Главная
Краткие содержания
Координаты фокуса параболы. Квадратичная функция

Координаты фокуса параболы. Квадратичная функция

Задача № 1. Определить координаты фокусов и составить уравнение директрисы параболы

Сравнивая это уравнение с уравнением
, находим, что 2p=4, откуда . Таким образом, точка
- фокусы параболы, а прямая
, т. е. x=-1 или x+1=0 – её директриса.

Ответ: (1;0)

Задача № 2. Фокусы параболы с вершиной в начале координат лежит в точке F(0;-4). Написать уравнение этой параболы.

Задача № 3. Директрисой параболы с вершиной в начале координат служит прямая 2x+5=0

Написать уравнение и найти координаты фокуса параболы.

Р
ешение: Так как директрисой параболы с вершиной в начале координат служит прямая 2x+5=0 или
, то ее фокус имеет координаты

, поэтому искомая кривая симметрична относительно оси Оx F()
и ветви ее направлены вправо (абсцисса фокуса положительна). Следовательно, уравнение параболы имеет вид

Так как
то
и уравнение параболы будет:
, а координаты ее фокуса F(2,5;0)

Ответ:
; F(2,5;0)

Задача №4. Написать уравнение параболы, симметричной относительно оси Оy, с центром в начале системы координат, если она проходит через точку В(1;-2).

Так как парабола симметрична относительно оси Оy и имеет вершину в начале системы координат, то ее уравнение имеет вид
. Поскольку точка В(1;-2) лежит на параболе, то ее координаты удовлетворяют параболы, т.е.
,

Откуда
, и, следовательно,
- уравнение параболы.

Ответ:

Задача № 5. Найти высоту арки моста длиной 24м, если арка имеет вид параболы, уравнение которой

Построим эскиз параболы
в декартовой прямоугольной системе координат. Обозначим через h высоту моста, а через =24 - длину арки мосту. Тогда, А(12;-h)П:
.

Т
ак как точка А принадлежит параболе
, то ее координаты удовлетворяют уравнению параболы. Это дает возможность вместо текущих координат (x;y) подставить координаты данной точки в уравнение параболы. Тогда имеем

Итак, высота арки моста 3 м.

Задача № 6. Струя воды, направленная под углом к плоскости горизонта поднимается на высоту 2 м и падает в 12 м от наконечника шланга. Найти параболическую траекторию струи.

Решение: Свяжем параболическую траекторию струи с декартовой прямоугольной системой координат так, чтобы параболическая траектория была симметрична оси Оy, ветви были бы направлены вниз, а ее вершина лежала бы в начале координат.

Тогда уравнение такой параболической траектории имеет вид
, точка А(6;-2)П:
, следовательно, ее координаты удовлетво-ряют уравнению параболы. Подстановка координат точки А вместо текущих координатx и y параболы
, дает равенство

. Следовательно,
- уравнение параболической траектории струи.

Ответ:

Решить самостоятельно:

Задача № 7. Сечение рефлектора плоскостью проходящей через ось рефлектора, есть парабола. Написать ее уравнение, если ширина рефлектора 30 см, а глубина 20 см, (ось рефлектора совпадает с осью Ox)

Ответ:

Задача № 8. Из отверстия, находящегося на поверхности земли вытекает вода струей, представляющей ветвь параболы
. На каком расстоянии от края бака падает струя на землю, если высота отверстия

Ответ: 3 м.

Задача № 9. Осевое сечение параболического зеркала является параболой

Определить диаметр зеркала, если его «глубина» равна 18,75 см.

Ответ: 30 см.

Задача № 10. Камень брошенный под острым углом к плоскости горизонта, достиг наибольшей высоты 16 м., Описав параболическую траекторию, камень упал в 48 м., от точки бросания. Найти траекторию камня.

Ответ:
.

Задача № 11 Найти параболу с вершиной в начале координат, если ее фокус лежит в точке а) F(3;0); б) F(-2;0); в) F(0;4); г) F(0;-)

Ответ: а)
; б)
; в)
; г)

Задача № 12 Найти параболы с вершиной в начале координат, если даны директрисы: а)
; б)x=-5 ; в) y=3 ; г) y=-2 ;

Ответ: а)
; б)
; в)
; г)
.

Задача № 13. Найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы для каждой из парабол.

а)
; б)
; в)
; г)
. Построить эти параболы.

Ответ: а) F(2;0); x+2=0 ; б) F(-3;0); x-3=0 ; в) F(0;); 2y+5=0

г) F(0;-4); x-4=0

Задача № 14. Проверить, лежат ли точки А(2;-2) и В(1;2) на параболе

Ответ: А лежат, В не лежат.

