Что такое иррациональные числа? Почему они так называются? Где они используются и что собой представляют? Немногие могут без раздумий ответить на эти вопросы. Но на самом деле ответы на них довольно просты, хоть нужны не всем и в очень редких ситуациях

Сущность и обозначение

Иррациональные числа представляют собой бесконечные непериодические Необходимость введения этой концепции обусловлена тем, что для решения новых возникающих задач уже было недостаточно ранее имеющихся понятий действительных или вещественных, целых, натуральных и рациональных чисел. Например, для того, чтобы вычислить, квадратом какой величины является 2, необходимо использовать непериодические бесконечные десятичные дроби. Кроме того, многие простейшие уравнения также не имеют решения без введения концепции иррационального числа.

Это множество обозначается как I. И, как уже ясно, эти значения не могут быть представлены в виде простой дроби, в числителе которой будет целое, а в знаменателе -

Впервые так или иначе с этим явлением столкнулись индийские математики в VII веке когда было обнаружено, что квадратные корни из некоторых величин не могут быть обозначены явно. А первое доказательство существования подобных чисел приписывают пифагорейцу Гиппасу, который сделал это в процессе изучения равнобедренного прямоугольного треугольника. Серьезный вклад в изучение этого множества привнесли еще некоторые ученые, жившие до нашей эры. Введение концепции иррациональных чисел повлекло за собой пересмотр существовавшей математической системы, вот почему они так важны.

Происхождение названия

Если ratio в переводе с латыни - это "дробь", "отношение", то приставка "ир"
придает этому слову противоположное значение. Таким образом, название множества этих чисел говорит о том, что они не могут быть соотнесены с целым или дробным, имеют отдельное место. Это и вытекает из их сущности.

Место в общей классификации

Иррациональные числа наряду с рациональными относится к группе вещественных или действительных, которые в свою очередь относятся к комплексным. Подмножеств нет, однако различают алгебраическую и трансцендентную разновидность, о которых речь пойдет ниже.

Свойства

Поскольку иррациональные числа - это часть множества действительных, то к ним применимы все их свойства, которые изучаются в арифметике (их также называют основными алгебраическими законами).

a + b = b + a (коммутативность);

(a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность);

a + (-a) = 0 (существование противоположного числа);

ab = ba (переместительный закон);

(ab)c = a(bc) (дистрибутивность);

a(b+c) = ab + ac (распределительный закон);

a x 1/a = 1 (существование обратного числа);

Сравнение также проводится в соответствии с общими закономерностями и принципами:

Если a > b и b > c, то a > c (транзитивность соотношения) и. т. д.

Разумеется, все иррациональные числа могут быть преобразованы с помощью основных арифметических действий. Никаких особых правил при этом нет.

Кроме того, на иррациональные числа распространяется действие аксиомы Архимеда. Она гласит, что для любых двух величин a и b справедливо утверждение, что, взяв a в качестве слагаемого достаточное количество раз, можно превзойти b.

Использование

Несмотря на то что в обычной жизни не так уж часто приходится сталкиваться с ними, иррациональные числа не поддаются счету. Их огромное множество, но они практически незаметны. Нас повсюду окружают иррациональные числа. Примеры, знакомые всем, - это число пи, равное 3,1415926..., или e, по сути являющееся основанием натурального логарифма, 2,718281828... В алгебре, тригонометрии и геометрии использовать их приходится постоянно. Кстати, знаменитое значение "золотого сечения", то есть отношение как большей части к меньшей, так и наоборот, также

относится к этому множеству. Менее известное "серебряное" - тоже.

На числовой прямой они расположены очень плотно, так что между любыми двумя величинами, отнесенными к множеству рациональных, обязательно встречается иррациональная.

До сих пор существует масса нерешенных проблем, связанных с этим множеством. Существуют такие критерии, как мера иррациональности и нормальность числа. Математики продолжают исследовать наиболее значительные примеры на предмет принадлежности их к той или иной группе. Например, считается, что е - нормальное число, т. е. вероятность появления в его записи разных цифр одинакова. Что же касается пи, то относительно его пока ведутся исследования. Мерой иррациональности же называют величину, показывающую, насколько хорошо то или иное число может быть приближено рациональными числами.

