя их словосочетанием "точки экстремумов". Когда в задании просят определить эти точки, это значит, что необходимо вычислить производную данной функции и найти точки минимума и максимума.

Точки, в которых производная равна нулю, являются точками экстремумов функции. Найдем эти точки и определим точки максимума и минимума.

x^2 - 5x + 6 = 0;

D = (- 5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1; √D = 1;

x = (- b ± √D)/(2a);

x1 = (5 + 1)/2 = 6/2 = 3;

x2 = (5 - 1)/2 = 4/2 = 2.

Точка максимума это точка в которой функция меняет возрастание на убывание, а точка минимума - это точка, в которой функция меняет убывание на возрастание. Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна, и убывает - где ее производная отрицательна.

Отметим точки 2 и 3 на числовой прямой. Они разделят прямую на три промежутка: 1) (- ∞; 2), 2) (2; 3), 3) (3; + ∞). Проверим, какой знак имеет производная x^2 - 5x + 6 на каждом промежутке.

На 1 и 3 промежутках производная принимает положительные значения, а на 2 промежутке - отрицательные. Значит, на 1 и 3 промежутках функция возрастает, а на 2 промежутке - убывает. См. рис. http://bit.ly/2wfdf7o

Значит точка х = 2 - точка максимума, а х = 3 - точка минимума.

Ответ. хmax = 2; xmin = 3.

Чтобы найти точки экстремума функции (то есть точки минимума и точки максимума), нужно:

• найти производную функции,
• найти нули производной (то есть приравнять ее к нулю и найти корни уравнения),
• с помощью числовой прямой определить знаки производной: когда функция возрастает, то производная положительна, когда функция убывает, то производная отрицательна,
• определить точки минимума и максимума: если функция возрастала и в определенной точке начала убывать, то это точка максимума, а если наоборот - то это точка минимума.

Производная уже известна f"(x) = x 2 - 5x + 6.

Найдем нули производной функции

x 2 - 5x + 6 = 0

Получилось квадратное уравнение, найдем корни уравнения через дискриминант.

x 2 - 5x + 6 - квадратичная функция, ветви вверх.

а = 1, в = -5, с = 6.

D = в 2 - 4ас = (-5) 2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1 (кв.корень равен 1)

х 1 = (5 + 1)/2 = 6/3 = 3

х 2 = (5 - 1)/2 = 4/2 = 2

Определяем знаки производной

Отмечаем на координатной прямой точки 2 и 3, схематически рисуем параболу (ветви вверх), подписываем знаки на каждом промежутке, стрелками показываем, как ведет себя функция на каждом промежутке.

(- бесконечность; 2) знак плюс, функция возрастает.

(2; 3) знак минус, функция убывает.

(3; + бесконечность) знак плюс, функция возрастает.

То есть точка 2 является точкой максимума, а точка 3 - точкой минимума.

Ответ: х min = 3, x max = 2.