Случайный эксперимент. Вероятностное пространство

Определение 1. Случайный эксперимент – это четко описанная последовательность действий, которая может быть воспроизведена сколько угодно раз, но исход исполнения которой не может быть предсказан с уверенностью. Невозможность точно угадать исход эксперимента вызвана большим количеством неконтролируемых нами факторов. Все исходы эксперимента обозначаются буквой .

Определение 2. Случайное событие – это любое подмножество всех возможных исходов случайного эксперимента .

Пример (случайного эксперимента):

1. Посмотреть на экран биржевого терминала, чтобы узнать последнюю котировку ликвидной акции, например, акции РАО “ЕЭС” как исход эксперимента.
2. Подбросить игральный кубик и посмотреть на исход эксперимента – количество выпавших очков.

Пример (случайного события):

1. Случайное событие А = – увидеть, посмотрев на экран биржевого монитора, котировку акции РАО “ЕЭС” в этом диапазоне.
2. Случайное событие В = {2, 3} – увидеть, посмотрев на упавшую кость, одну из этих цифр.

Сохранена оригинальная нумерация задачника ФКЦБ, предоставленного Биржевой школой. Ей не следует придавать значения – она сохранена для удобства лиц, готовящихся к сдаче экзамена на специалиста по ценным бумагам.

1.4.1.11 Под случайным событием в теории вероятности понимается некоторый факт, который характеризуется следующими признаками:
I Наблюдается однократно
II Может наблюдаться неоднократно
III Нельзя с полной определенностью утверждать - произойдет он в очередной раз или нет
IV При условии контроля условий эксперимента можно утверждать с полной определенностью, произойдет он или нет

А) Верно только I и IV
*Б) Верно только II и III
В) Верно только II, III или IV
Г) Верно только III

Решение . Из определений 1, 2 очевидно, что верными высказываниями являются только IIи III, т.е. правильный ответ - Б.

Определение 3 . Все исходы эксперимента - это некоторое множество точек произвольной природы, называемое достоверным событием , т.к. при проведении случайного эксперимента какой-либо исход эксперимента обязательно произойдет.

Определение 4 . Невозможное событие – это то, в котором нет ни одного исхода эксперимента, и которое, следовательно, не может появиться в ходе эксперимента.

Достоверное событие в учебных целях изображаем кругом.

Определение 5 . Тогда случайное событие А – некоторая его подобласть, а дополнительным событием (или отрицанием к А ) к событию А называется множество “не А” – это все точки из из , не входящие в А (т.е. А и “не А” не пересекаются, а вместе составляют все ).

Определение 6. “Сумма” или “объединение” или событие “А или В” – то множество, что вбирает в себя все точки обоих множеств и только их

Определение 7. “Произведение” или “пересечение” или событие “А и В” – то множество, что вбирает в себя только те точки, что входят как в множество А, так и в множество В. Если такие общие точки отсутствуют, то есть произведение событий А и В является невозможным событием, то события А и В называются несовместными.

Замечание. В частности, ясно, что произведением событий А и “не А” является невозможное событие, т.к. у этих множеств по определению нет общих точек.

1.4.1.15.1 Чему будет равно произведение случайного события и события, дополнительного к данному событию

А) Достоверному событию
*Б) Невозможному событию
В) Самому событию

Решение. Из замечания к определению 7 следует, что правильным ответом является Б.

1.4.1.15.2 Чему будет равна сумма случайного события и события, дополнительного к данному событию

*А) Достоверному событию
Б) Невозможному событию
В) Дополнительному событию

Решение. Из определения 5 следует, что правильным ответом является А.

1.4.1.13.1 Если событие А заключается в том, что курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб., а событие В заключается в том, что относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня, то в чем будет заключаться событие, равное произведению событий А и В?

А) Курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. ИЛИ относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня
*Б) Курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. И относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня

Решение. Из определения 7 следует, что сказать “произведение событий А и В” – все равно, что сказать “событие А и В”, т.е. правильный ответ – Б.

1.4.1.13.2 Если событие А заключается в том, что курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб., а событие В заключается в том, что относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня, то в чем будет заключаться событие, равное сумме событий А и В?