Алгебраические и трансцендентные

Как уже было упомянуто, иррациональные числа условно разделяются на алгебраические и трансцендентные. Условно, поскольку, строго говоря, эта классификация используется для деления множества C.

Под этим обозначением скрываются комплексные числа, которые включают в себя действительные или вещественные.

Итак, алгебраическим называют такое значение, которое является корнем многочлена, не равного тождественно нулю. Например, квадратный корень из 2 будет относиться к этой категории, поскольку он является решением уравнения x 2 - 2 = 0.

Все же остальные вещественные числа, не удовлетворяющие этому условию, называются трансцендентными. К этой разновидности относятся и наиболее известные и уже упомянутые примеры - число пи и основание натурального логарифма e.

Что интересно, ни одно, ни второе не были изначально выведены математиками в этом качестве, их иррациональность и трансцендентность были доказаны через много лет после их открытия. Для пи доказательство было приведено в 1882 году и упрощено в 1894, что положило конец спорам о проблеме квадратуры круга, которые длились на протяжении 2,5 тысяч лет. Оно до сих пор до конца не изучено, так что современным математикам есть над чем работать. Кстати, первое достаточно точное вычисление этого значения провел Архимед. До него все расчеты были слишком приблизительными.

Для е (числа Эйлера или Непера), доказательство его трансцендентности было найдено в 1873 году. Оно используется в решении логарифмических уравнений.

Среди других примеров - значения синуса, косинуса и тангенса для любых алгебраических ненулевых значений.

Инструкция

Прежде чем избавиться от иррациональности в знаменателе , следует ее тип, и в зависимости от этого продолжать решение. И хотя любая иррациональность следует из простого присутствия , различные их комбинации и степени предполагают разные алгоритмы.

Наличие под чертой дроби корня дробной степени вида m/n, причем n>mЭто выражение выглядит следующим образом:a/√(b^m/n).

Избавьтесь от подобной иррациональности также путем ввода множителя, на этот раз более сложного: b^(n-m)/n, т.е. из показателя степени самого корня нужно степень выражения под его знаком. Тогда в знаменателе останется только :a/(b^m/n) → a √(b^(n-m)/n)/b.Пример 2: 5/(4^3/5) → 5 √(4^2/5)/4 = 5 √(16^1/5)/4.

Сумма квадратных корнейУмножьте обе составляющих дроби на аналогичную разность. Тогда из иррационального сложения корней знаменатель преобразуется в / под знаком корня:a/(√b + √c) → a (√b - √c)/(b - c).Пример 3: 9/(√13 + √23) → 9 (√13 - √23)/(13 - 23) = 9 (√23 - √13)/10.

Сумма/разность кубических корнейВыберите в качестве дополнительного множителя неполный квадрат разности, если в знаменателе стоит сумма, и соответственно неполный квадрат суммы для разности корней:a/(∛b ± ∛c) → a (∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²)/ ((∛b ± ∛c) ∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²) →a (∛b² ∓ ∛(b c) + ∛c²)/(b ± c).Пример 4: 7/(∛5 + ∛4) → 7 (∛25- ∛20 + ∛16)/9.

Если в задаче присутствует и квадратный и , тогда разделите решение на два этапа: последовательно выведите из знаменателя квадратный корень, а затем кубический. Делается это по уже известным вам методам: в первом действии нужно выбрать множитель разности/суммы корней, во втором – неполный квадрат суммы/разности.

Видео по теме

Источники:

• как избавиться от иррациональности в дроби

Совет 2: Как избавиться от иррациональности в знаменателе

Корректная запись дробного числа не содержит иррациональности в знаменателе . Такая запись и легче воспринимается на вид, поэтому при появлении иррациональности в знаменателе разумно от нее избавиться. В этом случае иррациональность может перейти в числитель.

Инструкция

Для начала можно рассмотреть простейший - 1/sqrt(2). Квадратный корень из двух - число в .В этом случае необходимо домножить числитель и знаменатель на ее знаменатель. Это обеспечит в знаменателе . Действительно, sqrt(2)*sqrt(2) = sqrt(4) = 2. Умножение двух одинаковых квадратных корней друг на друга даст в итоге то, что находится под каждым из корней: в данном случае - двойку.В итоге: 1/sqrt(2) = (1*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2)) = sqrt(2)/2. Этот алгоритм подходит также к дробям, в знаменателе которых корень умножается на рациональное число. Числитель и знаменатель в этом случае нужно умножить на корень, находящийся в знаменателе .Пример: 1/(2*sqrt(3)) = (1*sqrt(3))/(2*sqrt(3)*sqrt(3)) = sqrt(3)/(2*3) = sqrt(3)/6.

