Иррациональные уравнения и неравенства 10. Иррациональные неравенства
В данном уроке мы рассмотрим решение иррациональных неравенств, приведем различные примеры.
Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств
Урок: Иррациональные неравенства
При решении иррациональных неравенств довольно часто необходимо возводить обе части неравенства в некоторую степень, это довольно ответственная операция. Напомним особенности.
Обе части неравенства можно возвести в квадрат, если обе они неотрицательны, только тогда мы получаем из верного неравенства верное неравенство.
Обе части неравенства можно возвести куб в любом случае, если исходное неравенство было верным, то при возведении в куб мы получим верное неравенство.
Рассмотрим неравенство вида:
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Функция может принимать любые значения, необходимо рассмотреть два случая.
В первом случае обе части неравенства неотрицательны, имеем право возвести в квадрат. Во втором случае правая часть отрицательна, и мы не имеем права возводить в квадрат. В таком случае необходимо смотреть на смысл неравенства: здесь положительное выражение (квадратный корень) больше отрицательного выражения, значит, неравенство выполняется всегда.
Итак, имеем следующую схему решения:
В первой системе мы не защищаем отдельно подкоренное выражение, т. к. при выполнении второго неравенства системы подкоренное выражение автоматически должно быть положительно.
Пример 1 - решить неравенство:
Согласно схеме, переходим к эквивалентной совокупности двух систем неравенств:
Проиллюстрируем:
Рис. 1 - иллюстрация решения примера 1
Как мы видим, при избавлении от иррациональности, например, при возведении в квадрат, получаем совокупность систем. Иногда эту сложную конструкцию можно упростить. В полученной совокупности мы имеем право упростить первую систему и получить эквивалентную совокупность:
В качестве самостоятельного упражнения необходимо доказать эквивалентность данных совокупностей.
Рассмотрим неравенство вида:
Аналогично предыдущему неравенству, рассматриваем два случая:
В первом случае обе части неравенства неотрицательны, имеем право возвести в квадрат. Во втором случае правая часть отрицательна, и мы не имеем права возводить в квадрат. В таком случае необходимо смотреть на смысл неравенства: здесь положительное выражение (квадратный корень) меньше отрицательного выражения, значит, неравенство противоречиво. Вторую систему рассматривать не нужно.
Имеем эквивалентную систему:
Иногда иррациональное неравенство можно решить графическим методом. Данный способ применим, когда соответствующие графики можно достаточно легко построить и найти их точки пересечения.
Пример 2 - решить неравенства графически:
а)
б)
Первое неравенство мы уже решали и знаем ответ.
Чтобы решить неравенства графически, нужно построить график функции, стоящей в левой части, и график функции, стоящей в правой части.
Рис. 2. Графики функций и
Для построения графика функции необходимо преобразовать параболу в параболу (зеркально отобразить относительно оси у), полученную кривую сместить на 7 единиц вправо. График подтверждает, что данная функция монотонно убывает на своей области определения.
График функции - это прямая, ее легко построить. Точка пересечения с осью у - (0;-1).
Первая функция монотонно убывает, вторая монотонно возрастает. Если уравнение имеет корень, то он единственный, по графику легко его угадать: .
Когда значение аргумента меньше корня, парабола находится выше прямой. Когда значение аргумента находится в пределах от трех до семи, прямая проходит выше параболы.
Имеем ответ:
Эффективным методом решения иррациональных неравенств является метод интервалов.
Пример 3 - решить неравенства методом интервалов:
а)
б)
согласно методу интервалов, необходимо временно отойти от неравенства. Для этого перенести в заданном неравенстве все в левую часть (получить справа ноль) и ввести функцию, равную левой части:
теперь необходимо изучить полученную функцию.
ОДЗ:
Данное уравнение мы уже решали графически, поэтому не останавливаемся на определении корня.
Теперь необходимо выделить интервалы знакопостоянства и определить знак функции на каждом интервале:
Рис. 3. Интервалы знакопостоянства к примеру 3
Напомним, что для определения знаков на интервале необходимо взять пробную точку и подставить ее в функцию, полученный знак функция будет сохранять на всем интервале.
Проверим значение в граничной точке:
Очевиден ответ:
Рассмотрим следующий тип неравенств:
Сначала запишем ОДЗ:
Корни существуют, они неотрицательны, обе части можем возвести в квадрат. Получаем:
Получили эквивалентную систему:
Полученную систему можно упростить. При выполнении второго и третьего неравенств первое истинно автоматически. Имеем::
Пример 4 - решить неравенство:
Действуем по схеме - получаем эквивалентную систему.
Всякое неравенство, в состав которого входит функция, стоящая под корнем, называется иррациональным . Существует два типа таких неравенств:
В первом случае корень меньше функции g (x ), во втором - больше. Если g (x ) - константа , неравенство резко упрощается. Обратите внимание: внешне эти неравенства очень похожи, но схемы решения у них принципиально различаются.
Сегодня научимся решать иррациональные неравенства первого типа - они самые простые и понятные. Знак неравенства может быть строгим или нестрогим. Для них верно следующее утверждение:
Теорема. Всякое иррациональное неравенство вида
Равносильно системе неравенств:
Неслабо? Давайте рассмотрим, откуда берется такая система:
- f (x ) ≤ g 2 (x ) - тут все понятно. Это исходное неравенство, возведенное в квадрат;
- f (x ) ≥ 0 - это ОДЗ корня. Напомню: арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа;
- g (x ) ≥ 0 - это область значений корня. Возводя неравенство в квадрат, мы сжигаем минусы. В результате могут возникнуть лишние корни. Неравенство g (x ) ≥ 0 отсекает их.