*А) Курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. ИЛИ относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня
Б) Курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. И относительное изменение курса акций не превысит 3% по сравнению с курсом акций предыдущего дня

Решение . Из определения 6 следует, что сказать “сумма событий А и В” – все равно, что сказать “событие А или В”, т.е. правильный ответ – А.

1.4.1.13.3 Случайное событие А заключается в том, что курс акций компании на завтрашних торгах будет не ниже 25 руб. Из перечисленных ниже укажите случайные события, дополнительные к случайному событию А
I Курс акций компании на завтрашних торгах будет равен 26 руб.
II Курс акций компании на завтрашних торгах будет не выше 26 руб.
III Курс акций компании на завтрашних торгах превысит 26 руб.

А) Только I
Б) Только II
В) Только I и III
*Г) Ничего из перечисленного выше

Решение. Нередко проще самому написать правильный ответ, а затем посмотреть под какой буквой дан правильный ответ.

В символах школьной математики наше событие А = {курс акций на завтрашних торгах будет не ниже 25 рублей} =

D = (26, +¥)

Ясно, что ни одно из этих событий B, C, Dне совпадает с событием “не А ” = и обозначают его следующим образом Р В (А ) или Р (А В ), то есть:
Р В (А )= Р (А В )=[ Р (А  В ) ⁄ Р (В )] . При этом 0 ≤ Р В (А ) ≤ 1, т.к. (А  В ) ⊆ В и Р (В )>0 .

1. 
   Независимость событий.

События А и В независимы, если Р (А  В ) = Р (А ) · Р (В ).

Три события независимы в совокупности, если:
а) каждые два из них независимы, и
б) объединение каждых двух событий независимо с третьим событием.

Аналогично распространяется понятие независимости в совокупности на большее число событий.

1. 
   Полная группа событий.

Если события Н 1 , Н 2 ,… , Н к ,… таковы, что их объединение (Н 1  Н 2 …Н к …)=Ω и они попарно несовместны (не пересекаются), (Н i Н j = Ø), то эти события образуют полную группу событий.

1. 
   Формула полной вероятности.

Если события Н 1 , Н 2 ,… , Н к ,… образуют полную группу событий , то справедлива формула полной вероятности :

Р (А )) = ∑ i [P (Н i )· Р (А Н i )].

Вероятность события можно вычислять как взвешенную сумму условных вероятностей этого события при условии, что происходили события из полной группы событий, где в качестве весовых коэффициентов берутся вероятности соответствующих событий из полной группы.

1. 
   Формула Байеса.

Если события Н 1 , Н 2 ,… , Н к ,… образуют полную группу событий , то справедлива формула Байеса для пересчета вероятностей событий образующих полную группу по результатам испытания, в котором реализовалось событие А.

Р А (Н к ) = (Р (А  Н к )) ⁄ (Р (А )) = (Р (А  Н к )) ⁄ (∑ i [P (Н i )· Р (А Н i )]).

1. 
   Типовые модели случайного эксперимента.

В (p ). Модель Бернулли с параметром p , испытание Бернулли с параметром p , 0 ≤ p ≤1.
Эксперимент с двумя альтернативными событиями - исходами У (успех) и Н (неудача).
Р (У) = p , Р (Н) = q = 1 p .

У(2) . Простейшая Урновая модель .

Извлечение шара из урны с двумя шарами. Модель эквивалентна модели Бернулли В (½).

У(n ) илиR (n ). Классическая Урновая модель .

Извлечение шара из урны с n перенумерованными шарами. Элементарный исход – элементарное событие – номер извлеченного шара. Классическая вероятность с равномерным распределением вероятностей элементарных событий.

У(n ; m ) . Урновая модель.
Извлечение шара из урны с m белыми и (n – m ) черными шарами.
Модель эквивалентна модели Бернулли В (m / n ).

1. 
   Последовательность случайных экспериментов.

В (n ; p ). Биномиальная модель . n последовательныхнезависимых испытаний Бернулли с параметром p .

У (n *n ). Последовательное извлечение с возвращением двух шаров из урны с n шарами.