Абсолютно аналогично нужно действовать, если в знаменателе находится не корень, а, скажем кубический или любой другой степени. Корень в знаменателе нужно умножать на точно такой же корень, на этот же корень умножать и числитель. Тогда корень перейдет в числитель.

В более случае в знаменателе присутствует сумма или иррационального и или двух иррациональных чисел.В случае суммы (разности) двух квадратных корней или квадратного корня и рационального числа можно воспользоваться хорошо известной формулой (x+y)(x-y) = (x^2)-(y^2). Она поможет избавиться от в знаменателе . Если в знаменателе разность, то домножать числитель и знаменатель нужно на сумму таких же чисел, если сумма - то на разность. Эта домножаемая сумма или разность будет называться сопряженной к выражению, стоящему в знаменателе .Эффект этой хорошо виден на примере: 1/(sqrt(2)+1) = (sqrt(2)-1)/(sqrt(2)+1)(sqrt(2)-1) = (sqrt(2)-1)/((sqrt(2)^2)-(1^2)) = (sqrt(2)-1)/(2-1) = sqrt(2)-1.

Если в знаменателе присутствует сумма (разность), в которой присутствует корень большей степени, то ситуация становится нетривиальной и избавление от иррациональности в знаменателе не всегда возможно

Источники:

• избавиться от корня в знаменателе в 2019

Совет 3: Как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

Дробь состоит из числителя, расположенного сверху линии, и знаменателя, на который он делится, расположенного внизу. Иррациональным называется число, которое не может быть представлено в виде дроби с целым числом в числителе и натуральным в знаменателе . Такими числами являются, например, квадратный корень из двух или пи. Обычно, когда говорят об иррациональности в знаменателе , подразумевается корень.

Инструкция

Избавьтесь от умножением на знаменатель. Таким образом будет перенесена в числитель. При умножении числителя и знаменателя на одно и то же число, значение дроби не меняется. Воспользуйтесь этим вариантом, если весь знаменатель представляет собой корень.

Умножьте числитель и знаменатель на знаменатель нужное число раз, в зависимости от корня. Если корень квадратный, то один раз.

Умножьте числитель и знаменатель дроби на знаменатель, то есть на √(x+2). Изначальный пример (56-y)/√(x+2) превратится в ((56-y)*√(x+2))/(√(x+2)*√(x+2)). В итоге получится ((56-y)*√(x+2))/(x+2). Теперь корень находится в числителе, а в знаменателе нет иррациональности .

Умножьте знаменатель на сумму корней. Умножьте на то же самое числитель, чтобы значение дроби не изменилось. Дробь примет вид ((56-y)*(√(x+2)+√y))/((√(x+2)-√y)*(√(x+2)+√y)).

Воспользуйтесь вышеупомянутым свойством (x+y)*(x-y)=x²-y² и освободите знаменатель от иррациональности . В результате получится ((56-y)*(√(x+2)+√y))/(x+2-y). Теперь корень находится в числителе, а знаменатель избавился от иррациональности .

В сложных случаях повторяйте оба этих варианта, применяя по необходимости. Учтите, что не всегда возможно избавиться от иррациональности в знаменателе .

Источники:

Алгебраическая дробь - это выражение вида А/В, где буквы А и В обозначают любые числовые или буквенные выражения. Зачастую числитель и знаменатель в алгебраических дробях имеют громоздкий вид, но действия с такими дробями следует совершать по тем же правилам, что и действия с обыкновенными, где числитель и знаменатель - целые положительные числа.

Инструкция

Если даны дроби , переведите их (дробь, в которой числитель больше знаменателя): умножьте знаменатель на целую часть и прибавьте числитель. Так число 2 1/3 превратится в 7/3. Для этого 3 умножают на 2 и прибавляют единицу.

Если надо перевести дробь в неправильную, то представьте ее как числа без запятой на единицу со столькими нулями, сколько чисел стоит после запятой. Например, число 2,5 представьте как 25/10 (если сократить, то получится 5/2), а число 3,61 - как 361/100. Оперировать с неправильными зачастую легче, чем со смешанными или десятичными.