Задача № 15. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оx и проходящей через точку

Ответ:

Задача № 16. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если:

А) парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 4;

Б) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 6;

В) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 3;

г) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 5.

Ответ а)
; б)
; в)
; г)
.

Функция вида , где называется квадратичной функцией .

График квадратичной функции – парабола .


Рассмотрим случаи:

I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА

То есть , ,

Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:


Отмечаем точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х (в данном случае шаг 1), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:


Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:


II СЛУЧАЙ, «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ

Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):


На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях ордината каждой точки умножилась на 4. Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.

А при парабола «станет шире» параболы :


Давайте подытожим:

1) Знак коэффициента отвечает за направление ветвей. При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз.

2) Абсолютная величина коэффициента (модуля) отвечает за “расширение”, “сжатие” параболы. Чем больше , тем у’же парабола, чем меньше |a|, тем шире парабола.

III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «С»

Теперь давайте введем в игру (то есть рассматриваем случай, когда ), будем рассматривать параболы вида . Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси вверх или вниз в зависимости от знака :



IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»

Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .

Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: , .

Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.

Например, вершина параболы :

Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы , ведь в нашем случае.

При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:

1) парабола обязательно пройдет через точку . Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы с осью (оу), это . В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .

2) осью симметрии параболы является прямая , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.

3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (, ), две ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) . В предыдущем примере у нас корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения с осью (ох) у нас будут (так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.

Итак, давайте выработаем

Алгоритм для построения параболы, если она задана в виде

1) определяем направление ветвей (а>0 – вверх, a<0 – вниз)

2) находим координаты вершины параболы по формуле , .

3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену , строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение велико… пропускаем этот пункт…)

4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу . Если title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с

5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение

Пример 1


Пример 2


Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде , где – некоторые числа (например, ), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины . Почему?

Возьмем квадратный трехчлен и выделим в нем полный квадрат: Посмотрите, вот мы и получили, что , . Мы с вами ранее называли вершину параболы , то есть теперь , .

Например, . Отмечаем на плоскости вершину параболы , понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).

Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому (то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.

III уровень

3.1. Гипербола касается прямых 5x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y – – 48 = 0. Запишите уравнение гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат.

3.2. Составьте уравнения касательных к гиперболе

1) проходящих через точку A (4, 1), B (5, 2) и C (5, 6);

2) параллельных прямой 10x – 3y + 9 = 0;

3) перпендикулярных прямой 10x – 3y + 9 = 0.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению

Параметры параболы:

Точка F (p /2, 0) называется фокусом параболы, величина p – параметром , точка О (0, 0) – вершиной . При этом прямая OF , относительно которой парабола симметрична, задает ось этой кривой.


Величина где M (x , y ) – произвольная точка параболы, называется фокальным радиусом , прямая D : x = –p /2 – директрисой (она не пересекает внутреннюю область параболы). Величина называется эксцентриситетом параболы.

Основное характеристическое свойство параболы : все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса (рис. 24).

Существуют иные формы канонического уравнения параболы, которые определяют другие направления ее ветвей в системе координат (рис. 25).:


Для параметрического задания параболы в качестве параметра t может быть взята величина ординаты точки параболы:

где t – произвольное действительное число.

Пример 1. Определить параметры и форму параболы по ее каноническому уравнению:

Решение. 1. Уравнение y 2 = –8x определяет параболу с вершиной в точке О Оx . Ее ветви направлены влево. Сравнивая данное уравнение с уравнением y 2 = –2px , находим: 2p = 8, p = 4, p /2 = 2. Следовательно, фокус находится в точке F (–2; 0), уравнение директрисы D : x = 2 (рис. 26).


2. Уравнение x 2 = –4y задает параболу с вершиной в точке O (0; 0), симметричную относительно оси Oy . Ее ветви направлены вниз. Сравнивая данное уравнение с уравнением x 2 = –2py , находим: 2p = 4, p = 2, p /2 = 1. Следовательно, фокус находится в точке F (0; –1), уравнение директрисы D : y = 1 (рис. 27).


Пример 2. Определить параметры и вид кривой x 2 + 8x – 16y – 32 = 0. Сделать чертеж.