У (2 * 2). Последовательное извлечение с возвращением двух шаров из урны с двумя шарами. Модель эквивалентна Биномиальной модели В (2; p ).

У(n *(n -1)). Последовательное извлечение без возвращения двух шаров из урны с n шарами.

§1. Что изучает и когда возникла теория вероятностей. Понятие случайного эксперимента. Пространство элементарных исходов. Типы и примеры. Элементы комбинаторики. Понятие события.

Историческая справка:

Исторически теория вероятностей возникла как теория азартных игр (рулетка, игральные кости, карты и т.д.). в конце 17 века. Начало её развития связано с именами Паскаля, Бернулли, Муавра, Лапласа, а позднее (начало 19 века) – Гаусса и Пуассона.

Первые исследования по теории вероятностей в России относятся к середине 19 века и связаны с именами таких выдающихся математиков, как Н.И. Лобачевский, М.В. Остроградский, В.Я. Буняковский (одним из первых издал учебник с приложениями в страховом деле и демографии).

Дальнейшее развитие теории вероятностей (конец 19 и двадцатые годы 20 века) в основном связано с именами русских учёных Чебышева, Ляпунова и Макарова. С 30-х годов 20 века этот раздел математики переживает период расцвета, находя приложения в различных областях науки и техники. В это время российские учёные Бернштейн, Хинчин и Колмогоров вносят существенный вклад в развитие теории вероятностей. Именно Колмогоров в возрасте 30 лет в 1933 году предложил аксиоматическое построение теории вероятностей, установив её связь с другими разделами математики (теорией множеств, теорией меры, функциональным анализом).

Теория вероятностей является разделом математики, в котором изучаются математические модели случайных экспериментов , т.е. экспериментов, исходы которых нельзя определить однозначно условиями проведения опыта. При этом предполагается, что сам эксперимент может быть повторен (хотя бы в принципе) любое число раз при неизменном комплексе условий, а исходы эксперимента обладают статистической устойчивостью.

Понятие случайного эксперимента

Примеры случайных экспериментов:

1. Однократное подбрасывание монеты.

2.Однократное подбрасывание игральной кости.

3. Случайный выбор шара из урны.

4. Измерение времени безотказной работы электрической лампочки.

5. Измерение числа вызовов, поступающих на АТС за единицу времени.

Эксперимент является случайным, если нельзя предсказать исход не только первого опыта, но и всех дальнейших . Например, проводится некоторая химическая реакция, исход которой неизвестен. Если её один раз провести и получить определённый результат, то при дальнейшем проведении опыта в одних и тех же условиях случайность исчезает.

Примеров такого рода можно привести сколь угодно много. В чём же состоит общность опытов со случайными исходами? Оказывается, несмотря на то, что результата каждого из перечисленных выше экспериментов предсказать невозможно, на практике для них уже давно была замечена закономерность определённого вида, а именно: при проведении большого количества испытаний наблюдённые частоты появления каждого случайного события стабилизируются, т.е. всё меньше отличаются от некоторого числа, называемого вероятностью события.

Наблюдённой частотой события А ()называется отношение числа появлений события А () к общему числу испытаний (N):

Например, при бросании правильной монеты дробь

при

(
-количество орлов, N –общее число бросаний )

Такое свойство устойчивости частоты позволяет, не имея возможности предсказать исход отдельного опыта достаточно точно прогнозировать свойства явлений, связанных с рассматриваемым опытом. Поэтому методы теории вероятностей в современной жизни проникли во все сферы деятельности человека, причём не только в естественнонаучные, экономические, но и гуманитарные, такие, как история, лингвистика и т.д. На этом подходе основано статистическое определение вероятности .

при
(наблюденная частота события стремится к его вероятности при росте количества опытов, то есть при n
).

Определение 1.1: Элементарным исходом (или элементарным событием) называют любой простейший (т.е. неделимый в рамках данного опыта) исход опыта. Множество всех элементарных исходов будем называть пространством элементарных исходов .