Если надо или вычесть одну дробь из другой, а они имеют разные знаменатели, приведите дроби к общему знаменателю. Для этого найдите число, которое будет наименьшим общим кратным (НОК) обоим знаменателям или нескольким, если дробей больше двух. НОК - это число, которое разделится на знаменатели всех данных дробей. К примеру, для 2 и 5 это число 10.

После знака «равно» проведите горизонтальную черту и запишите в знаменатель это число (НОК). Проставьте к каждому слагаемому дополнительные множители - то число, на которое надо домножить и числитель, и знаменатель, чтобы получить НОК. Последовательно умножайте числители на дополнительные множители, сохраняя знак сложения или вычитания.

Посчитайте результат, сократите его при необходимости или выделите целую часть. Для примера - необходимо сложить ⅓ и ¼. НОК для обеих дробей - 12. Тогда дополнительный множитель к первой дроби - 4, ко второй - 3. Итого: ⅓+¼=(1·4+1·3)/12=7/12.

Если дан на умножение, перемножьте между собой числители (это будет числитель результата) и знаменатели (получится знаменатель результата). В этом случае к общему знаменателю их приводить не надо.

Раскладывайте числитель и знаменатель на множители, если это требуется. Например, выносите общий множитель за скобку или раскладывайте по формулам сокращённого умножения, чтобы затем можно было при необходимости сократить числитель и знаменатель на НОД - наименьший общий делитель.

Обратите внимание

Числа складывайте с числами, буквы одного рода с буквами того же рода. Например, нельзя сложить 3a и 4b, значит в числителе так и останется их сумма или разность - 3a±4b.

Источники:

• Умножение и деление дробей

В быту чаще всего встречаются не натуральные числа: 1, 2, 3, 4 и т.д. (5 кг. картофеля), а дробные, нецелые числа (5,4 кг лука). Большинство из них представлены в виде десятичных дробей. Но десятичную дробь представить в виде дроби достаточно просто.

Инструкция

Например, дано число "0,12". Если не эту дробь и представить ее так, как есть, то выглядеть она будет так: 12/100 ("двенадцать "). Чтобы избавиться от сотни в , нужно и числитель, и знаменатель поделить на число, которое делит их числа. Это число 4. Тогда, поделив числитель и знаменатель, получается число: 3/25.

Если рассматривать более бытовую , то часто на ценнике у видно, что вес его составляет, к примеру, 0,478 кг или пр. Такое число тоже легко представить в виде дроби :
478/1000 = 239/500. Дробь эта достаточно некрасивая, и если бы была возможность, то эту десятичную дробь можно было бы сокращать и далее. И все тем же методом: подбора числа, которое делит как числитель, так и знаменатель. Это число наибольшим общим множителем. "Наибольшим" множитель потому, что гораздо удобнее и числитель, и знаменатель сразу поделить на 4 (как в первом примере), чем делить дважды на 2.

Множество всех натуральных чисел обозначают буквой N. Натуральные числа, это числа которые мы используем для счета предметов: 1,2,3,4, … В некоторых источниках, к натуральным числам относят также число 0.

Множество всех целых чисел обозначается буквой Z. Целые числа это все натуральные числа, нуль и отрицательные числа:

1,-2,-3, -4, …

Теперь присоединим к множеству всех целых чисел множество всех обыкновенных дробей: 2/3, 18/17, -4/5 и та далее. Тогда мы получим множество всех рациональных чисел.

Множество рациональных чисел

Множество всех рациональных чисел обозначается буквой Q. Множество всех рациональных чисел (Q) - это множество, состоящее из чисел вида m/n, -m/n и числа 0. В качестве n,m может выступать любое натуральное число. Следует отметить, что все рациональные числа, можно представить в виде конечной или бесконечной ПЕРЕОДИЧЕСКОЙ десятичной дроби. Верно и обратное, что любую конечную или бесконечную периодическую десятичную дробь можно записать в виде рационального числа.

А как же быть например с числом 2.0100100010… ? Оно является бесконечно НЕПЕРЕОДИЧСЕКОЙ десятичной дробью. И оно не относится к рациональным числам.