Многие ученики «зацикливаются» на первом неравенстве системы: f (x ) ≤ g 2 (x ) - и напрочь забывают два других. Результат предсказуем: неправильное решение, потерянные баллы.
Поскольку иррациональные неравенства - достаточно сложная тема, разберем сразу 4 примера. От элементарных до действительно сложных. Все задачи взяты из вступительных экзаменов МГУ им. М. В. Ломоносова.
Примеры решения задач
Задача. Решите неравенство:
Перед нами классическое иррациональное неравенство : f (x ) = 2x + 3; g (x ) = 2 - константа. Имеем:
Из трех неравенств к концу решения осталось только два. Потому что неравенство 2 ≥ 0 выполняется всегда. Пересечем оставшиеся неравенства:
Итак, x ∈ [−1,5; 0,5]. Все точки закрашены, поскольку неравенства нестрогие .
Задача. Решите неравенство:
Применяем теорему:
Решаем первое неравенство. Для этого раскроем квадрат разности. Имеем:
2x
2 − 18x
+ 16 < (x
− 4) 2 ;
2x
2 − 18x
+ 16 < x
2 − 8x
+ 16:
x
2 − 10x
< 0;
x
(x
− 10) < 0;
x
∈ (0; 10).
Теперь решим второе неравенство. Там тоже квадратный трехчлен :
2x
2 − 18x
+ 16 ≥ 0;
x
2 − 9x
+ 8 ≥ 0;
(x
− 8)(x
− 1) ≥ 0;
x
∈ (−∞; 1]∪∪∪∪
Предлагается сильному ученику провести рассуждение в общем виде, получится вот, что
√f(х) f(х) 2
G(х) ≥ 0
F(х) ≥ 0.
Если бы в исходном неравенстве стоял знак ≤ вместо 2 .
Пример 2. √х > х - 2
Здесь опять можно возвести в квадрат для тех х, для которых выполнено условие х - 2 ≥ 0. Однако теперь уже нельзя отбросить те х, для которых правая часть отрицательна: ведь в этом случае правая часть будет меньше заведомо не отрицательной левой, так что все такие х будут решениями неравенств. Впрочем, не все, а те которые входят в область определения неравенства, т.е. для которых х ≥ 0. Какие случаи следует рассмотреть?
1 случай: если х - 2 ≥ 0, то из нашего неравенства следует система
х > (х - 2) 2
Х - 2 ≥ 0
2 случай: если х - 2
х ≥ 0
Х - 2
При разборе случаев возникает составное условие под названием «совокупность». Получим равносильную неравенству совокупность двух систем
х > (х - 2) 2
Х - 2 ≥ 0
Х ≥ 0
Х - 2
Сильному учащемуся предлагается провести рассуждение в общем, виде, то получится вот, что:
√f(х) > g(х) f(х) > (g(х)) 2
G(х) ≥ 0
F(х) ≥ 0
G(х)
Если бы в исходном неравенстве стоял знак ≥ вместо >, то в качестве первого неравенства этой системы надо было взять f(х) ≥ (g(х)) 2 .
Пример 3. √х 2 - 1 > √х + 5.
Вопросы:
Какие значения принимают выражения стоящие в левой и правой части?
Можно ли возвести в квадрат?
Какова область определения неравенств?
Получим х 2 - 1 > х + 5
Х + 5 ≥ 0
Х 2 - 1 ≥ 0
Какое условие лишнее?
Таким образом, получим, что данное неравенство равносильно системе
Х 2 - 1 > х + 5
Х + 5 ≥ 0
Сильному учащемуся предлагается провести рассуждение в общем виде, то получится вот, что:
√f(х) > √g(х) f(х) > g(х)
G(х) ≥ 0.
Подумайте, что изменится, если вместо > в исходном неравенстве будет стоять знак ≥, ≤ или <.>
На доске вывешиваются 3 схемы решения иррациональных неравенства, ещё раз обсуждается принцип их построения.
4 этап - закрепление знаний (5мин.)
Учащимся 2 группы предлагается указать, какой системе или их совокупности равносильно неравенство № 167 (Алгебра и начала анализа 10-11 кл. М, Просвещение, 2005, Ш.А.Алимов)
Двум наиболее подготовленным учащимся из этой группы предлагается решить на доске неравенства: № 1. √х 2 - 1 >1
№ 2. √25 - х 2
Учащиеся 1 группы получают аналогичное задание, но более высокого уровня сложности № 170 (Алгебра и начала анализа 10-11 кл. М, Просвещение, 2005, Ш.А.Алимов)
одному наиболее подготовленному учащемуся из этой группы предлагается решить на доске неравенство: √4х - х 2
При этом всем учащимся разрешается пользоваться конспектом.
В это время учитель работает с учащимися 3 группы: отвечает на их вопросы при необходимости помогает; и контролирует решение задач на доске.
По истечению времени каждой группе выдаётся для проверки лист ответов (можно показать ответы на экране, используя мультимедийную систему).
5 этап урока - обсуждение решений задач, представленных на доске (7мин.)
Учащиеся, выполнявшие задачи у доски, комментируют свои решения, а остальные вносят при необходимости коррективы и выполняют записи в тетрадях.
6 этап урока - подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию (2мин.)
3 группа обмен карточками внутри группы.
2 группа № 168 (3, 4)
1 группа № 169 (5), № 170 (6)