Пример построения пространства элементарных исходов:

Рассмотрим следующий случайный эксперимент: однократное подбрасывание игральной кости, наблюдаем число очков выпавших на верхней грани. Построим для него пространство элементарных исходов:

Содержит все варианты, появление каждого варианта исключает появление остальных, все варианты неделимы.

Пространство элементарных исходов (типы и примеры к каждому типу):

Рассмотрим следующую схему

Дискретные пространства – это пространства, в которых можно выделить отдельные исходы. В дискретных конечных можно точно указать их число.

Примеры дискретных пространств элементарных исходов

Эксперимент: однократное подбрасывание монеты

, где

Можно включить в пр-во э.и. вариант падения монеты на ребро, но мы его исключаем из модели как маловероятный (каждая модель – это некоторое приближение)

Если монета правильная, т.е. у неё везде одинаковая плотность и несмещённый центр тяжести, то исходы «герб» и «решка» имеют равные шансы на появление. Если у монеты смещён центр тяжести, то, соответственно, исходы имеют разные шансы на появление.

Замечание : если в задаче про монету ничего не говорится, то она предполагается правильной.

Эксперимент: однократное подбрасывание двух монет.

Замечание: Если монеты одинаковы, то исходы РГ и ГР визуально неразличимы. Можно пометить одну из монет краской и тогда они будут визуально различаться.

Модель можно строить по-разному:

либо мы различаем исходы РГ, ГР и тогда у нас получается 4 вар-та

, где

В этом случае, если обе монеты правильные, все варианты имеют равные шансы на появление.

либо мы не различаем варианты РГ и ГР и тогда у нас получается 3 вар-та.

, где

В этом случае, если обе монеты правильные, вариант РГ имеет больший шанс на появление, чем варианты ГГ и РР, т.к. он реализуется двумя способами: герб на первой монете и решка на второй и наоборот.

Эксперимент: случайный выбор из группы студентов, состоящей из 20 человек, 5 человек для поездки на конференцию . Результат эксперимента: конкретная пятёрка. При выборе нам важен только состав, т.е. не важно кого мы выбрали первого, а кого второго и т.д. При этом

(столько «пятёрок» различных по составу можно получить из 20 человек) (факториал)

Ответ на этот вопрос опять даёт наука комбинаторика.

(

Все 15504 варианта имеют равные шансы на появлении, т.к. выбор случаен.

Эксперимент: случайный выбор из группы студентов, состоящей из 20 человек, 5 человек для премирования премиями различными по сумме . Результат эксперимента : конкретная упорядоченная пятёрка. При выборе нам важен не только состав, но и порядок выбора, т.к. от того каким человек выбран зависит размер премии.

1860480 (столько упорядоченных различных «пятёрок» можно получить из 20 человек).

Ответ на этот вопрос опять даёт наука комбинаторика.

(

Все 1860480 вариантов имеют равные шансы на появлении, т.к. выбор случаен.

Понятно, что упорядоченных «пятёрок» будет больше, чем не упорядоченных, т.к. при одном и том же составе может быть несколько вариантов порядка: в данном случае в каждом составе из 5 человек возможно 120 различных вариантов порядка.

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Обобщённое правило умножения:

Пусть нужно совершить m независимых действий причём первое действие можно совершить способами, второе - способами и т.д. …. m -ое действие
способами. Тогда всю последовательность действий можно осуществить

способами

Перестановки .

Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор из этих элементов.

-число перестановок из n элементов

Объяснение: первый элемент можно выбрать n способами, второй – n-1 и т.д. последний элемент – одним способом, а перемножаются они исходя из правила обобщённого умножения

Размещения.

Размещением из n по m называется любой упорядоченный набор из m элементов выбранных случайным образом из генеральной совокупности, содержащей n элементов (m

Число размещений из n элементов по m (число вариантов такого упорядоченного выбора).

Объяснение: первый элемент можно выбрать n способами, второй – n-1 и т.д. , а перемножаются они исходя из правила обобщённого умножения.

Сочетания.

Сочетанием из n по m называется любой неупорядоченный набор из m элементов выбранных случайным образом из генеральной совокупности, содержащей n элементов.