В школьном курсе алгебры изучаются только вещественные (или действительные) числа. Множество всех действительных чисел обозначается буквой R. Множество R состоит из всех рациональных и всех иррациональных чисел.

Понятие иррациональных чисел

Иррациональные числа - это все бесконечные десятичные непериодические дроби. Иррациональные числа не имеют специального обозначения.

Например, все числа полученные извлечением квадратного корня из натуральных чисел, не являющихся квадратами натуральных чисел - будут иррациональными. (√2, √3, √5, √6, и т.д.).

Но не стоит думать, что иррациональные числа получаются только извлечением квадратных корней. Например, число «пи» тоже является иррациональным, а оно получено делением. И как вы не старайтесь, вы не сможете получить его, извлекая квадратный корень из любого натурального числа.

От абстрактности математических понятий порой настолько веет и отстраненностью, что невольно возникает мысль: «Зачем это всё?». Но, несмотря на первое впечатление, все теоремы, арифметические операции, функции и т.п. – не более, чем желание удовлетворить насущные потребности. Особенно чётко это можно заметить на примере появления различных множеств.

Всё началось с появления натуральных чисел. И, хотя, вряд ли сейчас кто-то сможет ответить, как точно это было, но скорее всего, ноги у царицы наук растут откуда-то из пещеры. Здесь, анализируя количество шкур, камней и соплеменников, человек множество «чисел для счёта». И этого ему было достаточно. До какого-то момента, конечно же.

Дальше потребовалось шкуры и камни делить и отнимать. Так возникла потребность в арифметических операциях, а вместе с ними и рациональных , которые можно определить как дробь типа m/n, где, например, m - количество шкур, n – количество соплеменников.

Казалось бы, уже открытого математического аппарата вполне достаточно, чтобы радоваться жизнью. Но вскоре оказалось, что случаи, когда результат не то, что не целое число, но даже не дробь! И, действительно, квадратный корень из двух никак иначе не выразить с помощью числителя и знаменателя. Или, например, всем известное число Пи, открытое древнегреческим учёным Архимедом, так же не является рациональным. И таких открытий со временем стало настолько много, что все неподдающиеся «рационализации» числа объединили и назвали иррациональными.

Свойства

Рассмотренные ранее множества принадлежат набору фундаментальных понятий математики. Это означает, что их не получится определить через более простые математические объекты. Но это можно сделать с помощью категорий (с греч. «высказывания») или постулатов. В данном случае лучше всего было обозначить свойства данных множеств.

o Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.

o Каждое трансцендентное число является иррациональным.

o Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.

o Множество чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми имеется иррациональное число.

o Множество несчётно, является множеством второй категории Бэра.

o Это множество упорядоченное, т. е. для каждых двух различных рациональных чисел a иb можно указать, какое из них меньше другого.
o Между каждыми двумя различными рациональными числами существует еще по крайней мере одно , а следовательно, и бесконечное множество рациональных чисел.

o Арифметические действия (сложение, умножение и деление) над любыми двумя рациональными числами всегда возможны и дают в результате определенное рациональное же число. Исключением является деление на нуль, которое невозможно.

o Каждое рациональное число может быть представлено в виде десятичной дроби (конечной или бесконечной периодической).

Материал этой статьи представляет собой начальную информацию про иррациональные числа . Сначала мы дадим определение иррациональных чисел и разъясним его. Дальше приведем примеры иррациональных чисел. Наконец, рассмотрим некоторые подходы к выяснению, является ли заданное число иррациональным или нет.

Навигация по странице.

Определение и примеры иррациональных чисел

При изучении десятичных дробей мы отдельно рассмотрели бесконечные непериодические десятичные дроби. Такие дроби возникают при десятичном измерении длин отрезков, несоизмеримых с единичным отрезком. Также мы отметили, что бесконечные непериодические десятичные дроби не могут быть переведены в обыкновенные дроби (смотрите перевод обыкновенных дробей в десятичные и обратно), следовательно, эти числа не являются рациональными числами , они представляют так называемые иррациональные числа.

Так мы подошли к определению иррациональных чисел .

Определение.

Числа, которые в десятичной записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби, называются иррациональными числами .

Озвученное определение позволяет привести примеры иррациональных чисел . Например, бесконечная непериодическая десятичная дробь 4,10110011100011110000… (количество единиц и нулей каждый раз увеличивается на одну) является иррациональным числом. Приведем еще пример иррационального числа: −22,353335333335… (число троек, разделяющих восьмерки, каждый раз увеличивается на две).