Решение. Преобразуем левую часть уравнения, используя метод выделения полного квадрата:

x 2 + 8x – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

В результате получим

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

Это каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (–4; –3), параметром p = 8, ветвями, направленными вверх (), осью x = –4. Фокус находится в точке F (–4; –3 + p /2), т. е. F (–4; 1) Директриса D задается уравнением y = –3 – p /2 или y = –7 (рис. 28).




Пример 4. Составить уравнение параболы с вершиной в точке V (3; –2) и фокусом в точке F (1; –2).

Решение. Вершина и фокус данной параболы лежат на прямой, параллельной оси Ox (одинаковые ординаты), ветви параболы направлены влево (абсцисса фокуса меньше абсциссы вершины), расстояние от фокуса до вершины равно p /2 = 3 – 1 = 2, p = 4. Значит, искомое уравнение

(y + 2) 2 = –2 · 4(x – 3) или (y + 2) 2 = = –8(x – 3).

Задания для самостоятельного решения

I уровень

1.1. Определите параметры параболы и построить ее:

1) y 2 = 2x ; 2) y 2 = –3x ;

3) x 2 = 6y ; 4) x 2 = –y .

1.2. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что:

1) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ox и p = 4;

2) парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку M (4; –2).

3) директриса задана уравнением 3y + 4 = 0.

1.3. Составьте уравнение кривой, все точки которой равноудалены от точки (2; 0) и прямой x = –2.

II уровень

2.1. Определить тип и параметры кривой.

Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

Что такое парабола и как она выглядит

Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

Каноническое уравнение параболы

На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

Каноническое уравнение имеет вид:

y 2 = 2 * p * x,

где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре оно запишется иначе:

y = a x 2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x 2).

Свойства и график квадратичной функции

Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

Формулы нахождения вершины:

  • x 0 = -b / (2 * a);
  • y 0 = y (x 0).

Пример.

Имеется функция у = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

Для такой линии:

  • х = -16 / (2 * 4) = -2;
  • y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x 2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0; 0).

Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 — по оси ординат.

Как строить параболу по квадратному уравнению

Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

  1. Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.
  2. Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

D = (b 2 — 4 * a * c).

Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

  • D ˃ 0, то х 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
  • D = 0, то х 1, 2 = -b / (2 * a);
  • D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

Получаем алгоритм построения параболы:

  • определить направление ветвей;
  • найти координаты вершины;
  • найти пересечение с осью ординат;
  • найти пересечение с осью абсцисс.

Пример 1.

Дана функция у = х 2 — 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

  1. а = 1, следовательно, ветви направлены вверх;
  2. координаты экстремума: х = — (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
  3. с осью ординат пересекается в значении у = 4;
  4. найдем дискриминант: D = 25 - 16 = 9;
  5. ищем корни:
  • Х 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
  • Х 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (1, 0).

Пример 2.

Для функции у = 3 * х 2 — 2 * х — 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

  1. а = 3, следовательно, ветви направлены вверх;
  2. координаты экстремума: х = — (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
  3. с осью у будет пересекаться в значении у = -1;
  4. найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:
  • Х 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
  • Х 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

Эксцентриситет (константа) = 1.

Заключение

Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.

Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 1.

Лекция 17. Парабола.

Глава 17. Парабола.

п.1. Основные определения.

Определение. Параболой называется ГМТ плоскости равноудаленных от одной фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, и одной фиксированной прямой, называемой директрисой.

Определение. Расстояние от произвольной точки М плоскости до фокуса параболы называется фокальным радиусом точки М.

Обозначения: F– фокус параболы,r– фокальный радиус точки М,d– расстояние от точки М до директрисыD.

По определению параболы, точка М является точкой параболы тогда и только тогда, когда
.

По определению параболы, его фокус и директриса есть фиксированные объекты, поэтому расстояние от фокуса до директрисы есть величина постоянная для данной параболы.

Определение. Расстояние от фокуса параболы до ее директрисы называется фокальным параметром параболы.

Обозначение:
.

Введем на данной плоскости систему координат, которую мы будем называть канонической для параболы.

Определение. Ось, проведенная через фокус параболы перпендикулярно директрисе называется фокальной осью параболы.

Построим каноническую для параболы ПДСК, см. рис.2.

В качестве оси абсцисс выбираем фокальную ось, направление на которой выбираем от директрисы к фокусу.

Ось ординат проводим через середину отрезка FNперпендикулярно фокальной оси. Тогда фокус имеет координаты
.

п.2. Каноническое уравнение параболы.

Теорема. В канонической для параболы системе координат уравнение параболы имеет вид:

. (1)

Доказательство. Доказательство проведем в два этапа. На первом этапе мы докажем, что координаты любой точки, лежащей на параболе удовлетворяют уравнению (1). На втором этапе мы докажем, что любое решение уравнения (1) дает координаты точки, лежащей на параболе. Отсюда будет следовать, что уравнению (1) удовлетворяют координаты тех и только тех точек координатной плоскости, которые лежат на параболе.

Отсюда и из определения уравнения кривой будет следовать, что уравнение (1) является уравнением параболы.

1) Пусть точка М(х, у) является точкой параболы, т.е.

.

Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на координатной плоскости и найдем по этой формуле фокальный радиус данной точки М:

.

Из рисунка 2 мы видим, что точка параболы не может иметь отрицательной абсциссы, т.к. в этом случае
. Поэтому
и
. Отсюда получаем равенство

.

Возведем обе части равенства в квадрат:

и после сокращения получаем:

.

2) Пусть теперь пара чисел (х, у) удовлетворяет уравнению (1) и пусть М(х, у) – соответствующая точка на координатной плоскости Оху.

Тогда подставляем равенство (1) в выражение для фокального радиуса точки М:

, откуда, по определению параболы, следует, что точка М(х, у) лежит на параболе.

Здесь мы воспользовались тем, что из равенства (1) следует, что
и, следовательно,
.

Теорема доказана.

Определение. Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы.

Определение. Начало канонической для параболы системы координат называется вершиной параболы.

п.3. Свойства параболы.

Теорема. (Свойства параболы.)

1. В канонической для параболы системе координат, в полосе

нет точек параболы.

2. В канонической для параболы системе координат вершина параболы О(0; 0) лежит на параболе.

3. Парабола является кривой, симметричной относительно фокальной оси.

Доказательство. 1, 2) Сразу же следует из канонического уравнения параболы.

3) Пусть М(х, у) – произвольная точка параболы. Тогда ее координаты удовлетворяют уравнению (1). Но тогда координаты точки
также удовлетворяют уравнению (1), и, следовательно, эта точка также является точкой параболы, откуда и следует утверждение теоремы.

Теорема доказана.

п.4. Построение параболы.

В силу симметрии достаточно построить параболу в первой четверти, где она является графиком функции

,

а затем отобразить полученный график симметрично относительно оси абсцисс.

Строим график этой функции, учитывая, что данная функция является возрастающей на промежутке
.

п.5. Фокальный параметр гиперболы.

Теорема. Фокальный параметр параболы равен длине перпендикуляра к ее оси симметрии, восстановленного в фокусе параболы до пересечения с параболой.

Доказательство. Так как точка
является точкой пересечения параболы
с перпендикуляром
(см. рис.3), то ее координаты удовлетворяют уравнению параболы:

.

Отсюда находим
, откуда и следует утверждение теоремы.

Теорема доказана.

п.6. Единое определение эллипса, гиперболы и параболы.

Используя доказанные свойства эллипса и гиперболы, и определение параболы можно дать единое для всех трех кривых определение.

Определение. ГМТ плоскости, для которых отношение расстояния до одной фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, к расстоянию до одной фиксированной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная, называется:

а) эллипсом, если эта постоянная величина меньше 1;

б) гиперболой, если эта постоянная величина больше 1;

в) параболой, если эта постоянная величина равна 1.

Эта постоянная величина, о которой идет речь в определении, называется эксцентриситетом и обозначается , расстояние от данной точки до фокуса есть ее фокальный радиусr, расстояние от данной точки до директрисы обозначается черезd.

Из определения следует, что те точки плоскости, для которых отношение есть величина постоянная образуют эллипс, гиперболу или параболу, взависимости от величины этого отношения.

Если
, то мы получаем эллипс, если
, то мы получаем гиперболу, если
, то мы получаем параболу.

п.7. Касательная к параболе.

Теорема. Пусть
– произвольная точка параболы

.

Тогда уравнение касательной к этой параболе

в точке
имеет вид:

. (2)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда точка касания лежит в первой четверти. Тогда уравнение параболы имеет вид:

и ее можно рассматривать как график функции
.

Воспользуемся уравнением касательной к графику функции
в точке
:

где
– значение производной данной функции в точке
.

Найдем производную функции
и ее значение в точке касания:

,
.

Здесь мы воспользовались тем, что точка касания
является точкой параболы и поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению параболы, т.е.

.

Подставляем найденное значение производной в уравнение касательной:

,

откуда получаем:

.

Так как точка
принадлежит параболе, то ее координаты удовлетворяют ее уравнению, т.е.
, откуда получаем

или
.

Отсюда следует

.

Теорема доказана.

п.8. Зеркальное свойство параболы.

Теорема. Касательная к параболе образует равные углы с ее осью симметрии и с фокальным радиусом точки касания.

Доказательство. Пусть
– точка касания,– ее фокальный радиус. Обозначим черезNточку пересечения касательной с осью абсцисс. Ордината точкиNравна нулю и точкаNлежит на касательной, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной. Подставляя координаты точкиNв уравнение касательной, получаем:

,

откуда абсцисса точки Nравна
.

Рассмотрим треугольник
. Докажем, что он равнобедренный.

Действительно,
. Здесь мы воспользовались равенством, полученным при выводе канонического уравнения параболы:

.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Отсюда

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Замечание. Доказанную теорему можно сформулировать в виде зеркального свойства параболы.

Луч света, выпущенный из фокуса параболы, после отражения от зеркала параболы, идет параллельно оси симметрии параболы.

Действительно, так как угол падения луча на касательную равен углу отражения от нее, то угол между касательной и отраженным лучом равен углу между касательной и осью абсцисс, откуда следует, что отраженный луч параллелен оси абсцисс.

Замечание. Это свойство параболы получило широкое применение в технике. Если параболу вращать вокруг ее оси симметрии, то получим поверхность, которая называется параболоидом вращения. Если выполнить отражающую поверхность в форме параболоида вращения и в фокусе поместить источник света, то отраженные лучи идут параллельно оси симметрии параболоида. Так устроены прожектора и автомобильные фары. Если же в фокусе поместить устройство принимающее электромагнитные колебания (волны), то они отражаясь от поверхности параболоида попадают в это принимающее устройство. По такому принципу работают спутниковые тарелки.

Существует легенда, что в древности один полководец выстроил своих воинов вдоль берега, придав их строю форму параболы. Солнечный свет, отражаясь от начищенных до блеска щитов воинов собирался в пучок (в фокусе построенной параболы). Таким образом были сожжены корабли неприятеля. Некоторые источники приписывают это Архимеду. Так или иначе, но арабы называли параболоид вращения "зажигательным зеркалом".

Кстати, слово "focus" латинское и в переводе означает огонь, очаг. С помощью "зажигательного зеркала" можно в солнечный день разжечь костер и вскипятить воду. Так что становится понятным происхождение этого термина.

Слово "фокус" означает также некоторый трюк или хитрый прием. Раньше цирк назывался балаганом. Так еще балаганные артисты использовали зеркальное свойство эллипса и зажигая свет в одном фокусе эллипса они разжигали что-нибудь лекговоспламеняющее, помещенное в другом его фокусе. Это зрелище также стали называть фокусом. (Читайте замечательную книжку Виленкина Н.Я. "За страницами учебника математики")

п.9. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы.

Пусть на плоскости дана точка F, которую мы назовем фокусом и прямаяD, которую мы назовем директрисой. Проведем через фокус прямую перпендикулярную директрисе (фокальная ось) и введем полярную систему координат. Полюс поместим в фокус, а в качестве полярного луча возьмем ту часть прямой, которая не пересекает директрису (см. рис.5).

Пусть точка М лежит на эллипсе, гиперболе или параболе. В дальнейшем будем называть зллипс гиперболу или параболу просто кривой.

Теорема. Пусть
– полярные координаты точки кривой (эллипса, гиперболы или параболы). Тогда

, (3)

где р – фокальный параметр кривой, – эксцентриситет кривой (для параболы полагаем
).

Доказательство. Пусть Q– проекция точки М на фокальную ось кривой, В – на директрису кривой. Пусть полярный уголточки М является тупым, как на рисунке 5. Тогда

,

где по построению,
– расстояние от точки М до директрисы,и

. (4)

С другой стороны, по единому определению эллипса, гиперболы и параболы отношение

(5)

равно эксцентриситету соответствующей кривой для любой точки М на данной кривой. Пусть точка
– точка пересечения кривой с перпендикуляром к фокальной оси, воостановленного в фокусеFи А – ее проекция на директрису. Тогда

, откуда
. Но
, откуда

и, подставляя в равенство (4), получаем

или, учитывая равенство (5),

откуда и следует доказываемое равенство (3).

Заметим, что равенство (4) остается верным и в случае, когда полярный угол точки М является острым, т.к. в этом случае точкаQнаходится правее фокусаFи

Теорема доказана.

Определение. Уравнение (3) называется полярным уравнением эллипса, гиперболы и параболы.

Разделы