Сочетания и размещения связаны следующим образом:

(на каждый состав из m элементов мы имеем m! упорядоченных наборов). Таким образом,

число сочетаний из n элементов по m (число вариантов такого не упорядоченного выбора

Пример непрерывного пространства элементарных исходов

Эксперимент: двое человек назначают встречу в определённом месте межу 12 и 13 часами, и каждый из них может прийти в рамках этого времени в любой случайный момент. Отслеживаем моменты их прихода. Каждый вариант прихода 2 –ух человек – это точка из квадрата со стороной 60 (т.к. в часе 60 минут).

(первый может прийти в 12 часов x минут, второй в 12 часов y минут). Все точки из квадрата нельзя не пересчитать, не перенумеровать. В этом состоит его непрерывная структура и, следовательно, в данном эксперименте непрерывное пространство элементарных исходов.

События и операции над ними:

Определение 1.2

Любой набор элементарных исходов называют событием. С обытия обозначаются большими латинскими буквами A,B,C или буквами с индексами A 1 ,A 2 ,A 3 и т.д.

Часто используется следующая терминология: говорят, что произошло (или наступило) событие А, если в результате опыта появился какой-либо из элементарных исходов
.

Примеры событий

Вернёмся к эксперименту, состоящему в подбрасывании игральной кости. Рассмотрим следующие события:

A={выпадение чётного числа очков}

В={выпадение нечётного числа очков}

C={выпадение числа очков кратного 3}

Тогда, согласно введённым ранее обозначениям,

Определение 1.3

Событие, состоящее из всех элементарных исходов, т.е. событие, которое обязательно происходит в данном опыте, называют достоверным . Его обозначают
также как и пространство элементарных исходов.

Пример достоверного события : при бросании игральной кости выпадает не больше 6 очков или при бросании игральной кости выпадёт хотя бы одно очко.

Определение 1.4

Событие, не содержащее ни одного элементарного исхода, т.е. событие, которое никогда не происходит в данном опыте, называют невозможным. Его обозначают символом  .

Пример невозможного события: при бросании двух игральных костей сумма выпавших очков будет равна 20.

Операции над событиями:

фразе произошло хотя бы одно из событий А или В).

Определение 1.5 События А и В называют несовместными, если их пересечением является невозможное событии, т.е. AB= .

Пример задачи на операции над событиями:

По мишени производят три выстрела. Рассмотрим события

{Попадание при i-ом выстреле}, i=1..3

Выразить с помощью теоретико-множественных операций через события A i следующие события:

А={три попадания}=

B={три промаха}=

C={хотя бы одно попадание}=

D={хотя бы один промах}=

E={не менее двух попаданий}=
+
+
+

F={не больше одного попадания}=
++
+

G={попадание в мишень не раньше, чем при третьем выстреле}=

Идея : дальше будут задачи такого типа: вероятности событий даны и требуется, зная эти вероятности, найти вероятности событий A, B, C, D, E, F, G

§2. ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Для количественного сравнения шансов наступления событий вводится понятие вероятности.

Определение 2.1 Пусть каждому событию A поставлено в соответствие число P (A ). Числовую функцию P называют вероятностью или вероятностной мерой , если она удовлетворяет следующим аксиомам:

Аксиома неотрицательности

Аксиома нормированности

Аксиома сложения (расширенная) изучается некоторое случайное событие ...

Документ

Добавился новый тип ошибок – недостаточное количество элементов . В результате проведенных экспериментов выяснено, что дети, страдающие... конкретными примерами . Изучая характер влияния на произвольное внимание детей специального обучения элементарным ...

Образовательная программа основного общего образования Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения

Образовательная программа

Результатов (исходов ) простейших случайных экспериментов ; находить вероятности простейших случайных событий ; ... Элементы логики, статистики,

Вероятностное пространство - это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А. Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.

Определение

Вероятностное пространство - это тройка , где:

Заметим, что последнее свойство сигма-аддитивности меры эквивалентно (при условии выполнения всех прочих свойств, в том числе конечной аддитивности) любому из следующих свойств непрерывности меры :

Примеры наиболее часто использующихся вероятностных пространств

Дискретные вероятностные пространства

Если множество элементарных исходов конечно или счетно: , то соответствующее вероятностное пространство называется дискретным . В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества . В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходу число так, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого события задается следующим образом:

Важным частным случаем такого пространства является классический способ задания вероятностей , когда количество элементарных исходов конечно и все они имеют одинаковую вероятность. Тогда вероятность любого события определяется как отношение его мощности (т.е. количества элементарных исходов, благоприятствующих данному событию) к общему числу элементарных исходов:

.