Следует отметить, что иррациональные числа достаточно редко встречаются именно в виде бесконечных непериодических десятичных дробей. Обычно они встречаются в виде , и т.п., а также в виде специально введенных букв. Самыми известными примерами иррациональных чисел в такой записи являются арифметический квадратный корень из двух , число «пи» π=3,141592… , число e=2,718281… и золотое число .

Иррациональные числа также можно определить через действительные числа , которые объединяют рациональные и иррациональные числа.

Определение.

Иррациональные числа – это действительные числа, не являющиеся рациональными.

Является ли данное число иррациональным?

Когда число задано не в виде десятичной дроби, а в виде некоторого , корня, логарифма и т.п., то ответить на вопрос, является ли оно иррациональным, во многих случаях достаточно сложно.

Несомненно, при ответе на поставленный вопрос очень полезно знать, какие числа не являются иррациональными. Из определения иррациональных чисел следует, что иррациональными числами не являются рациональные числа. Таким образом, иррациональными числами НЕ являются:

• конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.

Также не является иррациональным числом любая композиция рациональных чисел, связанных знаками арифметических операций (+, −, ·, :). Это объясняется тем, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел является рациональным числом. Например, значения выражений и являются рациональными числами. Здесь же заметим, что если в подобных выражениях среди рациональных чисел содержится одно единственное иррациональное число, то значение всего выражения будет иррациональным числом. Например, в выражении число - иррациональное, а остальные числа рациональные, следовательно - иррациональное число. Если бы было рациональным числом, то из этого следовала бы рациональность числа , а оно не является рациональным.

Если же выражение, которым задано число, содержит несколько иррациональных чисел, знаки корня, логарифмы, тригонометрические функции, числа π , e и т.п., то требуется проводить доказательство иррациональности или рациональности заданного числа в каждом конкретном случае. Однако существует ряд уже полученных результатов, которыми можно пользоваться. Перечислим основные из них.

Доказано, что корень степени k из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под корнем является k-ой степенью другого целого числа, в остальных случаях такой корень задает иррациональное число. Например, числа и - иррациональные, так как не существует целого числа, квадрат которого равен 7 , и не существует целого числа, возведение которого в пятую степень дает число 15 . А числа и не являются иррациональными, так как и .

Что касается логарифмов, то доказать их иррациональность иногда удается методом от противного. Для примера докажем, что log 2 3 является иррациональным числом.

Допустим, что log 2 3 рациональное число, а не иррациональное, то есть его можно представить в виде обыкновенной дроби m/n . и позволяют записать следующую цепочку равенств: . Последнее равенство невозможно, так как в его левой части нечетное число , а в правой части – четное. Так мы пришли к противоречию, значит, наше предположение оказалось неверным, и этим доказано, что log 2 3 - иррациональное число.

Заметим, что lna при любом положительном и отличном от единицы рациональном a является иррациональным числом. Например, и - иррациональные числа.

Также доказано, что число e a при любом отличном от нуля рациональном a является иррациональным, и что число π z при любом отличном от нуля целом z является иррациональным. К примеру, числа - иррациональные.

Иррациональными числами также являются тригонометрические функции sin , cos , tg и ctg при любом рациональном и отличном от нуля значении аргумента. Например, sin1 , tg(−4) , cos5,7 , являются иррациональными числами.

Существуют и другие доказанные результаты, на мы ограничимся уже перечисленными. Следует также сказать, что при доказательстве озвученных выше результатов применяется теория, связанная с алгебраическими числами и трансцендентными числами .

В заключение отметим, что не стоит делать поспешных выводов относительно иррациональности заданных чисел. К примеру, кажется очевидным, что иррациональное число в иррациональной степени есть иррациональное число. Однако это не всегда так. В качестве подтверждения озвученного факта приведем степень . Известно, что - иррациональное число, а также доказано, что - иррациональное число, но - рациональное число. Также можно привести примеры иррациональных чисел, сумма, разность, произведение и частное которых есть рациональные числа. Более того, рациональность или иррациональность чисел π+e , π−e , π·e , π π , π e и многих других до сих пор не доказана.

Список литературы.

• Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.