Однако всегда необходимо помнить, что для того, чтобы применять данный способ, необходимо убедиться в том, что элементарные исходы действительно равновероятны. Это должно либо быть сформулировано как исходное условие, либо этот факт следует строго вывести из имеющихся начальных условий.

Вероятностные пространства на прямой

Вероятностные пространства на прямой () естественным образом возникают при изучении случайных величин . При этом в общем случае уже не получается рассматривать в качестве событий любые подмножества прямой, поскольку на таком широком классе обычно нельзя задать вероятностную меру, удовлетворяющую необходимым аксиомам. Универсальная сигма-алгебра событий, достаточная для работы - это сигма-алгебра борелевских множеств : наименьшая сигма-алгебра, содержащая все открытые множества. Эквивалентное определение - наименьшая сигма-алгебра, содержащая все интервалы . Универсальный способ задания вероятностной меры на данной сигма-алгебре - через функцию распределения случайной величины.

Вероятностные пространства в конечномерном пространстве

Вероятностные пространства с множеством элементарных исходов естественным образом возникают при изучении случайных векторов . Универсальной сигма-алгеброй событий при этом также является борелевская сигма-алгебра , порожденная всеми открытыми множествами. Принципиально этот случай мало чем отличается от случая одной прямой.

В науке и практике известны три пути проверки гипотез. Первый состоит в непосредственном (прямом) установлении выдвинутого предположения. Этот метод в криминалистической практике может быть применен к сравнительно небольшой группе предсказательных версий (разыскных и поисковых). Второй путь...
(Криминалистика)

Распределения вероятностей и ожидаемая доходность

Как уже не раз говорилось, риск связан с вероятностью того, что фактическая доходность будет ниже се ожидаемого значения. Поэтому распределения вероятностей являются основой для измерения риска проводимой операции. Однако следует помнить, что получаемые при этом оценки носят вероятностный характер. Пример...
(Методы принятия управленческих решений)

Качественные и количественные модели оценки вероятности банкротства

Риск дефолта, или кредитный риск, представляет собой риск невыполнения условий кредитного соглашения или рыночной сделки, прежде всего выраженный в неспособности заемщика своевременно и в полном объеме исполнить взятые на себя долговые обязательства (например, в установленный срок выплатить оговоренные...
(Финансовый анализ для менеджеров)

Распределение Вигнера на фазовом пространстве и отрицательная вероятность

Даже в нерелятивистской квантовой механике возникают отрицательные вероятности. Здесь нельзя ввести распределение вероятностей (Максвелла) координат х и моментов р, так же, как и в статистической механике. Это невозможно в силу соотношения неопределенности, которое препятствует одновременному измерению...

р-адичсское вероятностное пространство

Пусть р : А Qp - мера, определённая на отделимой алгебре А. подмножеств множества 12, которая удовлетворяет условию нормировки /i(12) = 1. Положим Т = Afl и обозначим продолжение меры р на алгебру F символом Р. Тройку (12, J-. Р) называют р-адическим...
(КВАНТОВАЯ ФИЗИКА И НЕКОЛМОГОРОВСКИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)

РЕГРЕССИЯ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Постановка задачи о составлении эмпирических формул Рассмотрим задачу, аналогичную приведенной в параграфе 4.1. Пусть теперь в течение 10 дней в супермаркете проведено исследование зависимости числа посетителей и объема продаж. В этом случае получается некоторый набор пар значений х - числа...
(ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ)

Математическое ожидание случайной функции

Рассмотрим случайную функцию X(i). При фиксированном значении аргумента, например при t = tv получим сечение - случайную величину X(t{) с математическим ожиданием M. (Полагаем, что математическое ожидание любого сечения существует.) Таким образом, каждое фиксированное...
(ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА)